Normalized ground states solutions for nonautonomous Choquard equations
本文研究了非自治Choquard方程$$-Δu-λu=\left(\frac{1}{|x|^μ}\ast A|u|^{p}\right)A|u|^{p-2}u,\quad \int_{\mathbb{R}^{N}}|u|^{2}dx=c,\quad u\in H^1(\mathbb{R}^N,\mathbb{R}),$$的归一化基态解，其中$c>0$，$0<μ<N$，$λ\in\mathbb{R}$，$A\in C^1(\mathbb{R}^N,\mathbb{R})$ .对于$p\in(2_{*,μ}, \bar{p})$，我们证明了Choquard方程具有基态正规化解，并且基态集合是轨道稳定的.对于$p\in (\bar{p},2^*_μ)$，我们找到了一个规范化的解决方案，这是不是一个全局极小。$2^*_μ$和$2_{*,μ}$分别是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的上临界指数和下临界指数。$\bar{p}$是$L^2-$临界指数。所得结果推广和改进了相关结果.
2023-02-10 math.AP
Nonexistence, existence and symmetry of normalized ground states to Choquard equations with a local perturbation
本文研究了具有指定质量\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}^N}|u|^2dx=a^2. \end{equation*}的局部微扰\begin{equation*} -Δu=λu+(I_α\ast|u|^p)|u|^{p-2}u+μ|u|^{q-2}u,\ x\in \mathbb{R}^{N} \end{equation*}的Choquard方程。对于$L^2$ -临界或$L^2$ -超临界微扰$μ|u|^{q-2}u$，利用山路引理、Pohožaev约束方法、Schwartz对称化重排和一些极化理论，证明了归一化基态的不存在性、存在性和对称性。特别是，我们的结果涵盖了Hardy-Littlewood-Sobolev上临界指数的情况$p=(N+α)/(N-2)$。我们的结果是\cite{{Li 2021-4},{Soave JFA},{Wei-Wu 2021}}结果的非局部对应。
2021-05-07 math.AP
On Concentration of least energy solutions for magnetic critical Choquard equations
本文研究了磁非线性Choquard方程$$ \left\{ \begin{array}{ll} & (-i \nabla+A(x))^2u + μg(x)u = λu + (|x|^{-α} * |u|^{2^*_α})|u|^{2^*_α-2}u ,\; u>0 \;\text{in} \; \mathbb{ R}^n , & u \in H^1(\mathbb{R}^n, \mathbb{ C}) \end{array} \right\}.$$，其中$n \geq 4$，$2^*_α= \frac{2n-α}{n-2}$，$λ>0$，$μ\in \mathbb{ R}$为参数，$α\in (0,n)$，$A(x): \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{ R}^n$为磁矢量势，$g(x)$为$\mathbb{R}^n$上的实值势函数.利用变分方法，在适当的条件下，证明了最小能量解的存在性。此外，还研究了溶液的浓度行为，如$μ\rightarrow +\infty$。
2018-04-05 math.AP
The semirelativistic Choquard equation with a local nonlinear term
我们提出了半相对论Choquard方程的局部非线性$\mathbb{R}^N$ \begin{equation*} \sqrt{\strut -Δ+ m^2} u - mu + V(x)u = \left( \int_{\mathbb{R}^N} \frac{|u(y)|^p}{|x-y|^{N-α}} \, dy \right) |u|^{p-2}u - Γ(x) |u|^{q-2}u, \end{equation*}的存在性结果，其中$m > 0$和潜在的$V$被分解为一个$\mathbb{Z}^N$ -周期项和一个有界项，在无穷远衰减的总和。用变分方法证明了半空间$\mathbb{R}_{+}^{N+1}$上的一个辅助问题。
2018-05-15 math.AP
Existence and nonexistence of solutions to Choquard equations
本文建立了Choquard方程\begin{equation}\label{eq 1} - Δu + u = q\,(I_α\ast |u|^p) |u|^{q - 2} u+p\,(I_α\ast |u|^q) |u|^{p - 2} u\quad {\rm in }\quad \mathbb{R}^N, \end{equation}基态解的存在性，其中$N \ge 3$，$α\in (0, N)$，$I_α: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$是里斯位势，$p,\,q >0$满足\begin{equation}\label{eq 2} \frac{2(N+α)}{N}<p+q< \frac{2(N+α)}{N-2}. \end{equation}.此外，我们还证明了该Choquard方程的Pohožaev型恒等式，这意味着当$(p,q)$不满足上述条件时，该问题不存在.
