Two Measures on Cantor Sets
Gokalp Alpan, Alexander Goncharov
给出了一个康托型集的平衡测度与相应的Hausdorff测度相互绝对连续的例子。我们还证明了这两个测度在Stahl-Totik意义下是正则的。
We give an example of Cantor type set for which its equilibrium measure and the corresponding Hausdorff measure are mutually absolutely continuous. Also we show that these two measures are regular in Stahl-Totik sense.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Exact Hausdorff Measure of Certain Non-Self-Similar Cantor Sets
利用康托尔集的典型覆盖，建立了一类非自相似Cantor集的Hausdorff测度公式.
On Intersections of Cantor Sets: Hausdorff Measure
我们建立公式的Haudorff措施的某些康托集的交集与他们的翻译界。作为结果，我们得到了这些交叉的豪斯多夫维数的公式。
The Favard length of product Cantor sets
Nazarov，Peres和Volberg最近证明了四角康托尔集的$n$ -次迭代的Favard长度是由$n^{-c}$对适当的$c$从上有界的.我们把这个结果推广到所有在某个方向上的投影具有正的1维测度的乘积Cantor集。
Recent progress on Favard length estimates for planar Cantor sets
这是一篇简要的论文，详细介绍了这个问题的一些最新进展，重点是我与Bond和Volberg一起为有理乘积集（arXiv：1109.1031）开发的数论方法。
On Intersections of Cantor Sets: Self-Similarity
设C是一个康托尔集.对于实数t，设C+t是C的平移，若C与C+s的交是C与C+t的交的平移，则称两个实数s，t等价.本文考虑一类由相似性决定的Cantor集，它具有一个固定的正压缩比。对于这类康托尔集，我们证明了C和C+t的交集的“初始段“是一个自相似集，其收缩比是用来描述C为自相似集的收缩比的幂当且仅当t等价于一个有理数.即使对于中间三分之一的康托尔集，我们的结果也是新的。
On generating regular Cantorvals connected with geometric Cantor sets
我们证明了与几何康托集相连的康托值不是任何级数的成就集。然而，它们中的许多是由仿射函数组成的IFS的吸引子。
Open intervals in sums and products of Cantor sets
本文通过新论证证明足够多个任意中心康托集的和与积可产生大的开区间，并将讨论推广到其 $C^1$ 像，为 Astels 的厚度结果提供新视角，同时处理康托集幂的和与积问题。
Cantor sets in higher dimension I: Criterion for stable intersections
本文在高维空间中研究Cantor集的稳定相交判据，并提出构造显式稳定相交Cantor集的方法，适用于Hausdorff维度极小的复杂情形。
Some remarks about Cantor sets
这些非正式的笔记简要地讨论了康托集的各个方面。
On Cantor-like sets and Cantor-Lebesgue singular functions
本文讨论了康托尔集的几种变形和推广，并研究了它们的一些性质。同样，对于每一种推广，都可以从集合中构造一个类似康托的函数。我们将简要讨论这些功能的可能结构。
p-Adic Heisenberg Cantor sets, 2
在这些非正式的笔记中，我们继续探索海森堡群的p-adic版本及其一些变体，包括相应的康托集的结构。
On Cantor sets and doubling measures
对于实直线上的一大类Cantor集，我们找到了一个集具有正（或负）的充分和必要条件.零）的措施，所有加倍措施的实数线。我们还讨论了定义在某些中点Cantor集上的原子加倍测度的相同类型的问题。
p-Adic Heisenberg Cantor sets
这些非正式的笔记处理海森堡群的p-adic版本和相关的问题。
p-Adic Heisenberg Cantor sets, 3
在这里，我们看看一些相关的结构，以及与它们相关的映射。
Exact Hausdorff and Packing measure of certain Cantor sets, not necessarily self-similar or homogeneous
我们计算了可能不是自相似或齐次的线性Cantor集的精确Hausdorff和Packing测度。该计算基于集合上支持的自然概率测度的局部行为。
Classifying Cantor Sets by their Fractal Dimensions
本文研究了在Besicovitch和Taylor意义下由单调序列定义的Cantor集。我们分类这些康托集的H-豪斯多夫和H-包装措施，为家庭的维函数h，并表征这种分类的基本序列。
Some toy Furstenberg sets and projections of the four-corner Cantor set
本文给出了某些模型Furstenberg集的豪斯多夫维数的下界.
