Weighted enumeration of number-fields and counting points that take bounded squarefree values along certain polynomials using Pseudo and Sudo maximal orders
LMSI（拉格朗日数学与信息科学实验室）
利用Ekedhal筛法计数与判别式多项式密切相关的多项式的有界无平方因子值，并得到判别式有界数域数量的加权下界，其limsup远大于当前已知界。
2026-06-09 math.NT math.RA
Counting integer matrices with square-free determinants
University of New South Wales（新南威尔士大学）
研究整数矩阵集合中行列式为平方自由数的矩阵数量，并推导出相关渐进行为，同时改进方法计算矩阵行列式与欧拉函数的和。
2026-10-12 math.NT
Counting (skew-)reciprocal Littlewood polynomials with square discriminant
本文研究具有平方判别式的互反与斜互反 Littlewood 多项式的计数，给出其首项渐近式，并关联有界高度版 Van der Waerden 猜想，还得到勾股三元组高斯加权计数的渐近结果。
2025-06-10 math.CO math.NT
Square root cancellation in the hyperbolic lattice counting problem over cocompact groups
University of Patras（帕特雷大学）；University of Maryland（马里兰大学）
本文针对余紧Fuchsian群改进了双曲格点计数误差项的Selberg界，达到几乎处处最优的平方根上界，并推广至高维，同时改进二阶矩界并否证Phillips-Rudnick猜想。
2026-09-29 math.NT
Reinforcing a Philosophy: A counting approach to square functions over local fields
KTH Royal Institute of Technology（皇家理工学院）；University of Gothenburg and Chalmers University of Technology（哥德堡大学与查尔姆斯理工大学）
本文提出了一种针对局部域上有限型平面曲线扩展算子正方形函数的计数方法，得出了关于多项式形式曲线的新估计结果。
2026-02-09 math.CA math.NT
Reversing a philosophy: from counting to square functions and decoupling
Bourgain、Demeter和Guth最近的突破性工作证明了解耦不等式在计算丢番图方程的积分解时可以得到强有力的结果。在本说明中，我们证明，在适当的情况下，这一含义也可以逆转。作为第一个例子，我们观察到，一个系统的丢番图方程的整数解的数量计数意味着一个离散解耦不等式。其次，在我们的主要结果中，我们证明了一个$L^{2n}$平方函数估计（这意味着相应的解耦估计）的扩展操作相关的非退化曲线在$\mathbb{R}^n$。证明是通过一个组合的论点，建立在这样的想法，如果$γ$是一个非退化曲线在$\mathbb{R}^n$，那么只要$x_1,\ldots, x_{2n}$是从一个充分分离的集合中选择，然后$ γ(x_1)+\cdots+γ(x_n) = γ(x_{n+1}) + \cdots + γ(x_{2n}) $基本上只承认解决方案，其中$x_1,\ldots,x_n$是一个置换的$x_{n+1},\ldots, x_{2n}$。
2019-06-13 math.CA math.NT
Counting invertible sums of squares modulo $n$ and a new generalization of Euler totient function
本文引入并研究了推广欧拉函数的一类算术函数族$Φ_k$。这些函数由方程$\gcd(x_1^2+\ldots +x_k^2, n)=1$与$x_1,\ldots,x_k \in {\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$的解的数目给出，对于$k=2,4$和$8$，这些解分别与${\mathbb{Z}}/n{\mathbb{Z}}$上的高斯整数、四元数和八元数的环中的单位数一致。证明了$Φ_k$对每个$k$都是乘性的，利用$n$的素幂分解得到了$Φ_k(n)$的一个显式表达式，并导出了$\sum_{n\le x} Φ_k(n)$的一个渐近公式.作为一种工具，我们调查的乘法算术函数，计数的解决方案的数量$x_1^2+\ldots +x_k^2\equiv λ$（模$n$）$λ$互质$n$，从而扩展了旧的结果，只处理与总理$n$的情况。
2014-06-25 math.NT
Orbitwise countings in H(2) and quasimodular forms