2017-06-02 math.AP
Concentration phenomena for a fractional Choquard equation with magnetic field
我们考虑下面的非线性分数Choquard方程$$ \varepsilon^{2s}(-Δ)^{s}_{A/\varepsilon} u + V(x)u = \varepsilon^{μ-N}\left(\frac{1}{|x|^μ}*F(|u|^{2})\right)f(|u|^{2})u \mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, $$其中$\varepsilon>0$是一个参数，$s\in (0, 1)$，$0<μ<2s$，$N\geq 3$，$(-Δ)^{s}_{A}$是分数磁拉普拉斯算子，$A:\mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}^{N}$是一个光滑磁势，$V:\mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}$是一个具有局部极小值的正势，而$f$是一个具有亚临界增长的连续非线性。利用变分方法证明了足够小的$\varepsilon>0$非平凡解的存在性和集中性。
2018-07-18 math.AP
Pointwise Bounds and Blow-up for Choquard-Pekar Inequalities at an Isolated Singularity
研究了满足Choquard-Pekar型不等式\begin{equation}\label{0.2} 0\leq-Δu\leq(|x|^{-α}*u^λ)u^σ\quad\text{ in }B_2 (0)\backslash \{0\} \end{equation}的非负函数\begin{equation}\label{0.1} u\in C^2 (\mathbb{R}^n \backslash \{0\})\cap L^λ(\mathbb{R}^n ) \end{equation}在$\mathbb{R}^n ,n\geq3$中原点附近的行为，其中$α\in(0,n),λ>0,$和$σ\geq0$是常数，$*$是$\mathbb{R}^n$中的卷积运算.我们提供了最优条件$α,λ$，和$σ$，使非负解$u$满足点态界附近的原点。
2015-12-11 math.AP
Construction of infinitely many solutions for a critical Choquard equation via local Pohožaev identities
本文研究了一类具有轴对称势的临界Choquard方程$$ -Δu+ V(|x'|,x'')u =\Big(|x|^{-4}\ast |u|^{2}\Big)u\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} \mathbb{R}^6, $$，其中$(x',x'')\in \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^{4}$，$V(|x'|, x'')$是$\mathbb{R}^{+}\times\mathbb{R}^{4}$中的有界非负函数，$*$表示标准卷积.该方程在Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下是临界的。通过应用一个有限维的减少参数和开发新的本地Pohožaev身份，我们证明了，如果功能$r^2V(r,x'')$有一个拓扑非平凡的临界点，然后问题允许无限多个解决方案，任意大的能量。
2022-06-30 math.AP
Existence of positive solutions for a class of quasilinear Schrödinger equations with critical Choquard nonlinearity
本文讨论了拟线性Schr dinger Choquard方程：\begin{equation*} \begin{array}{cc} \displaystyle -div(g^2(u)\nabla u) + g(u)g'(u)\nabla u + a(x) u = k(x, u) \;\text{in} \; \mathbb{R}^N, \end{array} \end{equation*}其中$N \geq 3$，$\displaystyle k(x,u) := h(x,u) + (I_{\vartheta}*|u|^{α\cdot2^*_μ})|u|^{α\cdot2^*_μ-2}u$，$g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$是一个可微偶函数，对所有的$t \geq 0$都有$g(0) = 1$和$g'(t) \geq 0$; $h\in C( \mathbb{R}^N \times\mathbb{R}, \mathbb{R})$和位势$a \in C( \mathbb{R}^N, \mathbb{R})$ .我们建立了一个正解的存在性，使用变量的变化和变分方法在适当的假设下$g$，$h$和$a$。
2022-12-11 math.AP
Multiple nodal solutions of nonlinear Choquard equations
本文研究了非线性Choquard方程\begin{equation*} \ \ \ \ (P)\ \ \ \ \begin{cases} -Δu+u=(|x|^{-1}\ast|u|^p)|u|^{p-2}u \ \ \ \text{in}\ \mathbb{R}^3, \ \ \ \ \\ u\in H^1(\mathbb{R}^3),\\ \end{cases} \end{equation*}的多节点解的存在性，其中$p\in (\frac{5}{2},5)$ .我们证明了对于任何正整数$k$，问题$(P)$至少有一个径向对称的解决方案改变符号正好$k$倍。
2017-04-14 math.AP
On the multiplicity and concentration of positive solutions for a $p$-fractional Choquard equation in $\mathbb{R}^{N}$
本文研究了分数阶Choquard方程\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} \varepsilon^{sp}(-Δ)^{s}_{p} u + V(x)|u|^{p-2}u = \varepsilon^{μ-N}\left(\frac{1}{|x|^μ}*F(u)\right)f(u) \mbox{ in } \mathbb{R}^{N},\\ u\in W^{s,p}(\R^{N}), \quad u>0 \mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, \end{array} \right. \end{equation*}，其中$\varepsilon>0$是小参数，$s\in (0, 1)$，$p\in (1, \infty)$，$N>sp$，$(-Δ)^{s}_{p}$是分数阶$p$ -Laplacian，$V$是正的连续势，$0<μ<sp$，$f$是具有次临界增长的连续超线性函数.利用极大极小和Ljusternik-Schnirelmann范畴理论，得到了足够小的$\varepsilon>0$正解的存在性、多解性和集中性.
2019-05-11 math.AP
Uniqueness and Nondegeneracy of Ground States for Choquard Equations in three dimensions
在$\mathbb{R}^{3}$中得到了Choquard方程$-Δu+u=\left(|x|^{-1}\ast|u|^{p}\right)|u|^{p-2}u$基态的唯一性和非简并性结果，条件是$p>2$和$p$充分接近2.
