Rough Functional Itô Formula
Franziska Bielert
本文证明了适用于$α$-Hölder连续路径的路径依赖泛函的粗糙Itô公式，核心方法结合了sewing引理与路径依赖导数的Taylor逼近。
我们证明了适用于$α\in(0,1)$的$α$-Hölder连续路径的路径依赖泛函的粗糙Itô公式。该方法结合了sewing引理和基于路径依赖导数的Taylor逼近。
We prove a rough Itô formula for path-dependent functionals of $α$-Hölder continuous paths for $α\in(0,1)$. Our approach combines the sewing lemma and a Taylor approximation in terms of path-dependent derivatives.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Non-degeneracy of Wiener functionals arising from rough differential equations
Malliavin演算是关于Wiener空间上泛函的Sobolev型正则性的，主要的例子是通过求解随机微分方程得到的Ito映射。粗糙路径分析是关于（可能是随机的）微分方程解的强正则性的。我们结合这两个理论的参数和讨论的存在性密度的解随机微分方程驱动的一般类的非退化高斯过程，包括样本路径的规律性比布朗运动。
Additive functionals as rough paths
我们考虑添加剂泛函平稳马尔可夫过程，并表明，在Kipnis-Varadhan型条件下，他们收敛于粗糙路径拓扑的Stratonovich布朗运动，与校正的Levy面积，可以描述的不对称性（不可逆性）的基本马尔可夫过程。我们将这个抽象的结果应用到三个模型问题：首先，我们研究了退火定律下具有随机电导的随机游动。如果我们考虑伊藤粗糙路径，那么我们会看到迭代积分的修正，即使潜在的马尔可夫过程是可逆的。如果我们考虑Stratonovich粗糙的路径，那么就没有校正。第二个例子是不可逆的Ornstein-Uhlenbeck过程，而最后一个例子是周期环境中的扩散。作为一个技术步骤，我们证明了随机积分关于鞅的p-变差的一个估计，它可以看作是Friz等人关于局部鞅粗糙路径的Burkholder-Davis-Gundy不等式到只有积分是局部鞅的情形的一个推广.
Functional quantization of rough volatility and applications to volatility derivatives
本研究提出粗糙波动率的乘积泛函量化方法，其量化器可离线计算，在粗糙波动率数值工具领域具备竞争力，且在粗糙Bergomi模型的VIX期货定价上与现有基准方法表现相当。
Rough functional quantization and the support of McKean-Vlasov equations
我们证明了McKean Vlasov方程的支持的表示。为此，我们构造函数量子化的法律布朗运动作为一种措施，在（非自反）巴拿赫空间的Hölder连续路径。通过求解最优Karhunen-Loève展开式和利用Gauss测度的紧嵌入，得到了一个确定的有限支撑测度序列，该序列收敛于具有显速率的布朗运动的律.我们表明，近似序列是接近最优的非常有利的可积性，并证明这些近似仍然是真实的路径时，增强粗糙路径。这些结果是独立的利益。函数量子化的结果，然后产生一种新的方式来建立确定性的，有限支持的措施，近似的法律的McKean Vlasov方程驱动的布朗运动，关键是避免使用随机的经验分布。然后，这些被用来解决一个近似的骨架过程，其特征在于支持的McKean Vlasov方程。我们给出了确定性有限支持措施的粗路径Hölder度量和确定的粒子系统的大小，以准确地估计法律的McKean Vlasov方程相对于Hölder规范的收敛速度。
An Itô-Wentzell formula for rough paths
本文给出了适用于具有$α$ -Hölder正则性$α\in (\frac{1}{3},\frac{1}{2}]$的粗糙路径的Itô-Wentzell型公式.改进了R. Castquini和P. Catuogno的Young积分和C.凯勒和J.张的崎岖之路。
General Rough integration, Levy Rough paths and a Levy--Kintchine type formula
我们考虑带跳跃的粗糙路径。特别地，在跳跃环境下建立了Lyons延拓定理和粗糙积分的类比，为随机积分的cadlag过程提供了一种途径性的观点.利用李群值Levy过程的Hunt框架，引入了一类Levy粗路，并刻画了其左不变扩散向量场上的次椭圆性条件和群上的Carnot-Caratheodory范数关于Levy测度的可积性. Levy粗路径的例子包括由D. Williams，磁场中的纯区域泊松过程和布朗运动。给出了期望签名的一个显式公式。
