Alternative Proof of the Determinant of Complete Non-Ambiguous Trees
Daniel Chen
本文针对完全非歧义树的行列式猜想，在 Aval 已有证明之外提出了一种新的替代证明。
完全非歧义树已在多种背景下得到研究。最近，有人提出了关于其行列式的一个猜想，随后由 Aval 证明。本文给出了另一种证明。
Complete non-ambiguous trees have been studied in various contexts. Recently, a conjecture was made about their determinants, and subsequently proved by Aval. An alternative proof is given here.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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About the determinant of complete non-ambiguous trees
本文针对完全非歧义树（CNATs）中关于行列式统计量分布的未决猜想，通过构造双射的方法完成了证明，解决了Chen和Ohlig提出、Selig和Zhu遗留的开放问题。
Combinatorics of non-ambiguous trees
本文研究了非二义树的组合性质。我们定义的这些对象可以被看作是在具有某些约束的网格上绘制的二叉树，或者是以前由Aval，Boussicault和Nadeau定义的树状tableaux的子集。枚举的非二义树满足一些额外的限制，使我们能够给优雅的组合证明身份由于Carlitz，和Escherborg和Steingrímsson。我们还提供了一个钩子公式来计算给定底层树的非二义树的数量。最后，我们使用非二义树来描述一个非常自然的双射之间的多角和二叉树。
Non-ambiguous trees: new results and generalisation
我们提出了一个新的定义，非二义树（NAT）标记二叉树。从而得到一个解可以用组合描述的微分方程。这产生了NAT数量的新公式。我们还得到了我们的公式的q-版本。并将NAT推广到更高维度。
Associated Permutations of Complete Non-Ambiguous Trees
本文通过建立树状表与完全非歧义树特定子集的双射，求解递推关系证明了Laborde-Zubieta猜想，并引入CNATs的行列交换运算。
Permutation graphs and the Abelian sandpile model, tiered trees and non-ambiguous binary trees
置换图是其边由置换的逆给出的图。我们研究了这类图上的阿贝尔沙堆模型。我们展示了置换图上ASM的递归配置与Dugan等人[10]引入的分层树之间的双射。这种双射允许在相应的树上读取递归配置的某些参数。特别是，我们表明，经常性配置的水平可以被解释为相应的树的外部活动，使展示的双射提供了一个著名的结果连接的ASM的水平多项式无处不在的Tutte多项式的新的证明。我们证明了最小递归配置的集合与Aval等人[2]引入的完全非二义性二叉树的集合是双射的，并引入了这些的多根推广，我们证明了它对应于所有递归配置。在单下降排列的情况下，我们恢复了[11]中Ferrers图的一些结果，同时我们也恢复了Perkinson等人[16]在阈值图的情况下的结果。
Complete non-ambiguous trees and associated permutations: new enumerative results
本文研究了完全无歧义树与排列之间的联系，通过双射对应证明了关于排列与CNATs关联数量的猜想，并提出了一种新的双射对应。
Gluing Formula for the Pseudo-Determinant of Graph Laplacian and Applications to Counting of Spanning Trees
本文针对简单有限图建立拉普拉斯伪行列式的胶合公式，结合质量拉普拉斯行列式胶合公式与微扰理论技术，将其应用推导生成树与有根生成森林数量的胶合公式。
Non-ambiguous trees: new results and generalisation (Full version)
我们提出了一个新的定义，非二义树（NAT）标记二叉树。这样我们得到一个微分方程，它的解可以用组合描述。这产生了NAT数量的新公式。我们还得到了我们的公式的q-版本。最后，我们将NAT推广到更高的维度。
The Generating Function of Ternary Trees and Continued Fractions
