关于欧拉变换与取整函数
On the Euler transform and the floor function
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中文总结 AI 辅助
本文推导了由取整函数加权的广义二项式和的欧拉变换表达式，并通过例子重新发现已知恒等式、证明新恒等式，得到涉及调和数、中心二项式系数和黎曼 zeta 函数的新的闭式结果。
中文摘要 AI 辅助
设 $(a_n)_{n\geq 0}$ 为一个数列。我们推导了涉及 $a_n$ 并由取整函数加权的广义二项式和的欧拉变换的表达式。为展示我们方法的实用性，我们讨论了若干例子。我们重新发现了一些已知恒等式，并证明了几个新恒等式。特别地，我们推导了涉及调和数和中心二项式系数的加权二项式和的若干新恒等式。我们还给出了涉及黎曼 zeta 函数的加权级数的新的闭式表达式。
英文摘要
Let $(a_n)_{n\geq 0}$ be a sequence of numbers. We derive an expression for the Euler transform of a general binomial sum involving $a_n$ and weighted by the floor function. To demonstrate the usefulness of our approach, several examples are discussed. We rediscover some known identities and prove several new. In particular, we derive some new identities for weighted binomial sums involving harmonic numbers and central binomial coefficients. We also present new closed-forms for weighted series involving the Riemann zeta function.
