Diophantine Equations Involving the Euler Totient Function
我们处理各种丢番图方程涉及欧拉函数和各种序列的数字，包括因子，权力，和斐波那契序列。
2020-05-07 math.NT
Infinite co-minimal pairs involving lacunary sequences and generalisations to higher dimensions
群或半群中的极小补的研究是由Nathanson发起的。的概念，最小的补充，并作为一个最小的补充导致的概念，共最小对这是考虑在以前的工作的作者。本文研究了整数群和高秩自由阿尔贝群中哪类子集可以成为余极小对的一部分。我们证明了大多数缺项序列都具有这种性质。从所建立的条件可以证明，任何一个可生成的阿贝尔群的无限子集都有不可数个子集是余极小对的一部分。此外，可以选择不可数集合，使它们满足某些代数性质。
2020-06-03 math.NT
Identities involving Frobenius-Euler polynomials arising from non-linear differential equations
本文考虑与Frobenius-欧拉多项式的母函数密切相关的非线性微分方程。本文从非线性微分方程出发，导出了Frobenius-欧拉多项式与高阶Frobenius-欧拉多项式乘积和之间的一些新的恒等式.
2012-01-24 math.NT
A congruence involving the quotients of Euler and its applications (III)
本文给出了整数模下的几个新的二项式系数同余式，它们是蔡\textit{et al.}（2002，2007）前两个工作的继续.
2016-04-02 math.NT
A finite sum involving generalized falling factorial polynomials and degenerate Eulerian polynomials
该文致力于研究两个问题.首先，我们研究了广义降阶乘多项式的有限和，在某些特殊情况下，我们用退化的第二类Stirling数、退化的伯努利多项式和退化的Frobenius-欧拉多项式来表示它。其次，我们考虑了退化的欧拉多项式，推导了它们的母函数和递推关系。
2021-12-21 math.NT
Explicit Formulas involving q-Euler Numbers and Polynomials
本文研究了q-欧拉数和q-Bernoulli数。利用q-欧拉数和多项式的母函数和导算子，导出了它们之间的一些有趣关系.同时，通过p-adic整数环上的p-adic q-积分，证明了q-欧拉数与q-Bernoulli数之间的关系.
2012-04-04 math.NT
Note on a sum involving the Euler function
证明了$$ \sum_{n \leq x} φ([x/n])\leq\bigg(\frac{1380}{4009}+\frac{2629}{4009}\cdot\frac1{ζ(2)}+o(1)\bigg)x\log x $$为$x\to\infty$，其中$φ$表示欧拉函数，$[x]$表示$x$的整数部分.
2018-10-22 math.NT
Note on sums involving the Euler function
本文给出了以下欧拉函数和的精确估计：$$\sum_{n\le x} ϕ\left(\left[\frac{x}{n}\right]\right) \qquad \text{and} \qquad \sum_{n\le x} \frac{ϕ([x/n])}{[x/n]}$$其中$[x]$表示实$x$的整数部分. Bordellès等人和Wu最近考虑了上述总结。
2018-12-11 math.NT
On the Lehmer's problem involving Euler's totient function
欧拉函数$ φ(n) $对与$ n $互质的正整数进行计数，直到给定整数$ n$。我们解决了一个问题，由于Lehmer，没有合数$ n $，使$ φ(n)\mid n-1 $。我们还注意到，有无穷多个素数不是苏菲·热尔曼素数。
2019-07-01 math.NT
On a sum involving the Euler function
我们得到合理的紧的上限和下界的总和$\sum_{n \leqslant x} φ\left( \left\lfloor{x/n}\right\rfloor\right)$，涉及欧拉函数$φ$和整数的倒数的整数部分$\left\lfloor{x/n}\right\rfloor$。
2018-10-15 math.NT
Some New Identities of Genocchi Numbers and Polynomials involving Bernoulli and Euler polynomials
本文给出了两个乘积Genocchi多项式与欧拉多项式和伯努利多项式的一些新公式。我们得到了Genocchi多项式的一些应用。我们的应用程序具有一些有趣的性质，我们在本文中表达的解析数论研究。
2013-02-07 math.NT
On Dirichlet Series Involving $ζ(s)$ and Extensions of the Euler-Mascheroni Constant
College of Engineering Nihon University（日本大学工程学院）
本文研究了涉及ζ(s)的狄利克雷级数及其扩展的欧拉-马歇罗尼常数，通过积分表示和特殊值表达，为评估相关级数提供了统一框架。
2026-02-16 math.NT
poly-Dedekind type DC sums involving poly-Euler functions
经典的Dedekind和出现在戴德金η函数的对数在模群替换下的变换行为中. Dedekind和及其推广是根据Bernoulli函数及其推广定义的，并证明满足一些互惠关系。相反，Dedekind型DC（Daehee和Changhee）和及其推广是根据欧拉函数及其推广定义的。本文的目的是引入poly-Dedekind型DC和，它是由Dedekind型DC和通过用任意指数的poly-Euler函数代替Euler函数而得到的，并证明这些和满足一个互反关系.