Spatial asymptotics for the Feynman-Kac formulas driven by time-dependent and space-fractional rough Gaussian fields with the measure-valued initial data
本文研究了具有高斯场的连续抛物型Anderson模型，其初始条件为测度值，其协方差在时间上是非齐次的，在空间上是分数粗糙的。本文主要研究Stratonovich意义下的Feynman-Kac公式的空间行为。利用基于布朗桥的Feynman-Kac公式，可以在较宽的条件下得到精确的空间渐近性。
Itô formula for reduced rough paths
本文在粗糙路径理论框架下推广约化粗糙路径的 Itô 公式，将适用粗糙度范围扩展至更奇异的 $\frac{1}{4}<α\leq\frac{1}{3}$。
A Rough Functional Breuer-Major Theorem
本文将功能性布雷尔-马约尔定理扩展到粗糙路径空间，通过定制的Slutsky引理和组合分析，证明了有限维分布的收敛性及修正项的计算。
Quasi-geometric rough paths and rough change of variable formula
本文借助 Hopf 代数与拟洗牌代数定义拟几何粗糙路径，联系迭代 Brown 积分和简单括号扩张，并建立任意 Hölder 连续路径上的粗糙变量替换公式。
A Stratonovich-Skorohod integral formula for Gaussian rough paths
给定高斯过程$X$及其正则几何粗路径提升$\mathbf{X}$，以及粗微分方程（RDE）$\mathrm{d}Y_{t} = V\left (Y_{t}\right ) \circ \mathrm{d} \mathbf{X}_t$的解$Y$，给出了$\int Y \circ \mathrm{d} \mathbf{X} - \int Y \, \mathrm{d} X$的封闭形式修正公式，即$Y$关于$X$的粗积分与Skorohod积分之差.当$X$是标准布朗运动时，我们恢复了经典的Stratonovich-to-It{}转换公式，并将其推广到具有有限$p$ -变差的高斯粗糙路径，$p < 3$，并满足一个附加的自然条件.这包括许多熟悉的例子，包括分数布朗运动与$H > \frac{1}{3}$。为了证明公式，我们首先表明，Riemann和逼近的Skorohod积分收敛在$L^2(Ω)$通过使用一个新的特征的Cameron-Martin范数的高维Young-Stieltjes积分。其次，在不改变极限的情况下，对Skorohod积分的逼近式附加适当的补偿项，重新平衡各项后得到公式。
A stochastic Taylor-like expansion in the rough path theory
本文在粗糙路理论的背景下，建立了一类以小参数为指标的It ^{o}映射的Taylor展开式.我们不仅处理了粗糙度$p$满足$[p]=2$的情况，而且还处理了$[p] ge 3$满足$[p]=2$的情况。作为应用，我们讨论了布朗粗糙路的It^{o}泛函的Laplace渐近性.
Differential Structure and Flow equations on Rough Path Space
本文在巴拿赫空间V（2<p<3）上引入了弱几何p粗路空间的一个微分结构。我们首先考虑一个自然家庭的光滑粗糙的道路和微分截断张量系列。得到的对象有一个明确的解释，即使是非光滑的粗糙路径，我们采取的切空间的一个元素。我们可以将它唯一地关联到一个等价曲线类，等价由我们的微分结构定义。因此，对于粗糙道路空间上的泛函，我们可以定义切线方向上的导数，类似于定义维纳空间上泛函的Cameron-Martin方向上的导数。我们的切空间比Cameron-Martin空间包含更多的方向，并且我们不要求Wiener测度的拟不变性。此外，我们还局部（整体）求解了一类满足局部（整体）Lipshitz型条件的向量场的相关流方程。
Functional Limit Theorems for Volterra Processes and Applications to Homogenization
在粗路拓扑下证明了多维Volterra过程$(y_t)_{t\geq 0}$的可加泛函的一个增强极限定理.作为应用，我们建立了随机常微分方程（ODE）解的弱收敛$\frac{d}{dt}x^\varepsilon_t=\frac{1}{\sqrt \varepsilon} f(x_t^\varepsilon,y_{\frac{t}{\varepsilon}})$，并证明了其极限解为高斯场驱动的粗糙微分方程，其漂移来自极限粗糙驱动的Lévy面积修正.进一步证明了该随机常微分方程的随机流收敛于Kunita型Itôtai方程的随机流$dx_t=G(x_t,dt)$，其中$G(x,t)$是带空间参数的半鞅.