2015-06-04 math.AP
On the existence and multiplicity of solutions for the $ N $-Choquard logarithmic equation with exponential critical growth
在目前的工作中，我们简要地解释了如何适应技术已经使用的分数和$p$ -分数拉普拉斯的情况下，以获得一个非平凡的解决方案，在山口水平和非平凡的基态解决方案的存在，为临界情况下，和无限多个解决方案的存在，为亚临界情况下，Choquard对数方程，$-Δ_N u + a(x)|u|^{N-2}u + λ(\ln|\cdot|\ast |u|^{N})|u|^{N-2}u = f(u) \textrm{ in } \mathbb{R}^N $，其中$ a:\mathbb{R}^N \rightarrow \mathbb{R} $，$ λ>0 $，对于$ α>0 $，$ N \geq 3 $和$f: \mathbb{R} \rightarrow [0, \infty) $是连续函数，其行为类似于无穷远处的$ \exp(α|u|^{\frac{N}{N-1}}) $。
2021-07-19 math.AP
On the existence results for $m$-Harmonic equation with critical Choquard Nonlinearity
Netaji Subhash University of Technology（印度国立苏哈斯大学）
研究具有临界Choquard非线性的m-调和方程，通过探讨极小值建立精细估计，证明在不同次临界扰动下该方程存在非平凡解，是处理多重调和方程和此类型非线性的首篇文章，结果新颖。
2026-07-08 math.AP
Stability and instability of standing waves for a generalized Choquard equation with potential
我们将研究一个广义Choquard方程的驻波：$$ -i\partial_t u-Δu+V(x)u=(|x|^{-μ}\ast|u|^p)|u|^{p-2}u, \ \ \hbox{in}\ \ \mathbb{R}\times\mathbb{R}^3, $$其中$V(x)$是一个实函数，$0<μ<3$，$2-μ/3<p<6-μ$和$\ast$代表卷积。在适当的势能假设和适当的频率下，研究了驻波$ω$的稳定性和不稳定性。
2016-04-27 math.AP
Choquard equations with critical nonlinearities
本文研究了$\mathbb{R}^N$ \begin{equation*} -Δu+u=(I_α\ast|u|^{p})|u|^{p-2}u+λ|u|^{q-2}u \quad \mathrm{in}\ \mathbb{R}^N, \end{equation*}中Choquard方程的Brezis-Nirenberg型问题，其中$N\geq 3,\ α\in(0,N)$，$λ>0$，$q\in (2,\frac{2N}{N-2}]$，$p=\frac{N+α}{N}$或$\frac{N+α}{N-2}$是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的临界指数，$I_α$是里斯位势.基于亚临界问题的结果，利用亚临界近似和Pohožaev约束方法，在$H^1(\mathbb{R}^N)$中得到了该问题的正的径向非增基态解.最后，得到了一般Choquard方程解的正则性和Pohožaev恒等式.
2018-08-17 math.AP
Existence and regularity for an entire Grushin-Choquard equation
Università degli Studi di Milano-Bicocca（米兰比可卡大学）
研究Grushin算子下的Choquard方程，证明在合适参数范围内存在山峰解，并建立解在L^q和Hölder连续中的正则性，同时推导出非存在性结果。
2026-03-20 math.AP
Multiple solutions to a magnetic nonlinear Choquard equation
考虑定常非线性磁Choquard方程[（- \mathrm{i} \nabla +A（x））^{2}u+V（x）u=（\frac{1}{|x|^α} \ast |u| ^{p}）|u| ^{p-2}u，\quad x \in \mathbb{R}^{N} %]其中$A\ $是实值矢量势，$V$是实值标量势$,$ $N\geq3$，$α\in(0,N)$和$2-(α/N) <p<(2N-α)/(N-2)$ .我们假定$A$和$V$都与$\mathbb{R}^{N}$的线性等距群$G$的作用相容.我们建立了该方程满足对称条件\[ u(gx)=τ(g)u(x)\text{\ \ \ for all}g\in G,\text{}x\in\mathbb{R}^{N}, \]的多个复值解的存在性，其中$τ:G\rightarrow\mathbb{S}^{1}$是到单位复数的给定群同态。
2011-09-07 math.AP
Normalized ground states for a biharmonic Choquard equation with exponential critical growth
本文考虑了如下双调和Choquard型问题\begin{align*} \begin{split} \left\{ \begin{array}{ll} Δ^2u-βΔu=λu+(I_μ*F(u))f(u), \quad\mbox{in}\ \ \mathbb{R}^4, \displaystyle\int_{\mathbb{R}^4}|u|^2dx=c^2,\quad u\in H^2(\mathbb{R}^4), \end{array} \right. \end{split} \end{align*}的归一化基态解，其中$β\geq0$，$c>0$，$λ\in \mathbb{R}$，$I_μ=\frac{1}{|x|^μ}$和$μ\in (0,4)$，$F(u)$是$f(u)$的原函数，$f$是在Adams不等式意义下具有指数临界增长的连续函数.利用基于同伦稳定族的极大极小原理，我们得到了上述问题至少存在一个基态正规解。
2022-11-24 math.AP
Existence of solutions for critical Choquard equations via the concentration compactness method
本文考虑非线性Choquard方程$$ -Δu+V(x)u =\left(\int_{\mathbb{R}^N}\frac{G(y,u)}{|x-y|^μ}dy\right)g(x,u)\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} \mathbb{R}^N, $$，其中$0<μ<N$，$N\geq3$，$g(x,u)$由于Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和$G(x,u)=\displaystyle\int^u_0g(x,s)ds$而具有临界增长性.首先，假设位势$V(x)$可能是变号的，利用浓度紧性原理研究了Choquard方程的山路型解的存在性.其次，在Benci和Cerami \cite{BC1}引入的条件下，利用一个整体紧性引理，研究了非局部Choquard方程的高能解的存在性.