2020-12-01 math.NT
Diophantine equations involving Euler's totient function
本文研究了含有Euler函数$ϕ$和Lucas型序列的方程.特别地，我们证明了方程$ϕ(x^m-y^m)=x^n-y^n$除了平凡解$(x, y, m , n)=(a+1, a, 1, 1)$之外没有正整数解$x, y, m, n$，其中$a$是正整数，方程$ϕ((x^m-y^m)/(x-y))=(x^n-y^n)/(x-y)$除了平凡解$(x, y, m , n)=(a, b, 1, 1)$之外没有正整数解$x, y, m, n$，其中$a, b$是具有$a>b\ge 1$的整数.
2017-11-01 math.NT
Determination of some generalised Euler sums involving the digamma function
本文计算了涉及双Γ函数的广义Euler和.
2008-03-09 math.CA math.NT
A Generalisation of Ramanujan's (back of the envelope) Method for Divergent Series
拉马努金得出了著名的发散和整数在一个以上的方式。我们推广的非正式方法，特别是通过研究欧拉数的黎曼ζ函数的更高的权力。在加法组合学的背景下，提出了一种启发式方法，统一生成系列和差分矩阵。
2023-03-24 math.CO math.NT
Congruences related to Eulerian and Euler numbers
利用欧拉数和欧拉数，建立了调和数、正切数和Genocchi数的和的同余关系.
2021-11-19 math.NT
Euler matrices and their algebraic properties revisited
本文研究了广义欧拉多项式矩阵$\E^{(α)}(x)$和广义欧拉矩阵$\E$。利用欧拉多项式和数的一些性质，推导了$\E^{(α)}(x)$的乘积公式，并确定了$\E$的逆矩阵.给出了欧拉多项式矩阵$\E(x)$的显式表达式，分别涉及广义Pascal矩阵、广义Fibonacci矩阵和广义Lucas矩阵.从这些公式中我们得到了一些新的有趣的涉及Fibonacci数和Lucas数的恒等式。同时，我们给出了欧拉多项式矩阵的Stirling矩阵的分解，以及移位欧拉矩阵和Vandermonde矩阵之间的联系.