Sensitivity Analysis with respect to a Stock Price Model with Rough Volatility via a Bismut-Elworthy-Li Formula for Singular SDEs
在本文中，我们证明了由Hurst参数H<1/2的分数阶布朗运动和奇异无界漂移向量场驱动的微分方程的唯一Malliavin可微解的存在性，并证明了其稳定性结果.此外，使用后者的结果，我们提出了一个股票价格模型与粗糙和相关的波动率，这也允许捕捉政权切换效应。最后，我们还得到了一个Bismut-Elworthy-Li公式关于我们的股票价格模型的某些类别的向量场。
Functional differential equations driven by càdlàg rough paths
本文针对由 càdlàg 粗糙路径驱动的路径依赖粗糙微分方程，建立了解的存在唯一性及 Itô-Lyons 映射的局部 Lipschitz 连续性，并将结果应用于受控、带延迟的 RDEs 等，还构造了对应 Itô 积分的联合粗糙路径。
The relation between mixed and rough SDEs and its application to numerical methods
研究了由标准布朗运动和分数布朗运动驱动的混合随机微分方程与相应的粗糙路径方程之间的关系，其中分数布朗运动具有Hurst参数$H>1/2$ .我们建立了一个修正公式，它涉及两种类型的方程，类似于伊藤-Stratonovich修正公式。这个修正公式允许将为一种类型的方程建立的性质转移到另一种类型的方程，我们将通过考虑混合和粗糙SDES的数值方法来说明这一点
Functional Itô-formula and Taylor expansions for non-anticipative maps of càdlàg rough paths
本文利用 càdlàg 粗糙路径签名逼近性质建立泛函 Itô 公式，并通过 Marcus 变换处理跳跃扰动，进而得到非预期映射的泛函 Taylor 展开，推广了 Dupire 等人的近期结果。
Functional central limit theorems for rough volatility
本文针对粗糙波动率过程提出基于粗糙Donsker定理的高效模拟算法，证明离散近似的弱收敛性，并构建二叉树以定价提前行权期权。
Tail estimates for Markovian rough paths
我们在与一类一致次椭圆Dirichlet型[25]相关联的马尔可夫粗糙路径的背景下工作，并证明了模拟局部p-变差泛函的优于指数的尾估计，该估计已在[17]中引入并研究。我们评论这些估计的重要性，目前正在研究的问题，包括最近的结果Chevyrev和里昂在[18]。
Itô formula for planarly branched rough paths
本文针对包含更多随机过程的平面分支粗糙路径，证明了粗糙度$\frac{1}{4}< α\leq \frac{1}{2}$条件下的Itô公式，扩展了粗糙路径理论。
A Stratonovich-Skorohod integral formula for Volterra Gaussian rough paths
给定粗糙微分方程（RDE）的解$Y$，最近的一个结果[8]扩展了经典的Itö-Stratonovich公式，并给出了$\int Y \circ \mathrm{d} \mathbf{X} - \int Y \, \mathrm{d} X$的封闭形式表达式，即$Y$关于$X$的粗糙积分和Skorohod积分之差，其中$X$是具有有限$p$ -变差小于3的高斯过程。本文将这一结果推广到具有有限$p$ -变差的高斯过程，使得$3 \leq p < 4$ .这一次的约束是，我们将自己限制为具有满足自然条件的内核的Volterra高斯过程，然而，这仍然允许结果包含许多标准示例，包括具有$H > \frac{1}{4}$的分数布朗运动。类似于[8]，我们首先通过采用Cameron-Martin范数的适当特征证明了Skorohod积分的Riemann和逼近在$L^2(Ω)$中收敛，然后在不改变极限的情况下将逼近附加上更高级别的补偿项。最后，公式得到后，重新平衡的条款，我们还展示了如何恢复标准的Itö公式的情况下，RDE的向量场的$Y$是可交换的。