Characterization of the algebraic difference of special affine Cantor sets
本文研究了由参数l,r,p∈N生成的自相似康托集S-康托集，分析了其代数差的结构特征，揭示了其可能为区间、康托集、L-康托瓦尔、R-康托瓦尔或M-康托瓦尔等形式。
Packing and Hausdorff measures of Cantor sets associated with series
我们研究了Morán的和集的推广，获得有关$h$ -Hausdorff和$h$ -包装措施，这些集合和它们的某些子集。
Almost-nowhere intersection of Cantor sets, and sufficient sampling of their cumulative distribution functions
康托集是通过迭代地移除区间的部分来构造的。这个过程产生一个累积分布函数（CDF），构造从不变测度与他们的迭代函数系统。在适当的假设下，我们确定这样的CDF的采样方案，这意味着基本的康托尔集可以从足够多的CDF样本重建。为此，我们证明了两个康托集几乎无处（相对于各自的不变测度）相交。
Distribution of random Cantor sets on Tubes
我们证明了存在$(d-1)$正则紧集$E \subset \mathbb{R}^{d}, d\geq 2$使得对于任何$t< d-1$，我们有\[ \sup_T \frac{\mathcal{H}^{d-1}(E\cap T)}{w(T)^t}<\infty \]其中上确界是在所有宽度为$w(T) >0$的管$T$上.这就解决了T.奥波宁我们构造的集合是随机康托集，该方法结合几何和概率估计这些随机康托集与仿射子空间的交集。
Excursions on Cantor-like Sets
三元康托尔集$C$，由乔治·康托在1883年构造，可能是实数线上完美疏集的最著名的例子，但正如我们稍后将看到的，它不是唯一的例子。本文将探讨$C$的丰富性、特殊性和一般性，并探讨它的一些变体和推广。为了更系统地处理康托集，我们参考我们以前的论文。
Subsum Sets: Intervals, Cantor Sets, and Cantorvals
给定一个收敛到零的序列，我们考虑一组数字是（无限的，有限的，或空的）连续性的总和。当原序列不是绝对可和时，其子和集是一个包含零的无界闭区间。当它是绝对可和的子和集是以下之一：（非平凡）紧区间的有限并集，康托尔集，或“对称康托尔集”。
Sets of full measure avoiding Cantor sets
关于Erd \H os相似性问题（证明了对于任意实数的无限集$A$，存在一个正勒贝格测度集，它不包含$A$的仿射拷贝），我们给出了测度不泛的无限集的一些新例子，即它们满足上述猜想.这些是对称的康托集$C$，它可以是非常薄的：定义康托尔集的第$n$代间隔的长度几乎以双倍指数方式减小。此外，我们实现了构建一个集，不仅是正测度，但\textit{full measure}不包含任何仿射副本的$C$。我们的方法是概率的。
Integer Cantor Sets: Arithmetic Combinatorial Properties
本文研究整数康托集的算术组合性质，探讨了交集性质、均匀分布、多项式均值遍历定理及度量对称相关性等核心问题。
$L^2$-norm and estimates from below for Riesz transforms on Cantor sets
本文的目的是估计向量值里斯变换$R_ν^s$的$L^2$ -范数和$\R^d$中Cantor集上的Riesz算子的范数，并研究$R_ν^s$的值的分布.也就是说，我们证明了这种分布在以下意义上是“均匀的”。与平均值相当的$|R_ν^s|^2$的值在康托尔集的“大”部分上。我们应用这些结果给出的例子，证明我们以前的估计的尖锐性的一组点，其中里斯变换是大的，并为相应的Riesz容量。所考虑的康托集不同于通常的角康托集。它们是通过本文中介绍的某种正则化过程构造的。
Infinite constant gap length trees in products of thick Cantor sets
本文证明充分厚的 Cantor 集乘积可在平面上生成相邻顶点间距为常数的树，且该距离取值集合具有非空内部，并允许树为可数无限，扩展了分形集中的模式研究。
Visible and Invisible Cantor sets
在这篇文章中，我们研究了哪些康托集存在规范函数h，使得h-Hausdorff测度是正的和有限的。我们表明，集合的集合，这是真的是密集的波兰空间X的所有紧子集的集合。更一般地，任何一般的康托尔集满足存在一个不变测度μ，对于该测度μ，该集合具有正的有限μ-测度。相反，我们推广了戴维斯关于无量纲康托集的例子（即任何平移不变测度为零或非σ有限的康托尔集，这使我们能够证明这些集合的集合在波兰空间X的所有紧子集的集合中也是稠密的。
Hausdorff and harmonic measures on non-homogeneous Cantor sets
