Mapping Analytic sets onto cubes by little Lipschitz functions
度量空间之间的映射$f:X\to Y$称为\emph{little Lipschitz}，如果量$$ \operatorname{lip}(f(x)=\liminf_{r\to0}\frac{\operatorname{diam} f(B(x,r))}{r} $$对于每个$x\in X$是有限的。证明了如果一个紧致（或者更一般地说，解析）度量空间的填充维数大于$n$，则$X$可以通过一个小Lipschitz函数映射到一个$n$维立方体上.结果需要两个事实，这两个事实本身就很有趣。首先，一个解析度量空间$X$包含，对于任何$\varepsilon>0$，一个紧子集$S$嵌入到超度量空间的Lipschitz映射，和$\dim_P S\geq\dim_P X-\varepsilon$。第二，闭子集上的小Lipschitz函数允许小Lipschitz扩张。
2018-02-22 math.CA
Differentiability of Lipschitz Functions in Lebesgue Null Sets
证明了当n>1时，R^n中存在一个Lebesgue零集，其中包含R^n到R^（n-1）的Lipschitz函数的一个可微点;结合他人的工作，完成了经典Rademacher定理何时允许逆定理的研究.避免sigma-porous集，出现不规则点的Lipschitz函数，在证明中起着关键作用。
2014-03-11 math.CA math.FA
Semmes surfaces and intrinsic Lipschitz graphs in the Heisenberg group
海森堡群中的塞姆斯曲面是闭集$S$，它是上Ahlfors正则的，余维为1，并满足以下条件，称为条件B。每个具有$x \in S$和$0 < r < \operatorname{diam} S$的球$B(x,r)$包含两个半径与$r$相当的球，这两个球包含在$S$的补的不同连通分量中。类似集在欧几里得空间中介绍了塞姆斯在后期$80$的。我们证明了海森堡群中的Semmes曲面是余维为1的下Ahlfors正则曲面，并且有大片的内禀Lipschitz图。特别是，我们的结果适用于弦弧域和约化等周集的边界。
2020-03-09 math.CA math.MG
Null sets of harmonic measure on NTA domains: Lipschitz approximation revisited
我们证明了螺旋形域内大片Lipschitz图的David-Jerison构造不要求其曲面测度是上Ahlfors正则的。这样我们就可以利用Lipschitz近似研究局部有限周长的NTA域上的调和测度与曲面测度的绝对连续性。F.和M.对空间中的NTA域，得到了平面单连通域的Riesz定理。因此，每个沃尔夫雪花都有无限的表面测量。
2010-10-28 math.AP math.CA
Applications of the Painlevé-Kuratowski convergence: Lipschitz functions with converging Clarke subdifferentials and convergence of sets defined by converging equations
Jagiellonian University（雅盖隆大学）
本文探讨了Painlevé-Kuratowski收敛在分析中的应用，包括Lipschitz函数的扩展、平方距离函数的逆定理以及函数纤维行为的研究，提供了实分析中Hurwitz定理的推广及代数集收敛性问题的部分结果。
2026-09-09 math.CA math.GT math.MG
Direction sets, Lipschitz graphs and density
我们考虑由欧几里得空间的各种子集$E$确定的方向集，并证明存在一个可分性：或者（i）子集是Lipschitz函数的图并且方向集在球面上不是稠密的，（ii）子集是非Lipschitz函数的图并且方向集是稠密的但不是所有的，或者（iii）子集不是图（在适当的意义上），并且每个方向都由集合确定。然后，我们探讨了各种结果的基础上，在额外的假设下，对集合$E$的这种分割。
2017-03-05 math.CA math.CO
Factorization and piecewise affine approximation of bi-Lipschitz mappings on large sets
本文利用 corona 型分解定理，证明单位立方体的双 Lipschitz 嵌入在任意小测度例外集外可分解为有限多个小失真全局双 Lipschitz 映射，并得到球面分解及分段仿射逼近结果。
2024-09-09 math.CA
Lipschitz one sets modulo sets of measure zero
我们用$ {\mathrm {lip}}f$和$ {\mathrm {Lip}}f$表示函数$f: {\mathbb R}\to {\mathbb R}$的局部“小”和“大”Lipschitz函数。在本文中，我们继续我们的研究有关以下问题。给定一组$E {\subset} {\mathbb R}$，是否有可能找到一个连续函数$f$，使得$ {\mathrm {lip}}f=\mathbf{1}_E$或$ {\mathrm {Lip}}f=\mathbf{1}_E$？在给出这个问题的部分答案时，一致密度型（UDT）和强一致密度型（SUDT）集起着重要的作用。本文证明了零Lebesgue测度的模集与${\mathrm {Lip}} 1$集重合。另一方面，我们证明了存在一个可测SUDT集$E$，使得对于任何满足$|EΔ\widetilde{E}|=0$的$G_δ$集$\widetilde{E}$，该集$\widetilde{E}$不具有UDT。结合这两个结果，我们得到存在不具有UDT的${\mathrm {Lip}} 1$集，也就是说，我们以前的一个结果的逆不成立。