2017-12-22 math.AP
On the study of $(p, Q)$-Laplace Choquard equations with critical Trudinger-Moser nonlinearity in $\mathbb{H}^N$
本文研究Heisenberg群上具有临界Trudinger-Moser非线性与Stein-Weiss反应的(p,Q)-Laplace Choquard方程解的存在性与多重性，结合变分原理与全新Brézis-Lieb引理证明。
2024-07-23 math.AP
Normalized solutions of linearly coupled Choquard system with potentials
本文考虑了一类具位势\begin{align*} \left\{\begin{aligned} &-Δu+λ_1 u+V_1(x)u=μ_1(I_α\star|u|^p)|u|^{p-2}u+β(x) v,\\ &-Δv+λ_2 v+V_2(x)v=μ_2(I_α\star|v|^q)|v|^{q-2}u+β(x) u, \end{aligned} \right.\quad x\in \mathbb{R}^N, \end{align*}的线性耦合Choquard系统在约束\begin{align*} \int_{\mathbb{R}^N}u^2dx=ξ^2,~ \int_{\mathbb{R}^N}v^2dx=η^2, \end{align*}下解的存在性，其中$I_α=\frac{1}{|x|^{N-α}},~α\in(0,N),~1+\fracα{N}<p,~q<\frac{N+α}{N-2},~μ_1>0,~μ_2>0$和$β(x)$是固定函数.
2022-09-14 math.AP
Variable order nonlocal Choquard problem with variable exponents
本文研究了具有变指数（-Δ）_{p（\cdot）}^{s（\cdot）}u（x）&=λ的变阶非局部Choquard问题解的存在性和多重性|u（x）|^{α（x）-2}u（x）+ \left（\DD \int_Ω \frac{F(y,u(y))}{|x-y|^{μ(x,y)}} dy \right）f（x，u（x）），x \in Ω，u（x）&=0，x \in \mathbb R^N \setminus Ω，其中$Ω\subset\mathbb R^N$是光滑有界区域，$N\geq 2$，$p,s,μ$和$α$是$\mathbb R^N\times\mathbb R^N$上的连续函数，而$f(x,t)$是Carathédory函数.在对$s,p,μ,α$和$f(x,t)$适当的假设下，首先研究了变指数变阶分数Sobolev空间的Hardy-Sobolev-Littlewood型结果.然后，我们给出了上述方程的存在性/多重性结果。
2019-07-05 math.AP
Groundstates for Choquard equations with the upper critical exponent
本文考虑了具有上临界指数的自治Choquard方程。利用Pohožaev约束方法、亚临界近似方法和Strauss紧性引理，得到了$H^1(\mathbb{R}^N)$的正径向对称基态解.这里的结果推广和补充了以前的定理。
2018-12-14 math.AP
A guide to the Choquard equation
我们调查旧的和最近的结果处理的存在性和性质的Choquard型方程$$ -Δu + V(x)u = \bigl(|x|^{-(N-α)} * |u|^p\bigr)|u|^{p - 2} u \qquad \text{in $\mathbb{R}^N$}, $$和它的一些变种和扩展。
2016-06-07 math.AP
Least action nodal solutions for the quadratic Choquard equation
本文证明了二次Choquard方程$$ -Δu + u = \big(I_α\ast |u|^2\big)u \quad\text{in }\; \mathbb R^N,$$最小作用节点解的存在性，其中$$ -Δu + u = \big(I_α\ast |u|^2\big)u \quad\text{in }\; \mathbb R^N,$$是$α\in(0,N)$阶里斯位势.当$p\searrow 2$满足时，该解被构造为非线性Choquard方程$$ -Δu + u = \big(I_α\ast |u|^p\big)|u|^{p-2}u \quad\text{in }\; \mathbb R^N$$的最小作用节点解的极限.利用Nehari节点集上的变分极小极大方法，证明了$p>2$最小作用节点解的存在性.当$p<2$ .