我们考虑（不自相似）康托集定义的序列分段线性函数。我们证明了这样的集合上的调和测度的维数严格小于它的豪斯多夫维数。还提供了这些集合的一些Hausdorff测度估计。
A non-linear Roth theorem for thick Cantor sets
本文提出了一种非线性罗思定理，用于厚坎托集中的三项等差数列存在性证明。
Kakeya-type sets over Cantor sets of directions in $\mathbb{R}^{d+1}$
给定一个康托型子集$Ω$的平滑曲线在$\mathbb R^{d+1}$，我们构造的例子集，包含单位线段的方向从$Ω$和表现出类似的分析功能的经典Kakeya集的任意小$(d+1)$维勒贝格测度。该结构是基于概率的方法依赖于树结构的$Ω$，并扩展到更高的维度的一个类似的平面贝特曼和卡茨的结果。特别地，这样的集合的存在意味着与方向集合$Ω$相关联的方向极大算子对于所有$1\leq p<\infty$在$L^p(\mathbb{R}^{d+1})$上是无界的。
Diffusion on middle-$ξ$ Cantor sets
本文研究了广义Cantor集上的$C^ζ$ -演算，这类集具有自相似性质，分数维超过了它们的拓扑维数.具有分形支撑的函数在标准微积分中是不可微或不可积的，因此我们必须涉及局部分数阶导数。我们将$C^ζ$ -演算推广到广义Cantor集上，称为中- $ξ$ Cantor集.我们提出了一种关于中$ξ$ Cantor集的演算，它适用于不同的$ξ$值和$0<ξ<1$ .微分方程的中间$ξ$康托集已解决，我们已经提出的结果，使用说明性的例子。给出了分形集上超扩散、正规扩散和次扩散的条件。
Calderon-Zygmund capacities and Wolff potentials on Cantor sets
我们证明了，对于R^d中的某些Cantor集，与s维里斯核x/ |x| ^{s+1}相关的容量g_s与非线性位势论的容量C_{2(d-s)/3,3/2}相当.当s为正非整数时，R^d中的所有紧集都是可比较的，这是一个公开问题。我们还讨论了该领域的其他开放问题。
Groups and Cantor sets
众所周知，对角线上有1的n × n上三角实矩阵形成一个幂零李群，它具有一个有趣的非各向同性膨胀族和相应的几何，如[9]所示。在这里，我们看看p-adic版本，以及相关的问题。
Intrinsic Approximation on Cantor-like Sets, a Problem of Mahler
1984年，库尔特·马勒提出了以下基本问题：康托尔集中的无理数能在多大程度上被康托尔集中的有理数所近似？为了发展这样一个理论，我们证明了Cantor-like集上这个内在丢番图逼近的Dirichlet型定理，并讨论了相关的可能定理/定理.得到的近似函数类似于R^d的近似函数，但d是集合的豪斯多夫维数，而对分母的对数依赖性。
Cantor sets in higher dimensions II: Optimal dimension constraint for stable intersections
本文证明了对于正则Cantor集，上盒维数之和小于d时可被小变形分离，且此约束是最佳的。通过构造具有任意小厚度的正则Cantor集对，展示了C^{1+α}稳定交集的条件。
Full measure universality for Cantor Sets
本文研究了康托集的全测度普遍性，证明在特定维度假设下，康托集不是全测度普遍的，并给出了相关结论。
Decoupling and near-optimal restriction estimates for Cantor sets
对于任何$α\in(0,d)$，我们构造Cantor集在$\mathbb{R}^d$的豪斯多夫维数$α$，使得相关的自然测度$μ$服从所有$p>2d/α$的限制估计$\| \widehat{f dμ} \|_{p} \leq C_p \| f \|_{L^2(μ)}$。除端点外，此范围均为最佳范围。这扩展了Chen-Seeger和Shmerkin-Suomala的早期工作，其中通过使用$k\in\mathbb{N}$对$α=d/k$的不同方法获得了类似的结果。我们的证明是基于Bourgain-Demeter的解耦技术和Bourgain关于$Λ(p)$集的存在性定理。
On the self similarity of generalized Cantor sets
本文考虑广义Cantor集类$$Γ_{\mathcal{D}}=\Big\{\sum_{n=1}^\infty d_nβ^{n}: d_n\in D_n, n\ge 1\Big\},$$的自相似结构，其中$0<β<1$和$D_n, n\ge 1,$是$\mathbb{Z}$的非空有限子集.给出了$Γ_{\mathcal{D}}$是齐次生成自相似集的一个充要条件.将给出广义康托集的交叉的自相似性的应用。
Cantor sets with absolutely continuous harmonic measure
