One-point extensions of Euclidean Ramsey sets
该研究证明有限欧氏拉姆齐集X的仿射包外添加任意点仍为欧氏拉姆齐集，解答了Ivan等人的猜想，给出了分情形的严格证明。
2026-08-13 math.CO
Ramsey number of a cycle versus a graph of a given size
KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库拉-科特赖克校区）；HUN-REN, Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究与教育网络，阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学技术研究所）；University College London（伦敦大学学院）
本文证明了cycle与给定大小的图的Ramsey数上限，解决了Erdős等人提出的问题。
2026-01-15 math.CO
Restricted size Ramsey number for $P_3$ versus cycles
设$F$、$G$和$H$是简单图。我们称之为$F \rightarrow (G, H)$，如果对于$F$的边的每个$2$ -着色，存在$F$中的单色$G$或$H$。拉姆齐数$r(G, H)$定义为$r(G, H) = min\{|V (F)|: F \rightarrow (G, H)\}$，而受限大小的拉姆齐数$r^{*}(G, H)$定义为$r^{*}(G, H) = min\{|E (F)|: F \rightarrow (G, H) , |V (F) | = r(G, H)\}$。在本文中，我们确定以前未知的限制大小拉姆齐数$r^{*}(P_3, C_n)$为$7 \leq n \leq 12$。对于偶$n \geq 8$，我们也给出了新的上界$r^{*}(P_3, C_n) \leq 2n-2$.
2018-11-20 math.CO
On the star-critical Ramsey number of a forest versus complete graphs
设$G$和$G_1, G_2, \ldots , G_t$是给定的图。$G\rightarrow (G_1, G_2, \ldots , G_t)$是指如果$G$的边被$t$颜色任意着色，则对于某些$i$，$1\leq i\leq t$，$G$的边被第$i$颜色着色的生成子图，包含$G_i$的副本。拉姆齐数$R(G_1, G_2, \ldots, G_t)$是最小的正整数$n$，使得$K_n\rightarrow (G_1, G_2, \ldots , G_t)$和大小拉姆齐数$\hat{R}(G_1, G_2, \ldots , G_t)$被定义为$\min\{|E(G)|:~G\rightarrow (G_1, G_2, \ldots , G_t)\}$。对于给定的具有$r=R(G_1, G_2, \ldots , G_t)$的图$G_1, G_2, \ldots , G_t$，星临界Ramsey数$R_*(G_1, G_2, \ldots , G_t)$定义为$\min\{δ(G):~G\subseteq K_r, ~G\rightarrow (G_1, G_2, \ldots , G_t)\}$。本文将根据完全图的拉姆齐数精确计算森林相对于任意数量的完全图的拉姆齐数和星临界拉姆齐数。结果，计算出的星临界Ramsey数被用来给出森林与完全图的Ramsey数大小的紧界。
2021-01-20 math.CO
All Ramsey critical graphs for a large tree versus $tK_{m}$
本文刻画了大树对$tK_{m}$的所有Ramsey临界图，并由此确定其星临界Ramsey数。
2025-06-23 math.CO
Improved lower bound on an Euclidean Ramsey problem
本文证明了K（C_n）的任意双色着色必包含一个单色平面K_4子图，其中n >= N^*，其中6 <= N^* <= N，N是Graham数。这个界限后来被改进为11 <= N^* <= N。在本文中，它被改进为13 <= N^* <= N。
2008-11-06 math.CO
Ramsey numbers of cubes versus cliques
立方体图Q_n是n维立方体的骨架。它是一个有2 ^n个顶点的n-正则图。Ramsey数r（Q_n，K_s）是使每一个N阶图都包含一个立方图Q_n或一个s阶独立集的最小数N。Burr和Erdos在1983年提出了一个问题：当s固定且n充分大时，简单的下界r（Q_n，K_s）>=（s-1）（2^n - 1）+1是否是紧的。我们在这个问题上取得了进展，得到了第一个上界这是一个恒定的因素的下界。
2013-12-13 math.CO
The size, multipartite Ramsey numbers for nK2 versus path-path and cycle
对于给定的图$G_1, G_2,\ldots, G_n$和任何整数$j$，多部拉姆齐数$m_j(G_1, G_2,\ldots, G_n)$的大小是最小的正整数$t$，使得$K_{j\times t}$的边的任何$n$ -着色包含$G_i$的单色副本，对于某些$i$，$1 \leq i \leq n$，其中$K_{j\times t}$表示具有$j$类的完全多部图，每个类具有$t$顶点。本文计算了多部Ramsey数$m_j(K_{1,2}, P_4, nK_2)$对任意$j,n\geq 2$和$m_j(nK_2,C_7)$，对任意$j\leq4$和$n\geq 2$的大小.
