A Note On Multi Poly-Euler Numbers And Bernoulli Polynomials
Hassan Jolany, Mohsen Aliabadi, Roberto B. Corcino, M. R. Darafsheh
本文介绍了多重欧拉多项式的推广，并讨论了多重欧拉多项式之间的一些关系。因此，获得推广多Poly-欧拉数的闭公式似乎是一个自然而重要的问题。
In this paper we introduce the generalization of Multi Poly-Euler polynomials and we investigate some relationship involving Multi Poly-Euler polynomials. Obtaining a closed formula for generalization of Multi Poly-Euler numbers therefore seems to be a natural and important problem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A note on degenerate Euler and Bernoulli polynomials of complex variable
本文从复变量的退化欧拉多项式和复变数的退化伯努利多项式出发，研究了新型欧拉多项式的退化形式，即退化余弦-欧拉多项式和退化sime-欧拉多项式，以及相应的伯努利多项式的退化余弦伯努利多项式和退化正弦-伯努利多项式.
Higher-order Bernoulli, Frobenius-Euler and Euler polynomials
本文给出了由投影演算导出的高阶Bernoulli、Frobenius-Euler和欧拉多项式的一些有趣的恒等式。利用本文的方法，我们可以导出许多特殊多项式的有趣恒等式
Identities involving values of Bernstein, q-Bernoulli and q-Euler polynomials
本文给出了q-Bernoulli多项式、q-Euler多项式和伯恩斯坦多项式的值之间的关系。利用这些关系，我们得到了q-Bernoulli多项式、q-Euler多项式和伯恩斯坦多项式的一些有趣的恒等式.
Higher-order frobenius-Euler and poly-Bernoulli mixed type polynomials
本文考虑由多对数函数导出的与多伯努利多项式相联系的高阶Frobenius-Euler多项式。这些多项式被称为高阶Frobenius-Euler和poly-Bernoulli混合型多项式。本文的目的是给出由投影演算产生的多项式的各种恒等式。
On the q-Extensions of the Bernoulli and Euler Numbers, Related Identities and Lerch Zeta Function
最近，文献[5，10]研究了$λ$ -Bernoulli数和$λ$ -欧拉数.本文利用玻色子$p$ -adic $q$ -积分和费米子$p$-adic $q$ -积分，系统地研究了$λ$ -Bernoulli数和$λ$ -欧拉数的$q$ -扩张族.对这些$λ$ - $q$ -Bernoulli和$λ$ - $q$ -欧拉数的研究导致了与这些对象相关的有趣的恒等式。本文的结果覆盖了有关$q$ -Bernoulli数和$q$ -欧拉数的早期结果.通过对$λ$ -Bernoulli数和$λ$ -欧拉数的母函数的导算子，给出了Lerch zeta函数的$q$ -扩张.
Some Identities for the Bernoulli, the Euler and the Genocchi Numbers and Polynomials
本文的目的是给出Bernoulli数、Euler数和Genocchi数及多项式的一些新的恒等式。
Closed formulas and determinantal expressions for higher-order Bernoulli and Euler polynomials in terms of Stirling numbers
本文利用Faà di Bruno公式和Bell多项式的一些性质，给出了高阶Bernoulli多项式和欧拉多项式的几个包含第二类Stirling数的闭公式和行列式表达式.