Functional Scaling Limits of Interpolated Correlated Random Walks in Hölder Topology
研究插值随机游走的函数缩放极限，其中增量是平稳高斯序列的函数，通过将Dobrushin-Major-Taqqu定理和Breuer-Major定理的收敛性加强到Hölder拓扑（可和情形下为粗糙Hölder拓扑），使得Young积分和微分方程解映射等路径操作在该拓扑下连续。
A priori estimates for rough PDEs with application to rough conservation laws
我们引入了一个一般的弱制定的粗糙路径驱动的偏微分方程，以及一个新的策略来证明适定性。我们的程序是基于基本的先验估计（粗糙）Gronwall型参数的组合。特别地，该方法不依赖于任何种类的变换公式（流变换、Feynman-Kac表示公式等）。因此相当灵活。作为应用，我们研究了粗糙路径驱动下的守恒律，建立了相应动力学方程的适定性。
Controlled fields, rough stochastic calculus, and Itô-Wentzell-Alekseev-Gröbner identities
本文提出了一种用于粗糙随机系统的时空受控场微积分，推导了粗糙随机伊藤-文兹尔公式，并基于前人工作建立了相关恒等式。
Rough invariance principle for delayed regenerative processes
在最优矩条件下，导出了时滞再生增量随机过程提升到粗路拓扑的不变原理。一个有趣的功能的结果是出现的面积异常，在第二个层次的限制粗糙路径，这是确定为再生间隔的平均随机面积的校正项。一些应用包括随机环境中的随机游动和常返马尔可夫链的可加泛函。结果是制定在p-变化的设置，其中一个粗糙的Donsker定理是在二阶矩条件下。应用密钥更新定理得到了最优矩条件。
Chaos processes as rough paths
本文研究了生活在固定Wiener混沌中的过程$X_t$的粗糙路径结构。具体来说，我们制定了各种类型的粗电梯的$X_t$和研究他们的属性。作为应用，我们研究了由$X_t$驱动的粗糙微分方程的相关量的可积性。
A Bismut-Elworthy-Li Formula for Singular SDE's Driven by a Fractional Brownian Motion and Applications to Rough Volatility Modeling
本文给出了由具有Hurst参数$H<1/2$的多维分数阶布朗运动给出的带加性噪声的奇异随机微分方程强解的Bismut-Elworthy-Li型公式.这里的“奇异”意味着允许这样的方程的漂移向量场仅仅是有界的和可积的。作为应用，我们使用这个表示公式的研究的价格敏感性的金融债权的股票价格模型的基础上的随机波动率，其动力学是通过分数布朗运动驱动的布朗运动。我们获得这些结果的方法是基于Malliavin演算和参数最近开发的“当地时间变分演算”。
Functional limit theorems for the fractional Ornstein-Uhlenbeck process
证明了分数阶Ornstein-Uhlenbeck过程的向量值泛函的一个泛函极限定理，为由这种噪声驱动的慢/快系统的涨落理论提供了基础.我们的主要贡献是联合收敛到一个极限与高斯和非高斯分量。这对任何$L^2$函数都是有效的，而对于具有更强可积性的函数，在霍德尔拓扑中收敛是成立的。作为应用，我们证明了一个“粗糙创造”的结果，即一族随机平滑曲线弱收敛到一个具有粗糙样本路径的非马尔可夫随机过程。这包括二阶问题和动力学分数布朗运动模型。
Universal approximation on non-geometric rough paths and applications to financial derivatives pricing
本文提出了一种基于多项式的粗糙路径逼近方法，用于金融衍生品定价中的无套利条件分析。
Continuity of the Ito-Map for Hoelder rough paths with applications to the support theorem in Hoelder norm
Lyons的粗糙路径理论目前是在p-变分拓扑中形成的。我们推广他的主要结果，通用极限定理，一个更强的Hoelder拓扑。研究了布朗粗糙路的几种近似。作为我们方法的应用，我们得到著名的支撑定理（Hoelder拓扑）作为直接（！）必然的结果