我们构造了平面上的小维Ahlfors正则Cantor集$K$，使得$K$上的Hausdorff测度等价于与它的补集相关的调和测度.特别地，当$\mathrm{dist} (x, K) \le 1$和$p$远离$K$时，$R^2 \backslash K$中的格林函数满足$G^p (x) \simeq \mathrm{dist} (x, K)^δ$。
Fourier transform and expanding maps on Cantor sets
本文研究了强分离的非原子吉布斯测度$μ$的傅立叶变换$\widehatμ(ξ)$，以及强分离的Cantor集上有界畸变的一致扩展映射$[0,1]$的傅立叶变换$\widehatμ(ξ)$。当$T$是完全非线性的，则$\widehatμ(ξ) \to 0$以多项式速率为$|ξ| \to \infty$。
Favard length of non-homogeneous random disc-like Cantor sets
本文研究了非齐次随机四角康托尔集的Favard长度衰减，给出了尖锐估计，证明了Mattila下界的尖锐性，并构造了正解析容量但零Favard长度的新例子。
On Sums of Nearly Affine Cantor Sets
对于一个紧集$K\subset \mathbb{R}^1$和一个家庭$\{C_λ\}_{λ\in J}$的动态定义的康托集足够接近仿射$\text{dim}_H\, K+\text{dim}_H\, C_λ>1$的所有$λ\in J$，在自然的技术条件下，我们证明了和$K+C_λ$具有积极的勒贝格测度的参数$λ$的几乎所有的值。作为推论，我们证明了当两个仿射Cantor集的豪斯多夫维数之和大于1时，它们的和一般具有正的勒贝格测度.
Moreira's Theorem on the arithmetic sum of dynamically defined Cantor sets
本文给出了C.G.莫雷拉在温和的可检验条件下，定理断言实直线的两个动态定义的康托子集的算术和的豪斯多夫维数等于维数之和或1，取较小者。
A characterization of uniqueness of purely atomic finite measures with central Cantor set range
该研究刻画了值域为中心康托集的纯原子有限测度的唯一性，推广到对称康托集并对康托尔集值域测度的恢复做初步探讨。
Descriptions of Cantor Sets: A Set-Theoretic Survey and Open Problems
本文综述了实数上确定性康托集的集合论视角，探讨了四种层次递进的描述方法，并提出开放问题以促进进一步研究。
When the algebraic difference of two central Cantor sets is an interval?
令$C(a ),C(b)\subset \lbrack 0,1]$是由序列$ a,b \in (0,1)^{\mathbb{N}}$生成的中心康托集。本文的第一个主要结果给出了序列$a$和$b$的一个充分条件，该条件表明$C(a )-C(b)$等于$[-1,1]$或为闭区间的有限并.由此得到的一个推论是：代数差为一个区间的两个中心康托集的厚度积可以任意小。我们还证明了存在Hausdorff维数等于$0$的集合$C(a)$和$C(b)$使得它们的代数差是一个区间。最后，我们给出了一个完整的情况下，当$C(a )-C(b)$等于$[-1,1]$或是一个有限的闭区间的联合的特征。
Fractal uncertainty principle for discrete Cantor sets with random alphabets
本文研究了离散Cantor集的分形不确定性原理（FUP）。考虑M个数字的基数和基数A的字母表，使得所有对应的康托集都有固定的维数0<log A/log M<2/3。我们证明了FUP与Dyatlov-Jin（arXiv：1608.02238）的改进指数几乎适用于所有字母表，渐近M趋于无穷大。我们的结果提供了最好的指数时，康托集享受最强的傅立叶衰减假设或最强的附加能量假设。证明是基于一个浓度的测量现象的空间中的字母。
On Sums of Semibounded Cantor Sets
受非周期阶模型谱理论研究中出现的问题的启发，我们研究了实数线上半有界闭子集的函数和。我们表明，在适当的厚度假设的集合和增长假设的功能，这样的集合的总和包含半线。我们还举例说明我们的准则在适当的制度下是尖锐的。
Cantor sets and cyclicity in weighted Dirichlet spaces
本文讨论了加权Dirichlet空间中循环向量的特征问题，推广了我们在经典Dirichlet空间中的一些结果。加权狄利克雷积分的Carleson型公式的缺乏需要引入新的技术。
Fractal uncertainty principle for random Cantor sets
本文研究了随机康托集的分形不确定性原理，通过不同的随机方法构建了维度在(0,2/3)内的随机康托集，并证明了在高概率下该原理成立。
Orthogonal polynomials on Cantor sets of zero Lebesgue measure