2018-11-04 math.NT
New identities involving Bernoulli and Euler polynomials
本文得到了Bernoulli和欧拉多项式的几个新恒等式，其中一些恒等式推广了Miki和Matiyasevich的恒等式.我们的新方法涉及多项式的差异和衍生物。
2004-08-05 math.CO math.NT
Diophantine equations involving Euler function
本文证明了方程$φ(|x^{m}-y^{m}|)=|x^{n}-y^{n}|$在整数$x,y,m,n$中没有非平凡解，除了解$xy\neq0, m>0, n>0$，其中$t$是整数，$t\geq 2.$。方程$φ(|\frac{x^{m}-y^{m}}{x-y}|)=|\frac{x^{n}-y^{n}}{x-y}|$在整数$x,y,m,n$中没有非平凡解，除了解$(x,y,m,n)=(a\pm1, -a, 1, 2), (a\pm i, -a, 2, 1),$，其中$a$是整数，$i=1,2.$
2020-01-22 math.NT
An Identity for Generalized Euler Polynomials
本文提出广义欧拉多项式的一个新恒等式，并借此推广了欧拉数、欧拉多项式、Genocchi多项式与Genocchi数之间的多类经典关系。
2024-02-26 math.NT
$L$-functions of degree $2$ and conductor $1$: underlying ideas and a generalisation
本文简述了扩展Selberg类中次数为2且导子为1的$L$-函数分类定理，提出了涉及两个Dirichlet级数的函数方程的新推广，并纠正了原证明的疏漏。
2025-03-04 math.NT
New identities involving Bernoulli and Euler polynomials. II
本文导出了Bernoulli多项式和欧拉多项式的几个对称恒等式，它们包含了一些已知的恒等式.我们的证明依赖于新的技术开发的第一部分，并在[欧洲J. Combin。24（2003），709- 718]。
2004-08-20 math.CO math.NT
Bernoulli-Dunkl and Apostol-Euler-Dunkl polynomials with applications to series involving zeros of Bessel functions
我们引入Bernoulli-Dunkl和Apostol-Euler-Dunkl多项式作为Bernoulli和Apostol-欧拉多项式的推广，其中导数的作用现在由Dunkl算子在实数线上发挥。我们用它们来求和一系列涉及贝塞尔函数零点的级数。
2016-08-24 math.CA math.NT
Rapidly Convergent Summation Formulas involving Stirling Series
本文给出一类快速收敛的解析函数有限和的求和公式。这些求和公式是通过对来自欧拉-麦克劳林求和公式的相应和的渐近但发散的表达式应用包含第一类Stirling数的级数加速变换而得到的。虽然众所周知，从欧拉-麦克劳林求和公式得到的表达式是发散的，但我们的求和公式都是非常快速收敛的，因此计算效率很高。
2016-01-31 math.NT
Exceptional sets for compositions involving Euler's function,the divisor-sum function and Dedekind's function
Anhui Normal University（安徽师范大学）
该数论研究针对欧拉函数、除数和函数与戴德金函数的四类复合函数，推导了相关例外集的定量上界与密度为零的估计，改进了已有研究成果。
2026-09-09 math.NT
On the analogs of Euler numbers and polynomials associated with p-adic integrals on the rings of p-adic integers at q=-1
我们将研究涉及三角函数的p-adic不变整数
2006-07-07 math.NT
Identities involving Laguerre polynomials derived from umbral calculus
本文研究了由投影演算导出的涉及Bernoulli和欧拉多项式的Laguerre多项式的一些恒等式。
2013-01-15 math.NT
Explicit evaluation of quadratic Euler sums
本文给出了含调和数和交错调和数的双重非线性欧拉和的一些显式公式。作为这些公式的应用，我们给出了几种二次Euler和通过黎曼ζ函数和线性和的新的封闭形式表示。给出的表示是新的。
2016-09-16 math.NT
On an infinite number of new families of odd-type Euler sums
我们提出了几个序列的欧拉和涉及奇调和数。计算技术基于适当的二值整数函数，允许仅根据zeta值显式计算这些序列。
2021-03-10 math.NT
A Totient Function Associated with Variants of Groups
University of Southampton（南安普顿大学）
本文引入一种新的陶辛函数，结合欧拉函数及其1869年Schemmel扩展，探讨其评估方法及数论问题，面向广泛受众。
2026-03-14 math.GR math.NT
Closed formulas and determinantal expressions for higher-order Bernoulli and Euler polynomials in terms of Stirling numbers
本文利用Faà di Bruno公式和Bell多项式的一些性质，给出了高阶Bernoulli多项式和欧拉多项式的几个包含第二类Stirling数的闭公式和行列式表达式.
