余紧群上的双曲格点计数问题中的平方根相消
Square root cancellation in the hyperbolic lattice counting problem over cocompact groups
- University of Patras（帕特雷大学）
- University of Maryland（马里兰大学）
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AI总结：
本文针对余紧Fuchsian群改进了双曲格点计数误差项的Selberg界，达到几乎处处最优的平方根上界，并推广至高维，同时改进二阶矩界并否证Phillips-Rudnick猜想。
AI中文摘要：
对于余紧Fuchsian群 $\Gamma \leq \hbox{PSL}(2, \mathbb{R})$，我们改进了Selberg关于双曲格点计数问题中计数函数误差项的界，在几乎所有的点对 $z,w$ 上达到了误差项 \begin{equation*} E(X;z, w) = O(X^{1/2+\varepsilon}) \end{equation*} 的本质上最优的上界。我们将这一逐点结果推广到作用在 $n$ 维实双曲空间 $\mathbb{H}^n$ 上的余紧格。此外，在二维情形下，我们研究了计数函数误差项的二阶矩。对于几乎所有点对 $z,w$，我们改进了Chamizo和Cherubini的上界，但否证了Phillips和Rudnick关于余紧Fuchsian群情形的一个猜想。
英文摘要：
For cocompact Fuchsian groups $Γ\leq \hbox{PSL}(2, \mathbb{R})$ we improve Selberg's bound for the error term of the counting function in the hyperbolic lattice counting problem, achieving an essentially optimal upper bound for the error term \begin{equation*} E(X;z, w) = O(X^{1/2+\varepsilon}) \end{equation*} for almost every pair of points $z,w$. We extend this pointwise result for cocompact lattices acting on the $n$-dimensional real hyperbolic space $\mathbb{H}^n$. Moreover, in the $2$-dimensional case we study the second moment of the error term of the counting function. We improve the upper bounds of Chamizo and Cherubini for almost all pairs $z,w$, but we disprove a conjecture of Phillips and Rudnick for the case of cocompact Fuchsian groups.
