Brownian motion and the Dirichlet problem at infinity on two-dimensional Cartan-Hadamard manifolds
在回顾了Cartan-Hadamard流形上无穷远处的狄利克雷问题之后，我们讨论了已知的情况以及二维和高维情况之间的区别。将我们的注意力转向二维的情况下，我们证明了狄利克雷问题在无穷远的二维Cartan-Hadamard流形是可解的曲率条件下$K\leq (1+ε)/(r^2 \log r)$，一个紧集外，一些$ε>0$在极坐标围绕一些极点。曲率的这个条件是尖锐的，并且改进了先前已知的二次曲率衰减的情况。最后，我们简要讨论了尝试将该方法扩展到更高维度时出现的问题。
2009-12-02 math.DG math.PR
Asymptotic Dirichlet problems for Laplace's and minimal equations on Hadamard manifolds
通过研究Hadamard流形$M$上Laplace型和极小超曲面型偏微分方程的渐近Dirichlet问题，证明了在一定的曲率条件下这类偏微分方程整体解的存在性.在调和情形下，得到了一个存在性结果，它假定了与E. Hsu \cite{Hsu}，但其考虑具有指数衰减的里奇曲率的情况。同时也得到了一个结果，推广和改进了Choi \cite{Choi}的定理3.6.在极小情形下，得到了N. do Esp\'ırito-Santo，S. Fornari和J. Ripoll \cite{EFR}的定理5.2，以及J.A. Gálvez和H. Rosenberg \cite{GR}通过允许$M$的截面曲率在无穷远处退化到0。
2012-02-27 math.DG
Regularity at infinity of Hadamard manifolds with respect to some elliptic operators and applications to asymptotic Dirichlet problems
设$M$是具有截面曲率$K_{M}\leq-k^{2}$的Hadamard流形，$k>0$ .用$\partial_{\infty}M$表示$M$的渐近边界。我们说$M$满足严格凸性条件（SC条件），如果给定$x\in\partial_{\infty}M$和包含$x$的相对开子集$W\subset\partial_{\infty}M$，存在$C^{2}$开子集$Ω\subset M$使得$x\in\operatorname*{Int}(\partial_{\infty}Ω) \subset W$和$M\setminusΩ$是凸的。我们证明了SC条件意味着$M$在无穷远处相对于算子$$\mathcal{Q}[u] :=\mathrm{div}(\frac{a(|\nabla u|)}{|\nabla u|}\nabla u),$$正则，并且满足一定的条件.在SC条件下，极小超曲面的Dirichlet问题和PDMATHABM-Laplacian（$p>1$）方程对任意给定的连续渐近边界数据都是可解的.本文还证明了：如果$M$是旋转对称的，或者如果对某些$R^{\ast}$和$ε>0,$有$\inf_{B_{R+1}}K_{M}\geq-e^{2kR}/R^{2+2ε}, R\geq R^{\ast},$，其中$B_{R+1}$是以$R+1$为中心的测地球，则$M$满足SC条件.
2013-01-03 math.DG
Convexity at infinity in Cartan-Hadamard manifolds and applications to the asymptotic Dirichlet and Plateau problems
本文研究了满足严格凸性的Cartan-Hadamard流形上的渐近Dirichlet和Plateau问题。SC）条件。本文的主要部分是研究一个流形上的SC条件，该流形的截面曲率由一定的函数从上到下根据到一个不动点的距离有界。特别是，我们能够验证的SC条件流形的曲率下界可以去到无穷大和上界同时为0，在一定的速度，或在某些流形的截面曲率去到无穷快于任何规定的速率。这些改进了Anderson、Borbély、Ripoll和Telichevsky的先前结果。然后，在满足SC条件的Cartan-Hadamard流形中，以\partial_{\infty} M的任意k-1维拓扑嵌入子流形，2 \leq k \leq n-1为边界数据，求解了局部可整流电流的Z2重数的渐近平台问题.我们还解决了渐近高原问题的局部整流电流Z-多重性的任何旋转对称流形满足SC条件给定的光滑嵌入的子流形作为边界数据。这些结果推广了Anderson，Bangert和Lang的结果，并且得到了一类偏微分方程渐近狄利克雷问题的新结果.特别是，我们能够证明这个问题的可解性流形上的超指数衰减（无穷大）的曲率。
2019-11-19 math.DG
The uniqueness of minimal maps into Cartan-Hadamard manifolds via the squared singular values
该研究利用平方奇异值相关函数的凸性，证明了非正曲率黎曼流形上极小映射Dirichlet问题的唯一性定理，改进了已有文献中的相关结果。