2016-04-18 math.AP
Saddle solutions for the Choquard equation with a general nonlinearity
在Berestycki和Lions的思想下，我们证明了Choquard方程\[ -Δu + u= \big(I_α\ast F(u)\big)F'(u)\qquad \text{ in }\;\mathbb{R}^N \]鞍型节点解的存在性，其中$N\geq 2$和$I_α$是$α\in (0,N)$阶里斯位势.没有任何紧凑的设置，我们构造鞍解的Choquard方程的节点域的圆锥形证明考克斯特的对称配置在$\mathbb R^N$统一的方式。此外，如果$F'$是奇数的，并且在$(0,+\infty)$上具有常数符号，则鞍解在相应Coxeter群的基本区上保持有符号，并且在任何两个相邻区域上接收相反的符号。这些结果进一步完成了变分框架在构造的Choquard方程的符号变化的解决方案，但仍然需要一个二次或超二次增长的$F$附近的起源。
2021-05-26 math.AP
Kirchhoff equations with Choquard exponential type nonlinearity involving the fractional Laplacian
本文讨论了一类非局部问题$$ \left\{ \begin{array}{lr} \quad - M\left(\displaystyle\int_{\mathbb R^n}\int_{\mathbb R^{n}} \frac{|u(x)-u(y)|^{\frac{n}{s}}}{|x-y|^{2n}}~dxdy\right) (-Δ)^{s}_{n/s} u=\left(\displaystyle\int_Ω\frac{G(y,u)}{|x-y|^μ}~dy\right)g(x,u) \; \text{in}\; Ω,\\ \quad \quad u =0\quad\text{in} \quad \mathbb R^n \setminus Ω, \end{array} \right. $$的非负解的存在性，其中$(-Δ)^{s}_{n/s}$是$n/s$ -分式Laplace算子，$n\geq 1$，$s\in(0,1)$使得$n/s\geq 2$，$Ω\subset \mathbb R^n$是具有Lipschitz边界的有界区域，$M:\mathbb R^+\rightarrow \mathbb R^+$和$g:Ω\times\mathbb R\rightarrow \mathbb R$是连续函数，其中$g$的行为类似于$\exp({|u|^{\frac{n}{n-s}}})$…
2019-08-29 math.AP
Isolated singularities of positive solutions for Choquard equations in sublinear case
本文研究了Choquard方程在次线性情形$q \in (0,1)$ $$\displaystyle \ \ -Δu+ u =I_α[u^p] u^q\;\; {\rm in}\; \mathbb{R}^N\setminus\{0\}, % [2mm] \phantom{ } \;\; \displaystyle \lim_{|x|\to+\infty}u(x)=0, $$下正解的孤立奇点，其中$p >0, N \geq 3, α\in (0,N)$和$I_α[u^p](x) = \int_{\mathbb{R}^N} \frac{u^p(y)}{|x-y|^{N-α}}dy$是作为非局部项出现在方程中的里斯位势.研究了Choquard方程在指数对$(p,q)$的不同取值范围下孤立奇异解的存在性和不存在性.此外，我们还得到了该方程的最小奇异解的定性性质。
2017-03-07 math.AP
Groundstates of the Choquard equations with a sign-changing self-interaction potential
考虑自相互作用势$V$自下而上无界时的非线性Choquard方程$$ -Δu+u= (V * |u|^p )|u|^{p-2}u \qquad \text{in }\mathbb{R}^N, $$.在对$V$和$p$的一些假设下，覆盖$p =2$和$V$是一维或二维牛顿核，我们通过求解一个约束极小化的松弛问题，然后证明松弛解收敛到原方程的基态，从而证明了非平凡基态解$u\in H^1 (\mathbb{R}^N)\setminus\{0\}$的存在性.
2018-05-17 math.AP
Existence of ground state solutions for a Choquard double phase problem
本文研究了由双相算子驱动的拟线性椭圆型方程，该方程中的Choquard项为\begin{align*} -\mathcal{L}_{p,q}^{a}(u) + |u|^{p-2}u+ a(x) |u|^{q-2}u = \left( \int_{\mathbb{R}^N} \frac{F(y, u)}{|x-y|^μ}\,\mathrm{d} y\right)f(x,u) \quad\text{in } \mathbb{R}^N, \end{align*}，其中$\mathcal{L}_{p,q}^{a}$是由\begin{align*} \mathcal{L}_{p,q}^{a}(u):= \operatorname{div}\big(|\nabla u|^{p-2}\nabla u + a(x) |\nabla u|^{q-2}\nabla u \big), \quad u\in W^{1,\mathcal{H}}(\mathbb{R}^N), \end{align*} $0<μ<N$，$1<p<N$，$p<q<p+ \frac{αp}{N}$，$0 \leq a(\cdot)\in C^{0,α}(\mathbb{R}^N)$ with $α\in (0,1]$给出的双相算子，而$f\colon\mathbb{R}^N\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}…
2022-10-25 math.AP
