On the exterior Dirichlet problem for a class of fully nonlinear elliptic equations
本文主要建立了一类完全非线性二阶椭圆型方程的外狄利克雷问题解的存在唯一性定理，该方程的特征值在无穷远处具有给定的广义对称渐近行为.此外，我们还对已有的Hessian方程、Hessian商方程和特殊的Lagrange方程给出了一些新的结果。
2020-05-07 math.AP
Concavity of the Lagrangian Phase Operator and Applications
我们研究了拉格朗日相位算子的狄利克雷问题，在实数和复数的设置。我们的主要结果表明，如果$Ω$是$\mathbb{R}^{n}$或$\mathbb{C}^n$中的紧区域，则存在具有右侧$h(x)$的狄利克雷问题的解，满足$|h(x)| > (n-2)\fracπ{2}$和边界数据$ϕ$当且仅当存在子解.
2016-07-25 math.AP math.DG
The degenerate special Lagrangian equation on Riemannian manifolds
我们表明，退化的特殊拉格朗日方程，最近推出的鲁宾斯坦-所罗门，导致一个整体方程的每一个黎曼流形，并为某些相关的几何这个方程的统治，因为它在欧几里德设置，测地线在正拉格朗日空间。例如，光滑卡-丘环面纤维化的正拉格朗日截面空间中的测地线由基流形上的黎曼DSL支配。然后，我们开发他们的分析技术，特别是修改的Dirichlet对偶理论的哈维-劳森，在黎曼设置，以获得连续的解决方案的狄利克雷问题的黎曼DSL，因此连续测地线在空间中的正拉格朗日。
2018-04-23 math.AP math.DG math.SG
The Non-Liner Dirichlet Problem in Hadamard Manifolds
证明了Hadamard流形中具有常特殊Lagrange曲率的超曲面的狄利克雷问题的存在性定理。第一个结果是使用连续性方法和近似，然后使用Perron方法的两次迭代进行细化。在连续性方法中使用的先验估计在任何环境流形中都是有效的。
2009-08-25 math.AP math.DG
A viscosity approach to the Dirichlet problem for degenerate complex Hessian type equations
在$\C^n$中，对域上复Hessian型方程的狄利克雷问题引入了粘性方法.的论点是仿照理论的黏性解的真正海森型方程开发的Trudinger。因此，我们解决了狄利克雷问题的海森商和特殊的拉格朗日方程。我们还建立了解的基本正则性结果。
2017-12-22 math.AP math.CV
Lagrangian Mean Curvature Equations on exterior domains
Beijing Normal University（北京师范大学）
本文提出扩展的外域(K,K′,α₀)拟共形映射方法，研究超临界相拉格朗日均曲率方程在无穷远处的渐进行为，扩展了Li-Li-Yuan关于特殊拉格朗日方程的外域伯恩斯坦型定理。
2026-04-20 math.AP
Nonuniqueness of solutions to the Lagrangian mean curvature equation
The University of North Carolina at Chapel Hill（北卡罗来纳大学教堂山分校）；Columbia University（哥伦比亚大学）
该研究解决了Harvey和Lawson的问题，证明对于n≥2的所有维度，单位球上带连续边界数据的拉格朗日平均曲率方程狄利克雷问题存在连续的不同粘性解的连续统，即解不唯一。
2026-08-25 math.AP math.DG
Nonconvex Sublevel Sets for the Three-Dimensional Special Lagrangian Equation
Institute of Mathematics, Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
针对三维特殊拉格朗日方程，在相位Θ∈(π/2,π)时构造特定凸区域，发现其零狄利克雷解存在非凸负次水平集。
2026-08-11 math.AP math.DG
Gradient estimates for the Lagrangian mean curvature equation with critical and supercritical phase