2025-02-24 math.DG
A note on minimal graphs over certain unbounded domains of Hadamard manifolds
给定Hadamard流形$M$的一个无界区域$Ω$，考虑在其锥拓扑边界上寻找具有指定连续数据的最小图的问题是有意义的，即，在其普通边界和渐近边界上。本文证明了在$M$的截面曲率为$\le -1$的假设下，若$Ω$在无穷远处满足一定的凸性条件，且$\partial Ω$是平均凸的，则此狄利克雷问题可解.我们还证明了$\partial Ω$的平均凸性是一个必要条件，推广了有界域上的一些结果。
2015-01-08 math.DG
Sharp solvability criteria for Dirichlet problems of mean curvature type in Riemannian manifolds: non-existence results
众所周知，Serrin条件是$\mathbb{R}^n$中有界区域上给定中曲率方程Dirichlet问题可解的必要条件.本文研究了乘积$ M^n \times \mathbb{R} $中垂直中曲率方程的Serrin条件的尖锐性。精确地说，给定$M$中的$\mathscr{C}^2$有界域$Ω$和在$\overlineΩ\times\mathbb{R}$中连续且在变量$z$中非减的函数$ H = H (x, z) $，我们证明了强Serrin条件$(n-1)\mathcal{H}_{\partialΩ}(y)\geq n\sup\limits_{z\in\mathbb{R}}|H(y,z)| \ \forall \ y\in\partialΩ$是一类黎曼流形中Dirichlet问题可解的必要条件，其中Hadamard流形和截面曲率上界为正常数的流形.作为我们结果的结果，我们推导出Jenkins-Serrin和Serrin型尖锐可解性准则。
2019-10-21 math.AP math.DG
Translating solitons over Cartan-Hadamard manifolds
本文证明了 Cartan-Hadamard 流形上平均曲率流图形平移孤立子的存在性，揭示了其渐近行为对流形曲率的依赖性，并在特定曲率条件下探讨了有界解及渐近 Dirichlet 问题的可解性。
2021-07-12 math.DG
Dirichlet problem for $f$-minimal graphs
研究了Cartan-Hadamard流形$M$中$f$ -极小图的渐近狄利克雷问题. $f$ -极小超曲面是自收缩曲面的自然推广，在中曲率流的研究中起着至关重要的作用.在本文的第一部分中，我们证明了在有界域$Ω\subset M$上，在适当的关于$f$和$Ω$的边界的假设下，具有指定边界表现的$f$ -极小图的存在性。在第二部分中，我们考虑渐近狄利克雷问题。只要$f$衰减得足够快，我们就构造了问题的解。我们对$f$衰变的假设与$M$的截面曲率有关。鉴于Pigola，Rigoli和Setti的结果，我们的结果几乎是尖锐的.
2019-07-25 math.DG
Asymptotic Dirichlet problem for $\mathcal{A}$-harmonic functions on manifolds with pinched curvature
本文研究了Cartan-Hadamard流形上$\mathcal{A}$ -调和函数的渐近狄利克雷问题，该流形在紧集外的径向截面曲率满足上界$$ K(P)\le - \frac{1+\varepsilon}{r(x)^2 \log r(x)} $$和逐点拼挤条件$$ |K(P)|\le C_K |K(P')| $$，其中常数为$\varepsilon>0$和$C_K\ge 1$，其中$P$和$P'$是$T_xM$的任何2维子空间，包含（径向）矢量$\nabla r(x)$和$r(x)=d(o,x)$是到固定点$o\in M$的距离。我们解决了具有任意连续边界数据的渐近狄利克雷问题$f\in C(\partial_{\infty} M)$。结果也适用于拉普拉斯算子和$p$ -拉普拉斯算子，$1<p<\infty,$的特殊情况。
2015-10-06 math.DG
An alternative solvability criterion for the Dirichlet problem for the minimal surface equation and an application to the mean curvature flow
本文提出了一种适用于非均凸域的极小曲面方程可解性准则，并将其应用于均曲率流，解决了传统方法无法处理的某些情况。
2026-02-26 math.AP math.DG
Liouville type theorems for the p-harmonic functions
证明了在由完全非紧收缩梯度Ricci孤子构成的n维Cartan-Hadamard流形上，p-Laplace方程在无穷远处的狄利克雷问题对于任意非常数连续边界数据，在一定范围p>n是无解的.利用定常梯度Ricci孤子，我们找到了具有正高斯曲率的${\mathbb R}^2$上的一个不完全黎曼度量，使得对于$p\geq 4$，每个正的p-调和函数必为常数.