2021-01-03 math.CO
Nearly all known Euclidean Ramsey sets are subsoluble
本文证明几乎所有已知的欧几里得雷姆赛集都是子可解的，仅存在两个可能的例外。
2025-12-04 math.CO
The Ramsey numbers of paths versus wheels: a complete solution
设$G_1$和$G_2$是两个给定的图。Ramsey数$R(G_1,G_2)$是最小整数$r$，使得对于$r$顶点上的每个图$G$，$G$包含$G_1$或$\overline{G}$包含$G_2$。我们用$P_n$表示$n$顶点上的路径，用$W_m$表示$m+1$顶点上的轮。Chen等人和Zhang分别测定了$m\leq n+1$和$n+2\leq m\leq 2n$时的$R(P_n,W_m)$值。在本文中，我们确定所有的值$R(P_n,W_m)$的左情况$m\geq 2n+1$。结合Chen等人和Zhang等人的结果，我们给出了确定路径与轮的Ramsey数问题的完整解。
2013-12-07 math.CO
More on lines in Euclidean Ramsey theory
设$\ell_m$是一条直线上的一系列$m$点，其中连续点的距离为1。回答Fox和第一作者以及Arman和Tsaturian提出的一个问题，我们证明了对于每个不包含$\ell_3$的红色拷贝和$\ell_m$的蓝色拷贝的$n$，存在一个自然数$m$和一个红色/蓝色着色的$\mathbb{E}^n$。
2022-12-18 math.CO
Simplices and Regular Polygonal Tori in Euclidean Ramsey Theory
本文证明任意有限仿射无关集可等距嵌入正多边形环面，并借助 Kříž 定理给出所有有限仿射无关集均为 Ramsey 的新证明。
2022-07-08 math.CO
Hypergraph Ramsey numbers of cliques versus stars
设$K_m^{(3)}$表示$m$顶点上的完全$3$ -一致超图，$S_n^{(3)}$表示$n+1$顶点上的$3$ -一致超图，它由所有与给定顶点关联的$\binom{n}{2}$边组成.而许多超图Ramsey数增长要么最多多项式或至少指数，我们表明，非对角Ramsey数$r(K_{4}^{(3)},S_n^{(3)})$表现出一个不寻常的中间增长率，即\[ 2^{c \log^2 n} \le r(K_{4}^{(3)},S_n^{(3)}) \le 2^{c' n^{2/3}\log n} \]的一些积极的常数$c$和$c'$。这些界限的证明带来了一个新的拉姆齐问题网格图可能是独立的利益：什么是最小$N$，使任何$2$ -边着色的笛卡尔产品$K_N \square K_N$包含一个红色矩形或蓝色$K_n$？
2022-10-07 math.CO
Ramsey numbers for complete graphs versus generalized fans
对于两个图$G$和$H$，令$r(G,H)$和$r_*(G,H)$分别表示$G$与$H$的Ramsey数和星临界Ramsey数。1996年，Li和Rousseau证明了$m\geq 3$和充分大$n$的$r(K_{m},F_{t,n})=tn(m-1)+1$，其中$F_{t,n}=K_{1}+nK_{t}$ .最近，Hao和Lin证明了$r(K_{3},F_{3,n})=6n+1$对于$n\geq 3$和$r_{\ast}(K_{3},F_{3,n})=3n+3$对于$n\geq 4$。在本文中，我们表明，$r(K_{m}, sF_{t,n})=tn(m+s-2)+s$足够大的$n$，特别是，$r(K_{3}, sF_{t,n})=tn(s+1)+s$的$t\in\{3,4\},n\geq t$和$s\geq1$。我们还表明，$r_{\ast}(K_{3}, F_{4,n})=4n+4$的$n\geq 4$和建立上界$r(F_{2,m},F_{t,n})$。
2021-11-11 math.CO
On Star critical Ramsey numbers related to large cycles versus complete graphs
设$K_n$表示$n$顶点上的完全图，$G, H$表示有限图.考虑$K_n$的边的双着色。当第一种颜色（红色）的$G$副本或第二种颜色（蓝色）的$H$副本在$K_n$中时，我们写为$K_n\rightarrow (G,H)$。拉姆齐数$r(G, H)$定义为最小正整数$n$，使得$K_{n} \rightarrow (G, H)$。星临界Ramsey $r_*(G, H)$定义为$k$的最大值，使得$K_{r(G,H)-1} \sqcup K_{1,k} \rightarrow (G, H)$。在本文中，我们发现$r_*(C_n, K_m)$为$m \geq 7$和$n \geq (m-3)(m-1)$。
2020-09-15 math.CO
Online Ramsey numbers: Long versus short cycles