本文证明了拉格朗日中曲率方程的内梯度估计，当拉格朗日相位是临界的和超临界的，以及$C^{2}$ .结合文献[Bha21，Bha22]中证明的先验内Hessian估计，解决了具有$C^0$边界数据的临界和超临界拉格朗日中曲率方程的Dirichlet边值问题.我们还提供了一个统一的梯度估计较低的规律性阶段，满足某些额外的假设。
2022-05-26 math.AP math.DG
Dirichlet Duality and the Nonlinear Dirichlet Problem
研究了R^n中光滑有界区域D上f（Hess，u）=0形式的完全非线性退化椭圆型方程的狄利克雷问题.在我们的方法中，方程被替换为对称n × n-矩阵空间的子集F，其中bdy（F）在集合{f=0}中连续。在边界bdy（F）上的一个明确的几何"F-凸性“假设下，我们建立了连续解的存在唯一性。研究了F-凸区域的拓扑结构，证明了F-凸区域的一个Andreotti-Frankel型定理。分析中的两个关键因素是使用次仿射函数和狄利克雷对偶，这里都介绍了。与F相关联的是一个Dirichlet对偶集F*，它给出一个对偶狄利克雷问题。这种配对是真正的对偶，因为F* 的对偶是F，并且在分析中F和F* 的角色是可互换的。对偶性也阐明了问题的许多特征，包括边界上的适当条件。许多有趣的例子涵盖了这些结果包括：所有分支的齐次Monge-Ampere方程在R，C和H;方程自然出现在校准几何，拉格朗日几何和p-凸黎曼几何，和所有分支的特殊拉格朗日势方程。
2007-10-22 math.AP math.CV math.DG
Pseudoconvexity for the Special Lagrangian Potential Equation
本文给出了区域$Ω\subset {\bf R}^n$上函数$u$的特殊拉格朗日势方程，即对常数$θ\in (-n {π\over 2}, n {π\over 2})$的${\rm tr}\{\arctan(D^2 \,u) \} = θ$。对于$C^2$解，$Ω\times {\bf R}^n$中的$Du$图是一个特殊的拉格朗日子流形.关于这个方程的狄利克雷问题已经有很多了解，但是存在性结果依赖于显式计算相关的边界条件（或者，换句话说，计算相关势理论的伪凸性）。这篇论文就是这么做的，答案很有趣。结果延续到许多相关的方程-例如，那些通过采取$\sum_k \arctan\, λ_k^{\mathfrak g} = θ$其中${\mathfrak g} : {\rm Sym}^2({\bf R}^n)\to {\bf R}$是一个Garding-Dirichlet多项式，这是双曲的身份。一个特别的例子是变形的厄米-杨-米尔斯方程，它出现在镜像对称中。另一个例子是$\sum_j \arctan κ_j = θ$，其中$κ_1, ... , κ_n$是$Ω\times {\bf R}$中$u$的图的主曲率。我们还讨论了非齐次Dirichlet问题${\rm tr}\{\arctan(D^2_x \,u)\} = ψ(x)$，其中$ψ: \overlineΩ\to (-n {π\over …
2020-06-22 math.AP math.DG
Minimizers of Dirichlet functionals on the n-torus and the Weak KAM Theory
给定$n-$环面$T^n$上的概率测度$μ$和旋转向量$k\in R^n$，我们问是否存在积分$\int_{T^n} |\gradϕ+k|^2 dμ$的极小元。这个问题导致，自然，一类椭圆型偏微分方程和最佳运输（蒙格-康托洛维奇）类问题的环面。它也与高维奥布里-马瑟理论有关，处理周期拉格朗日量的不变集，被称为“弱KAM理论”。
2007-11-17 math.AP math.DS
Local exact Lagrangian controllability for 1D barotropic compressible Navier--Stokes equations
本文研究一维正压可压缩Navier--Stokes方程，通过构造作用于动量方程的外力，实现了在给定时间内将初始子区间内的流体粒子精确移动至目标子区间的局部拉格朗日能控性。
2025-05-12 math.AP
Nonlinear Dirichlet problems with unilateral growth on the reaction
考虑一类由$p$ -Laplace微分算子驱动的非线性狄利克雷问题，其中反应只具有从上到下的次临界增长限制.我们证明了两个多重性定理产生三个非平凡的解决方案，两个常数符号和第三个节点。这两个重数定理在原点附近的几何上是不同的。在半线性情况下（即，$p=2$），使用莫尔斯理论（临界群），我们产生了第二个节点的解决方案，共四个非平凡的解决方案。作为一个例子，我们表明，我们的研究结果纳入并显着扩展的多重性结果存在的一类参数，强制性狄利克雷问题。