$ (p, N)-$Choquard logarithmic equation involving a nonlinearity with exponential critical growth: existence and multiplicity
目前的工作是关注以下版本的Choquard对数方程$ -Δ_p u -Δ_N u + a|u|^{p-2}u + b|u|^{N-2}u + λ(\ln|\cdot|\ast G(u))g(u) = f(u) \textrm{ in } \mathbb{R}^N $，其中$ a, b, λ>0 $，$ \max\{\frac{N}{2}, 2 \} < p< N $，$f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $是连续函数，表现得像$ \exp(α|u|^{\frac{N}{N-1}}) $在无穷远，$ α>0 $，并有多项式增长，分别和$ G(s)=\int\limits_{0}^{s}g(τ)dτ$。我们证明了一个非平凡的解决方案，在山口水平和非平凡的基态解的存在性。此外，使用对称山路定理的一个版本，我们得到无穷多个解决方案。
2021-05-24 math.AP
Complete Spectrum and Sharp Local Stability for the Critical Exponential Biharmonic Choquard Equation in \(\mathbb R^{4}\)
School of Mathematics and Statistics, Southwest University（西南大学数学与统计学院）
本文研究\u211d⁴中共形不变的指数双调和Choquard方程，完成其共形气泡处线性化算子的完整谱分解，得到尖锐局部稳定性结论，还证明有限质量解为显式平移-伸缩气泡。
2026-08-04 math.AP
Existence and multiplicity of solutions for the fractional $p$-Laplacian Choquard logarithmic equation involving a nonlinearity with exponential critical and subcritical growth
本文得到了Choquard对数方程$(-Δ)_{p}^{s}u + |u|^{p-2}u + (\ln|\cdot|\ast |u|^{p})|u|^{p-2}u = f(u) \textrm{ \ in \ } \mathbb{R}^N $非平凡解的存在性和多重性，其中$ N=sp $，$ s\in (0, 1) $，$ p>2 $，$ a>0 $，$ λ>0 $和$f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $是具有指数临界和亚临界增长的连续非线性方程.我们保证在山口水平和临界和亚临界增长下的非平凡基态解的存在性。此外，当$ f $有次临界增长时，我们利用亏格理论证明了无穷多个解的存在性。
2020-12-23 math.AP
Nonlinear Perturbations of a periodic magnetic Choquard equation with Hardy-Littlewood-Sobolev critical exponent
本文考虑下列磁非线性Choquard方程\[-(\nabla+iA(x))^2u+ V(x)u = \left(\frac{1}{|x|^α}*|u|^{2_α^*}\right) |u|^{2_α^*-2} u + λf(u)\ \textrm{ in }\ \R^N,\]其中$2_α^{*}=\frac{2N-α}{N-2}$是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的临界指数，$λ>0$，$N\geq 3$，$0<α< N$，$A: \mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}^{N}$是$C^1$，$\mathbb{Z}^N$是周期矢量势，$V$是作为周期势的扰动给出的连续标量势.在适当的假设下，对不同类型的非线性$f$，即$f(x,u)=\left(\frac{1}{|x|^α}*|u|^{p}\right)|u|^{p-2} u$的$(2N-α)/N<p<2^{*}_α$，然后$f(u)=|u|^{p-1} u$的$1<p<2^*-1$和$f(u)=|u|^{2^* - 2}u$（其中$2^*=2N/(N-2)$），我们证明了至少存在一个基态解的方程变分方法，如果$p$属于一些区间依赖于$N$和$λ$。
2019-10-09 math.AP
Groundstates for Choquard type equations with Hardy-Littlewood-Sobolev lower critical exponent
对于Choquard方程，这是一个非局部的非线性薛定谔型方程，$ -Δu+V_{μ,ν} u=(I_α\ast |u|^{\frac{N+α}{N}}){|u|}^{\fracα{N}-1}u$，在$\mathbb{R}^N$其中$N\ge 3$，$V_{μ, ν} : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$是一个外部的潜力定义的$μ,ν\in\mathbb{R}$和$x \in \mathbb{R}^N$由$V_{μ, ν} (x)=1-μ/(ν^2 + |x|^2)$和$I_α: \mathbb{R}^N \to 0$是Riesz潜力$α\in (0,N)$，我们展示了两个阈值$μ_ν,μ^ν>0$，使方程承认一个正的基态解当且仅当$μ_ν<μ<μ^ν$和没有基态解存在的$μ<μ_ν$。此外，如果$μ>\max\left\{μ^ν,\frac{N^2(N-2)}{4(N+1)}\right\}$，那么方程仍然允许一个符号变化的基态解，如果除了$\frac{3}{2}<α<3$和ker $(-Δ+ V_{μ, ν}) = \{0\}$，即在非共振的情况下，提供$N\ge4$或在维度$N=3$。
