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全测度普遍性对于康托集

Full measure universality for Cantor Sets

The University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）

Pablo Shmerkin, Alexia Yavicoli

备注：
v2: small issues fixed, main results unchanged. 23 pages
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AI总结：

本文研究了康托集的全测度普遍性，证明在特定维度假设下，康托集不是全测度普遍的，并给出了相关结论。

摘要：

我们研究了埃德尔斯相似性问题的康托集变种。我们证明，在轻微的豪斯多夫或packing对数维度假设下，康托集不是全测度普遍的，显著改进了已知的事实，即正豪斯多夫维度的集合不是测度普遍的。我们证明了对于所有康托集A，存在一个稠密的G_δ集X⊂R^d，其全测度为X，使得对于任何bi-Lipschitz函数f:R^d→R^d，使得f(A)+t⊆X的平移t的集合测度为零。等价地，存在一个null集B⊂R^d，使得R^d\ (f(A)+B)对于所有bi-Lipschitz函数f都是null。

英文摘要：

We investigate variants of the Erdős similarity problem for Cantor sets. We prove that under a mild Hausdorff or packing logarithmic dimension assumption, Cantor sets are not full measure universal, significantly improving the known fact that sets of positive Hausdorff dimension are not measure universal. We prove a weaker result for all Cantor sets $A$: there is a dense $G_δ$ set of full measure $X\subset\mathbb{R}^d$, such that for any bi-Lipschitz function $f:\mathbb{R}^d\to \mathbb{R}^d$, the set of translations $t$ such that $f(A)+t\subseteq X$ is of measure zero. Equivalently, there is a null set $B\subset\mathbb{R}^d$ such that $\mathbb{R}^d\setminus (f(A)+B)$ is null for all bi-Lipschitz functions $f$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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