On type 2 degenerate Bernoulli and Euler polynomials of complex variable
最近Masjed-Jamei-Beyki-Koepf在没有利用复变数的欧拉多项式的情况下，研究了所谓的新型欧拉多项式。本文研究了这些新型欧拉多项式的退化形式和2型形式，即2型退化余弦欧拉多项式和2型退化正弦欧拉多项式，以及相应的伯努利多项式，即2型退化余弦伯努利和2型退化正弦，本文通过对复变数的退化欧拉多项式和退化伯努利多项式的研究，并将其实部和虚部分开处理，得到了一个新的伯努利多项式。我们得到了这些新多项式的显式表达式和与之相关的恒等式。在这里，我们注意到，分离实部和虚部的想法分别给出了一个肯定的回答问题所提出的Belbachir。
A new Kim's type Bernoulli and Euler Numbers and related identities and zeta and L-functions
本文构造了一个新的推广的q-Bernoulli数和多项式。从这些数出发，我们导出了多重zeta函数，并给出了多重Bernoulli数与多重zeta函数之间的一些关系。
Hankel Determinants of shifted sequences of Bernoulli and Euler numbers
与Bernoulli数和欧拉数有关的数列的Hankel行列式以前已经被研究过，并且已知许多恒等式。然而，当序列移动一个单位时，情况往往会发生显著变化。本文利用经典的正交多项式及相关方法证明了移位序列的Hankel行列式的一个一般结果。然后，我们应用这一结果获得新的汉克尔行列式的评估有关伯努利和欧拉数，其中之一涉及欧拉多项式的$13$序列。
Recurrence relations for Apostol-Bernoulli , -Euler and -Genocchi polynomials of higher order
在\cite{luo2006,luosri2005}中，Luo和Srivastava介绍了Apostol -伯努利多项式和Apostol-欧拉多项式的一些推广。本文的主要目的是将\cite{prevost2010}的结果推广到这些广义多项式。更准确地说，使用Padé近似的指数函数，我们得到的递归关系的Apostol-Bernoulli，欧拉和Genocchi多项式的高阶。作为应用，我们证明了某些特殊情况下的缺项关系。
Recurrence formulas with gaps for Bernoulli and Euler polynomials
令$\{B_n\}$、$\{B_n(x)\}$和$\{E_n(x)\}$分别为伯努利数、伯努利多项式和欧拉多项式。本文主要建立了$m=2,3,4$情形下的$\sum_{6\mid k-3}\binom nkB_{n-k}(x)$、$\sum_{6\mid k}\binom nkE_{n-k}(x)$和$\sum_{6\mid k-3}\binom nkm^kB_{n-k}$的计算公式。
Some identities of higher-order Bernoulli, Euler and Hermite polynomials arising from umbral calculus
在本文中，我们研究了影演算，以获得我们的结果的替代方法。也就是说，我们得到了一些有趣的身份的高阶伯努利，欧拉和厄米多项式所产生的阴影演算有不同的方式。
New identities with Stirling, hyperharmonic, and derangement numbers, Bernoulli and Euler polynomials, powers, and factorials
利用Stirling变换证明了一些恒等式。这些身份涉及斯特林数的第一和第二种，超调和和错位数，伯努利和欧拉数和多项式，权力，权力和facetaries。
Symmetry p-adic invariant integral on Z_p for Bernoulli and euler polynomials
本文的主要目的是进一步研究Z_p上p-adic不变积分的几个有趣的对称性质。
On the integral of products of higher-order Bernoulli and Euler polynomials
本文导出了高阶欧拉多项式乘积的积分公式。用同样的方法，对$l$高阶伯努利多项式和$r$高阶欧拉多项式也得到了类似的关系.此外，我们建立了结果与广义Dedekind和Hardy-Berndt和之间的联系。最后给出了欧拉多项式的拉普拉斯变换。
On Sums of Powers of Arithmetic Progressions, and Generalized Stirling, Eulerian and Bernoulli numbers
对于等差数列的非负幂的有限和，计算了给定幂的母函数（普通母函数和指数母函数）。这导致两个参数的推广斯特林和欧拉数。伯努利数及其多项式的直接推广如下。在用广义伯努利多项式求这些幂和的Faulhaber公式的过程中，得到了伯努利数及其多项式的单参数推广。广义Lah数也被考虑。
On Generalized Multi Poly-Euler and Multi Poly-Bernoulli Polynomials
