A short nonstandard proof of the Spectral Theorem for unbounded self-adjoint operators
Takashi Matsunaga
本文利用非标准分析方法，提供了一个简短且基础的无界自共轭算子谱定理的证明。
通过非标准分析，给出了一个非常简短且基础的无界自共轭算子的谱定理的证明。
By nonstandard analysis, a very short and elementary proof of the Spectral Theorem for unbounded self-adjoint operators is given.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A nonstandard approach to the direct integral version of the Spectral Theorem
本文通过非标准方法证明了无界自伴算子的谱定理直接积分版本，并给出了谱测度版本的新证明。
Spectral properties of unbounded J-self-adjoint matrices
研究了无界J-自伴块算子矩阵的谱。特别是，我们证明了外壳的频谱，提供了一个充分条件的频谱是真实的，并得出变分原理某些真正的特征值，即使在存在的非真实的频谱。后者导致下和上界和渐近估计的特征值。
Factorization Theorem for the Transfer Function Associated with an Unbounded Non-Self-Adjoint 2x2 Operator Matrix
我们构造的运营商因式分解的传递函数与非自伴2 × 2算子矩阵，其对角项可以有重叠的频谱，其非对角项是无界的运营商。
A Weyl Matrix Perspective on Unbounded Non-Self-Adjoint Jacobi Matrices
针对Pushnitski--\u0160Stampach的编码方法，提出基于外尔函数的新视角，简化证明并推广至无界非自伴雅可比矩阵情形，建立正非对角元真雅可比矩阵与谱数据的双射且证明其连续性，还给出具独立意义的局部Borg--Marchenko定理。
Self-adjointness of unbounded tridiagonal operators and spectra of their finite truncations
本文讨论了无界对称三对角算子的两个不同但相关的问题：自伴性和有限截断特征值对谱的逼近。在这两种情况下给出的充分条件改进和推广了以前已知的结果。结果表明，自伴性不仅有助于研究截断算子特征值的极限点，而且对截断算子特征值的极限点的分析是证明自伴性的关键.几个例子表明了这些新结果与以前的结果相比的优点。此外，还指出了它在连分数理论中的一个应用。
Structural properties of Krylov subspaces, Krylov solvability, and applications to unbounded self-adjoint operators
本文研究自伴算子类Krylov子空间的结构性质及其与线性反问题Krylov可解性的关联，采用基于弱拓扑的微扰技术处理无界情形，并建立其与Hamburger矩问题的联系。
Approximations of strongly continuous families of unbounded self-adjoint operators
讨论了仅为强连续的自伴算子族的离散谱的近似问题。众所周知，在强扰动下，谱不需要连续变化（作为一个集合）。然而，它表明，在一个额外的紧性假设下的频谱连续变化，并构造了一个家庭的对称有限维近似。这些近似的一个重要特征是它们对整个族一致有效。这一结果的应用等离子体不稳定性的研究示出。
Self-adjointness for the MIT bag model on an unbounded cone
该研究针对无界三维圆锥上带MIT袋边界条件的无质量Dirac算子，证明凸锥下其在四分量$H^1$函数域上自伴，给出非凸锥情形的数值证据，还得到凸锥上的Hardy型不等式及扰动稳定性，并讨论了向量子点边界条件的推广。
Functions of perturbed unbounded self-adjoint operators. Operator Bernstein type inequalities