Universal approximation with signatures of non-geometric rough paths
本文提出通过扩展路径与二次变分项的签名，实现非几何粗糙路径的通用逼近，并应用于金融模型校准与期权定价。
On a rough perturbation of the Navier-Stokes system and its vorticity formulation
我们介绍了一个粗糙的扰动的Navier-Stokes系统，并证明其物理相关性的动量平衡和守恒的流通在无粘极限。我们提出了一个框架的适定性分析系统。特别是，我们定义了一个内在的概念的解决方案的基础上的想法从粗糙路径理论和研究系统的等效涡制定。在二维空间中，我们证明了适定性和拟能平衡成立。此外，我们推导出粗糙路径连续的方程，这产生了一个Wong-Zakai结果的布朗驱动路径，并表明，对于一个大类的驱动信号，该系统产生一个连续的随机动力系统。在第三个维度，噪声不是拟能平衡的，我们建立了当地的时间解决方案的存在性。
Pathwise Itô Calculus for Rough Paths and Rough PDEs with Path Dependent Coefficients
本文介绍了路径导数，在Dupire的功能伊藤演算的精神，为控制路径的粗糙路径理论与可能的非几何粗糙路径。该理论允许我们以与标准随机分析相同的方式处理粗糙积分和粗糙偏微分方程。接下来，我们研究粗糙偏微分方程的系数取决于粗糙路径本身，这对应于随机偏微分方程的随机系数。这种系数在时间变量上不太规则，在现有文献中没有涉及。所得结果对研究随机偏微分方程的黏性解是有用的。
Solving rough differential equations with the theory of regularity structures
本文的目的是利用正则结构理论求解粗糙微分方程。这些新的工具，最近开发的Martin Hairer为解决半线性偏微分随机方程的启发，粗糙路径理论。我们采取教学方法，以促进对这一新理论的理解。我们恢复粗糙路径理论的结果与规则性结构的框架。因此，我们展示了如何制定一个不动点问题的抽象空间中的建模分布来解决粗糙的微分方程。利用正则结构理论证明了粗糙路径提升的存在性。
New asymptotic expansion formula via Malliavin calculus and its application to rough differential equation driven by fractional Brownian motion
本文提出了一种基于Malliavin变分法的多维Wiener泛函期望新型渐近展开公式，在较弱条件下证明了一致估计，并应用于分数布朗运动驱动的粗糙微分方程，数值实验验证了其优于正态近似的有效性。
Transportation-cost inequalities for non-linear Gaussian functionals
本文针对度量空间上非线性高斯泛函的定律，证明了广义运输成本不等式，适用于非高斯尾部测度，并扩展了粗糙波动率和二维抛物型安德森模型等情形。
Optimal extension to Sobolev rough paths
该研究证明满足α>1/p>0的Sobolev路径可提升为Lyons意义下的Sobolev粗糙路径，且存在关于严格凸泛函的唯一最优提升，给出了最小范数提升与布朗运动Stratonovich提升的实例，并提及Besov空间推广。
Variational principles for fluid dynamics on rough paths
在本文中，我们介绍了一个新的框架参数化计划（PS）的GFD。利用受控粗糙路径理论，导出一类粗糙地球流体动力学（RGFD）模型作为粗糙作用泛函的临界点。这些RGFD模型将流体动力学中的拉格朗日轨迹描述为非纯映射流形上的几何粗糙路径（GRP）。三个约束变分方法制定这些模型的推导。第一种是Clebsch公式，其中的约束是粗糙的平流法。第二种是Hamilton-Pontryagin公式，其中的约束是作为右不变的粗糙向量场。第三种是欧拉-庞加莱公式，其中的变化受到约束。这些变分原理直接导致几何粗糙路径上的流体动力学的Lie-Poisson哈密顿公式。GRP框架保留了通过使用李群约化从拉格朗日到欧拉变分原理获得的流体动力学的几何结构，从而产生开尔文环流定理的粗略公式。粗糙路径变分方法包括拉格朗日流体轨迹的非马尔可夫扰动。特别地，记忆效应可以通过该公式通过对粗糙路径的明智选择（例如，分数布朗运动的实现）来引入。在粗糙路径是半鞅实现的特殊情况下，我们恢复了Holm（2015）中的SGFD模型。然而，通过消除对随机变分工具的需要，我们保留了拉格朗日轨迹的路径解释。相比之下，随机框架中的拉格朗日轨迹所描述的随机积分，没有一个路径的解释。因此，粗糙路径公式恢复了这一属性。