2017-09-27 math.AP
Normalized solutions to an exponential growth Choquard equation driven by mixed local-nonlocal operator in $\mathbb{R}^2$
Indian Institute of Technology Delhi（印度理工学院德里分校）
研究混合局部-非局部算子驱动的指数增长Choquard方程在$\mathbb{R}^2$中的规范化解存在性，通过变分方法在Pohožaev流形上证明存在性，并讨论正则性和Pohožaev恒等式的构造。
2026-10-22 math.AP
On a class of mixed Choquard-Schrödinger-Poisson system
我们研究了系统$$ \left\{ -Δu+u+K(x) ϕ|u|^{q-2}u&=(I_α*|u|^p)|u|^{p-2}u &&\mbox{ in }{\mathbb R}^N, -Δϕ&=K(x)|u|^q&&\mbox{ in }{\mathbb R}^N, \right. $$，其中$N\geq 3$，$α\in (0,N)$，$p,q>1$和$K\geq 0$。使用Pohozaev类型的等式，我们首先推导出根据$p,q,N,α$和$K$不存在解的条件。其次，我们利用变分方法讨论了基态解的存在性。
2017-03-07 math.AP
Symmetry of Positive Solutions for the Fractional Schr$ \ddot{\textrm{o}}$dinger Equations with Choquard-type Nonlinearities
本文研究了具有Choquard型非线性项\begin{equation*} \left\{\begin{array}{r@{\ \ }c@{\ \ }ll} (-Δ)^{\fracα{2}}u + u - C_{n,-β} \,(|x|^{β-n}\ast u^{p})\, u^{p-1}& = &0 & \mbox{in}\ \ \mathbb{R}^{n}\,, \\[0.05cm] u & > & 0 & \mbox{on}\ \ \mathbb{R}^{n}, \end{array}\right. \end{equation*}的分数阶Schr $ \ddot{\textrm{o}}$ dinger方程，其中$ 0< α,β< 2, 1\leq p <\infty \,\,and\,\, n\geq 2. $首先我们构造了相关方程在无穷远处的衰减结果和窄区原理.然后利用广义运动平面直接法建立了上述方程正解的径向对称性。
2019-06-06 math.AP
Standing waves to upper critical Choquard equation with a local perturbation: multiplicity, qualitative properties and stability
本文考虑了具有局部扰动\begin{equation*} \begin{cases} -Δu=λu+(I_α\ast|u|^{p})|u|^{p-2}u+μ|u|^{q-2}u,\ x\in \mathbb{R}^{N},\\ u\in H^1(\mathbb{R}^N),\ \int_{\mathbb{R}^N}|u|^2=a, \end{cases} \end{equation*}的上临界Choquard方程，其中$N\geq 3$，$μ>0$，$a>0$，$λ\in \mathbb{R}$，$α\in (0,N)$，$p=\bar{p}:=\frac{N+α}{N-2}$，$q\in (2,2+\frac{4}{N})$和$I_α=\frac{C}{|x|^{N-α}}$ with $C>0$ .当$μa^{\frac{q(1-γ_q)}{2}}\leq (2K)^{\frac{qγ_q-2\bar{p}}{2(\bar{p}-1)}}$，其中$γ_q=\frac{N}{2}-\frac{N}{q}$和$K$为某一正常数时，我们证明了（1）基态的存在性和轨道稳定性。(2)“第二类”解的存在性、正性、径向对称性、指数衰减和轨道不稳定性。本文将\cite{{JEANJEAN-JENDREJ},{Jeanjean-Le},{Soave JFA},{Wei-Wu 2021}}中的部分…
2021-04-19 math.AP
A strongly indefinite Choquard equation with critical exponent due to the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality
本文研究非线性Choquard方程$$-Δu+V(x)u =\left(\int_{\mathbb{R}^N}\frac{G(y,u)}{|x-y|^μ}dy\right)g(x,u)\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} \mathbb{R}^N, $$，其中$N\geq4$，$0<μ<N$，$G(x,u)=\displaystyle\int^u_0g(x,s)ds$ .若$0$位于$-Δ+V$谱的间隙中，且$g(x,u)$由于Hardy-Littlewood-Sobolev不等式而具有临界增长性，我们利用变分方法得到了非平凡解的存在性.本文的主要结果推广和补充了\cite{AC, KS, MS2}中已有的定理.
2017-02-17 math.AP
The logarithmic Choquard equation: sharp asymptotics and nondegeneracy of the groundstate
本文导出了对数Choquard方程$$ - Δu + a u = \frac{1}{2 π} \Bigl[\ln \frac{1}{|x|}* |u|^2 \Bigr] \ u \qquad \text{in $\mathbb{R}^2$} $$唯一正的径向对称解的渐近衰减性，并建立了它的非退化性。对于相应的三维问题，E. Lenzmann（Analysis & PDE，2009）.