这是我们的论文\cite{AP2}和\cite{AP3}的继续。在这些论文中，我们得到了估计的有限差分$(\D_Kf)(A)=f(A+K)-f(A)$的顺序1和$(\D_K^mf)(A)\df\sum\limits_{j=0}^m(-1)^{m-j}(m\j)f\big(A+jK\big)$的顺序$m$的某些类的功能$f$，其中$A$和$K$是有界自伴算子。本文将\cite{AP2}和\cite{AP3}的结果推广到无界自伴算子$A$的情形。此外，我们还得到了指数型整函数的算子Bernstein型不等式。这使我们能够获得替代证明的主要结果的\cite{AP2}。我们还得到了酉算子函数的算子Bernstein型不等式。本文以及论文\cite{AP2}和\cite{AP3}的一些结果在\cite{AP1}上公布。
Dirac operators with infinite mass boundary conditions on unbounded domains with infinite corners
本文研究带无限质量边界条件的二维Dirac算子在含无限角点的无界区域上的自伴性，证明无凹角点时算子自伴，有凹角点时构造并刻画了特选自伴扩张，并分析了其谱。
Unbounded integral Hankel operators
本文针对正半轴上的一类广泛无界积分Hankel算子，证明了它们在光滑紧支撑函数集合上具有本质自伴性。
Unboundedness of adjacency matrices of locally finite graphs
给定一个局部有限的单图，使得它的度是没有界的，则邻接矩阵的每个自伴实现从上到下都是无界的。在本文中，我们给出了一个最优条件，以确保它也是无界的。我们还考虑了加权图的情况。本文讨论了自伴扩张的问题，并证明了一个最优准则。
Functions of perturbed noncommuting unbounded self-adjoint operators
设$f$是非齐次Besov空间$B_{\infty,1}^1({\Bbb R}^2)$中${\Bbb R}^2$上的函数.对于一对不一定有界且不一定交换的自伴算子$(A,B)$，我们定义$A$和$B$的函数$f(A,B)$为一个稠密定义的线性算子.证明了如果$1\le p\le2$，$(A_1,B_1)$和$(A_2,B_2)$是一对不一定有界且不一定交换的自伴算子，使得$A_1-A_2$和$B_1-B_2$都属于Schatten-von Neumann类$\boldsymbol{S}_p$，且$f$在上述非齐次Besov空间中，则下列Lipschitz型估计成立：$$ \|f(A_1,B_1)-f(A_2,B_2)\|_{\boldsymbol{S}_p} \le\operatorname{const}\max\big\{\|A_1-A_2\|_{\boldsymbol{S}_p},\|B_1-B_2\|_{\boldsymbol{S}_p}\big\}. $$
Resolvent Estimates for Non-Self-Adjoint Magnetic Schrödinger Operators
我们研究半经典磁薛定谔算子与复杂的电势。在适当的磁势和电势条件下，证明了谱参数在虚轴的无界抛物邻域内的预解估计。
A Structured Inverse Spectrum Problem for Infinite Graphs and Unbounded Operators
给定一个无穷图$G$和一个实数的无限集$Λ$，我们证明了一个无界自伴算子的存在性，其图是$G$，其谱是$Λ$ .
Functions of pairs of unbounded noncommuting self-adjoint operators under perturbation
对于不一定有界且不一定交换的自伴算子对$(A,B)$和欧氏空间${\Bbb R}^2$上属于非齐次Besov类$B_{\infty,1}^1({\Bbb R}^2)$的函数$f$，我们将这些算子的函数$f(A,B)$定义为稠密算子.我们考虑的问题估计的功能$f(A,B)$扰动下对$(A,B)$。建立了如果$1\le p\le2$、$(A_1,B_1)$和$(A_2,B_2)$是不一定有界且不一定交换的自伴算子对，使得算子$A_1-A_2$和$B_1-B_2$属于Schatten-von Neumann类$\boldsymbol{S}_p$，其中$p\in[1,2]$和$f\in B_{\infty,1}^1({\Bbb R}^2)$，则以下Lipschitz型估计成立：\[ \|f(A_1,B_1)-f(A_2,B_2)\|_{\boldsymbol{S}_p} \le\operatorname{const}\|f\|_{B_{\infty,1}^1}\max\big\{\|A_1-A_2\|_{\boldsymbol{S}_p},\|B_1-B_2\|_{\boldsymbol{S}_p}\big\}. \]
