AI 中文总结
该研究解决了Harvey和Lawson的问题，证明对于n≥2的所有维度，单位球上带连续边界数据的拉格朗日平均曲率方程狄利克雷问题存在连续的不同粘性解的连续统，即解不唯一。
AI 中文摘要
我们解决了Harvey和Lawson提出的一个问题，即单位球上具有连续边界数据的拉格朗日平均曲率方程狄利克雷问题的连续粘性解的唯一性问题。对于所有n≥2的维度，我们构造了一个连续相位ψ：\u0305B₁→(-nπ/2, nπ/2)和连续边界数据g：∂B₁→ℝ，使得狄利克雷问题∑ᵢ₌₁ⁿ arctanλᵢ(D²u)=ψ(x)在B₁内，u=g在∂B₁上，存在连续的不同粘性解的连续统。
英文摘要
We resolve a question posed by Harvey and Lawson concerning the uniqueness of continuous viscosity solutions to the Dirichlet problem for the Lagrangian mean curvature equation on the unit ball with continuous boundary data. For every dimension $n\geq 2$, we construct a continuous phase $ψ\colon \overline{B_1}\to(-n\fracπ{2},n\fracπ{2})$ and continuous boundary data $g \colon \partial B_1\to \mathbb{R}$ for which the Dirichlet problem \[ \sum_{i=1}^n \arctanλ_i(D^2u)=ψ(x)\quad\text{in }B_1, \qquad u=g\quad\text{on }\partial B_1, \] admits a continuum of distinct continuous viscosity solutions.