2020-05-08 math.NT
Some Evaluation of Quadratic Euler Sums
本文得到了一些涉及调和数和交错调和数的双重非线性欧拉和的计算公式。利用这些公式，我们通过Riemann zeta值、多对数函数和线性和给出了几个二次Euler级数的新的封闭形式和。进一步建立了多对数函数的欧拉和与积分之间的关系。
2017-01-04 math.NT
A Note On Multi Poly-Euler Numbers And Bernoulli Polynomials
本文介绍了多重欧拉多项式的推广，并讨论了多重欧拉多项式之间的一些关系。因此，获得推广多Poly-欧拉数的闭公式似乎是一个自然而重要的问题。
2014-01-12 math.NT
Rational approximations to values of Bell polynomials at points involving Euler's constant and zeta values
本文提出了一种新的显式同时有理逼近，它在形式$(γ, 1! (2a+1)ζ(2), 2!ζ(3),..., (m-1)!(a+1+(-1)^ma)ζ(m)),$ $m=1,2,...,a,$ $a\in{\mathbb N}.$的点处亚指数收敛到Bell多项式的值
2010-11-16 math.CV math.NT
Some identities for Bernoulli polynomials involving Chebyshev polynomials
本文导出了与切比雪夫多项式有关的Bernoulli、Euler和Hermite多项式的一些新的有趣的恒等式。
2012-11-06 math.NT
New super congruences involving Bernoulli and Euler polynomials
令$p>3$是素数，并且令$a$是具有$a\not\equiv 0\pmod p$的有理p-adic整数。本文利用Bernoulli多项式和欧拉多项式建立了$$\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\frac{\binom ak\binom{-1-a}k}k, \quad\sum_{k=0}^{(p-1)/2}k\binom ak\binom{-1-a}k \quad\text{and}\quad\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom ak\binom{-1-a}k}{2k-1}\pmod {p^2}$$的同余式。我们还给出了模$p^2$同余的一些变换公式。
2016-05-30 math.CO math.NT
A Hypergeometric Approach, Via Linear Forms Involving Logarithms, to Irrationality Criteria for Euler's Constant
利用超几何函数的积分，给出了欧拉常数$γ$无理性的充要条件.证明是通过减少到已知的无理性准则的$γ$涉及一个Beukers型二重积分。通过对超几何积分和二重积分的计算，证明了它们是等价的。为此，我们介绍了一个建设的线性型在1，$γ$，并从Nesterenko型系列的有理函数。在附录中，谢尔盖·兹洛宾给出了一个变量变换证明，证明级数和二重积分相等。
2009-04-29 math.CA math.NT
Lucas-Euler relations using balancing and Lucas-balancing polynomials
建立了一些新的涉及欧拉多项式和平衡（Lucas-balancing）多项式的组合恒等式.推导使用基本技术，并基于各自的生成函数的函数方程。从这些多项式关系，我们推出有趣的身份与Fibonacci和Lucas数，和欧拉数。结果必须被视为同伴的结果，一些Fibonacci-Bernoulli身份，我们在我们以前的论文中得出。
2020-09-20 math.NT
Euler-type Recurrence Relations for Partition Functions with Congruence Conditions
American University of Beirut（贝鲁特美国大学）；Louisiana State University（路易斯安那州立大学）
该研究针对模$\delta$同余于0或$\pm g$的分拆函数$p_{\delta,g}(n)$，利用广义戴德金η函数与Rankin-Cohen括号推导欧拉型递推关系，还得到$\delta=5$的显式递推、拉马努金型同余及拉德马赫型公式。
2026-07-31 math.NT
Super congruences involving Bernoulli and Euler polynomials