Quasi boundary triples, self-adjoint extensions, and Robin Laplacians on the half-space
本文利用拟边界三元组及其Weyl函数的抽象技巧研究了对称算子的自伴扩张。主要结果是[5]中定理2.6的推广，它提供了关于边界空间中的参数的充分条件以诱导自伴实现。作为一个例子，自伴罗宾拉普拉斯算子的半空间的边界条件涉及一个无界系数被认为是。
About essential spectra of unbounded Jacobi matrices
本文研究了具有周期调制或混合元素的无界Jacobi矩阵的谱性质。我们的方法是基于广义特征向量的一致渐近分析。我们确定当所研究的运营商是自伴的。我们确定了点谱没有积累点的区域。这使我们能够完整地描述这些算子的本质谱。
Construction of self-adjoint differential operators with prescribed spectral properties
本文研究了自伴微分算子的一些谱性质。主要目的是说明和（部分）审查如何可以构建域或潜力，使本质或离散谱的薛定谔算子的某种类型（如诺依曼拉普拉斯算子）符合一个预定义的子集的实数线。另一个目的是强调有界域或有界区间上的微分算子的谱不一定是离散的，也就是说，可能存在无限重数的本征值、连续谱和嵌入连续谱中的本征值。这种不寻常的谱效应，非常粗略地说，是由（至少）以下三个原因之一引起的：有界域有粗糙边界，势是奇异的，或边界条件是非标准的。在三个单独的明确的建设，我们展示了如何每一个这些可能性导致薛定谔运营商规定的本质谱。
On two-dimensional Dirac operators with $δ$-shell interactions supported on unbounded curves with straight ends
本文研究支撑在具有直端点无界曲线上的二维Dirac算子，刻画了带静电、Lorentz标量和反常磁δ-壳相互作用的自伴实现与本质谱，并证明了几何诱导离散特征值的存在性。
Differentiable perturbation of unbounded operators
若$A(t)$是具有紧预解式和公共定义域的无界自伴算子的$C^{1,\al}$ -曲线，则特征值可在$t$中参数化为$C^1$.如果$A$是$C^\infty$，则特征值可以被参数化为两次可微。
Triple Variational Principles for Self-Adjoint Operator Functions
对于一类非常一般的无界自伴算子函数，我们证明了位于本质谱任意间隙内的特征值的上界。这些上界由三重变分给出。此外，我们发现的条件，暗示一个点是在预解集。对于范数预解式连续算子函数，我们证明了变分不等式成为一个等式。
Spectral enclosures for non-self-adjoint extensions of symmetric operators
利用常边界三元组和拟边界三元组以及相应的Weyl函数，研究了希尔伯特空间中对称算子的非自伴扩张$A_{[B]}$的谱性质.这些扩展是在抽象的边界条件，涉及（一般非对称）边界算子$B$。在本文的抽象部分，利用参数$B$和Weyl函数给出了扇形性和m-扇形性的充分条件以及$A_{[B]}$有非空预解集的充分条件.特别注意的是Weyl函数，衰减沿负实线或在某些部门内的复平面，并证明了$A_{[B]}$的频谱外壳在这种情况下。抽象的结果适用于椭圆微分算子的局部和非局部罗宾边界条件的无界域，薛定谔算子的$δ$ -潜在的支持无界超曲面或无限多点的实数线上的复杂的强度，和量子图与非自伴顶点耦合。
Generalized boundary triples for adjoint pairs with applications to non-self-adjoint Schrödinger operators
本文将广义边界三元组及Weyl函数推广至算子伴随对，给出诱导非空预解集闭算子的边界参数准则，并应用于具紧致边界的Lipschitz域上带复Lp势的Schrödinger算子。
Many parameter Hoelder perturbation of unbounded operators
如果$u\mapsto A(u)$是一个$C^{0,α}$ -映射，对于$0< α\le 1$，具有无界自伴算子作为值，这些算子具有紧预解式和公共定义域，在（甚至无限维）空间中由$u$参数化，则$A(u)$的特征值的任何连续（在$u$中）排列确实是$u$中的$C^{0,α}$。
