Legendrian Hopf links in L(p,1)
Rima Chatterjee, Hansjörg Geiges, Sinem Onaran
本文在透镜空间L(p,1)中，对任意接触结构下的Hopf链环的Legendrian实现进行了粗等价分类。
我们在透镜空间L(p,1)中，对具有任意接触结构的Hopf链环的Legendrian实现进行了分类，分类准则为粗等价关系。
We classify Legendrian realisations, up to coarse equivalence, of the Hopf link in the lens spaces L(p,1) with any contact structure.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Legendrian Hopf links
本文在任意接触结构的三维球面中，完全分类了 Hopf 链环的 Legendre 实现，分类标准为粗等价。
Strongly exceptional Legendrian connected sum of two Hopf links
本文首次对两个霍夫链接连和的强异常Legendrian实现进行了完整粗分类，揭示了其在接触3球面中的结构特性。
Non-loose Legendrian Hopf links in lens spaces
本文给出了透镜空间中非宽松 Legendrian Hopf 链环的完整分类，推广了先前结果，并提供了无 Giroux 扭转情形的接触手术图算法。
Pseudo-Legendrian and Legendrian Simplicity of Links in 3-Manifolds
该研究通过构造非简单同胚类的Legendrian链接，展示了在过扭接触结构中，Legendrian同胚与框架同胚、同伦及链接同伦之间的差异，揭示了非简单性现象在相同光滑同胚类中的共存。
The Legendrian Hopf Link has exactly two Lagrangian fillings
该研究运用颈拉伸程序构造伪全纯圆锥纤维化，证明标准 Legendrian Hopf 链环在紧支集哈密顿同痕下恰好有两个嵌入的恰当 Lagrangian 填充。
Legendrian singular links and singular connected sums
我们研究Legendrian奇异链接触合痕。利用奇点的一个特殊性质，定义了Legendrian奇异环的奇异连通和。这个概念是连通和的推广，可以被解释为一个缠结替换，它提供了一种分类勒让德奇异链的方法。此外，我们研究了几个现象只发生在勒让德设置。
Legendrian Torus and Cable Links
本文对Legendrian环面链环及均匀粗纽结类型的缆绳链环进行分类，首次发现无穷族Legendrian链环中光滑对称性不可由Legendrian同痕实现，并给出非可去稳定化但非最大Thurston-Bennequin不变量的例子。
The Surgery Unknotting Number of Legendrian Links
Legendrian链接的手术解开数量定义为将链接转换为Legendrian解开所需的特定定向手术的最小数量。根据勒让德环的经典不变量给出了手术解结数的下界。对于拓扑上为扭结或环面链接的每个Legendrian链接以及对于每个正的Legendrian有理链接，计算手术解结数。此外，对于Chongchitmate和Ng的勒让德结图集中的每个勒让德结，其基础光滑结的交叉数为7或更少，计算手术解结数。在所有这些计算中，只要$j$组件的勒让德链在拓扑上不是切片结，其手术解结数等于$(j-1)$和下面的光滑链节的光滑4球亏格的两倍之和。
Legendrian links of topological unknots
我们使用的估计Thurston-Bennequin不变量的Legendrian链接在其考夫曼多项式表明，链接的拓扑unknots，如Borromean环或Whitehead链接，可能不会表示Legendrian链接的Legendrian unknots。
Legendrian Lavrentiev links
针对拉夫连季耶夫曲线，定义了勒让德拉夫连季耶夫曲线及同痕，证明其链环的勒让德同痕等价类与光滑类一致，为相关曲线等价性研究提供基础。
Legendrian helix and cable links
丽莎·特雷诺（Lisa Traynor）描述了一个在圆的1-喷流空间（具有其规范的切触结构）中的两组分勒让德“圆形螺旋链”的例子，该链在拓扑学上但不是勒让德同位素，而是两个组分的顺序颠倒的相同链。我们给出了一个完整的分类的Legendrian实现这种拓扑链接类型，以及所有其他的“电缆链接”在1喷气机空间。