本文证明了亏格为2且具有一个奇点的正方形拼接曲面的轨道计数公式。这些公式是由Hubert & Lelièvre提出的。我们表明，这些计数承认准模形式的生成函数。
2006-04-02 math.GT math.NT
A lattice point counting approach for the study of the number of self-avoiding walks on $\mathbb{Z}^{d}$
该研究通过将正方形格自回避行走计数简化为多维域整点计数，得到其长度为$n$的渐近估计，并为任意$d\geq 2$维$\mathbb{Z}^{d}$格自回避行走数量性质研究提供统一框架。
2025-04-20 math.CO math.NT math.PR
Factorization tests and algorithms arising from counting modular forms and automorphic representations
盖克勒的一个定理比较了与$Γ_0(N)$上的权重$k$的尖点形式空间相关的非同构自守表示的数量与$k$和$N$的简单函数的数量，表明只要$N$是squarefree，两者都是相等的。我们证明了这个定理的逆（有一个小的例外），从而提供了一个无平方整数的表征。我们还建立了一个类似的刻画素数的Hecke数新形式的重量$k$ $Γ_0(N)$。由此可见，即使对于单个权重$k$，用于计算这种自守表示的数量的假设快速算法也会产生关于$N$是否无平方的快速测试。我们还展示了如何获得一个数$N$，已被发现是不是squarefree通过这个测试的可能的平方因子的界限，我们展示了如何概率地获得$N$的squarefull部分的完全因式分解从这样的自守表示的数量为两个不同的权重。如果此外，我们有这样的Hecke新形式的数量，即使是一个单一的重量$k$，然后我们展示了如何概率因素$N$完全。所有这些计算在实践中可以快速地执行，给定作为输入的自守表示和模形式的数量。
2018-06-21 math.NT
Counting integral points on indefinite ternary quadratic equations over number fields
研究了数域上非退化不定积分三元二次型$f$所定义的方程的积分点的渐近计数公式，该形式表示一个非零整数$a$，使得$-a\cdot det(f)$在数域上是平方的.特别地，我们证明了这个渐近公式的有限部分是由局部密度乘以$1-p^{-1}$在所有有限素数$p$在$\Bbb Z$上的乘积给出的.
2021-03-19 math.NT
Asymptotics of the counting function of $k$-th power-free elements in an arithmetic semigroup
对任意的$k>1$，在抽象素计数函数为指数增长性的加法算术半群中，得到了$k$次幂无元的计数函数的渐近性.本文继续了作者以前的研究，处理的情况下，无限的$k$。
2016-04-09 math-ph math.MP math.NT
Counting carefree couples
一对自然数（a，b）使得a与b互素且无平方因子，称为无平方因子对。Manfred Schroeder（在他的著作《数论在科学和通信中的应用》中）关于自由偶的一个结果和它的一个变体是用初等解析数论的标准论证建立的。并证明了Schroeder关于两两互质的整数三元组的一个相关猜想。
2014-07-04 math.NT
Counting functions for sums of rational powers of integers
计数函数是为整数的正有理数幂和构造的。即，给定由$u_1^{j/k} + u_2^{j/k} + ... + u_l^{j/k}$、$u_i \in \mathbb{Z}^+$形成的值，确定小于或等于给定$w>0$的值的数量。开发的计数功能的卷积指数方面的框架，并密切相关的黎曼zeta函数。在结论中，几个估计，特别强调的情况下，平方根，即$j=1$，$k=2$。
2018-12-20 math.NT
Counting polynomials with positive roots
本文研究所有根均为正实数的首一整系数多项式的计数问题，通过估计满足麦克劳林不等式的整数序列建立固定迹的渐近公式，并对三次多项式给出更精确结果，还证明正比例的三次多项式具有无平方因子判别式。
2025-09-18 math.NT
Counting integral points in homogeneous spaces over function fields
本文基于局部密度和合适的布雷尔元素乘积，建立函数域上非紧对称齐性空间中整点数量的渐近公式。
2026-09-17 math.AG math.NT
Index, Prime Ideal Factorization in simplest Quartic Fields and counting their discriminants
考虑由不可约四次多项式$$x^4-mx^3-6x^2+mx+1,$$定义的最简单四次数域$\mathbb{K}_m$，其中$m$遍历正有理整数，使得$m^2+16$的奇数部分是无平方的.本文研究了最简四次数域$\mathbb{K}_m$中的公共指标因子$I(\mathbb K_m)$，并明确地确定了任意素数的素理想分解.另一方面，我们建立了具有判别式$\leq x$和给定指标的最简四次域个数的渐近公式。