本文建立了三参数广义多重欧拉多项式的更多恒等式，并得到了多项式的一种对称推广。利用多重对数定义了广义多重伯努利多项式，并得到了与多重伯努利多项式相似的一些性质.这些是广义的进一步使用的概念Hurwitz-Lerch多个zeta值。
Degenerate Euler- Seidel Method for degenerate Bernoulli, Euler, and Genocchi polynomials
本文提出退化欧拉-塞德尔方法，用于推导退化伯努利、欧拉和戈尼奇多项式的新的组合恒等式。
A study of degenerate Bernoulli and Euler numbers via operators
本文引入新型算子类，推导退化欧拉数与2型退化欧拉数的显式表达式，建立退化伯努利数与退化欧拉数的关系，为特殊数研究提供新方法。
Finite, closed-form expressions for the partition function and for Euler, Bernoulli, and Stirling numbers
我们找到了生成函数方程sum c_q^{（X）} z^q = F（z）^X的通解，其中X是复数，F（z）是收敛的幂级数，|F（0）|>0。然后，我们使用这些结果推导出有限的表达式只包含整数或简单的分数的分拆函数和欧拉，伯努利，和斯特林数。
Some New Identities of Genocchi Numbers and Polynomials involving Bernoulli and Euler polynomials
本文给出了两个乘积Genocchi多项式与欧拉多项式和伯努利多项式的一些新公式。我们得到了Genocchi多项式的一些应用。我们的应用程序具有一些有趣的性质，我们在本文中表达的解析数论研究。
General Convolution Identities for Bernoulli and Euler Polynomials
利用差分算子的一般恒等式，以及概率论中的符号计算和工具，我们导出了伯努利多项式和欧拉多项式的非常一般的k阶（k \ge 2）卷积恒等式.这是通过使用均匀分布随机变量的一个基本结果。这些身份依赖于k正实参数，作为特殊情况下，我们获得了许多已知的和新的身份，这些多项式。特别是，我们表明，著名的身份三木和Matiyasevich伯努利数是特殊情况下，相同的一般公式。
Degenerate Fubini-type polynomials associated with degenerate Apostol-Bernoulli and Apostol-Euler polynomials of order α
本文通过引入退化的Fubini型多项式，利用Faà di Bruno公式和Bell多项式的一些性质以及母函数方法，给出了几个关系式.此外，我们还得到了Fubini型多项式和数的一些新的显式公式和递推关系。将新定义的退化Fubini型多项式与退化伯努利多项式和退化α阶Apostol-欧拉多项式联系起来，给出了一些退化特殊多项式和数的附加关系.
Asymptotic estimates for Apostol-Bernoulli and Apostol-Euler polynomials
详细分析了伯努利多项式$\mathcal{B}_{n}(x;λ)$的渐近性态.起点是他们的傅里叶级数的$[0,1]$，它示出，仍然有效的渐近展开在紧凑的子集的复平面。这是用来确定明确的估计常数的近似，并分析振荡现象，在某些情况下出现。这些结果被转移到Apostol-欧拉多项式$\mathcal{E}_{n}(x;λ)$通过一个简单的关系连接到Apostol-伯努利多项式。
Restricted Partition Functions as Bernoulli and Euler Polynomials of Higher Order
导出了正整数集合${\bf d}^m = \{d_1, d_2, ..., d_m\}$的限制分拆函数$W(s,{\bf d}^m)$及其准周期分量$W_j(s,{\bf d}^m)$（称为{ \em Sylvester波}）的显式表达式.这些公式表示在一个形式的有限和伯努利和欧拉多项式的高阶周期系数。建立了Sylvester波的一种新的递归关系。讨论了有限群的代数独立齐次多项式不变量的计数问题。
Degenerate Algorithms for degenerate Bernoulli and Euler numbers
本文提出退化A和B算法，通过引入参数lambda推导出退化伯努利和欧拉数的显式公式，并建立生成函数之间的关系。
Hankel Determinants of sequences related to Bernoulli and Euler Polynomials
我们评估的各种序列的汉克尔行列式有关的伯努利和欧拉数和相应的多项式的特殊值。这些结果中的一些出现的特殊情况下，汉克尔行列式的某些总和和差异的伯努利和欧拉多项式，而其他的后果的方法，使用的衍生物的伯努利和欧拉多项式。我们还获得了Hankel行列式序列的总和和差异的权力和广义伯努利多项式属于某些狄利克雷字符与小导体。最后，我们收集和组织汉克尔行列式身份众多的序列，新的和已知的，包含伯努利和欧拉数和多项式。
The simultaneous multiplication formulas for Apostol-Bernoulli polynomials and generalized Frobenius-Euler polynomials