令$p>3$是素数，并且令$a$是有理p-adic整数。令$\{B_n(x)\}$和$\{E_n(x)\}$分别表示伯努利多项式和欧拉多项式。在本文中，我们证明了$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\equiv (-1)^{\langle a\rangle_p}+ p^2t(t+1)E_{p-3}(-a)\pmod{p^3}$$和$a\not\equiv -\frac 12\pmod p$，$$\sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\frac 1{2k+1}\equiv \frac{1+2t}{1+2a} +p^2\frac{t(t+1)}{1+2a}B_{p-2}(-a)\pmod{p^3},$$，其中$\langle a\rangle_p\in\{0,1,\ldots,p-1\}$满足$a\equiv \langle a\rangle_p\pmod p$和$t=(a-\langle a\rangle_p)/p$。取$a=-\frac 13,-\frac 14,-\frac 16$在上述同余式中，我们解出了Z.W.太阳本文还建立了$\sum_{k=0}^{p-1}k\binom ak\binom{-1-a}k,\ \sum_{k=0}^{p-1}\binom ak\binom{-1-a}k\frac…
2014-07-28 math.NT
Divisor Problem and an Analogue of Euler's Summation Formula
用简单的初等方法，得到了除数问题余项的一个非常简单的表达式，并利用它得到了除数函数求和的Euler-Maclaurin模拟，同时得到了除数问题余项与黎曼ζ函数及其平方的近似函数方程的解之间的一个关系，其中自变量为正值.
2008-09-13 math.NT
A note on products involving zeta(3) and Catalan's constant
在最近的一份文件卡奇和Tzerkirt给初等证明四个产品公式涉及zeta（3），π，和加泰罗尼亚的常数。他们表示，他们无法直接从Borwein和Dykshoorn于1993年引入的函数值推导出这些产品。我们在这里提供了这样的两个公式的证明。另外两个公式的直接证明是利用Adamchik的Borwein-Dykshoorn函数的推广。最后给出了Borwein-Dykshoorn函数在Xia于2013年提出的“参数化欧拉常数函数”下的表达式，它恰好是K.和T. 2010年的Hessami Pilehrood。
2014-04-27 math.NT
Probability density functions attached to random Euler products for automorphic $L$-functions
本文在水平方面研究了全纯本原尖点形式的$L$ -函数的值分布。我们将这种自守的$L$ -函数与称为随机欧拉积的概率模型相关联。首先，我们证明了随机欧拉积上的密度函数的存在性。然后将自守$L$ -函数的各种平均值表示为涉及密度函数的积分。此外，我们估计自守$L$ -函数的值的分布和随机欧拉产品的值的分布之间的差异。
2021-07-02 math.NT
On the Euler transform and the floor function
本文推导了由取整函数加权的广义二项式和的欧拉变换表达式，并通过例子重新发现已知恒等式、证明新恒等式，得到涉及调和数、中心二项式系数和黎曼 zeta 函数的新的闭式结果。
2026-09-23 math.CO math.NT
Four types of variant Euler harmonic sums
我们的目的是研究四种类型的变体欧拉调和和。此外，作为推论，我们提供了我们的核心发现，其中一些进一步的实例进行评估的基本和众所周知的功能，以及某些数学常数的具体例子。我们探索我们的结果和其他先前建立的研究之间的相关联系。对一个结果的特定情况的检查显示了与涉及zeta函数的系列的关系，这也是一个热门的研究领域。
2023-01-16 math.NT
Some identities involving degenerate Stirling numbers associated with several degenerate polynomials and numbers
本文研究了与退化超调和数及退化Bernoulli、Euler、Bell和Fubini多项式相关的两类退化Stirling数的性质、递推关系和恒等式。
2022-05-04 math.NT
Power Series with Binomial Sums and Asymptotic Expansions