2019-03-12 math.AP
Regularity of Stagnation Point-form Solutions of the Two-dimensional Euler Equations
研究了二维不可压Euler方程的一类半有界解，该方程满足周期边界条件或Dirichlet边界条件。对于光滑的初始数据，给出了一个新的关于初始扰动轮廓的爆破准则，并讨论了边界条件对解的整体正则性的影响。特别是，通过推导出一个公式的一般解决方案沿拉格朗日轨迹，我们描述了如何周期性可以防止爆破。这与狄利克雷边界条件相反，正如我们将展示的，狄利克雷边界条件允许在有限时间内形成奇点。最后，简要讨论了非光滑初值下解的正则性。
2014-09-27 math.AP
Weak Geodesics for the deformed Hermitian-Yang-Mills equation
研究了变形Hermitian-Yang-Mills方程在位势空间中的弱测地线。测地线方程可以表述为退化的椭圆型方程，允许我们采用哈维-劳森发展的非线性狄利克雷对偶理论。利用拉格朗日角算子在最高分支上的水平集的凸性，我们可以构造相应的狄利克雷问题的连续解。
2019-06-17 math.AP math.DG
Large time behaviour of solutions to parabolic equations with Dirichlet operators and nonlinear dependence on measure data
研究了$\partial_tu-L u+λu=f(x,u)+g(x,u)\cdotμ$型方程Cauchy问题解的大时间行为，其中$L$是与正则下界半狄利克雷型${\mathcal{E}}$相关的算子，$μ$是关于${\mathcal{E}}$所确定的容量的非负有界光滑测度.我们证明了在$f,g$的单调性和一些可积性假设以及关于${\mathcal{E}}$形式的一些假设下，对于拟每$x$，$u(t,x)\rightarrow v(x)$ as $t\rightarrow\infty$，其中$v$是与我们的抛物方程相关联的某个椭圆方程的解。我们还提供了速度收敛。给出了一些例子说明我们的一般结果的实用性。
2018-06-06 math.AP
The mixed problem for harmonic functions in polyhedra
R. M.本文将Brown关于Dirichlet和Neumann混合边界条件的定理推广到多面体区域的特殊情形。一个（1）更一般的划分边界到狄利克雷和诺依曼集被用于（2）流形边界，不是局部给定的函数的图形。最后通过实例说明了几何假设的必要性和其他含义。
2008-03-06 math.AP
Mean Field Games of Controls with Dirichlet boundary conditions
本文研究带Dirichlet边界条件的控制平均场博弈系统，在正则性假设下建立纳什均衡存在性，并通过先验估计处理质量不守恒问题，最后给出实例与数值实现。
2023-06-19 math.AP math.OC
The Dirichlet problem for p-harmonic functions with respect to the Mazurkiewicz boundary
在本文中，我们发展了Perron方法来解决p-Laplacian的模拟，即p-调和函数，与Mazurkiewicz边界值的狄利克雷问题。这里考虑的设置是度量空间，其中讨论的域的边界被替换为Mazurkiewicz边界。Sobolev和连续函数的分辨性，以及小集合上扰动的不变性结果。我们使用这些结果，以改善已知的解析度和标准（度量）边界上的函数的不变性结果。我们还通过讨论几个例子来说明本文的结果。
2013-02-15 math.AP math.MG
The degenerate special Lagrangian equation
本文介绍了退化的特殊拉格朗日方程（DSL），并发展了基本的分析工具来构造和研究它的解。在$\mathbb{C}^n.$中，DSL支配正图拉格朗日空间中的测地线正拉格朗日空间中测地线的存在性是证明特殊拉格朗日的存在性和唯一性的程序中的重要步骤。此外，它将暗示从哈密顿动力学的强阿诺德猜想的某些情况。我们证明了DSL是退化椭圆的。对单参数图拉格朗日函数族引入了时空拉格朗日角，并构造了它的正则化提升。正则化提升的上层集合定义了哈维-劳森意义上的DSL的子方程。我们将Harvey-Lawson关于子方程的存在性理论推广到带角点的区域的情形，从而得到了DSL的狄利克雷问题在所有分支上的解.此外，我们还引入了校正测度，它在凸几何和复几何中起着类似于Monge-Ampère测度的作用。这个措施和正则性估计的存在，使我们能够证明，我们得到的解决方案在DSL的外部分支有一个明确的长度在空间中的正拉格朗日。