A Sharp Kato-Rosenblum Type Theorem for Unbounded n-Tuples
将Kato-Rosenblum定理推广到无界自伴算子的交换n元组和Lorentz (n,1)理想（n≥3），并从有界算子结果推导得出，同时得到n=2时的弱结果。
Location of eigenvalues of three-dimensional non-self-adjoint Dirac operators
在Lebesgue空间中，证明了在复平面的无界区域上，具有非Hermite位势的三维Dirac算子在位势为小的条件下不存在本征值.我们的充分条件是定量的，易于检验。
Spectral reciprocity and matrix representations of unbounded operators
受离散空间上的位势论的启发，研究了Hilbert空间中的一类无界Hermite算子，它推广了通常的图论离散Laplacian算子.这些算子是来自统计力学的经典共形拉普拉斯算子和哈密顿算子的离散类似物。对于一个无限离散集$X$，我们考虑作用于$X$上函数的希尔伯特空间的算子，以及它们作为无限矩阵的表示;重点是$\ell^2(X)$和能量空间$\mathcal{H}_{\mathcal E}$。特别是，我们证明了这些运营商总是本质上自伴$\ell^2(X)$，但可能无法本质上自伴$\mathcal{H}_{\mathcal E}$。在一般情况下，我们研究这些运营商的冯诺依曼亏指数，并探讨其在数学物理的相关性。最后，我们研究了$\mathcal{H}_{\mathcal E}$算子的谱与使用一个新的近似方案。
Spectral flow is the integral of one forms on the Banach manifold of self adjoint Fredholm operators
人们可以追溯到1974年I.M.歌手.主要定理给出了半有限von Neumann代数中自伴有界Breuer-弗雷德霍姆算子沿范数可微路的谱流的解析公式。这些公式有一个几何解释，从证明。即我们定义了一族由所有有界自伴Breuer-弗雷德霍姆算子构成的Banach子流形，并在每一子流形上定义了整体的一种形式，其在子流形中的一条范数可微路径上的积分计算了沿这条路径的谱流.我们强调，我们的方法不是给出一个整体定义的自伴Breuer- Fredholms上的一种形式，其沿所有路径的积分是谱流，而是，正如标题中复数形式的选择所暗示的那样，我们需要一个这样一种形式的家族来证实辛格的想法。这一结果的原始背景涉及无界自伴弗雷德霍姆算子的路径。因此，我们证明了类似的公式，在无界的情况下，以及谱流。证明是一个综合的关键贡献，以前的作者，我们承认在介绍中详细，结合一个额外的重要最近的进展，微分学的功能，非交换运营商。
Self-adjoint Dirac operators on domains in $\mathbb{R}^3$
本文系统地研究了$L^2(Ω; \mathbb{C}^4)$中一类自伴Dirac算子的谱和散射性质，其中$Ω\subset \mathbb{R}^3$是具有紧$C^2$ -光滑边界的有界或无界区域.这些算子可以被看作是具有Robin边界条件的拉普拉斯算子的自然相对论对应物。在狄拉克算子中，这里也讨论了所谓的MIT袋算子，它已经被物理学家使用，最近在数学文献中讨论过。我们的方法是基于抽象的边界三重技术从扩展理论的对称算子和深入研究的某些类（边界）积分算子，出现在一个克莱因型预解式。在这个公式中的微扰项的分析导致的频谱和Birman-Schwinger原理的描述，定性的理解的散射特性的情况下，$Ω$是无界的，和相应的跟踪公式。
The spectral theorem for quaternionic unbounded normal operators based on the S-spectrum
本文利用$S$ -谱的概念证明了四元数无界正规算子的谱定理。证明技术包括首先建立一个四元数有界正规算子的谱定理，然后使用一个变换，该变换将一个四元数无界正规算子映射到一个四元数有界正规算子。完成了四元数算子谱分析的基础。$S$ -谱已被引入来定义四元数谓词演算，但它也被证明是四元数正规算子谱定理的正确对象。事实上，正确的概念，频谱的四元数运营商是不知道以前的主要障碍之一，以充分理解频谱定理在这种情况下。无界反自伴四元数算子子类是研究四元数无界正规算子谱定理的一个主要动机，它在四元数量子力学中起着至关重要的作用.