On Ruling polynomials of Legendrian links
该研究刻画了勒让德链的分次与非分次统治多项式，构造了实现对应多项式的勒让德链，其增广簇具平凡簇代数结构，还构造了满足特定条件的勒让德纽结。
Contact (+1)-surgeries along Legendrian Two-component Links
本文研究了标准切触3-球面中沿Legendrian链环的切触手术。一方面，我们用代数方法证明了接触$(+1)$ -外科手术沿某些Legendrian两部件链接的接触Ozsváth-Szabó不变量的消失。主要的工具是由Manolescu和Ozsváth开发的Heegaard弗洛尔同调的链接手术公式。另一方面，我们使用接触几何参数来显示通过接触$(+1)$ -沿着Legendrian两分量链接（其两个分量以某些特殊配置链接）手术获得的接触3-流形的过扭曲性。
Legendrian knots and links classified by classical invariants
它表明，Legendrian（resp.具有标准紧密切触结构的3-球面中的（横向）线缆链节，即由非结和该非结的线缆组成的链节，通过它们的定向链节类型和经典不变量（在Legendrian情况下为Thurston-Bennequin不变量和旋转数，在横向情况下为自环绕数）进行分类。对于具有标准紧切触结构的圆的单喷流空间中的环面纽结，证明了类似的结果。
Legendrian ribbons and strongly quasipositive links in an open book
我们表明，一个链接在一个开放的书可以实现为一个强拟正的辫子当且仅当它的边界勒让德带相对于相关的切触结构。这推广了由于Baader和Ishikawa的结果在三个领域的链接。我们强调了一些相关的技术，用于确定是否是一个链接强准正，强调应用到光纤链路和卫星。
Spaces of Legendrian cables and Seifert fibered links
本文确定了标准接触3-球面中具最大瑟斯顿-本内昆不变量的若干勒让德纽结和链环嵌入空间的同伦型，给出充分正缆线的递归公式，证明相关接触结构空间的同伦等价性与可缩性，还发现满足单射h-原理的无穷多新分支。
Legendrian links and the spanning tree model for Khovanov homology
我们使用Khovanov同调的生成树模型来研究Legendrian链。这导致了另一种证明Ng的Khovanov界的Thurston-Bennequin数和一个必要和充分条件，这个界是尖锐的。
Representations, sheaves, and Legendrian $(2,m)$ torus links
研究了一个与$\mathbb{R}^3$中Legendrian链相关的$A_\infty$范畴，其对象是链的Chekanov-Eliashberg微分分次代数的$n$维表示.这个表示范畴推广了正增广范畴，我们猜想它等价于Shende，Treumann和Zaslow构造的一类微局部秩$n$层。我们建立了这个猜想的上同调版本的一个家庭的勒让德$(2,m)$环面链接。
Legendrian solid-torus links
对圆的1-jet空间中的Legendrian链环构造了微分分次代数不变量。与R^3的理论相平行，庞加莱-切卡诺夫多项式和特征代数也可以与这样的链相关联。该理论适用于区分各种结，以及链接，是合理的缠结的Legendrian版本的封闭。对于大量的两分量链路，Poincare-Chekanov多项式与通过生成函数理论定义的多项式一致。例子给出的结和链接不同的偶数的水平苍蝇，具有相同的多项式，但不同的特征代数。可从Legendrian卫星建设的结果进行比较，可从DGA和生成函数技术的结果。
The cardinality of the augmentation category of a Legendrian link
我们为标准接触R^3中的勒让德纽结或链环所对应的增广范畴引入了基数的概念。这个“同伦基数”是一个不变的类别，并允许加权计数的增广，我们证明是由执政的多项式的链接。我们提出了一个应用程序的双拉格朗日切片节的增广范畴。
Ruling polynomials and augmentations for Legendrian tangles