Michael Somos证明了Hankel行列式的元素$\frac 1{2n+1}\binom{3n}n$计数三元树与某些平面划分和交替符号矩阵的数量之间的关系。塔姆评价这些决定表明，生成函数为这些条目有一个连分数，这是一个特殊情况下高斯的连分数的商的超几何级数。我们给出了一个系统的应用程序的连分数方法的一些类似的汉克尔行列式。我们还描述了一个简单的方法来转换行列式使用生成函数的条目。在这种方式中，我们转换索莫斯的汉克尔行列式已知的决定因素，我们得到，高达3的幂，一个汉克尔行列式的交替符号矩阵的数量。我们得到了一个组合证明，在不相交的路径，涉及的三元树的数量和更一般的行列式恒等式涉及的$r$ -ary树的数量的行列式恒等式。
Higher determinants and the matrix-tree theorem
经典的矩阵树定理是由G.~ 1847年的基尔霍夫。它将Laplace（n × n）-矩阵的主子式与由n个顶点的树的集合索引的单项式的特定和联系起来。本文的目的是提出一个推广的（非对称）矩阵树定理不包含树和本质上没有矩阵。代替树，我们考虑非循环有向图与一个规定的一组汇，而不是行列式，多项式不变的矩阵确定的有向图，使任何两个顶点的相同的连接组件是相互reacheable。
The determinant of q-distance matrices of trees and two quantities relating to permutations
本文证明了与树上排列长度有关的两个量与树的结构无关。我们还发现，这些结果是密切相关的格雷厄姆和波拉克（贝尔系统技术。J. 50（1971）2495- 2519）和Bapat、Kirkland和Neumann（Linear Alg. 401（2005）193- 209）。
Non-intersecting paths and the determinant of the distance matrix of a tree
本文通过符号反转对合与Lindström-Gessel-Viennot引理，首次给出了树的距离矩阵行列式的Graham-Pollak公式的组合证明，并为理解其现有推广与$q$-模拟提供了统一框架。
On enumeration of spanning trees of complete multipartite graphs containing a fixed spanning forest
本文提出了一种计算包含给定生成森林的完全多重图生成树数目的行列式公式，并推广了完全二分图的相关结果。
On determinants of resistance matrices
本文证明了有限图电阻矩阵行列式的一个新组合恒等式，涉及生成树和森林的计数，推广了Graham和Pollak关于树距离矩阵的结果。
Homogeneous linear recurrence relations of the determinants of distance matrices of trees
本文通过分析树的子树结构，建立了距离矩阵行列式的四项至七项齐次线性递推关系，并由此给出Graham-Pollak公式的新证明。
Asymptotics for the determinant of the combinatorial Laplacian on hypercubic lattices
在本文中，我们计算的行列式的组合拉普拉斯在序列的$d$维正交正方形格的顶点数在每一个维度的增长率相同。它是由著名的矩阵树定理与生成树的数量有关。在这些图中的$2$和$3$组件生根生成森林的渐近也被导出。此外，我们表示的生成树的数量在一个$2$维正方形晶格的一个在一个$2$维离散环面，也在四分之一阿兹特克钻石。因此，我们找到了一个渐近展开的数量的生成树的子图的$\mathbb{Z}^2$与三角形边界。
Linear algebraic techniques for weighted spanning tree enumeration
图$G$的加权生成树枚举数是图$G$中所有生成树上的边权的乘积之和。在所有边权重等于$1$的特殊情况下，加权生成树枚举器对$G$中的生成树的数量进行计数。加权矩阵树定理断言，加权生成树枚举数可以从$G$的简化加权拉普拉斯矩阵的行列式计算。然而，这个行列式并不总是容易计算的。在本文中，我们展示了如何从线性代数，矩阵行列式引理和Schur补的方法，两个著名的结果，可以用来优雅地计算几个家庭的图的加权生成树计数器。
The determinant of the distance matrix of graphs with at most two cycles
设$G$是$n$顶点上的连通图，$D(G)$是它的距离矩阵.当图是树或{a}单圈图时，用顶点数计算这个矩阵的行列式的公式是已知的。在这项工作中，我们推广了这些结果，得到的距离矩阵的行列式的{所有图}在{类，包括树，单圈和双圈图。这类图实际上包括具有许多圈的图，只要图的每个块至多是双环。