Location and Weyl formula for the eigenvalues of some non self-adjoint operators
本文综述了关于两个非自伴算子复特征值的位置和Weyl公式的一些最新结果。研究了无界区域上波动方程的压缩半群$e^{tG}, \: t \geq 0,$的生成元$G$的特征值，并在$Ω$上给出了耗散边界条件。研究了有界域$K$中的内传输本征值（ITE），得到了复体（ITE）的计数函数$N(r)$的带余项的Weyl公式。分析是基于一个半经典的方法。
Kato smoothness and functions of perturbed self-adjoint operators
我们考虑作用在希尔伯特空间中的自伴算子$H_0$和$H_1$的差分$f(H_1)-f(H_0)$.我们建立了一类新的估计算子范数和Schatten类范数的差异。我们的估计利用散射理论的思想，并涉及条件$H_0$和$H_1$的加藤平滑。他们允许一个更广泛的功能类$f$（包括一些无界的）比以前可用的结果。作为一个重要的技术工具，我们提出了Schatten类值光滑的新概念，并发展了一个新的框架，双重算子积分。
Denjoy-Carleman differentiable perturbation of polynomials and unbounded operators
设$t\in T$的$t\mapsto A(t)$是一个$C^M$ -映射，其值为无界算子，其紧预解式和公共定义域是自伴的或正规的.这里$C^M$代表$C^\om$（实解析），一个准解析或非准解析的Denjoy-Carleman类，$C^\infty$，或Hölder连续性类$C^{0,\al}$。参数域$T$是$\mathbb R$或$\mathbb R^n$或无限维方便向量空间。我们证明和审查的结果$C^M$依赖于$t$的特征值和特征向量的$A(t)$。
Weyl-von Neumann Theorem and Borel Complexity of Unitary Equivalence Modulo Compacts of Self-Adjoint Operators
Weyl-von Neumann定理证明了Hilbert空间$H$上的两个有界自伴算子$A,B$是酉等价的模紧，即，对于某些酉$u\in \mathcal{U}(H)$和紧自伴算子$K$，当且仅当$A$和$B$具有相同的本质谱：$σ_{\rm{ess}}(A)=σ_{\rm{ess}}(B)$。在本文中，我们考虑在何种程度上可以（不）扩展到无界算子的描述集理论的Weyl-von Neumann的结果。我们表明，如果$H$是可分的无限维，有界自伴算子的等价关系是光滑的，而一般的自伴算子的等价关系包含一个密集的$G_δ$ -轨道，但不允许分类的可数结构。另一方面，显然相关的等价关系$A\sim B\Leftrightarrow \exists u\in \mathcal{U}(H)\ [u(A-i)^{-1}u^*-(B-i)^{-1}$是紧凑的]，是光滑的。各种Borel或co-analytic等价关系相关的自伴算子也被提出。
Higher order spectral shift, II. Unbounded case
我们构造了高阶谱位移函数，它表示函数在扰动自伴算子处的值通过函数在初始无界算子处的导数的Taylor型逼近.在零阶和一阶近似的特殊情况下，M. G. Krein和L. S. Koplienko，分别。本文得到的高阶谱移函数可以由低阶谱移函数，特别是Krein和Koplienko谱移函数，递归地表示出来。这推广了Dykema和Skripka最近关于有界算子的结果.
Unique continuation and lifting of spectral band edges of Schrödinger operators on unbounded domains (With an Appendix by Albrecht Seelmann)
我们证明并应用了两个定理：第一，在有界或无界区域上，薛定谔算子谱子空间中函数的定量的、无标度的唯一连续估计;第二，在半定扰动下，自伴算子本质谱的边的扰动和提升估计.这两个结果相结合，以获得较低的和较高的Lipschitz边界上的函数parametrizing本地选择的边缘的本质谱的薛定谔运营商的耦合常数的依赖。类似的估计特征值，可能在间隙的本质谱，以及展出。
Periodic perturbations of unbounded Jacobi matrices III: The soft edge regime
当$0$位于相应周期Jacobi矩阵的谱的软边时，我们给出了具有周期调制项的Jacobi矩阵的非常详细的谱分析.特别是，我们研究的运营商总是自伴的调制序列无关。此外，如果调制序列的增长是超线性的，那么所考虑的算子的谱总是离散的。最后，我们研究了这类正则扰动在线性和次线性情形下的情形。我们施加条件，确保频谱是绝对连续的某些地区的真正的线。还提供了一个建设性的公式的密度方面的图兰行列式。
Convergence of the conjugate gradient method with unbounded operators
在无限维希尔伯特空间上的线性反问题的框架中，我们证明了在自伴非负算子是无界的，且对迭代算法的初始猜想有极小的、技术上不可避免的假设的最一般情况下，共轭梯度迭代收敛到反问题的精确解.收敛性被证明总是保持在希尔伯特空间范数（误差收敛），以及在其他水平的正则性（能量范数，剩余等）。这取决于迭代的规律性。我们还讨论了，无论是分析和通过选择的数值试验，我们的收敛结果的主要特点和差异相比的情况下，已经在文献中，操作员有界。
Unbounded Fredholm Operators and Spectral Flow
本文利用Cayley变换和直接法研究了可分希尔伯特空间中（不一定有界）自伴弗雷德霍姆算子空间的间隙（=“投影范数”=“图距离”）拓扑.特别是，我们表明，空间是连接相反的有界的情况。此外，我们提出了一个严格的定义，这样的运营商（实际上替代，但相互等价的定义）的路径的谱流，并证明同伦不变性。作为例子，我们讨论了带边界流形上的算子曲线。
When does the Weyl-von Neumann Theorem hold?