与标准接触三维空间中的勒让德链相关联，裁决多项式是勒让德同痕不变量，它也计算增广数，即勒让德链的增广变量的点数（直到归一化因子）\cite{HR15}。在这篇文章中，我们将这幅图推广到Legendrian缠结，它是通过沿着2条垂直线切割Legendrian链接前沿而获得的碎片。此外，我们证明了勒让德缠结的裁决多项式满足复合公理。在Legendrian纽结的特殊情况下，我们的讨论为\cite{HR15}中的主要结果提供了新的证明.最后，我们还介绍了广义Ruling多项式的勒让德缠结，占非非循环的增广在“Ruling多项式计算增广数”的图片。
Virtual Legendrian Isotopy
表面$M$的球面余切束$ST^*M$中的勒让德链接$L$的基本稳定是导致沿着远离链接$L$的投影在$M$中的图像的两个盘将手柄附接到$M$的手术。虚勒让德合痕是稳定化、不稳定化和勒让德合痕的合成。与勒让德结相反，虚勒让德结具有这样的性质，即虚勒让德结与高斯图的等价类之间存在双射对应。我们研究了Legendrian链接的虚拟Legendrian合痕类，并证明了每个这样的类包含一个唯一的不可约代表。特别地，我们解决了Cahn，Levi和第一作者的如下猜想：$ST^*S^2$中的两个勒让德结在$ST^*S^2.$中一定是勒让德结
Cable links of uniformly thick knot types
本文基于Legendrian手术引入新方法，研究了均匀粗细但非Legendrian简单结型缆链的Legendrian实现，发现稳定化链的新同痕现象，并对充分负斜率缆链及twist knots的负缆进行了分类。
Augmentations and Rulings of Legendrian Links in $\#^k(S^1\times S^2)$
给出了$\#^k(S^1\times S^2)$中Legendrian环的定义，推广了Lavrov和Rutherford给出的$J^1(S^1)$中正规刻划的定义，证明了$\mathbb{Z}[t,t^{-1}]$上Chekanov-Eliashberg微分分次代数的任意域的增广的存在性等价于前图的正规刻划的存在性.对于Legendrian结，我们还表明，任何甚至分级扩增必须发送$t$到$-1$。我们使用的对应给出了非零结果的辛同调的某些Weinstein $4$ -流形。我们显示了类似的对应关系的相关情况下的勒让德链接在$J^1(S^1)$，固体环面。
The Bennequin number, Kauffman polynomial, and ruling invariants of a Legendrian link: the Fuchs conjecture and beyond
我们证明了Legendrian环的未分次统治不变量可以实现为Kauffman多项式的某些系数，这些系数是非零的当且仅当Kauffman多项式给出的Bennequin数的上界是尖锐的。这解决了积极的一个猜想富克斯。用类似的方法证明了一个涉及由HOMFLY多项式和2-阶定则给出的上界的结果。
Generating function polynomials for legendrian links
结果表明，在圆的1-jet空间中，产生拓扑等价链接的交换和flyping过程可以产生非等价的阿卡德里亚链接。所考虑的链路的每个分量都是0-函数的1-喷流的拉格朗日同位素，因此不能用经典的旋转数或Thurston-Bennequin不变量来区分。通过生成函数的理论计算经由与链路相关联的同调群定义的不变多项式来区分链路。许多计算这些生成函数多项式支持的信念，这些多项式携带相同的信息作为一个完善的版本切卡诺夫的一阶多项式是通过理论定义的全纯曲线。
Exact Lagrangian Fillings of Legendrian $(2,n)$ torus links
对于具有最大Thurston-Bennequin数的Legendrian $(2,n)$环面结或环，Ekholm、Honda和Kálman构造了$C_n$精确拉格朗日填充，其中$C_n$是第$n$个加泰罗尼亚数。我们表明，这些确切的拉格朗日填充是成对的非同位素通过确切的拉格朗日合痕。为此，我们计算由精确拉格朗日填充$L$到$\mathbb{Z}_2[H_1(L)]$引起的增广，并区分由此产生的增广。
Braid Loops with infinite monodromy on the Legendrian contact DGA
我们提出的第一个例子中的元素的基本群的Legendrian链接的空间中的标准接触3-球的Legendrian接触DGA的作用是无限的顺序。这使我们能够构建第一个家庭的勒让德链接，可以证明承认无限多拉格朗日填充的弗洛尔理论技术。这些家族包括第一个已知的具有无限多个填充物的Legendrian链接，这些填充物不是正辫子的彩虹闭合，以及迄今为止已知的具有无限多个填充物的最小Legendrian链接。我们讨论了如何使用我们的例子来构建其他链接无限多填充，特别是给第一Floer理论证明，Legendrian（n，m）环面链接有无限多拉格朗日填充，如果n是大于3和m大于6，或（n，m）=（4，4），（4，5）。此外，对于任何给定的高等亏格，我们构造了一个Weinstein 4-流形同伦的2-球面，其包裹的degenaya范畴可以区分无穷多个确切的闭拉格朗日曲面的该亏格。我们的研究结果背后的一个关键技术成分是一个新的组合公式的可分解的协边映射Legendrian接触DGAs与整数（组环）系数。