Determinants, their applications to Markov processes, and a random walk proof of Kirchhoff's matrix tree theorem
基尔霍夫矩阵树定理是一个著名的结果，它给出了一个公式的数量的支撑树在有限的，连通图在图形拉普拉斯矩阵。一个密切相关的结果是威尔逊的算法把均匀分布的集的生成树。我们将表明，当一个遵循格雷格劳勒的战略证明威尔逊的算法，基尔霍夫定理几乎立即适用于一些基本线性代数。我们还表明，同样的想法可以适用于其他有关的一般马尔可夫链和过程的有限状态空间的计算。
Determinants of Steiner Distance Hypermatrices
本文研究树的 k 阶 Steiner 距离超矩阵，证明其超行列式可作为 k-形式近乎对角化，并解决其仅依赖 k 与 n 的猜想。
Tree-width and Logspace: Determinants and Counting Euler Tours
受[EJT 10]最近的结果表明MSO性质在有界树宽的图上是Logspace可计算的启发，我们考虑了计算有界树宽图的邻接矩阵的行列式的复杂性，并证明了它是L-完全的。重要的是要注意，行列式既不是MSO性质，也不计算MSO谓词的解的数量。我们将这种方法推广到计算有界树宽有向图中生成树和有向欧拉图的数量，并进一步计算无向图中生成树的数量和欧拉图的数量，所有这些都在L中。请注意，无向欧拉旅行并不是MSO-可表达的，相应的计数问题实际上对一般图来说是P-困难的。直到最近Chebolu等人[CCM 13]才知道在有界树宽图中计数无向欧拉旅行是多项式时间可计算的，并给出了解决该问题的多项式时间算法（与本工作同时且独立）。最后，我们还给出了行列式算法的一些线性代数推广，以说明如何计算L中有界树宽图的特征多项式和幂的迹。
Higher matrix-tree theorems
我们计算反射的加权和和的（嵌套）反射因子的行列式。所得结果推广了Kirchhoff矩阵树定理和G. Massbaum和A.虚荣
Counting spanning quasi-trees of ribbon graphs: determinants and #P-completeness
研究连通带状图拟树计数问题，证明其在多项式时间图灵归约下是#P完全的，还通过带框Cohn - Lempel等式等将计数与交错多项式求值联系起来，同时给出可定向带状图等情形的行列式证明。
Macdonald trees and determinants of representations for finite Coxeter groups
$n$次对称群或超八面体群的每一个不可约奇维表示，当限制在$(n-1)$次时，都有唯一的不可约奇维成分。此外，在对称群和超八面体群的Bratteli图中，由奇维表示导出的子图是具有简单递归描述的二叉树。我们调查的描述，这棵树，称为麦克唐纳树，对称群，从我们早期的工作。我们描述了类似的超八面体群的结果。如果$S_n$的相应不可约表示$V_λ$具有非平凡行列式，则称$n$的一个划分$λ$是手征的。我们回顾了我们以前的结果的结构和枚举的手征分区，随后扩展到所有Coxeter组由Ghosh和Spallone。最后，我们表明，奇数和手征分区的数量密切跟踪对方。
Taylor Expansion Proof of the Matrix Tree Theorem - Part II
全次矩阵树定理指出，矩阵的列和为零的任何子矩阵的行列式可以计算为某些定向森林的和。我们提供了一个特别短的证明这个结果，这相当于比较泰勒级数展开。
Determinants of Simple Theta Curves and Symmetric Graphs
theta曲线是三球中$θ$图的空间嵌入，直至环境同线。我们定义的行列式θ曲线作为一个整数值不变所产生的第一个同源的克莱因覆盖。当一个θ曲线是简单的，包含一个组成unknot，我们证明了该θ曲线的行列式是产品的组成结的行列式。我们的证明是组合的，依赖于基尔霍夫的矩阵树定理和对称的，有符号的，可平面图的生成树枚举结果。
Chip-Firing Games, $G$-Parking Functions, and an Efficient Bijective Proof of the Matrix-Tree Theorem
Kirchhoff矩阵树定理指出，图G的生成树的数目等于$G$的约化拉普拉斯算子的行列式的值。通过研究一个标准有限阿贝尔群，它附着在$G$上，其阶等于同一矩阵行列式的值，我们给出了这个定理的一个有效的双射证明。更具体地说，我们展示了如何可以有效地计算群元素和图的生成树之间的双射。用于计算双射的主要成分是用于在由芯片发射游戏定义的线性等价类中找到唯一的$G$ -停车函数（简化除子）的有效算法。我们也给出了应用，包括一个新的和完全代数算法生成随机生成树。其他应用包括与芯片射击游戏和沙堆群定律相关的算法，以及有关图上Riemann-Roch理论的某些算法问题。