Weyl和von Neumann的一个著名定理断言两个有界自伴算子模紧幺正等价，当且仅当它们的本质谱一致。上述定理对无界算子不成立。然而，存在$\mathbb{R}$的闭子集$M$，Weyl-von Neumann定理在其上成立：所有（不一定有界）具有本质谱$M$的自伴算子模紧是酉等价的。在本文中，我们确定确切的$M$满足这一性质。
Elliptic finite-band potentials of a non-self-adjoint Dirac operator
本文构造了非自伴Dirac算子的双参数椭圆有限带势，连接已知极限情形，通过谱刻画与Heun方程关联，并生成聚焦NLS层次的正负流有限亏格解。
Local spectral approximation of unbounded operators: non-asymptotic and unified error quantification for subspace methods
本文提出了一种非渐近性的子空间方法框架，用于局部近似无界算子的谱，并统一量化多种误差源下的误差，解决了谱污染等数值问题。
The Spectral shift function and the Witten index
本文综述了自伴算子谱移函数的概念及其与Witten指标关系的研究进展。我们还描述了Krein迹定理的证明，该定理不使用复分析[53]，并将其扩展到一般$σ$ -II型有限冯诺依曼代数$\mathcal{M}$和来自$\mathcal{M}$的前对偶的无界扰动。我们还讨论了某些模型算子的谱移函数理论和指数理论之间的联系。我们首先介绍Witten指数的各种定义（Fredholm指数概念对非Fredholm算子的扩展）。然后我们研究了$L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$中与算子路径$\{A(t)\}_{t=-\infty}^{\infty}$相关联的模型算子$D_{A^{}} = (d/dt) + A$，其中$(A f)(t) = A(t) f(t)$对于a.e. $t\in\mathbb{R}$和适当的$f \in L^2(\mathbb{R};\mathcal{H})$。该设置允许操作家庭$A(t)$上的$\mathcal{H}$是一个无界的自伴操作$A_-$的无界相对迹类扰动，并没有离散谱假设的渐近线$A_{\pm}$。当$A_{\pm}$是有界可逆的时，证明了$D_{A^{}}$是Fredholm，其指数可计算为$ξ(0; A_+, A_-)$ .当$0\inσ(A_+)$（或$0\inσ(A_-)$）时，运算符$D_{A^{}}$不再是Fredholm。然…
Bounds on the spectrum and reducing subspaces of a J-self-adjoint operator
给定希尔伯特空间H上的自伴对合J，考虑H上的J-自伴算子L = A + V，其中A是与J交换的可能无界自伴算子，V是有界J-自伴算子反-我们建立了L的谱相对于A的谱的位置的最优估计，并且得到了L的最大和最小算子角之间的范数界。未扰动算子A和扰动算子L的定约化子空间。所有的界都是根据V的范数和与算子L和/或算子A相关联的不相交谱集对之间的距离给出的。作为例子，讨论了PT对称微扰下的量子谐振子。得到的算子角的严格范数界将著名的Davis-Kahan三角定理推广到J-自伴扰动的情形。
A survey on the resolvent convergence
该综述围绕自伴算子预解式展开，研究无界自伴算子多类预解式收敛的特性、其与谱收敛的关联，以及和强图极限、$G$-收敛、$Γ$-收敛的联系。
Pseudospectra of the heat operator Pencil
该研究针对带左狄利克雷、右诺依曼边界条件的一维热方程，将其重构为非自伴2×2无界块算子矩阵束，通过分析其谱、伪谱及(n,ε)-伪谱包络研究热算子束，并辅以离散化方程图像验证结果。
Schrödinger operators with $δ$-potentials supported on unbounded Lipschitz hypersurfaces