Generalized normal rulings and invariants of Legendrian solid torus links
对于$S^1$的1-喷流空间中的Legendrian链接，我们证明了1-分次统治多项式可以从Kauffman skein模块恢复。对于这样的链接的一般化的概念，正常的裁决。我们表明，存在这样一个广义的正常的裁决是相当于锐度的考夫曼多项式估计的Thurston-Bennequin数，以及存在一个未分级的Chekanov-Eliashberg DGA的扩增。建立了HOMFLY-PT多项式和2-阶广义正规定则的并行结果。
HOMFLY-PT polynomial and normal rulings of Legendrian solid torus links
证明了对于$S^1$的$1$ -喷流空间中的任意Legendrian链$L$，$2$ -分次统治多项式$R^2_L(z)$由Thurston-Bennequin数和HOMFLY-PT多项式决定.具体来说，我们恢复$R^2_L(z)$作为一个系数的HOMFLY-PT多项式的一个特定的专业化。此外，我们表明，这种专业化可以解释为标准的内积的对称函数的代数，往往是确定的某个子代数的HOMFLY-PT绞模的固体环面。在对比的$2$ -分级的情况下，我们能够使用$0$ -分级统治多项式来区分许多同伦非平凡的Legendrian链接相同的经典不变量。
A Legendrian Thurston-Bennequin bound from Khovanov homology
我们建立了一个上界的Thurston-Bennequin数的Legendrian链接使用的Khovanov同源的基础拓扑链接。这个界限是尖锐的，特别是对所有交替的链接，并与九个或更少的交叉结。
On the Support Genus of Legendrian Knots
在本文中，我们表明，任何拓扑结或链接在$S^1 \times S^2$坐在一个平面页的开卷分解，其monodromy是一个产品的积极德恩扭曲。因此，$S^1 \times S^2$中的任何结或链接类型都具有支持亏格为零的Legendrian代表。我们还表明，在透镜空间$L(p,1)$中的一些结和链接，这持有。
Lagrangian fillings for Legendrian links of affine type
我们证明，至少有许多确切的嵌入拉格朗日填充作为种子的勒让德链接的仿射型$\tilde{\mathsf{D}} \tilde{\mathsf{E}}$。我们还提供了与$\tilde{\mathsf{B}}_n$、$\tilde{\mathsf{F}}_4$、$\tilde{\mathsf{G}}_2$和$\mathsf{E}_6^{(2)}$类型的种子一样多的具有某些对称性的拉格朗日填充。这些家族是第一个已知的勒让德链接，具有无限多的填充物，耗尽了相应簇结构中的所有种子。此外，我们表明，Legendrian实现的Coxeter突变类型$\tilde{\mathsf{D}}$对应的Legendrian循环所考虑的Casals和Ng。
Lagrangian fillings for Legendrian links of finite type
证明了$\mathsf{ADE}$型Legendrian环至少存在种子点和许多精确的嵌入拉格朗日填充.我们还提供了种子许多拉格朗日填充与某些对称性的类型$\mathsf{BCFG}$。我们的主要工具是$N$ -图和有限型种子模式的组合学.
Motion groups, Legendrian links, and non-trivial loops of embeddings
该研究定义了接触3-流形中勒让德链的勒让德运动群，证明其同构于未参数化勒让德嵌入空间的基本群，还刻画了标准接触3-球面中勒让德纽结的运动，并在附录中对比了相关光滑情形技术与达姆同态。
Legendrian links and déjà vu moments
本文提出似曾相识勒让德链环的概念，刻画分量可由正勒让德同痕连接但同痕不可嵌入的情形，并在多种几何背景中构造实例并研究其基本性质。
Conjectures about virtual Legendrian knots and links