The geometry of the space of branched Rough Paths
我们构造了Hölder函数的巴拿赫空间在分支粗糙路空间上的一个显式传递自由作用，特别地，它给出了这两个空间之间的一个双射.这赋予空间的分支粗糙路径的结构的主齐性空间在巴拿赫空间，并允许其自同构的特点。该构造基于Baker-Campbell-Hausdorff公式、Lyons-Victoir延拓定理的构造性版本和Hairer-Kelly映射，该映射允许用各向异性几何粗糙路径来描述分支粗糙路径。
On Itô-Stratonovich formula for rough sheets
提出简化平面粗糙微积分的新策略，通过基本泰勒展开减少迭代积分，在非对称 Hölder 正则性下推广经典平面变量变换公式。
Geometric decomposition of flows generated by rough path differential equations
当Itô-Wentsel类型的公式对某个微分动力学的流的合成成立时，根据互补分布（或叶理，在这些分布可积的情况下），存在相应流的局部分解。在不同的动力学背景下已经证明了许多例子：Stratonovich随机方程，Lévy驱动噪声，低正则性$α$ -Hölder控制函数（$ α\in (1/2,1]$），参见例如[6]，[7]，[20]，[21]。在这里，我们提出了这个范畴性质的证明：我们用$α$ -Hölder粗糙路径来说明，$α\in (1/3, 1/2]$使用Itô-Wentsel公式在[5]中证明了这一点。然而，与以前的方法不同，这里不是使用流形上的内在粗糙路径演算，而是将流形嵌入欧几里得空间中。当我们有多个低维方向跨越整个空间时，也显示了级联分解。作为应用，线性的情况下，详细处理：级联分解提供了一个行分解的所有矩阵，允许实对数。
Wall laws for viscous flows in 3D randomly rough pipes: optimal convergence rates and stochastic integrability
本文研究了三维随机粗糙管道中粘性层流的壁面律与有效近似，将二维通道流的结果推广至John型随机边界三维管道流，建立了最优收敛速率与改进的随机可积性，并证明了精化版的Poiseuille定律。
Ballistic random walks in random environment as rough paths: convergence and area anomaly
对于随机环境中的标准弹道随机游动类，证明了粗糙路拓扑下的退火泛函CLT。此外，“面积异常”，即一个确定性的线性校正的第二级迭代积分的重标度路径，被确定在再生间隔上的随机面积。主要定理制定在更一般的设置，即任何离散过程的一致有界增量，其中承认再生结构的再生时间有有限的时刻。在这里，最大的有限矩转化为粗糙路径拓扑的规则度。特别地，当所有的矩都是有限的时，在$α<1/2$-Hölder粗路拓扑中收敛成立，这是随机环境中的弹道随机游动类的情况.后者可以比较特殊的一类随机游动在狄利克雷环境的规律性$α<1/2$有界远离$1/2$，明确地在相应的陷阱参数。
Decomposition formula for rough Volterra stochastic volatility models
本文的研究为一类粗糙分数随机波动率模型提供了一种可供选择的期权定价方法。由于这些模型与金融市场惊人的一致性，它们在学术界和从业者中越来越受欢迎。然而，它们也带来了一些挑战。最值得注意的是，即使是简单的非线性金融衍生品，如香草欧式期权，通常也是通过蒙特卡罗（MC）模拟来定价的，这比标准随机波动率模型的类似MC方案的计算要求更高。本文证明了一般Gaussian Volterra过程的预测律。预测法，然后利用获得一个适应的预测未来平方波动率-建议的定价近似的基石。首先给出了一般Volterra波动率模型下欧式期权价格的分解公式。然后，我们专注于粗糙分数波动率的特定模型，我们推导出一个显式的半封闭近似公式。一个流行的模型-的rBergomi模型-的近似的数值特性进行了研究，我们提出了一个混合校准方案，它结合了近似公式与MC模拟。如一组AAPL选项所示，该方案可以显著加快对金融市场的校准。