2017-02-03 math.AP math.DG math.SG
Input-to-state stabilization of $1$-D parabolic equations with Dirichlet boundary disturbances under boundary fixed-time control
本文针对带Dirichlet边界扰动的1-D抛物方程，采用反步法与分裂技术设计边界反馈控制器，实现输入-状态稳定与固定时间稳定，并用广义Lyapunov方法分析，数值仿真验证有效性。
2024-07-21 math.AP math.OC
Lagrangian flows for vector fields with gradient given by a singular integral
本文证明了具有梯度的向量场常微分方程流的定量估计，该流由$L^1$函数的奇异积分给出。这样的估计允许证明存在性，唯一性，定量稳定性和紧凑性的流动，超越了$BV$理论。我们说明了相关的适定性理论的拉格朗日解的连续性和输运方程。
2012-08-31 math.AP math.FA
The Deep Ritz Method for Parametric $p$-Dirichlet Problems
University of Freiburg（弗莱堡大学）；Simula Research Laboratory（西穆拉研究实验室）
我们建立的误差估计的近似参数$p$ -狄利克雷问题部署深里兹方法。参数依赖性包括，例如，不同的几何形状和指数$p\in (1,\infty)$。将导出的误差估计与定量逼近定理相结合，得到了误差衰减率，并建立了Deep Ritz方法在高维函数的逼近中保留了神经网络的良好逼近能力，这使得该方法对参数问题具有吸引力。最后，我们提出了数值例子来说明潜在的应用。
2022-07-05 cs.LG cs.NA cs.NE
A Robust Septic Hermite Collocation technique for Dirichlet Boundary Condition Heat Conduction Equation
本文提出用于一维 Dirichlet 热传导方程的七次 Hermite 配点法，利用 Chebyschev 与 Legendre 多项式根构造内部配点并在 Matlab 中实现，验证其准确有效且适用于线性及非线性问题。
2023-12-08 cs.NA math.AP math.NA
The inhomogeneous Dirichlet Problem for natural operators on manifolds
我们将讨论非齐次狄利克雷问题为：$f(x,u, Du, D^2u) = ψ(x)$其中$f$是一个“自然”的微分算子，与一个限制域$F$，在一个流形$X$。我们所说的“自然”是指从$X$上给定的几何中固有地产生的算子。重要的一点是方程不需要是凸的，可以是高度退化的。此外，非齐次项可以在算子$f$的受限域$F$的边界处取值。一个简单的例子是黎曼流形$X$上的实Monge-Ampère算子${\rm det}({\rm Hess}\,u) = ψ(x)$，其中${\rm Hess}$是黎曼海森，限制域是$F = \{{\rm Hess} \geq 0\}$，并且$ψ$与$ψ\geq0$连续。一个主要的新工具是局部喷流等价的思想，它产生了局部弱比较，然后在一个自然和必要的整体假设下进行比较。主要定理适用于对$(F,f)$，这是局部射流等价于一个给定的常系数对$({\bf F}, {\bf f})$。这涵盖了流形上的一大类几何方程：黎曼流形上的正交不变算子，具有G-结构的流形上的G-不变算子，几乎复流形上的算子，以及辛流形上的拉格朗日Monge-Ampère算子。它也适用于这些运营商的所有分支机构。完整的存在性和唯一性结果建立与存在性需要相同的边界假设在齐次情况下[10]。我们也有结果的非齐次项PDMATHAMT是一个δ函数。
2019-01-23 math.AP math.DG
A Time-Dependent Dirichlet-Neumann Method for the Heat Equation
University of Geneva（日内瓦大学）
本文提出了一种用于抛物问题的波形松弛狄利克雷-Neumann方法，针对时间依赖的子域问题，通过子域求解和边界条件迭代，展示了热方程在有限时间区间内的收敛性。
2014-05-21 cs.NA math.AP math.CA