证明了Apostol-伯努利多项式和广义Frobenius-欧拉多项式的同时乘法公式。这些公式包括Dedekind-Rademacher和、Apostol-Dedekind和和以及Fourier-Dedekind和。
New identities involving Bernoulli and Euler polynomials
本文得到了Bernoulli和欧拉多项式的几个新恒等式，其中一些恒等式推广了Miki和Matiyasevich的恒等式.我们的新方法涉及多项式的差异和衍生物。
Combinatorial aspects of poly-Bernoulli polynomials and poly-Euler numbers
本文介绍了多伯努利多项式和多欧拉数的组合模型。作为它们的应用，我们给出了一些涉及多伯努利多项式的恒等式的组合证明。
The Legendre polynomials associated with Bernoulli, Euler, Hermite and Bernstein polynomials
本文主要利用勒让德多项式的正交性讨论其算术性质。证明了勒让德多项式与Bernoulli、Euler、Hermite和伯恩斯坦多项式成比例。
Connection Coefficients for Higher-order Bernoulli and Euler Polynomials: A Random Walk Approach
我们考虑使用随机游动作为一种方法来获得高阶伯努利和欧拉多项式的连接系数。特别是，我们考虑的情况下，一个$1$维线性反射布朗运动和一个$3$维贝塞尔过程。考虑连续首中时的两个，三个，和四个固定水平的这些随机游动产生的非平凡的身份，涉及高阶伯努利和欧拉多项式。
New identities involving Bernoulli and Euler polynomials. II
本文导出了Bernoulli多项式和欧拉多项式的几个对称恒等式，它们包含了一些已知的恒等式.我们的证明依赖于新的技术开发的第一部分，并在[欧洲J. Combin。24（2003），709- 718]。
Bernoulli-Dunkl and Apostol-Euler-Dunkl polynomials with applications to series involving zeros of Bessel functions
我们引入Bernoulli-Dunkl和Apostol-Euler-Dunkl多项式作为Bernoulli和Apostol-欧拉多项式的推广，其中导数的作用现在由Dunkl算子在实数线上发挥。我们用它们来求和一系列涉及贝塞尔函数零点的级数。
Generalized degenerate Bernoulli numbers and polynomials arising from Gauss hypergeometric function
在以前的论文中，Rahmani通过高斯超几何函数引入了一个新的p-Bernoulli数和多项式族。受本文的启发，利用Gauss超几何函数再次引入了广义退化Bernoulli数和多项式，作为这些数和多项式的退化形式.此外，我们还引入了退化型欧拉数作为欧拉数的退化形式。对于广义退化Bernoulli数，我们用退化第二类Stirling数、退化型Eulerian数、退化第二类$p$ -Stirling数和单位区间上的积分表示.对于广义退化的伯努利多项式，我们用退化的第二类Stirling多项式表示。
New Characterization of Appell polynomials
利用对称性证明了Appell多项式的特征。对于这些多项式，我们建立了一个简单的线性表达式的伯努利和欧拉多项式。作为应用，我们给出了有趣的例子。此外，我们还得到了Appell多项式的Fourier展开式。这一结果恢复了已知的伯努利多项式和欧拉多项式的傅立叶展开式，并得到了高阶伯努利-欧拉多项式的傅立叶展开式。
Apostol-Bernoulli functions, derivative polynomials and Eulerian polynomials
这是Tom Apostol介绍的一类函数的简短调查。调查的重点是他们的关系欧拉多项式，导数多项式，也对一些整表示。
Unified Bernoulli-Euler polynomials of Apostol type
本文的目的是介绍和研究由$\left\{\mathfrak{V_{n}}(x;λ;μ)\right\}_{n \geq 0}$注记的统一Apostol-Bernoulli和Apostol-欧拉多项式的性质。研究了$\left\{\mathfrak{V_{n}}(x;λ;μ)\right\}_{n \geq 0}$与Apostol-欧拉多项式和Apostol-伯努利多项式之间的关系.同时，我们给出了$\left\{\mathfrak{V_{n}}(x;λ;μ)\right\}_{n \geq 0}$的导子和积分表示。最后，我们使用影演算的方法来推导对称恒等式。
Explicit Formulas involving q-Euler Numbers and Polynomials
本文研究了q-欧拉数和q-Bernoulli数。利用q-欧拉数和多项式的母函数和导算子，导出了它们之间的一些有趣关系.同时，通过p-adic整数环上的p-adic q-积分，证明了q-欧拉数与q-Bernoulli数之间的关系.