From Chio Pivotal Condensation to the Matrix-Tree theorem
本文证明了一个行列式恒等式，它同时推广了Chio关键凝聚定理和矩阵树定理。
Application of Tree-like Structure of Graph to Matrix Analysis
以矩阵元素乘积的无符号和的形式给出了矩阵行列式、代数矩阵、特征多项式系数、特征向量分量的计算公式。无符号公式对于奇异和随机问题是非常重要的。它们也适用于大型稀疏矩阵的谱分析。
Identities and Inequalities for Tree Entropy
树熵的概念是由作者引入的，作为有限图中生成树数目的归一化极限，但它是在随机无限有根图上定义的。我们给出了一些新的表达式树熵，一个使用Fuglede-Kadison行列式，而另一个使用有效的阻力。我们使用后者证明树熵尊重随机控制。我们还证明了树的熵是非负的，在未加权的情况下，一个特殊的情况下，建立凯莱图拉普拉斯的Lueck的行列式猜想。我们使用的技术从理论的运营商附属冯诺依曼代数。
Counting linear extensions of posets with determinants of hook lengths
我们引入了一类偏序集，它包括带状偏序集（斜形状）和$d$ -完全偏序集，使得它们的线性扩张数由一个矩阵的行列式给出，该矩阵的元素是钩长的乘积。我们还给出了这个行列式公式的主指数和反演统计量的$q$ -类似物。作为应用，我们给家庭的树偏序集的线性扩展的数量是由广义欧拉数，我们提请关系到Naruse-Okada的正公式的数量的线性扩展的斜$d$ -完全偏序集，我们给多项式的结果类似于下降多项式的迪亚兹-洛佩斯，哈里斯，Insko，奥马尔，和萨根。
Alternating sum formulae for the determinant and other link invariants
一个经典的结果表明，交错链环的行列式等于该链环的交错连通投影的棋盘图中生成树的个数。我们推广了这个结果，证明了行列式是非交错环的Dessin的亏格j的拟树个数的交错和。此外，我们还通过对dessins上的数量进行计数，得到了其他链不变量的计算公式。特别地，我们将证明琼斯多项式的第$j$个系数是由亏格小于或等于$j$的子设计给出的.
Proof of a Conjecture on the Growth of the Maximal Resistance Distance in a Linear 3--Tree
本文证明了Barret等人关于线性3-树最大电阻距离增长极限为1/14的猜想，通过删除拉普拉斯矩阵行列式及拉普拉斯展开得到递推和Binet公式。
Linear algebraic techniques for spanning tree enumeration
Kirchhoff矩阵树定理断言，有限图中的生成树的数量可以从其任何一个约化拉普拉斯矩阵的行列式计算出来。在许多情况下，即使是研究得很好的图族，这也可能是计算或代数上的负担。我们展示了如何从线性代数，矩阵行列式引理和Schur补的两个著名的结果，可以用来优雅地计算几个显着的家庭的图的生成树。
Inverting non-invertible trees
如果图具有非奇异邻接矩阵，则可以使用逆矩阵来定义一个（标记的）图，该图可以被认为是原始图的逆图。已知树的邻接矩阵是非奇异的当且仅当树有唯一的完美匹配;在这种情况下，矩阵的行列式是$\pm 1$，树的逆被证明是"交换等价"于一个单图[C. Godsil，Inverses of Trees，Combinatorica 5（1985），33 - 39].使用广义逆的对称矩阵（这符合摩尔彭罗斯，Drazin，和群逆的对称情况下），我们证明了一个公式，确定一个"广义逆"的树。
Weighted Laplacians, cocycles and recursion relations
霍奇公式将引力MHV振幅表示为某个矩阵的子式的行列式。当展开时，这个行列式成为加权树上的和，这是MHV公式的形式，它首先由Bern，Dixon，Perelstein，Rozowsky得到，然后由Nguyen，Spradlin，Volovich和Wen重新发现。重力MHV振幅满足Britto、Cachazo、Feng和Witten递推关系。MHV振幅的主要构造块，即所谓的半软函数，满足不同的Berends-Giele型递归关系。我们表明，所有这些事实都是一个更一般的故事的插图。我们考虑n个顶点的完全图的加权拉普拉斯算子。矩阵树定理指出，它的对角次行列式全部相等，并且由生成树上的和给出。我们表明，对于任何选择的一个上循环的图，小的行列式满足Berends-Giele以及Britto-Cachazo-Feng-Witten型递归关系。我们的证明是纯粹的组合。