本文提出并部分证明了关于virtual Legendrian knots的猜想，包括其与普通Legendrian knots的关系、与广义时空因果性的关联，并在2维M和(2+1)维时空中证明了这些猜想及Arnold的4尖点猜想版本。
Contact homology and one parameter families of Legendrian knots
我们考虑标准接触R^3中的勒让德纽结的S^1-族。我们定义这样的循环，这是一个自同构的Chekanov-Eliashberg接触同调的开始（和结束）点的单值。证明了这种单值性是循环的一个同伦不变量。我们还建立了技术来解决的问题Reidemeister移动拉格朗日投影的Legendrian链接。作为应用，我们给出了一个右手勒让德环面纽结环，它在勒让德纽结空间Leg（S^1，R^3）中是不可收缩的，但在光滑纽结空间Emb（S^1，R^3）中是可收缩的.对于这个结果，我们还计算接触的同源性，我们称之为Legendrian封闭的一个积极的辫子，并构建一个扩增每个这样的链接图。
An L-infinity structure for Legendrian contact homology
本文为三维空间中的 Legendre 纽结或链环构造了扩展 Chekanov-Eliashberg 微分分次代数的 L-无穷代数，并由此在交换 Legendre 接触同调上建立 Poisson 括号，证明其是合痕不变量。
Singular Legendrian unknot links and relative Ginzburg algebras
本文通过构造与箭图及子箭图相关的带停止Weinstein流形，证明其奇异勒让德平凡结链的Chekanov--Eliashberg dg-代数与相对Ginzburg代数拟同构，并由此推出两者具有强相对光滑Calabi--Yau结构。
Derivative links in contact topology
本文把R-链环和导数链环理论引入接触拓扑，用于刻画Lagrangian与辛可切片性，并证明Thurston-Bennequin不变量为-1的Legendrian结的切片性等价于存在紧的横截或Legendrian R-链环导数。
The correspondence between augmentations and rulings for Legendrian knots
我们加强全纯和生成函数不变量的勒让德结之间的联系，通过建立一个公式有关的一些增广的结的接触同源完整的裁决不变的Chekanov和Pushkar。
Lagrangian cobordisms and Legendrian invariants in knot Floer homology
我们证明了在$\mathbb{R}^3$上标准切触结构的辛化中，纽结弗洛尔同调中Legendrian链的LOSS和GRID不变量相对于可分解的Lagrange协边以一定的函子方式表现.我们的研究结果给出了新的，可计算的，有效的障碍，这种协边的存在。
Braid-positive Legendrian links
任何作为正辫的闭包的链环都有一个自然的勒让德代表。这些在早期的论文中介绍过，其中也评估了它们的Chekanov-Eliashberg接触同源性。在本文中，我们重新措辞和改进的计算使用矩阵表示。特别是，我们提出了一种方法，找到所有的增广这样的Legendrians，构建一个增广，这也是一个裁决，并发现令人惊讶的联系，LU分解和Gröbner基地。
Vanishing of higher Legendrian homology for rainbow closures
该研究证明正辫子的彩虹闭包给出的勒让德链环，其高阶勒让德同调在任意股数、交叉数及积分、单基点情形下均消失。
Legendrian contact homology for attaching links in higher dimensional subcritical Weinstein manifolds
设$Λ$是亚临界$2n$维Weinstein流形$X$边界上Legendrian球面的一个环.证明了在一定的几何假设下，$Λ$的Legendrian接触同调的计算可以归结为1-jet空间中Legendrian接触同调的计算.由于1-jet空间中的Legendrian接触同调已经得到了很好的研究，本文给出了计算$Λ$的Legendrian接触同调的一种简化方法.我们限制的情况下，附着球的亚临界处理的$X$不相互作用，我们假设没有处理的索引$n-1$。此外，我们现在只考虑mod 2系数。更普遍的情况将在即将发表的文件中讨论。作为应用，我们计算了$\mathbb{CP}^2$的自由闭路空间的同调.