在线拉姆齐游戏是发挥建设者和画家之间的无限板$K_{\mathbb N}$。在每一轮中，生成器选择一条边，然后绘制器将其着色为红色或蓝色。两者都知道目标图$H_1$和$H_2$。Builder的目标是尽快在$K_{\mathbb N}$中创建$H_1$的红色副本或$H_2$的蓝色副本，Painter试图阻止它。在线Ramsey数$\tilde{r}(H_1,H_2)$是Builder获胜的最小回合数。我们研究$\tilde{r}(C_k,C_n)$，其中$k$是固定的，而$n$是大的。我们证明了，如果$k$是偶数，则对于绝对常数$c$有$\tilde{r}(C_k,C_n)=2n+\mathcal O(k)$，而如果$k$是奇数，则有$\tilde{r}(C_k,C_n)\le 3n+o(n)$。
2023-03-27 math.CO
The Ramsey Number for a Forest versus Disjoint Union of Complete Graphs
给定两个图$G$和$H$，拉姆齐数$R(G,H)$是最小整数$N$，使得$K_N$的边的任何着色为红色或蓝色都会产生红色$G$或蓝色$H$。设$v(G)$为$G$的顶点数，$χ(G)$为$G$的色数。令$s(G)$表示$G$的色剩余，即在所有具有$χ(G)$颜色的$G$的真着色上所取的最小色类的基数。Burr证明，对于连通图$G$和具有$v(G)\geq s(H)$的图$H$，$R(G,H) \geq (v(G)-1)(χ(H)-1)+s(H)$。一个连通图$G$称为$H$ -好的，如果$R(G,H)=(v(G)-1)(χ(H)-1)+s(H)$。本文主要确定了任意树$T_n$与$K_m\cup K_l$的Ramsey数。我们的结果得出$T_n$是$K_m\cup K_l$ -良好的。
2022-01-13 math.CO
Star-critical Ramsey numbers for cycles versus the complete graph on 5 vertices
令$G$、$H$和$K$表示三个没有环或平行边的图，$n$表示一个整数。给定$G$边缘的任何红蓝色着色，如果$K$中存在$G$的红色副本或$K$中存在$H$的蓝色副本，则我们称之为$K \rightarrow (G,H)$。设$K_n$表示$n$顶点上的完全图，$C_n$表示$n$顶点上的圈，$S_n=K_{1,n}$表示$n+1$顶点上的星.拉姆齐数$r(G, H)$定义为$\min\{n \mid K_n\rightarrow (G,H)\}$。同样，星临界拉姆齐数$r_*(H, G)$定义为$\min\{k \mid K_{r(G,H)-1} \sqcup K_{1,k} \rightarrow (H, G) \}$。当$n >3$，在本文中，我们表明，$r_*(C_n,K_5)=3n-1$除了$r_*(C_4,K_5)=13$。我们还刻画了所有Ramsey临界$r(C_n,K_5)$图。
2019-01-29 math.CO
A note on the Ramsey number of even wheels versus stars
对于两个图$G_1$和$G_2$，拉姆齐数$R(G_1,G_2)$是最小整数$N$，使得对于$N$顶点上的任何图，$G$包含$G_1$或$\overline{G}$包含$G_2$。设$S_n$是$n$阶的星，$W_m$是$m+1$阶的轮。本文证明了当$n\geq{6}$为偶数时，有$R(W_n,S_n)\leq{5n/2-1}$.证明了一个定理，它意味着$R(W_n,S_n)\geq{5n/2-2}$，其中$n\geq{6}$是偶数。因此，我们得出结论，$R(W_n,S_n)=5n/2-2$或$5n/2-1$，为$n\geq{6}$，甚至。
2015-10-28 math.CO
Ramsey numbers of trees versus odd cycles
Burr，Erdés，Faudree，Rousseau和Schelp首先研究了树的Ramsey数与奇圈的关系，证明了对于所有奇$m \ge 3$和$n \ge 756m^{10}$，都有$R(T_n, C_m) = 2n - 1$，其中$T_n$是具有$n$顶点的树，$C_m$是长度为$m$的奇圈。他们建议研究最小正整数$n_0(m)$，使得该结果对所有$n \ge n_0(m)$都成立，作为$m$的函数。本文证明了$n_0(m)$至多是线性的。特别地，我们证明了$R(T_n, C_m) = 2n - 1$对所有奇数$m \ge 3$和$n \ge 50m$都是.结合Faudree，Lawrence，Parsons和Schelp的结果，得出$n_0(m)$有界于两个线性函数之间，从而确定$n_0(m)$为常数因子。
2019-11-18 math.CO
Progressions in Euclidean Ramsey theory
本研究改进了欧几里得拉姆齐理论中共线点着色问题的结果，将蓝色单位间距共线点的阈值从$10^{50}$降至1177，并拓展了不同点间距下的相关结论。
2024-12-16 math.CO
Transitive Sets in Euclidean Ramsey Theory
在某个欧几里得空间$R^n$中的有限集$X$称为拉姆齐，如果对于任何$k$都有一个$d$使得每当$R^d$是$k$着色的，它都包含一个与$X$全等的单色集。这个概念是由Erdos、Graham、Montgomery、Rothschild、Spencer和Straus提出的，他们提出了一个集合是否是Ramsey当且仅当它是球形的，这意味着它位于球面上。这个问题（由格雷厄姆提出的一个猜想）主导了欧几里得拉姆齐理论的后续工作。在本文中，我们介绍了一个新的猜想，关于哪些集是拉姆齐，这是有史以来第一次'对手'猜想上述猜想。称一个有限集为传递的，如果它的对称群是传递的-换句话说，如果集合的所有点看起来都一样-我们的猜想是拉姆齐集正是传递集，连同它们的子集。这个猜想的一个吸引人的特点是，它减少（在一个方向）到一个纯粹的组合语句。我们给出这个声明以及其他几个相关的声明。我们还证明了第一个非平凡的情况下的声明。奇怪的是，我们的新猜想是否真的不同于旧猜想，这一点还很不明显。我们证明，他们确实是不同的证明，不是每一个球面集嵌入在一个传递集。这一结果可能是独立的利益。