2018-01-12 math.NT
Power Savings for Counting (Twisted) Abelian Extensions of Number Fields
本文研究了数域阿贝尔扩张的计数问题，证明了误差项具有显著的幂次节省，并在假设广义Lindelöf假设下达到平方根幂次节省，同时揭示了部分未知的低阶项结构。
2024-02-20 math.NT
Squaring the magic squares of order 4
本文研究了幻方的计数问题，重点讨论了四阶乘法幻方的计数问题。本文给出了四阶正规乘法幻方的确切个数，并给出了一个新颖完整的证明，指出了对称群作用的作用。此外，我们提供了一个新的表示为幻方的阶4。这样的表示允许以非常简单的方式构造幻方，基本上只使用五个特定的4 × 4矩阵。
2013-02-05 math.NT
Square-full values of quadratic polynomials
Chulalongkorn University（朱拉隆功大学）
研究二次多项式平方满值的计数函数，并在abc猜想假设下给出更优的上界估计。
2025-03-06 math.NT
Square-free values of $n^2+1$
我们证明了存在一个正的常数$c_0$使得对于任何固定的$\varepsilon>0$，\[\sum_{n\le x}μ^2(n^2+1)c_0x+O_{\varepsilon}(x^{7/12+\varepsilon})\].这改进了1931年Estermann [3]的一个结果，其中误差项的指数为2/3。证明涉及计算代数曲线附近的有理点，这是通过“行列式方法”完成的。"
2012-05-09 math.NT
Elliptic curves with square-free $Δ$
在Dirichlet L-函数的黎曼假设下，我们改进了无平方因子$Δ=D/16$（D是判别式）的椭圆曲线密度估计的光滑化版本中的误差项。布朗宁和作者。为了实现这一改进，我们详细说明我们的方法计数加权解决方案的非齐次三次同余的幂满模。新颖之处在于更进一步的明确评估完全指数和保存一个因素，平均超过模。
2015-06-09 math.NT
Counting embeddings of free groups into $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ and its subgroups
本文计数自由群到 $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 及同余子群 $\Gamma_0(Q)$ 的嵌入，证明随机矩阵以高概率自由生成子群，并修正 Fuchs–Rivin 的相关结论。
2023-04-21 math.NT
Counting sum-free sets in Abelian groups
本文研究了有限阿贝尔群中$m$阶的和自由集。我们证明了3-一致超图的一个一般定理，它使我们能够从稠密设置中的稳定性结果推导出稀疏设置中的结构结果。因此，对于每个$m \ge C(q) \sqrt{n \log n}$，我们确定了阿贝尔群$G$中阶$q$的无和集的典型结构和渐近数，从而推广和改进了Green和Ruzsa的一个定理.特别是，我们证明了几乎所有的无和子集的大小$m$包含在一个最大大小的无和子集的$G$。我们还给出了一个完全自包含的证明，这一声明的阿贝尔群的偶数阶，它使用谱方法和一个新的界限上的数量的独立集的大小$m$在$(n,d,λ)$ -图。
2012-01-31 math.CO math.NT
Counting Reducible Matrices, Polynomials, and Surface and Free Group Automorphisms
本文给出了在整数和模素数整数上可约的各类多项式的个数的上界，SL（n），GL（n）和Sp（2 n）中具有可约特征多项式的矩阵的个数的上界，以及具有非一般伽罗瓦群的多项式的上界.我们使用我们的结果表明，一个随机（在适当的意义上）的映射类群的闭曲面的元素是伪Anosov，和一个随机自同构的自由群是强不可约（aka不可约的权力）。本文还给出了代数整数的所有幂都是同阶的必要条件，并给出了一个简单的证明（在附录中），证明了带限制系数的多项式模素数p的循环结构的分布与一般多项式的循环结构的分布相同。
2006-04-27 math.GT math.NT
Walks on groups, counting reducible matrices, polynomials, and surface and free group automorphisms
证明了值在有限群中的图的随机游动的尖锐极限定理。然后我们将这些结果（连同一些初等代数几何、数论和表示论）应用于半单李群（特别是SL（n，Z）和Sp（2n，Z））中的格的有限等价物，以证明这些格中的一个“随机”元素具有不可约的特征多项式（在整数上）。术语"random“至少可以用两种方式来定义（根据高度和生成集的字长）--我们使用两种定义来展示结果。利用上述结果，我们证明了曲面的映射类群的随机（按字长）元是伪Anosov，随机自由群自同构是不可约幂不可约的（或强不可约的）.
2007-03-19 math.GT math.NT