Physical Brownian motion in magnetic field as rough path
均匀化Ornstein-Uhlenbeck过程的不定积分是物理布朗运动的一个著名模型，它模拟了受随机脉冲影响的物体的行为[L. S. Ornstein，G. E.乌伦贝克：关于布朗运动的理论。上一篇：Physical Review 36，1930，823-841]。人们可以通过改变粒子的质量来缩放这些模型，并且在小的质量极限下，几乎可以一致收敛性于数学布朗运动的标准理想化模型。这提供了实现维纳过程的一种公知方式。然而，这个结果是不太强大的，因为它会出现和重要的通用泛函的轨迹的物理布朗运动不一定收敛到相同的泛函的布朗运动时，采取小质量限制。在磁场的存在下，与物理过程相关的面积过程收敛，但不收敛到莱维的随机面积。由于这一区域一般是在粒子通过力场以非线性方式相互作用的环境中感受到的，因此这一评论具有物理意义，并表明经典布朗运动及其常用的随机分析不是极限行为的适当模型。我们明确地计算面积修正项，并建立在小质量极限下，物理布朗运动在粗糙路径意义下的收敛性。带电粒子在磁场中运动的小质量极限是布朗运动的一种分布上的、容易计算的、但“非正则”的粗糙路径提升。将具有小质量的带电布朗粒子的轨迹视为粗略的路径是信息性的，并且允许人们保留如果仅将其视为经典轨迹则会丢失的信息。我们对这一观点的重要性发表评论。
Stochastic control with rough paths
研究了一类受控粗糙微分方程。证明了该值函数满足HJB型方程，并建立了庞特里亚金最大值原理的一种形式.这种类型的确定性问题出现在受控扩散过程的对偶理论中，通常涉及预测随机分析。我们提出了一个基于粗糙路的公式，然后得到了Roger对偶公式的推广[L。C. G.罗杰斯，2007]从离散到连续时间。我们还链接到[Davis--Burstein，1987]的旧工作。
Rough differential equations with path-dependent coefficients
研究了一类非期望系数的路径依赖粗糙微分方程解的存在性。正则性假设的系数制定的水平和垂直导数。
Rough weak solutions for singular Lévy SDEs
本文为含加性 α-稳定 Lévy 噪声的奇异 SDE 提出粗糙弱解概念，证明其与鞅解等价，建立相关粗糙随机缝合积分与广义 Itô 公式，并区分 Young 与粗糙情形下典范弱解的适定性。
Functional representation and functional calculus for controlled paths
本文建立非预期泛函演算与受控路径相容族间的联系，证明逆表示定理：相容高阶受控Taylor估计的系数族可表示为基泛函的迭代垂直导数，并应用于路径依赖粗糙微分方程的适定性。
Controlling Rough Paths
我们制定不定积分的不规则函数作为一个代数问题，并提供了一个标准的存在性和唯一性的解决方案。这使得我们可以定义一个关于Hoelder指数大于1/3的不规则路径（例如布朗运动的样本）的积分的好的概念，并研究由这种路径驱动的微分方程解的存在性、唯一性和连续性问题。我们恢复了Young的积分理论和Lyons的粗糙路理论在Hoelder拓扑中的主要结果。
Pathwise integration and change of variable formulas for continuous paths with arbitrary regularity
我们构建了一个路径积分理论，与一个变量变换公式，光滑泛函的连续路径与任意的规则性定义的概念，$p$次变化沿一系列的时间分区。对于有限$p$次变差的路径，我们导出了$p$次连续可微函数的变量变换公式，并证明了适当定义的补偿Riemann和的逐点收敛性.函数的结果被扩展到经常的路径依赖泛函使用的概念，一个功能的垂直导数。我们表明，路径积分满足“等距”公式在$p$ -th阶变化，并获得一个“信号加噪声”的分解，严格增加$p$ -th变化的路径的正规泛函。对于不太经常（$C^{p-1}$）的功能，我们得到了Tanaka型变量变量变换公式使用适当定义的本地时间的概念。这些结果扩展到多维路径，并产生一个自然的高阶扩展的概念，减少粗糙路径。我们表明，虽然我们的积分符合一个粗糙的路径积分，一定的粗糙路径，它的建设是规范的，不涉及任何粗糙路径上层建筑的规格。