2010-12-06 math.CO
Induced Ramsey number for a star versus a fixed graph
对于图G和H，设诱导Ramsey数IR（H，G）是图F中的最小顶点数，使得F的边的任意着色为红色和蓝色，存在H的红色诱导副本或G的蓝色诱导副本.本文考虑了当G=Sn是n条边上的星，且n是大的，H是固定图的情形.本文证明了：（r-1）n < IR（H，Sn）<（r-1）（r-1）n + cn，对任意c>0，n充分大，r表示H的色数.对于任何固定的二部H，其下界是渐近紧的.上界例如通过团H达到恒定因子。
2020-02-04 math.CO
Ramsey Numbers of Odd Cycles Versus Larger Even Wheels
广义Ramsey数$R(G_1, G_2)$是最小的正整数$N$，使得完全图$K_N$的边的任何红-蓝着色要么包含$G_1$的红色副本，要么包含$G_2$的蓝色副本。令$C_m$表示长度为$m$的循环，并且$W_n$表示具有$n+1$顶点的轮。在2014年，Zhang、Zhang和Chen确定了奇数轮与较大轮的许多拉姆齐数$R(C_{2k+1}, W_{n})$，但没有确定$n = 2j$是偶数和$k<j<3k/2$的特殊情况。他们推测，对于$j$和$k$的这些值，$R(C_{2k+1}, W_{2j})=4j+1$。2015年，Sanhueza-Matamala渐近地证实了这一猜想，证明了$R(C_{2k+1}, W_{2j}) \le 4j+334$。在本文中，我们证明了张，张和陈的猜想几乎所有的情况下，其余的。特别是，我们证明了$R(C_{2k+1},W_{2j})=4j+1$，如果$j-k \ge 251$，$k<j<3k/2$，和$j \ge 212299$。
2018-01-10 math.CO
Stars versus stripes Ramsey numbers
对于给定的简单图$G_1, G_2, \ldots , G_t$，Ramsey数$R(G_1, G_2, \ldots, G_t)$是最小的正整数$n$，使得如果完全图$K_n$的边被划分为$t$不相交的颜色类，给出$t$图$H_1,H_2,\ldots,H_t$，则至少一个$H_i$具有与$G_i$同构的子图。在本文中，对于正整数$t_1,t_2,\ldots, t_s$和$n_1,n_2,\ldots, n_c$，计算Ramsey数$R(S_{t_1}, S_{t_2},\ldots ,S_{t_s}, n_1K_2,n_2K_2,\ldots,n_cK_2)$，其中$nK_2$表示大小为$n$的匹配（条带），即，$n$两两不相交的边，而$S_{n}$是一个有$n$边的星形。这个结果推广并加强了Cockayne和Lorimer的一个著名结果以及Gyárfás和Sárközy的一个著名结果。
2017-01-16 math.CO
Improved bounds for the Ramsey number of tight cycles versus cliques
3-一致紧圈$C_s^3$具有点集$ Z_s$和边集$\{\{i, i+1, i+2\}: i \in Z_s\}$。我们证明了对于每个$s \not\equiv 0$（mod 3）和$s \ge 16$或$s \in \{8,11,14\}$，存在一个$c_s>0$使得3-一致超图Ramsey数$$r(C_s^3, K_n^3)< 2^{c_s n \log n}$$这以强形式回答了作者和Rödl的一个问题，他们要求对于每个固定的$s \ge 4$，$ε_s \rightarrow 0$作为$s \rightarrow \infty$和$n$是足够大的形式$2^{n^{1+ε_s}}$的上界.结果几乎是紧的，因为在$n$中已知下限是指数的。
2016-02-03 math.CO
A Euclidean Ramsey result in the plane
在欧几里得拉姆齐理论中有一个老问题，如果平面上的点是红蓝色的，那么在单位距离处总是存在一对红色的点，还是在单位距离处的直线上总是存在五个蓝色的点？一个基本的证明肯定地回答了这个问题。
2017-04-04 math.CO math.MG
Star-critical Ramsey number of $K_4$ versus $F_n$
对于两个图$G$和$H$，Ramsey数$r(G,H)$是最小的正整数$r$，使得图$K_r$的边的任何红色/蓝色着色包含与$G$同构的红色子图或与$H$同构的蓝色子图。设$S_k=K_{1,k}$是$k+1$阶的星，$K_n\sqcup S_k$是由$K_n$通过增加一个新的顶点$v$并将$v$连接到$K_n$的$k$顶点而得到的图.星临界Ramsey数$r_*(G,H)$是最小正整数$k$，使得图$K_{r-1}\sqcup S_k$的边的任何红/蓝着色包含与$G$同构的红色子图或与$H$同构的蓝色子图，其中$r=r(G,H)$ .本文证明了$r_*(F_n,K_4)=4n+2$，其中$n\geq{4}$ .