本文综述了Cantor集上的正交多项式的一些结果和定理。本文的主要目的是强调平衡测度的作用，以便有一个一般的理论，足够好的措施（措施，表现类似的措施是在SzegIgnclass和等谱环面的有限间隙的情况下）支持全不连通的的子集$\mathbb{R}$。我们提出了一些开放的问题，其中一些可以进行数值研究。
Ultrametric Cantor Sets and Growth of Measure
最近在文献（Raut，S和Datta，DP（2009），Fractals，17，45-52）中引入的一类超度量Cantor集$(C, d_{u})$被证明具有一些新颖的性质。超度量$d_{u}$是利用{ \em相对无穷小}的概念和{ \em反演}规则定义的。相关联的（无穷小）的价值，原来是规模和reparametrisation不变，是确定与康托函数与康托集$\tilde C$的相对无穷小应该住。这些超度量都度量以及拓扑不等价的拓扑相比，通常的度量。原始康托尔集$C$的每个点都被标识为$\tilde C$的间隙集的闭包。在这样的超度量空间上的增量是通过遵循反演规则来实现的。因此，Cantor函数被重新解释为在这些扩展的超度量空间上的（每个地方）局部常数。在这样的超度量空间上研究了一个有趣的现象，称为{ \em测度增长}.利用估值的重参数化不变性，证明了勒贝格测度零的Cantor集的标度因子如何{ \em变形}，从而得到具有正测度的{ \em变形}康托尔集.引入了一个新的{ \em赋值指数}的定义，证明了它在正测度（胖）康托尔集的情况下产生胖指数.然而，赋值指数也可以用来区分具有相同的豪斯多夫维数和厚度的康托集。构造了一类具有豪斯多夫维数$\log_3 2$和厚度为1的Cantor集.
Affine embeddings of Cantor sets and dimension of $αβ$-sets
设$E, F\subset {\Bbb R}^d$是两个自相似集，并假设$F$可以相似地嵌入到$E$中.在假设$E$是尘埃状的并且具有小的豪斯多夫维数的情况下，我们证明了$E$和$F$的收缩比之间的对数相关性.这对\cite{FHR14}中的猜想1.2给出了部分肯定的回答。证明基于我们对单位圆上一类多旋转不变集的计盒维数的研究，包括Engelking和Katznelson最初研究的$αβ$ -集.
When is the fractal uncertainty principle for discrete Cantor sets most uncertain?
该研究给出离散康托集分形不确定性原理达到最不确定指数的充要条件，研究分布式谱对并完成循环群中的分类，还探讨了连续情形下的对应情况。
Existence of principal values of some singular integrals on Cantor sets, and Hausdorff dimension
本文研究了Cantor集上奇异积分主值的存在性，证明了在测度线性密度消失时主值存在点集的Hausdorff维数等于集合维数，并推广至高维Riesz奇异积分，同时引入鞅辅助证明。
The Lebesgue measure of boundaries of multigeometric Cantorvals
本文证明多重几何Cantorval边界为零测集，并推广至标准可实现Cantorval，同时证明成就集唯一性集合属于Borel类$\mathcal{G}_\delta$。
On the arithmetic sums of Cantor sets
设$C_\la$和$C_\ga$是$\mathbb{R}$中的两个仿射Cantor集，其相似维数分别为$d_\la$和$d_\ga$.我们定义了一个类似的Bandt-Graf条件的自相似系统，并使用它来给有$\Ha^{d_\la+d_\ga}(C_\la + C_\ga)>0$的必要和充分条件，其中$C_\la + C_\ga$表示的算术和的集合。我们使用这个结果来分析$C_\la \times C_\ga$形式的集合的正交投影性质。证明了对于Lebesgue投影不是一一对应的几乎所有方向$θ$，其投影都有零$(d_\la + d_\ga)$维Hausdorff测度.我们证明的情况下，$C_\la$和$C_\ga$的中间$(1-2\la)$和中间$(1-2\ga)$集的结果。
Kakeya Sets in Cantor directions
我们构造了一个由N个平行四边形组成的并集，这些平行四边形在平面上的维数约为1/N x 1，它们的长边的斜率在标准康托尔集中。并集的面积为1/log N，而双精度数的并集的面积为log log N/ log N。特别地，这意味着对于任何不同于无穷大的p，L^p中的相关极大算子是无界的。这种构造是通过随机化第二作者在L^2情况下的早期构造来实现的。证明该结构满足所需的条件是由初等估计理论的渗透树发展的R。里昂
Fractal uncertainty for discrete 2D Cantor sets
本文证明了离散二维Cantor集具有分形不确定性原理当且仅当其不含正交直线，关键运用了Lang猜想的定量形式，回答了Dyatlov的问题并应用于开放量子映射。
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