Simplified SFT moduli spaces for Legendrian links
本文研究了 Legendrian 链环上的简化 SFT 模空间，通过 Legendrian 同痕将链环转化为左右简单形式，从而使得 SFT 不变量可以通过组合方法计算。
Constructing Lagrangians from triple grid diagrams
本文通过三重网格图构造闭合拉格朗日面，并探讨其在阻挠拉格朗日填充中的应用。
Rulings of Legendrian knots as spanning surfaces
勒让德链环的每一条线都可以自然地被视为一个曲面。对于纽结，当且仅当曲面是可定向的时，规则是2阶的。对于均匀（特别是交替）结的2-分级规则，我们证明了这个表面的亏格是最多的亏格的结。虽然这在一般情况下是不正确的，我们证明了典型的属（a.k.a.图亏格）是它的2-阶规则的亏格的上界。
Arboreal singularities and loose Legendrians I
树奇异点是拉格朗日奇异点的一个重要类别。它们是圆锥形的，这意味着可以通过研究它们的联系来理解它们，这些联系是$S^{2n-1}_{\text{std}}$中的奇异勒让德空间。松勒让德空间是一类满足$h$ -原理的勒让德空间，这意味着它们的几何分类与它们的拓扑型是双射对应的。对于特殊情况下的线性树奇异性，我们表明，构造层足以检测是否有任何闭集的树链接是松散的。
Augmentations, Fillings, and Clusters
该研究用弗洛尔理论证明正辫子勒让德链环的增广簇是簇K2簇，其大量正合拉格朗日填充对应簇种子，还解决了非ADE型正辫子勒让德链环的无限填充问题。
Legendrian links, causality, and the Low conjecture
设$(X^{m+1}, g)$是一个整体双曲时空，其柯西曲面与$\mathbb R^m$的开子集同构。由Natário和Tod提出的Legendrian Low猜想认为，两个事件$x,y\inß$是因果相关的，当且仅当球$\mathfrak S_x, \mathfrak S_y$的Legendrian链接在$X$中所有轻测地线的接触流形中是非平凡的，其中球的点是穿过$x$和$y$的轻测地线。Low猜想说，对于$m=2$，事件$x,y$是因果相关的当且仅当$\mathfrak S_x, \mathfrak S_y$作为拓扑链路是非平凡的。我们证明了Low和Legendrian Low定理。我们还证明了对于任何全局双曲型$(X^{m+1}, g)$，如果其Cauchy曲面的覆盖是闭纯的，则类似的陈述也成立于$\mathbb R^m.$中的开域
Lagrangian fillings for Legendrian links of finite or affine Dynkin type
该研究针对有限型$\mathsf{ADE}$与仿射型$\tilde{\mathsf{D}} \tilde{\mathsf{E}}$的Legendrian链，证明其精确嵌入拉格朗日填充数量不少于种子数，还给出多类对称填充，并揭示Coxeter突变的图实现与Legendrian环的对应关系。
Legendrian loops and cluster modular groups
本文研究 Legendrian 环在精确 Lagrangian 填充上的作用，将其识别为簇模群生成元，证明了正辫闭包（含正环面链环）上忠实群作用的存在性，并借助簇自同构分类提供了证明无限阶的新工具。
Lagrangian Skeleta and Plane Curve Singularities
我们构造了孤立平面曲线奇点连杆的闭树拉格朗日方程。这产生了封闭的树型拉格朗日方程的Weinstein对和Weinstein 4-流形与代数链接的max-tb Legendrian代表。我们提供了计算的Legendrian和Weinstein不变量，并讨论了辛拓扑性质的Fomin-Pylyavskyy-Shustin-Thurston集群代数与一个奇点。最后，我们给出了某些Legendrian链的Lagrange填充的一个代数ADE分类，并列出了一些相关的问题。
Cluster varieties from Legendrian knots
许多有趣的空间-包括所有的positroid地层和野生字符品种-是模的可构造层表面上的微支持勒让德链接。我们表明，这些空间上的集群结构的存在可能会推导出一个统一的，系统的方式，通过构建和采取层量子化的一组确切的拉格朗日填充对应的同位素代表，其前投影有交叉交替的方向。因此，簇代数的结果可以用来构造和区分标准接触三空间中勒让德链的精确拉格朗日填充。
The worldsheet skein D-module and basic curves on Lagrangian fillings of the Hopf link conormal
该研究定义了世界面skein模及对应D-模，以Hopf链环Legendrian余法向为例，证明其skein D-模由三个算子多项式生成，且拉格朗日填充的skein值配分函数可由少量基本全纯曲线生成。
Infinitely many Lagrangian fillings
证明了标准切触3-球中除（2，m），（3，3），（3，4）和（3，5）外的所有极大tb勒让德环面链（n，m）在标准辛4-球中允许无穷多拉格朗日填充.这是证明通过构建无限阶拉格朗日协调诱导的模群PSL（2，Z）和映射类群M（0，4）的忠实行动到坐标环的代数簇相关联的勒让德环节。我们的结果意味着存在具有指数增长子群的拉格朗日协调幺半群，并且产生Stein曲面同伦于具有无穷多个不同的高亏格的精确拉格朗日曲面的2-球面.我们还表明，存在无限多的卫星和双曲结与勒让德代表承认无限多的确切拉格朗日填充。
Microlocal Theory of Legendrian Links and Cluster Algebras
本文通过微局部平行输运和辛拓扑方法，为网格plabic图相关的模栈构造了簇结构，并引入新概念证明了簇对偶性。
On transverse Hopf links
我们根据分支的自环绕数将标准切触三维空间中的横向Hopf环分类到横向合痕。
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