2015-11-25 math.CO
The Ramsey Number of Fano Plane Versus Tight Path
两个$3$ -均匀超图$G$和$H$的超图拉姆齐数，用$R(G,H)$表示，是最小整数$N$，使得完全$3$ -$N$顶点上的均匀超图的每个红蓝边着色都包含$G$的红色副本或$H$的蓝色副本。Fano平面$\mathbb{F}$是唯一的七点七边3-一致超图，其中每对顶点包含在唯一的一条边中.有一个简单的构造表明，等式成立的$R(H,\mathbb{F}) \ge 2(v(H)-1) + 1.$超图$H$称为$\mathbb{F}$ -good。Conlon要求确定所有$\mathbb{F}$ -良好的$H$。在这篇短文中，我们在这个问题上取得了进展，并证明了长度为$n$的紧路是$\mathbb{F}$ -好的。
2019-01-21 math.CO
An exact Ramsey number of large bipartite graphs versus odd wheel
Homi Bhabha National Institute (HBNI)（霍米·巴巴国立研究所）
本文确定了大二分图$\mathbb{K}_{2,n}$与奇轮图$W_m$的精确拉姆齐数为$3n+4$，并证明了其$W_m$-goodness。
2026-01-16 math.CO
Hypergraph Ramsey numbers: tight cycles versus cliques
对于$s \ge 4$，3-均匀紧圈$C^3_s$具有对应于圆上的$s$不同点的顶点集和由三个连续点的$s$循环间隔给出的边集。对于固定的$s \ge 4$和$s \not\equiv 0$（mod 3），我们证明了在$$2^{at}<r(C^3_s, K^3_t)<2^{bt^2\log t}.$$的情况下，存在正的常数$a$和$b$。$s>5$的上界是通过使用过饱和度和已知的$r(K_4^{3}, K_t^3)$的上界来证明的，而$s=5$的上界是从我们开发的$r(K_5^{3-}, K_t^3)$的一个新的上界得出的。
2015-03-20 math.CO
Ramsey numbers of cliques versus monotone paths
Erdos-Szekeres单调子序列定理的一个公式表明，对于$\{1, 2, \ldots, N\}$上完全图的边集的任何红/蓝着色，存在一个单色红色$s$ -团或一个单色蓝色增加路径$P_n$，其顶点为$n$，条件是$N >(s-1)(n-1)$。我们以前已经证明，这个问题的一个适当的推广到四重系统基本上是等价于经典的对角超图Ramsey数。在这里，我们证明了一个类似的声明，在非对角的情况下，三重系统，与拟多项式界$N>2^{c(\log n)^{s-1}}$。对于具有$n$顶点的序增图路的$t$次幂$P_n^t$，我们证明了一个近线性界$c\, n(\log n)^{s-2}$，它改进了Conlon-Fox-Lee-Sudakov提出的适用于比$P_n^t$更一般的一类图的界.
2023-03-29 math.CO
Size-Ramsey numbers of cycles versus a path
图族$\mathcal{F}$和图$H$的大小拉姆齐数$\hat{R}(\mathcal{F},H)$是最小整数$m$，使得在$m$边上存在图$G$，其性质是$G$的边的任何两种颜色（例如红色和蓝色）的着色都会产生来自$\mathcal{F}$的图的红色副本或$H$的蓝色副本。在本文中，我们首先关注$\mathcal{F} = \mathcal{C}_{\le cn}$，其中$\mathcal{C}_{\le cn}$是族的周期的长度至多$cn$，和$H = P_n$。特别是，我们表明，$2.00365 n \le \hat{R}(\mathcal{C}_{\le n},P_n) \le 31n$。使用类似的技术，我们还设法分析了$\hat{R}(C_n,P_n)$，这是以前研究过的，但只使用正则性方法。
2016-08-23 math.CO
Ramsey numbers of cycles versus general graphs
Ramsey数$R(F,H)$是最小数$N$，使得任何$N$ -顶点图要么包含$F$的副本，要么它的补图包含$H$。伯尔在1981年证明了一个令人愉快的一般结果，任何图$H$，提供$n$是足够大的，一个自然的下界建设给出了正确的拉姆齐数涉及周期：$R(C_n,H)=(n-1)(χ(H)-1)+σ(H)$，其中$σ(H)$是最小可能的大小的颜色类中的一个$χ(H)$ -着色的$H$。艾伦、布莱特韦尔和斯科坎认为，当$n\geq |H|χ(H)$。我们改进了这个40年前的伯尔的结果，给出了$n\geq C|H|\log^4χ(H)$形式的定量界，这是最佳的对数因子。特别地，这证明了Allen-Brightwell-Skokan猜想对于所有具有大色数的图$H$的加强。
2022-11-08 math.CO
On the size Ramsey number of all cycles versus a path
如果$G-E(F)$包含任何生成林$F\subset G$的$n$ -顶点路径$P_n$，则称之为$G\to (\mathcal{C}, P_n)$。大小Ramsey数$\hat{R}(\mathcal{C}, P_n)$是最小整数$m$，使得存在具有$m$边的图$G$，其中$G\to (\mathcal{C}, P_n)$。Dudek，Khoeini和Prahanat证明了对于足够大的$n$，$2.0036n \le \hat{R}(\mathcal{C}, P_n)\le 31n$ .在这篇文章中，我们将上下界都改进为$2.066n\le \hat{R}(\mathcal{C}, P_n)\le 5.25n+O(1).$。我们构造的上界与Dudek，Khoeini和Prahanat所考虑的上界完全不同。我们也有一个计算机辅助证明的上限$\hat{R}(\mathcal{C}, P_n)\le \frac{75}{19}n +O(1) < 3.947n $。
2020-05-16 math.CO
The Ramsey Number for Tree Versus Wheel with Odd Order
Chen等人（2004）强有力地证明了R（Tn，Wm）=2n-1，如果Tn的最大次数很小，m是偶数。与猜想相关的是，有趣的是知道对于哪棵树Tn，我们有R（Tn，Wm）> 2n-1。本文证明了树Tn的Ramsey数R（Tn，W8）的最大度至少为n-3，即对几乎所有的树Tn，R（Tn，W8）> 2n-1.我们还证明了如果Tn的最大次数很大，则R（Tn，Wm）是m和n的函数.最后，通过给出最大度小的条件，改进了Chen等人的猜想。对于最大度大且m为偶数的树Tn，R（Tn，Wm）一般也是未知的。本文对最大度至少为n-3的n阶树Tn，确定了Ramsey数R（Tn，W ~ 8）.
