Reinforcing a Philosophy: A counting approach to square functions over local fields
KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）；University of Gothenburg and Chalmers University of Technology（哥德堡大学与查尔姆斯理工大学）
本文提出了一种针对局部域上有限型平面曲线扩展算子正方形函数的计数方法，得出了关于多项式形式曲线的新估计结果。
2026-02-09 math.CA math.NT
Reciprocity Relations for Summations of Squares of Floor Functions and Fractional Parts of Fractions
给定正互质整数$a$和$b$以及自然数$h$，我们得到了可用于快速计算$\sum_{i=1}^{h} \{\frac{ib}{a}\}^2$和$\sum_{i=1}^{h} \lfloor \frac{ib}{a} \rfloor^2$等求和的互反关系，其中$\lfloor x \rfloor$和$\{x\}$分别表示地板函数和$x$的小数部分.
2021-07-17 math.NT
Counting Square Discriminants
具有一定限制条件的整二元二次型的计数是一个经典问题。在本文中，我们计数的二元二次型的固定判别给定的限制，其系数的大小。我们通过研究某个二重狄利克雷级数的解析性质来实现这一点，该级数是某些经典自守形式的移位卷积和。
2015-08-06 math.NT
On the counting function of square-full numbers
Kerala School of Mathematics（喀拉拉数学学院）
在黎曼假设及ζ(s)零点为单零点的前提下，研究全平方数的分布，改进了其计数函数的误差项并补充了额外主项。
2026-09-24 math.NT
Counting invertible sums of squares modulo $n$ and a new generalization of Euler totient function
本文引入并研究了推广欧拉函数的一类算术函数族$Φ_k$。这些函数由方程$\gcd(x_1^2+\ldots +x_k^2, n)=1$与$x_1,\ldots,x_k \in {\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$的解的数目给出，对于$k=2,4$和$8$，这些解分别与${\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$上的高斯整数、四元数和八元数的环中的单位数一致。证明了$Φ_k$对每个$k$都是乘性的，利用$n$的素幂分解得到了$Φ_k(n)$的一个显式表达式，并导出了$\sum_{n\le x} Φ_k(n)$的一个渐近公式.作为一种工具，我们调查的乘法算术函数，计数的解决方案的数量$x_1^2+\ldots +x_k^2\equiv λ$（模$n$）$λ$互质$n$，从而扩展了旧的结果，只处理与总理$n$的情况。
2014-06-25 math.NT
Counting Square-full Solutions to $x+y=z$
Mathematical Institute, Oxford（牛津大学数学研究所）
该研究改进了计数满足x+y=z的完全平方整数解的上界，引入了新的工具用于处理三次方程的计数问题。
2026-01-12 math.NT
Counting integer matrices with square-free determinants
University of New South Wales（新南威尔士大学）
研究整数矩阵集合中行列式为平方自由数的矩阵数量，并推导出相关渐进行为，同时改进方法计算矩阵行列式与欧拉函数的和。
2026-10-12 math.NT
Counting Square-Free Numbers
这方面的贡献的主要议题是问题的计数平方免费号码不超过$n$。在这项工作之前，我们能够及时完成（与大O符号相比，Soft-O（$\softO$）忽略对数因子）$\softO(\sqrt{n})$。本文给出了具有时间复杂度$\softO(n^{2/5})$和存储复杂度$\softO(n^{1/5})$的算法。此外，一个并行的版本，它实现了全面的可扩展性。到目前为止，计算值最高的是$n=10^{17}$。使用我们的实现，我们能够计算集群上$n=10^{36}$的值。
2011-07-25 cs.DS math.NT
A lattice point counting approach for the study of the number of self-avoiding walks on $\mathbb{Z}^{d}$
该研究通过将正方形格自回避行走计数简化为多维域整点计数，得到其长度为$n$的渐近估计，并为任意$d\geq 2$维$\mathbb{Z}^{d}$格自回避行走数量性质研究提供统一框架。
2025-04-20 math.CO math.NT math.PR
Square root cancellation in the hyperbolic lattice counting problem over cocompact groups
University of Patras（帕特雷大学）；University of Maryland（马里兰大学）
本文针对余紧Fuchsian群改进了双曲格点计数误差项的Selberg界，达到几乎处处最优的平方根上界，并推广至高维，同时改进二阶矩界并否证Phillips-Rudnick猜想。
2026-09-29 math.NT
Counting (skew-)reciprocal Littlewood polynomials with square discriminant
本文研究具有平方判别式的互反与斜互反 Littlewood 多项式的计数，给出其首项渐近式，并关联有界高度版 Van der Waerden 猜想，还得到勾股三元组高斯加权计数的渐近结果。
2025-06-10 math.CO math.NT
Reversing a philosophy: from counting to square functions and decoupling
Bourgain、Demeter和Guth最近的突破性工作证明了解耦不等式在计算丢番图方程的积分解时可以得到强有力的结果。在本说明中，我们证明，在适当的情况下，这一含义也可以逆转。作为第一个例子，我们观察到，一个系统的丢番图方程的整数解的数量计数意味着一个离散解耦不等式。其次，在我们的主要结果中，我们证明了一个$L^{2n}$平方函数估计（这意味着相应的解耦估计）的扩展操作相关的非退化曲线在$\mathbb{R}^n$。证明是通过一个组合的论点，建立在这样的想法，如果$γ$是一个非退化曲线在$\mathbb{R}^n$，那么只要$x_1,\ldots, x_{2n}$是从一个充分分离的集合中选择，然后$ γ(x_1)+\cdots+γ(x_n) = γ(x_{n+1}) + \cdots + γ(x_{2n}) $基本上只承认解决方案，其中$x_1,\ldots,x_n$是一个置换的$x_{n+1},\ldots, x_{2n}$。
2019-06-13 math.CA math.NT
Orbitwise countings in H(2) and quasimodular forms
本文证明了亏格为2且具有一个奇点的正方形拼接曲面的轨道计数公式。这些公式是由Hubert & Lelièvre提出的。我们表明，这些计数承认准模形式的生成函数。
2006-04-02 math.GT math.NT
Squaring the magic squares of order 4
本文研究了幻方的计数问题，重点讨论了四阶乘法幻方的计数问题。本文给出了四阶正规乘法幻方的确切个数，并给出了一个新颖完整的证明，指出了对称群作用的作用。此外，我们提供了一个新的表示为幻方的阶4。这样的表示允许以非常简单的方式构造幻方，基本上只使用五个特定的4 × 4矩阵。
2013-02-05 math.NT
Square-full values of quadratic polynomials
Chulalongkorn University（朱拉隆功大学）
研究二次多项式平方满值的计数函数，并在abc猜想假设下给出更优的上界估计。
2025-03-06 math.NT
A Matrix-Theoretic Exact Formula for Counting Primes in Intervals Between Consecutive Odd Squares
Chongqing University of Arts and Sciences（重庆文理学院）；Suzhou University（苏州大学）
本文提出一个基于矩阵理论的精确公式，用于计算连续奇数平方区间内的素数个数，通过矩阵乘法的性质，推导出素数计数的等价条件，并验证了该条件在特定范围内的有效性。
2026-09-15 math.CO math.NT