The values of an Euler sum at negative integers and relation to a convolution of Bernoulli numbers
本文研究了Apostol和Matsuoka研究过的一类特殊的狄利克雷级数，并指定其值为负整数.这些值与伯努利数的某种卷积有关
Extension of the Bernoulli and Eulerian Polynomials of Higher Order and Vector Partition Function
根据L. Carlitz我们介绍了一个推广的伯努利和欧拉多项式的高阶向量指数和参数。这些多项式用于计算矢量分拆函数$W({\bf s},{\bf D})$，即，线性系${\bf x} \ge 0, {\bf D x} = {\bf s}$的多个整数解。证明了$W({\bf s},{\bf D})$可以用高阶向量伯努利多项式表示。
Some identities for Bernoulli polynomials involving Chebyshev polynomials
本文导出了与切比雪夫多项式有关的Bernoulli、Euler和Hermite多项式的一些新的有趣的恒等式。
Covariants of binary forms and new identities for Bernoulli, Euler and Hermite polynomials
利用经典不变量理论的方法，给出了Bernulli多项式、Euler多项式和Hermite多项式恒等式的一般求法。
On the generating function of p-Bernoulli numbers: an alternative approach
本文给出了$p$ -Bernoulli数的生成函数的另一种证明.我们的论证是基于欧拉的整表示。
A new Approach to fully degenerate Bernoulli numbers and polynomials
本文研究了一类新的与完全退化Bernoulli数和多项式有关的序列。从这些序列出发，我们导出了退化Bernoulli多项式和欧拉多项式的一些公式.
Remarkable relations between the central binomial series, Eulerian polynomials, and poly-Bernoulli numbers
负整数处的中心二项级数表示为某两个多项式值的线性组合。我们证明了其中一个多项式是二元欧拉多项式的特殊值，另一个多项式与多伯努利数的反对角和有关。作为应用，我们证明了Stephan在2004年的观察。
Zeta functions interpolating the convolution of the Bernoulli polynomials
证明了多重Hurwitz-黎曼ζ函数之间的非线性关系。利用多重黎曼ζ函数的解析延拓，在负整数处引用了Euler关于广义伯努利多项式与数的非线性关系.
New super congruences involving Bernoulli and Euler polynomials
令$p>3$是素数，并且令$a$是具有$a\not\equiv 0\pmod p$的有理p-adic整数。本文利用Bernoulli多项式和欧拉多项式建立了$$\sum_{k=1}^{(p-1)/2}\frac{\binom ak\binom{-1-a}k}k, \quad\sum_{k=0}^{(p-1)/2}k\binom ak\binom{-1-a}k \quad\text{and}\quad\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\frac{\binom ak\binom{-1-a}k}{2k-1}\pmod {p^2}$$的同余式。我们还给出了模$p^2$同余的一些变换公式。
Hermite and poly-Bernoulli mixed-type polynomials
本文考虑Hermite和poly-Bernoulli混合型多项式，并研究了这类多项式的性质。最后，给出了高阶Stirling数、Bernoulli数和Frobenius-欧拉多项式的各种恒等式.