2019-12-12 math.CO
Bipartite and Euclidean Gallai-Ramsey Theory
本文研究二部图与欧几里得空间的两类Gallai-Ramsey问题，证明二部图情形答案关于色数线性并给出s=2时的精确界，还通过图着色与空间着色的对应得到一类构型的欧氏Gallai-Ramsey数新上界。
2024-10-10 math.CO
Proof of a Conjecture on Online Ramsey Numbers of Stars versus Paths
给定两个图$G$和$H$，在线Ramsey数$\tilde{r}(G,H)$被定义为Builder在以下$(G, H)$ -Builder和Painter之间的在线Ramsey游戏中始终可以保证获胜的最小回合数。从一组无限的孤立顶点开始，在每一轮中，Builder在两个顶点之间绘制一条边，Painter立即将其着色为红色或蓝色。Builder的目标是在尽可能少的回合内强制$G$的红色副本或$H$的蓝色副本，而Painter的目标是尽可能多的回合延迟它。令$K_{1,3}$表示具有三条边的星形，$P_{\ell}$表示具有$\ell$顶点的路径。Bullp和Tan证实了$\tilde{r}(K_{1,3}, P_{\ell})=(3/2+o(1))\ell$ [公牛。马来人。数学科学Soc.44（2021）3511- 3521]。我们证明了$\tilde{r}(K_{1,3}, P_{\ell})=\lfloor 3\ell/2 \rfloor$对于$\ell\ge 2$，从而以更强的形式验证了猜想。
2023-02-17 math.CO
Multicolor Ramsey Numbers for Complete Bipartite Versus Complete Graphs
令H_1，...，H_k是图。本文讨论了Ramsey数r（H_1，...，H_k）是最小整数r，使得在K_r的每一个k色边染色中，对于某个1 <= i <= k，存在H_i在颜色i中的单色副本。在本文中，我们研究了Ramsey数$r(K_{2,t},...,K_{2,t},K_m)$，确定了几乎所有范围内的t和m的渐近行为的多对数因子。几种不同的结构被用于下界，包括随机图和显式图建立从有限域。阿隆和Rödl使用的概率方法和频谱参数的技术，以提供紧密的下界。对于任何t和m，示例结果是$c_1 m^2t/\log^4(mt) \leq r(K_{2,t},K_{2,t},K_m) \leq c_2 m^2t/\log^2 m$，其中c_1和c_2是绝对常数。
2013-09-12 math.CO
Ramsey numbers of quadrilateral versus books
书$B_n$是由共享公共边的$n$三角形组成的图。本文研究了四边形与书本的Ramsey数。先前的结果给出了$1\le n\le 14$的$r(C_4,B_n)$的精确值。我们的目标是显示的确切值$r(C_4,B_n)$无限多$n$。为了实现这一目标，我们首先证明了$m\ge4$和$0 \leq t \leq m-1$的$r(C_4,B_{(m-1)^2+(t-2)})\le m^2+t$。这改进了Faudree，Rousseau和Sheehan（1978）的一个结果，该结果指出\begin{align*} r(C_4,B_n)\le g(g(n)), \;\;\text{where}\;\;g(n)=n+\lfloor\sqrt{n-1}\rfloor+2. \end{align*}结合新的上界和无$C_4$图的构造，我们能够对无穷多个$n$确定$r(C_4,B_n)$的精确值。作为一个特例，我们证明了对所有素数幂$q\ge4$都有$r(C_4,B_{q^2-q-2}) = q^2+q-1$.