2014-11-06 math.AP math.DG
Eigenvalue estimates of the drifted Cheng-Yau operator on bounded domains in pinched Cartan-Hadamard manifolds
我们展示了如何Bochner型公式可以用来建立漂移Cheng-Yau算子的特征值的普适不等式的有界域上的捏Cartan-Hadamard流形的Dirichlet边界条件。在第一个定理中，双曲空间的情况是在一个独立的方式处理。对于更一般的情形，我们首先建立了Cheng-Yau算子的Rauch比较定理和与Bochner型公式相关的两个估计。其次，我们得到了一些独立兴趣的积分估计。作为一个应用，我们计算我们的普遍不等式。特别地，我们得到了Cheng-Yau算子和漂移Laplacian情形下的相应不等式，并恢复了Laplacian情形下的已知不等式。我们还获得了捏Cartan-Hadamard流形中一类有界环形域上Cheng-Yau算子的刚性结果。特别是，我们可以使用，例如，的势函数的高斯收缩孤子，以获得这样的刚性为欧几里得空间的情况下。本文还讨论了基本的间隙猜想。
2022-03-21 math.DG math.SP
An Inequality Comparing the Dirichlet Energy and the Bienergy of Maps Between Riemannian Manifolds
本文研究了Riemann流形间光滑映射的Dirichlet能量与Bi能量之间的不等式关系，证明了在特定曲率条件下，Bi能量下界由域的Ricci曲率决定，并探讨了等号成立时的刚性结果。
2026-03-19 math.DG
Notes on the Dirichlet problem of a class of second order elliptic partial differential equations on a Riemannian manifold
本文研究了\[ F(u)=\int_Ωϕ\left( \left\vert \nabla u\right\vert \right) , \]形式的凸泛函的临界点的Dirichlet问题，其中\[ F(u)=\int_Ωϕ\left( \left\vert \nabla u\right\vert \right) , \]是完备黎曼流形$\mathcal{M}.$的有界区域。我们还研究了当$Ω=\mathcal{M}$是Cartan-Hadamard流形时的渐近狄利克雷问题。我们的目的是提出一个统一的方法来解决这个问题，其中包括经典的例子$p-$拉普拉斯算子（$ϕ(s)=s^{p}$，$p>1)$和极小曲面方程（$ϕ(s)=\sqrt{1+s^{2}}$）。我们的方法不使用变分法的直接方法，这似乎是常见的$p-$拉普拉斯算子的情况下。相反，我们使用的经典方法的先验$C^{1}$估计光滑的解决方案的欧拉-拉格朗日方程。这些估计是由一个坐标自由演算。退化的椭圆方程，如$p-$拉普拉斯算子，处理的近似参数。这些笔记主要针对对Riemannian流形上的椭圆偏微分方程感兴趣的研究人员和研究生，可以作为相应课程和研讨会的材料。
2018-02-15 math.DG
Solvability of minimal graph equation under pointwise pinching condition for sectional curvatures
研究了Cartan-Hadamard流形$M$上极小图方程的渐近Dirichlet问题，其中$M$的径向截面曲率在紧集外满足上界$$K(P)\le - \frac{ϕ(ϕ-1)}{r(x)^2}$$和逐点拼挤条件$$|K(P)|\le C_K|K(P')|$$，其中$ϕ>1$和$C_K\ge 1$为常数，其中$P$和$P'$是包含（径向）的$T_xM$的任何2维子空间矢量$\nabla r(x)$和$r(x)=d(o,x)$是到固定点$o\in M$的距离。我们解决了渐近Dirichlet问题与任何连续的边界数据的尺寸$n>4/ϕ+1$。
2016-05-31 math.DG
Existence Serrin type results for the Dirichlet problem for the prescribed mean curvature equation in Riemannian manifolds
给定一个完备的$n$维黎曼流形$M$，研究了$M\times\mathbb{R}$中具有给定中曲率$H=H(x,z)$的垂直图的存在性。精确地说，我们证明了在光滑有界区域$Ω\subset M$中垂直中曲率方程的狄利克雷问题对任意光滑边界数据都有解，如果对于每个$y\in\partialΩ$，$(n-1)\mathcal{H}_{\partialΩ}(y)\geq n\sup\limits_{z\in\mathbb{R}}\left|{H(y,z)}\right|$提供函数$H$也满足$\mathrm{Ricc}_x\geq n\sup\limits_{z\in\mathbb{R}}\left\|\nabla_x H(x,z)\right\|-\dfrac{n^2}{n-1}\inf\limits_{z\in\mathbb{R}}\left(H(x,z)\right)^2$.在$M=\mathbb{H}^n$的情况下，如果条件$\sup\limits_{Ω\times\mathbb{R}}\left|{H(x,z)}\right|\leq \frac{n-1}{n}$在涉及Ricci曲率的条件的位置成立，我们也建立存在性结果。最后，当$M$是一个Hadamard流形，其截面曲率$K$满足$-c^2\leq K\leq -1$，对某些$c>1$，我们得到了一个相关的结果.推广了Ser…
2019-12-03 math.DG
Estimates of the Poisson kernel on negatively curved Hadamard manifolds
本文研究夹挤负曲率 Hadamard 流形的 Poisson 核，借助 Anderson-Schoen 的正调和函数锥估计证明其整体上下界，并用于量化调和测度向边界点测度及无穷远边界测度的收敛。
2024-08-12 math.CA math.DG