Extended Zeilberger's Algorithm for Identities on Bernoulli and Euler Polynomials
利用Chen，Hou和Mu给出的推广的Zeilberger算法，给出了一种证明伯努利多项式和欧拉多项式恒等式的计算机代数方法.其核心思想是利用Bernoulli数和欧拉数的围道积分定义建立被积函数的递推关系。这样的递归关系有一定的参数自由属性，导致所需的身份，而无需计算积分。
On Appell sequences of polynomials of Bernoulli and Euler type
本文构造了第一类和第二类广义伯努利多项式的一个新序列。这些序列与经典的伯努利多项式有许多代数和数论性质。本文还提出了一类新的Euler型多项式。
Random Walk Models for Nontrivial Identities of Bernoulli and Euler Polynomials
我们考虑了$1$维反射布朗运动和$3$维Bessel过程以及一般模型。通过将连续站点的首中时分解为循环，我们得到了首中时的生成函数的恒等式，称为循环恒等式。在证明这种分解组合和归纳，我们考虑的情况下，网站是均匀分布的。然后，从回路恒等式出发，利用高阶欧拉多项式，导出了Bernoulli多项式和欧拉多项式的表达式。
Some new identities on the Apostol-Bernoulli polynomials of higher order derived from Bernoulli basis
本文利用伯努利多项式基导出了高阶Apostol-伯努利多项式的新的有趣关系和恒等式.最后，利用我们的方法，我们还推出了公式的卷积的伯努利和欧拉多项式，表示为Apostol-伯努利多项式的高阶。
Higher-order Bernoulli and poly-Bernoulli mixed type polynomials
本文考虑高阶Bernoulli和poly-Bernoulli混合型多项式，并给出了这类多项式的一些有趣的恒等式。
Orthogonal polynomials and Hankel Determinants for certain Bernoulli and Euler Polynomials
利用某些多Γ函数的连分式展开式作为主要工具，我们找到了关于奇指数伯努利多项式$B_{2k+1}(x)$和Euler多项式$E_{2k+ν}(x)$的正交多项式，其中$ν=0, 1, 2$ .在这个过程中，我们还确定了相应的Jacobi连分数（或J-分数）和Hankel行列式。在所有这些情况下，汉克尔行列式是$x$中的多项式，它完全分解有理数。
Barnes' multiple Bernoulli and poly-Bernoulli mixed-type polynomials
本文考虑Barnes多重Bernoulli和poly-Bernoulli混合型多项式。从这类多项式的Sheffer序列的性质出发，我们得到了新的有趣的恒等式。
Bernoulli, poly-Bernoulli, and Cauchy polynomials in terms of Stirling and r-Stirling numbers
我们回顾并讨论了Bernoulli，poly-Bernoulli数，Bernoulli多项式和Cauchy多项式用第一类或第二类Stirling数，或用r-Stirling数表示的一些结果.
Relations between Multi-Poly-Bernoulli numbers and Poly-Bernoulli numbers of negative index
Poly-Bernoulli数$B_n^{(k)}\in\mathbb{Q}$ \，（$n \geq 0$，\，$k \in \mathbb{Z}$）由Kaneko在1997年定义。多重多伯努利数\，$B_n^{(k_1,k_2,\ldots, k_r)}$，是Kaneko的多伯努利数\，$B_n^{(k)}$的代。重点研究了多重多伯努利数与负指数多伯努利数之间的关系。在第二节中，我们引入了Kamano证明的负指数多重Poly Bernoulli数的一个恒等式。在第三节中，作为主要结果，我们特别介绍了多重Poly-Bernoulli数与负指数Poly-Bernoulli数之间的一些关系。
Hankel determinants and Jacobi continued fractions for $q$-Euler numbers
本文确定了$q$-Euler数的Hankel行列式，通过大$q$-Jacobi多项式的特化给出正交多项式，并利用Jacobi连分数表达式完成求值。
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