2021-08-25 math.CO
On some problems of Euclidean Ramsey theory
在本文中，我们证明，特别是，任何可测染色的欧几里德平面成两种颜色有一个单色三角形的一些限制的边。我们也考虑类似的问题，在有限域设置。
2015-07-22 math.CO math.NT
The Ramsey number of loose cycles versus cliques
最近，Kostochka、Mubayi和Verstraëte开始研究一致松散圈与集团的Ramsey数。特别是他们证明了$R(C^r_3,K^r_n) = \tildeθ(n^{3/2})$对于所有固定的$r\geq 3$。对于长度为5的松散圈的情况，他们证明了$R(C_5^r,K_n^r)=Ω((n/\log n)^{5/4})$，并证明了对于所有固定的$r\geq 3$，$R(C^r_5,K_n^r) = O(n^{5/4})$。我们的主要结果是，$R(C_5^3,K_n^3) = O(n^{4/3})$和更一般的任何固定的$l\geq 3$，$R(C_l^3,K_n^3) = O(n^{1 + 1/\lfloor(l+1)/2 \rfloor})$。我们还解释了为什么对于每一个固定的$l\geq 5$，$r\geq 4$，$R(C^r_l,K^r_n) = O(n^{1+1/\lfloor l/2 \rfloor})$，如果$l$是奇数，这改进了Collier-Cartaino，Graber和Jiang的结果，他们证明了对于每一个固定的$r\geq 3$，$l\geq 4$，我们有$R(C_l^r,K_n^r) = O(n^{1 + 1/(\lfloor l/2 \rfloor-1)})$。
2015-04-14 math.CO
Lines in Euclidean Ramsey theory
设$\ell_m$是一列$m$点在一条直线上，连续点的距离为1。对于每个自然数$n$，我们证明了对于任何$m \geq 2^{cn}$，都存在一个不含$\ell_2$的红色拷贝和$\ell_m$的蓝色拷贝的$\mathbb{E}^n$的红/蓝着色.这最好在指数中达到常数$c$。它还回答了1973年Erdés，Graham，Montgomery，Rothschild，Spencer和Straus提出的一个问题。他们问，对于每个自然数$n$，是否有一个集合$K \subset \mathbb{E}^1$和一个红色/蓝色的$\mathbb{E}^n$，其中不包含$\ell_2$的红色副本和$K$的蓝色副本。
2018-03-20 math.CO
Equally spaced collinear points in Euclidean Ramsey theory
证明了对$k\geq 4$，如果$k$维欧几里得空间中的点被着色为红色和蓝色，则存在两个相距1的红色点或$k+3$与任意两个相邻点之间的距离为1的蓝色共线点.该结果是$4\leq k\leq 10$的新结果。
2017-05-15 math.CO math.MG
Ramsey numbers of bounded degree trees versus general graphs
本文证明了有界度树与一般图的 Ramsey 数的紧致公式，确认了 Balla、Pokrovskiy 和 Sudakov 的猜想。
2023-10-31 math.CO
Borsuk and Ramsey type questions in Euclidean space
本文对（1）直径图和超图，（2）几何Ramsey理论的问题和结果作了一个简短的综述。我们也为这两个领域作出了一些微薄的贡献。推广Kahn和Kalai的一个著名定理，证明了对任意整数$r\ge 2$，存在具有下列性质的$\varepsilon=\varepsilon(r)>0$和$d_0=d_0(r)$.对于每个$d\ge d_0$，存在一个直径为$1$的有限点集$P\subset\mathbb{R}^d$，使得无论我们如何用少于$(1+\varepsilon)^{\sqrt{d}}$的颜色对$P$的元素着色，我们总是可以找到相同颜色的$r$点，其中任何两个点都在距离$1$处。
2017-09-14 math.CO
On Ramsey number of $K_{2,n}$ versus even cycles
Department of Mathematics and Statistics, IISER Kolkata（印度科学教育研究所加尔各答分校数学与统计系）；School of Mathematical Sciences, NISER Bhubaneswar (An OCC of Homi Bhabha National Institute, Mumbai)（布巴内斯瓦尔国家基础科学研究院数学科学学院（孟买霍米·巴巴国立学院附属学院））
本文研究了 $K_{2,n}$ 与偶环 $C_m$ 的Ramsey数，得出了当 $m$ 为偶数且 $n \geq 4516$ 时的精确值，并证明了 $R(K_{1,n}, C_m)=R(K_{2,n}, C_m)$ 的结论。
2026-05-07 math.CO
The $m$-bipartite Ramsey number of the $K_{2,2}$ versus $K_{6,6}$
给定二部图$G_1, \ldots, G_n$，二部Ramsey数$BR(G_1,\ldots, G_n)$是最后一个整数$b$，使得任何边着色为$1,2,\ldots,n$的完全二部图$K_{b,b}$包含某个$G_i$（$1\leq i\leq n$）的副本，其中$G_i$的所有边都着色为$i$。作为二部Ramsey数的另一种观点，对于给定的二部图$G_1, \ldots, G_n$和正整数$m$，$m$ -二部Ramsey数$BR_m(G_1, \ldots, G_n)$被定义为最小整数$b$，使得任何具有颜色$1,2,\ldots,n$的边的完全二部图$K_{m,b}$包含某个$G_i$（$1\leq i\leq n$）的副本，其中$G_i$的所有边都具有颜色$i$。$BR_m(G_1, G_2)$的大小，其中$G_1=K_{2,2}$和$G_2\in \{K_{3,3}, K_{4,4}\}$用于每个$m$和$BR_m(K_{3,3}, K_{3,3})$和$BR_m(K_{2,2}, K_{5,5})$的大小用于$m$的特殊值，已经在几篇文章中确定到现在。在这篇文章中，我们计算了一些$m\geq 2$的$BR_m(K_{2,2}, K_{6,6})$的大小。