本文考虑$L^2(\mathbb{R}^d)$中的自伴薛定谔算子$\mathsf{A}_α$，$d\geq 2$，其$δ$ -势支持在强度为$α\in L^p(Σ)+L^\infty(Σ)$的Lipschitz超曲面$Σ\subseteq\mathbb{R}^d$上.我们证明了基态的唯一性，并在对系数$α$和超曲面$Σ$的一些附加条件下，确定了$\mathsf{A}_α$的本质谱。在$Σ$是超平面的特殊情况下，我们得到了以相对论性薛定谔算子为Birman-Schwinger算子的Birman-Schwinger原理.作为应用，我们证明了$\mathsf{A}_α$的频谱底部的优化结果。
On Self-adjoint extensions and symmetries in Quantum Mechanics
给出了Hilbert空间$\mathcal{H}$上李群$G$的酉表示，利用冯·诺依曼定理和二次型理论，发展了对称算子的$G$ -不变自伴扩张理论.分析了酉表示的约化理论与$G$ -不变无界算子约化的关系。我们还证明了一个$G$不变版本的表示定理二次型。将已有的结果应用于研究Laplace-Beltrami算子在光滑黎曼流形上的$G$ -不变自伴扩张，该流形具有群$G$作用于其上的边界.这些扩张用作用在$L^2$ -空间边界上的容许幺正$U$来标记，并且在$-1$处具有谱隙。证明了如果对称群$G$的酉表示$V$是可迹的，则由$U$确定的Laplace-Beltrami算子的自伴扩张是$G$ -不变的，如果$U$和$V$在边界可换.最后讨论了各种重要的例子。
Scattering matrices and Dirichlet-to-Neumann maps
证明了由两个自伴算子组成的散射系统的散射矩阵用抽象算子值Titchmarsh-Weyl $m$ -函数表示的一般公式。这一结果适用于散射问题的不同自伴实现的薛定谔算子的无界域，薛定谔算子与奇异的潜力支持超曲面，正交耦合的薛定谔算子。在这些应用中的散射矩阵表示在一个明确的形式与狄利克雷到诺依曼映射的帮助。
Spectral gaps for self-adjoint second order operators
考虑了区域上的二阶自伴算子，该区域可以是有界的，也可以是无界的。将边界分为两部分，一部分采用Dirichlet边界条件，另一部分采用Neumann边界条件。我们假设这个算子的势部分是非负的。我们添加一个本地化的扰动，假设它产生两个负的孤立的本征值是两个最低的谱值的扰动算子。主要结果是这两个特征值之间的差距的下界。它明确地给出了在域的几何性质和扰动算子的系数。我们将此估计应用到几个渐近制度，研究其依赖于各种参数。我们讨论的具体例子的运营商的界限可以应用。
Nagy-Foias type functional models of nondissipative operators in parabolic domains
构造了希尔伯特空间X上无界自伴算子的非耗散无界扰动的泛函模型.该模型类似于耗散算子的Nagy-Foias模型，但它与该算子线性相似且不幺正等价。它被附加到抛物型域，而不是半平面。明确给出了X到模型空间的变换映射和特征函数的模拟。Nagy-Foias构造的所有常见结果（H-infty演算，交换子提升等）在我们的语境中是正确的。
Spectral Theory of Elliptic Operators in Exterior Domains
我们考虑了$\cA=\sum_{0\le |α|,|β|\le m}(-1)^αD^αa_{α, β}(x)D^β$型椭圆微分表达式在具有紧边界的$\bbR^n$中的光滑（有界或无界）域上的各种闭（和自伴）扩张，$a_{α, β}(\cdot)\in C^{\infty}({\overlineΩ})$。利用边界三元组和算子值Weyl-Titchmarsh函数的概念，我们证明了$\cA$的这些封闭实现的预解式差的幂的各种迹理想性质，并得到了某些自伴实现在Dirichlet实现的谱间隙中的特征值的估计.我们的结果扩展了Visik，Povzner，Birman和Grubb的经典定理。
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