2019-12-20 math.CA
An example of a differentiability space which is PI-unrectifiable
我们构造了一个（Lipschitz）可微空间，它在泛点有一个不连通的切线，因而不包含与允许Poincaré不等式的空间的正测度子集等距的正测度子集.我们还证明了$l^2$ -值Lipschitz映射是可微的，但也有取值于其它具有Radon-Nikodym性质的巴拿赫空间的Lipschitz映射在正测度集上不可微。
2016-11-05 math.CA math.MG
Capacities Characterizing Removable Sets for Various Function Spaces in Carnot Groups
University of Connecticut（康涅狄格大学）
本文研究了Carnot群中各类函数空间的可移除集，通过不同容量和算子刻画其可移除性及Lipschitz函数特性。
2025-12-19 math.CA
Reifenberg Parameterizations for Sets with Holes
本文将Reifenberg的拓扑圆盘定理的证明推广到有洞集的情形，并给出了$E$上存在$d$ -维平面或光滑流形对$E$的双Lipschitz参数化的充分条件.这样的条件用P. Jones数$β_1(x,r)$的平方和表示。特别是，它适用于局部Ahlfors正则的情况下，以提供非常大的块的双Lipschitz图像的$\R^d$。
2009-10-26 math.CA
Nodal sets of Steklov eigenfunctions near the boundary: Inner radius estimates
我们表明，Steklov本征函数在有界Lipschitz域有波长密集的节点集附近的边界，相反，可以发生什么内部的域。作为逆，在二维Lipschitz域$Ω$中，我们证明了Steklov本征函数的任何节点域都包含一个以$\partialΩ$为中心，半径为$c_Ω/λ$的半球.
2022-09-13 math.AP math.CA
Big and little Lipschitz one sets
给定一个连续函数$f: {\mathbb R}\to {\mathbb R}$，我们分别用$ {\mathrm {Lip}} f$和$ {\mathrm {lip}} f$表示所谓的“大唇”和“小唇”函数。在本文中，我们感兴趣的是以下问题。给定一组$E {\subset} {\mathbb R}$，是否有可能找到一个连续函数$f$，使得$ {\mathrm {lip}} f=\mathbf{1}_E$或$ {\mathrm {Lip}} f=\mathbf{1}_E$？对于单调连续函数，我们提供了相当直接的答案。对于任意连续函数，答案要难得多。引入了均匀密度型（UDT）的概念，证明了若$E$是$G_δ$和UDT，则存在一个满足$ {\mathrm {Lip}} f =\mathbf{1}_E$的连续函数$f$，即$E$是一个$ {\mathrm {Lip}} 1$集.在另一个方向，我们证明了每个${\mathrm {Lip}} 1$集是$G_δ$和弱稠密的。我们还表明，这一说法的逆是不正确的，即存在弱稠密$G_{δ}$集不是$ {\mathrm {Lip}} 1$。我们说集合$E\subset \mathbb{R}$是${\mathrm {lip}} 1$，如果存在连续函数$f$使得${\mathrm {lip}} f=\mathbf{1}_E$。我们引入了强单侧稠密的概念，证明了…
2021-02-10 math.CA
The measures with $L^2$-bounded Riesz transform and the Painlevé problem for Lipschitz harmonic functions
本文给出了$\mathbb R^{n+1}$中测度$μ$的一个几何特征，它具有$n$的多项式上阶增长，使得$n$维里斯变换$Rμ(x) = \int \frac{x-y}{|x-y|^{n+1}}\,dμ(y)$属于$L^2(μ)$ .更准确地说，它表明，$$\|Rμ\|_{L^2(μ)}^2 + \|μ\|\approx \int\!\!\int_0^\infty β_{2,μ}(x,r)^2\,\frac{μ(B(x,r))}{r^n}\,\frac{dr}r\,dμ(x) + \|μ\|,$$，其中$β_{μ,2}(x,r)^2 = \inf_L \frac1{r^n}\int_{B(x,r)} \left(\frac{dist(y,L)}r\right)^2\,dμ(y),$的下确界采取所有仿射$n$ -平面$L\subset \mathbb R^{n+1}$ .作为推论，得到了Lipschitz调和函数的可去集的度量几何势的一个刻画，并导出了Lipschitz调和函数的可去集类对bilipschitz映射是不变的.
2021-06-09 math.AP math.CA
Structure Theory of Parabolic Nodal and Singular Sets
本文研究了抛物线不等式解的节点和奇点集的结构，提出新的估计方法并揭示了其与正则抛物线Lipschitz图的关系。
2025-11-20 math.AP math.CA math.DG
Full measure universality for Cantor Sets
The University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
本文研究了康托集的全测度普遍性，证明在特定维度假设下，康托集不是全测度普遍的，并给出了相关结论。
2025-12-19 math.CA