2022-02-26 math.CO
Connected size Ramsey numbers of matchings versus a small path or cycle
给定两个图$G_1, G_2$，连通大小Ramsey数${\hat{r}}_c(G_1,G_2)$被定义为连通图$G$的最小边数，使得对于$G$的任何红-蓝边着色，要么有$G_1$的红色副本，要么有$G_2$的蓝色副本。集中在${\hat{r}}_c(nK_2,G_2)$，其中$nK_2$是一个匹配，我们推广和改进两个以前的结果如下。Vito、Nabila、Safitri和Silaban获得了$n=2,3,4$的${\hat{r}}_c(nK_2,P_3)$的精确值。我们确定它的精确值为所有正整数$n$。Rahadjeng、Baskoro和Assiyatun证明了${\hat{r}}_c(nK_2,C_4)\le 5n-1$对$n\ge 4$。我们将$5n-1$的上界改进为$\lfloor (9n-1)/2 \rfloor$。此外，我们还证明了一个结果，它具有相同的味道，并有确切的值：${\hat{r}}_c(nK_2,C_3)=4n-1$的所有正整数$n$。
2022-05-08 math.CO
Size Ramsey numbers of stars versus cliques
两个图$ G $和$ H $的Ramsey数$ \hat{r}(G,H) $是最小整数$ m $，使得在$ m $的边上存在图$ F $，并且$ F $的边的每个红-蓝着色产生$ G $的红色副本或$ H $的蓝色副本。在$ 1981 $中，Erdens观察到了$\hat{r}(K_{1,k},K_{3})\leq \binom{2k+1}{2}-\binom{k}{2}$，并证明了$ \hat{r}(K_{1,k},K_{3}) $上相应的上界是尖锐的。在$ 1983 $中，Faudree和Sheehan将这个猜想扩展如下：\hat{r}（K_{1,k}，K_{n}）= \left \{ {lr} \binom{k(n-1)+1}{2} - \binom{k}{2} & ~k \geq n~ \text{or} ~ k~ \text{odd}。\binom{k(n-1)+1}{2} -k（n-1）/2和\text{otherwise}。\right。他们证明了$ k=2 $的情况。在$ 2001 $，Pikhurko表明，这一猜想是不正确的$ n=3 $和$ k\geq 5 $，反驳上述猜想的Erdos。这里我们证明了Faudree和Sheehan对给定的$ k\geq 2 $和$ n\geq k^{3}+2k^{2}+2k $的猜想。
2016-09-13 math.CO
The Ramsey numbers for trees of order $n$ with maximum degree at least $n-5$ versus the wheel graph of order nine
本文确定了最大度为 $n-4$ 或 $n-5$ 的 $n$ 阶树相对于九阶轮图的 Ramsey 数，为相关偶数轮图 Ramsey 数猜想提供了新证据。
2024-03-05 math.CO
Ramsey numbers of sparse graphs versus disjoint books
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）；School of Mathematical Sciences, Hebei Normal University（河北师范大学数学科学学院）
该论文证明了对任意稀疏连通图G，其与t个不相交书图的Ramsey数等于2n+t-2，推广了Erdős等人关于树情形的结果。
2026-09-18 math.CO
Euclidean Gallai-Ramsey for various configurations
本文研究着色欧几里得空间中多种构型的Gallai-Ramsey问题，涵盖三角形、正方形、直线及矩形和球面构型，改进已有结果并揭示空间维数与颜色数无关的现象。
2023-05-29 math.CO math.MG
Ramsey numbers of trees and unicyclic graphs versus fans
广义Ramsey数$R(H, K)$是最小的正整数$n$，使得对于任何具有$n$顶点的图$G$，要么$G$包含$H$作为子图，要么它的补数$\overline{G}$包含$K$作为子图.令$T_n$是具有$n$顶点的树，并且$F_m$是具有由共享公共顶点的$m$三角形组成的$2m + 1$顶点的扇形。本文证明了Zhang，Broersma和Chen关于$m \ge 9$的一个猜想，即对所有$n \ge m^2 - m + 1$都有$R(T_n, F_m) = 2n - 1$. Zhang，Broersma和Chen证明了$R(S_n, F_m) \ge 2n$ for $n \le m^2 -m$，其中$S_n$是$n$顶点上的星，这意味着我们所证明的下界在某种意义上是紧的.我们还将这个结果扩展到单圈图$UC_n$，这是连接图$n$顶点和一个单一的循环。我们证明了对于所有的$n \ge m^2 - m + 1$，其中$m \ge 18$，$R(UC_n, F_m) = 2n - 1$。在证明这个猜想和扩展，我们提出了几种方法嵌入树的图，这可能是独立的利益。
2019-11-18 math.CO