本文研究了系数为二项式（迭代有限差分）的幂级数。我们的结果可用于级数求和、级数变换或涉及第二类Stirling数的渐近展开。在某些情况下，我们得到渐近展开涉及伯努利多项式，多伯努利多项式，或欧拉多项式。我们还讨论了与欧拉级数变换和其他级数变换公式的联系。
2015-01-18 math.NT
A q-analog of Euler's decomposition formula for the double zeta function
双zeta函数首先研究了欧拉在回应一封信从哥德巴赫在1742年。欧拉对这个函数的一个结果是一个分解公式，它将黎曼ζ函数的两个值的乘积表示为包含二项式系数的双zeta值的有限和。本文建立了欧拉分解公式的一个q-模拟。更具体地说，我们表明，欧拉的分解公式可以扩展到什么可能被称为“双q-zeta函数”在这样一种方式，欧拉公式是恢复在极限为q趋于1。
2005-01-31 math.NT
A series involving a product of four consecutive harmonic numbers
本文用秉承 Euler 精神的初等方法，求出含四个连续调和数之积的级数的 zeta 值闭式，并指出其可能反驳 Furdui–Sîntămărian 猜想。
2025-07-10 math.NT
Some evaluation of cubic Euler sums
P. Flajolet和B. Salvy \cite{FS1998}证明了著名的定理：当权$i_1+i_2+\cdots+i_r+q$和阶$r$具有相同的奇偶性时，非线性欧拉和$S_{i_1i_2\cdots i_r,q}$可化为低阶和的组合.在这篇文章中，我们开发了一种方法来评估三次和$S_{1^2m,p}$和$S_{1l_1l_2,l_3}$。利用这种方法，我们建立了三次、二次和线性欧拉和的一些关系。特别地，我们证明了三次和$S_{1^2m,m}$和$S_{1(2l+1)^2,2l+1}$可约化为zeta值、二次和线性和.此外，我们证明，涉及深度四\[\sum\limits_{\left\{ {i,j} \right\} \in \left\{ {1,2} \right\},i \ne j} {ζ\left( {{m_i},{m_j},1,1} \right)}\quad {\rm and}\quad \sum\limits_{\left\{ {i,j,k} \right\} \in \left\{ {1,2,3} \right\},i \ne j \ne k} {ζ\left( {{m_i},{m_j},{m_k},1} \right)} \]的多个zeta值的两个组合和可以表示在深度$\leq 3$的多个zeta值，这里$2\leq m_1,m_2,m_3\in \N$。最…
2017-10-19 math.NT
Explicit formulas related to Euler's product expansion for cosine function
本文利用初等方法，基于 tan x 的级数展开推导了连分数、tan x 导数恒等式、log cosh x 表达式及 π2 恒等式，扩展了余弦函数乘积展开的相关理论。
2024-07-29 math.NT
Euler's constant: Euler's work and modern developments
本文分为两部分.第一部分调查欧拉的工作常数γ =0.57721.以他的名字，连同他的一些相关工作的Γ函数，值的ζ函数和发散级数。第二部分描述了各种数学发展，涉及欧拉常数，以及另一个常数，欧拉-冈佩茨常数。这些发展包括与算术函数和黎曼假设的联系，与筛法、随机排列和随机矩阵乘积的联系。它包括丢番图逼近和超越欧拉常数的最新结果。
2013-10-25 math.NT
Infinite products involving binary digit sums
令$(u_n)_{n\ge 0}$表示具有值$\pm 1$的Thue-Morse序列。下面的伍兹-罗宾斯恒等式和它的几个推广在文献\begin{equation*}\label{WR}\prod_{n=0}^\infty\left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)^{u_n}=\frac{1}{\sqrt 2}.\end{equation*}中是众所周知的。没有其他这样的产品涉及一个有理函数在$n$和序列$u_n$似乎是已知的封闭形式。为了详细了解这些产品，我们研究了功能\begin{equation*}f(b,c)=\prod_{n=1}^\infty\left(\frac{n+b}{n+c}\right)^{u_n}.\end{equation*}，我们证明了一些分析性质的$f$。我们还得到了一些类似于Woods-Robbins乘积的新恒等式。
2018-05-16 math.NT