On Change of Variable Formulas for non-anticipative functionals
对于Chitashvili意义下可微的非预期泛函，证明了cadlag半鞅的Itô公式。不同概念的功能衍生物之间的关系建立。
Model-free Portfolio Theory: A Rough Path Approach
本研究基于粗糙路径提出无模型随机投资组合理论方法，可处理更通用投资组合，证明相关财富过程公式及多类投资组合渐近增长率一致性，给出粗糙积分新结果。
Constructing general rough differential equations through flow approximations
非线性缝纫引理从称为几乎流的一类近似中构造粗糙微分方程流。考虑一类几乎流，它可以近似为常微分方程的解，在向后误差分析的精神。展开式分析是代数与分析的结合，其核心是一个带余项的泰勒公式和一个复合公式。通过对待积分的非光滑向量场构造一个合适的代数结构，我们在一个框架内得到了几个关于各种驱动路径的高阶展开式的结果。我们还扩展了驱动粗糙路的概念，并引入了一类新的分支粗糙路，称为芳香粗糙路。
Signature Kernel and Schwinger-Dyson Kernel Equations as Two-Parameter Rough Differential Equations
本文提出双参数粗糙微分方程框架，研究签名核与施温-戴森核方程的性质，建立鲁棒的双参数粗糙积分理论，并推导数值方案及复杂度分析。
Quasilinear rough evolution equations
本文研究了巴拿赫空间中拟线性抛物型方程的抽象Cauchy问题，其形式为\( du_t -L_t(u_t)u_t dt = N_t(u_t)dt + F(u_t)\cdot d\mathbf X_t \)，其中\( \mathbf X\)是\( γ\in(1/3,1/2)\)的\( γ\)-Hölder粗路.我们探讨温和的配方，结合泛函分析技术和控制粗糙路径理论，需要这样的方程的局部适定性。我们应用我们的结果随机Landau-Lifshitz-Gilbert和Shigesada-Kawasaki-Teramoto方程。在这个框架下，我们得到了一个随机动力系统的Landau-Lifshitz-Gilbert方程。
Rough sheets
粗糙表是粗糙路径的双参数类似物。在这项工作中，理论的集成功能的两个参数扩展到涵盖的情况下，不规则的功能，通过开发一个适当的概念粗糙表。其主要应用是给出了平面随机积分的逐路构造，并得到了一个Stratonovich变量变换公式。
An Itô Formula for rough partial differential equations and some applications
我们研究了形式为$[0,T]\times\mathbb{R}^d.$的粗糙抛物方程解的存在性、唯一性和正则性。为此，我们引入了“微分粗糙驱动器”的概念，它与粗糙路径理论中通常的控制路径空间相对应，建立在Sobolev空间$W^{k,p}.$上。我们还定义了一个自然的几何性概念，并说明它与受控路径的乘积公式的关系。在运输噪声的情况下（即，当$Y=0$），我们使用这个框架来证明一个Itô公式（在链规则的意义上）的Nemytskii操作的形式$u\mapsto F(u),$，其中$F$是$C^2$和消失在原点。我们的方法是基于能量估计，和推广的Moser迭代参数，以证明有界的一个密集类的解决方案的抛物问题如上。特别是，我们避免使用流变换，直接在原始方程的水平上工作。我们还显示了相应的链式规则$F(u)=|u|^p$与$p\geq 2,$，但也当$Y\neq 0$和$p\geq 4.$作为这些结果的应用，我们证明了一个合适的一类$L^p$ -解的存在性和唯一性的抛物型方程的乘性噪声。另一个相关的发展是齐次Dirichlet边界问题的光滑区域，其中弱最大值原理示出适当的假设下的系数。
Global universal approximation with Brownian signatures
研究在合适粗糙路径空间上一般路径依赖和非预期泛函的\(L^p\)通用逼近定理，通过推导加权粗糙路径空间的全局通用逼近定理，证明其适用于高斯过程，可逼近布朗滤波适应的\(p\)可积随机过程。
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