Proof of Convergence of a Laplace Expansion Algorithm For Calculating Recursions Satisfied by a Family of Determinants
本文证明了Laplace展开算法对任意带状Toeplitz矩阵行列式族递推关系的收敛性，解决了Evans和Hendel提出的开放问题。
Bounded Treewidth and Complete Monotonicity for Scott-Sokal Spanning-Tree Polynomials
本文证明若图G的树宽≤k，则生成树多项式逆幂T_G^{-β}在β>(k-1)/2时完全单调，覆盖了部分3-树等图类。
All-Minors Matrix-Tree Theory for Superport Networks: Completed Quotient-Incidence Determinants and Conductance-Weighted Subdivision Extensions
本文针对超端口网络的缺失全子式情况，确定了生成森林的符号规则，通过完备商关联行列式给出任意响应子式的计算式，简化了雅可比因子，明确了非零条件。
Heaps and Two Exponential Structures
取${\sf Q}=({\sf Q}_1,{\sf Q}_2,\ldots)$为指数结构，$M(n)$为${\sf Q}_n$的最小元素数，其中$M(0)=1$。然后由方程\begin{eqnarray*} \sum_{n\ge 1}r_n({\sf Q}_n)\frac{z^n}{n!\,M(n)}=-\log(\sum_{n\ge 0}(-1)^n\frac{z^n}{n!\,M(n)}). \end{eqnarray*}定义一个数列$\{r_n({\sf Q}_n)\}_{n\ge 1}$。令$\bar{\sf Q}_n$表示带有一个$\hat{0}$的偏序集${\sf Q}_n$，令$\hat{1}$表示偏序集${\sf Q}_n$中的唯一极大元素。此外，令$μ_{{\sf Q}_n}$是偏序集$\bar{\sf Q}_n$上的莫比乌斯函数。Stanley证明了$r_n({\sf Q}_n)=(-1)^nμ_{{\sf Q}_n}(\hat{0},\hat{1})$。这意味着数字$r_n({\sf Q}_n)$是整数。本文研究了${\sf Q}_n=Π_n^{(r)}$和${\sf Q}_n={\sf Q}_n^{(r)}$的情形，其中$Π_n^{(r)}$和${\sf Q}_n^{(r)}$分别是$[rn]$的块大小可被$r$整除的集合划分和$[n]$的$r$ -划分的偏…
A Beginner's Guide to Counting Spanning Trees in a Graph
在这篇文章中，我们提出了著名的Kirchoff矩阵树定理的证明，该定理将连通图中的生成树的数量与其组合拉普拉斯矩阵的余因子（和特征值）联系起来。这是一个165岁的结果在图论和证明是概念上简单。然而，这个结果的优雅之处在于它连接了线性代数和图论中许多明显不相关的概念。我们的动机背后的这项工作是使证明访问任何人与初学者\slash中级掌握线性代数。因此，在本文中，我们提出了导致最终结果的每一个论点的证明。例如，我们证明了行列式的基本性质，特征多项式的根（即特征值）与子式的关系，Cauchy-Binet公式，行列式的Laplace展开式等。
Spanning trees, cycle-rooted spanning forests on discretizations of flat surfaces and analytic torsion
研究离散化平面表面的图拉普拉斯矩阵行列式渐近展开，关联生成树数量和带循环根生成森林的渐近展开与正则化决定量。
Positive Plücker tree certificates for non-realizability
我们介绍了一种新的方法来寻找一个非实现的证明单球面西格玛：我们展示了一个单式组合的经典3项Plücker关系，产生的产品的总和的行列式是积极的任何实现的西格玛，但他们的总和应该消失，矛盾。利用这种方法，我们首次证明了郑所构造的平衡2-邻域3-球面，Novik和郑所构造的一族高度邻域中心对称球面，以及Criado和Santos所引入的几个组合棱柱体的不可实现性。该方法实际上适用于可定向的伪流形，而不仅仅是球面。
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