2016-12-07 math.AP
Normalized solutions to lower critical Choquard equation with a local perturbation
本文研究了具有局部扰动\begin{equation*} \begin{cases} -Δu+λu=γ(I_α\ast|u|^{\frac{N+α}{N}})|u|^{\frac{N+α}{N}-2}u+μ|u|^{q-2}u,\quad \text{in}\ \mathbb{R}^N, \\ \int_{\mathbb{R}^N}|u|^2dx=c^2, \end{cases} \end{equation*}的下临界Choquard方程正规解的存在性和不存在性，其中$γ, μ, c>0$，$2<q\leq 2+\frac{4}{N}$和$λ\in\mathbb{R}$是一个以Lagrange乘子形式出现的未知参数.本文关于该方程的结果回答了Yao，Chen，Randulescu和Sun [Siam J. Math. Anal.，54（3）（2022），3696-3723]。此外，基于所得结果，我们研究了非自治Choquard方程\begin{equation*} \begin{cases} -Δu+λu=(I_α\ast [h(εx)|u|^{\frac{N+α}{N}}])h(εx)|u|^{\frac{N+α}{N}-2}u+μ|u|^{q-2}u,\ x\in \mathbb{R}^N, \\ \int_{\mathbb{R}^N}|u|^2dx=c^2, \end{cas…
2022-08-18 math.AP
Normalized solutions for a fractional Choquard-type equation with exponential critical growth in $\mathbb{R}$
针对 ℝ 中带质量约束且非线性项具有 Trudinger–Moser 指数临界增长的 1/2-Laplacian Choquard 方程，论文利用基于同伦稳定族的极小极大方法证明了归一化基态解的存在性。
2023-07-13 math.AP
Existence and multiplicity results for a class of Kirchhoff-Choquard equations with a generalized sign-changing potential
研究一类带广义变号势的Kirchhoff-Choquard方程，证明非退化情形下解的存在性与多重性，并保证退化情形下解的存在。
2022-07-25 math.AP
Global existence and blowup for Choquard equations with an inverse-square potential
本文研究了具有平方反比势的Choquard方程在能量亚临界区的聚焦和散焦非线性。对于所有的情况，建立了局部适定性结果在$H^1(\mathbb{R}^N)$。此外，在散焦情形下证明了任意初始值的整体存在性，而在聚焦情形下建立了基态以下的整体存在/爆破二分法。
2019-02-13 math.AP
Symmetric positive solutions to nonlinear Choquard equations with potentials
建立了一类具位势的Choquard方程解的存在性结果。势在无穷远处有一个极限，并且在$\mathbb{R}^N$的线性等距的闭子群的作用下取不变。因此，所找到的正解在相同的作用下是不变的。将处理指数大于等于2或小于2的幂非线性。我们的结果包括物理的情况。
2021-07-25 math.AP
Nonlinear Choquard equations: doubly critical case
考虑非线性Choquard方程\begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcl} -Δu +u & = &(I_α*F(u))F'(u) \quad \text{in } \mathbb{R}^N, \\ \lim_{x \to \infty}u(x) & = &0, \end{array}\right. \end{equation*}，其中$I_α$表示里斯位势，$α\in (0, N)$表示Riesz势。本文证明了当$F$是双临界的，即$F(u) = \frac{N}{N+α}|u|^{\frac{N+α}{N}}+\frac{N-2}{N+α}|u|^{\frac{N+α}{N-2}}$时，若$N \geq 5$和$α+ 4 < N$，则非线性Choquard方程存在非平凡解.
2017-07-25 math.AP
Normalized solutions for a Choquard equation with exponential growth in $\mathbb{R}^{2}$
本文通过 Pohozaev 流形和变分方法，证明了在 $\mathbb{R}^{2}$ 中具有指数增长的非线性 Choquard 方程在 $L^2$ 范数约束下归一化解的存在性。
2022-11-02 math.AP
Limit profiles and uniqueness of ground states to the nonlinear Choquard equations
考虑非线性Choquard方程\begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcl} -Δu +u & = &(I_α*|u|^p)|u|^{p-2}u \quad \text{in } \mathbb{R}^N, \\ \lim_{x \to \infty}u(x) & = &0, \end{array}\right. \end{equation*}，其中$I_α$表示里斯位势，$α\in (0, N)$表示Riesz势。本文研究了一类非线性Choquard方程$α\to 0$和$α\to N$的基态极限轮廓.当$α$足够接近$0$或接近$N$时，这导致基态的唯一性和非简并性。
2018-02-06 math.AP
Perturbation method for particlelike solutions of Einstein-Dirac equations
本文用扰动法证明了两个费米子处于单重旋量态的静态球对称系统的耦合Einstein-Dirac方程解的存在性。我们与我们的方程的非线性Choquard方程的解决方案，我们表明，非退化的Choquard方程的解决方案产生的Einstein-Dirac方程。
2009-10-05 math.AP
Initial pointwise bounds and blow-up for parabolic Choquard-Pekar inequalities
研究了满足抛物Choquard-Pekar型不等式\begin{equation}\label{0.2} 0\leq u_t-Δu\leq(Φ^{α/n}*u^λ)u^σ\quad \text{ in }B_1 (0)\times (0,1) \end{equation}的非负函数\begin{equation}\label{0.1} u\in C^{2,1} (\mathbb{R}^n\times (0,1)) \cap L^λ(\mathbb{R}^n\times (0,1)),\quad n\ge 1, \end{equation}的$t\to 0^+$的行为，其中$α\in(0,n+2)$，$λ>0$和$σ\geq0$是常数，$Φ$是热核，$*$是$\mathbb{R}^n\times (0,1)$中的卷积运算.我们提供了最优条件$α,λ$，和$σ$，使非负解$u$满足点态界的紧子集的$B_1(0)$为$t\to 0^+$。当用分数阶热算子$(\frac{\partial}{\partial t}-Δ)^{α/2}$的基本解$Φ_α$代替$Φ^{α/n}$时，我们得到了类似的非负解结果。
2017-10-02 math.AP
Positive and sign changing solutions to a nonlinear Choquard equation
考虑问题\[-Δu + W(x)u = ((1/{|x|^α} * |u|^{p}) |u|^{p-2}u, u \in H_{0}^{1}(Ω)\]，其中$Ω$是$\mathbb{R}^{N}$的外部区域，$N\geq3,$ $α\in(0,N)$，$p\in[2,(2N-α)/(N-2)$，$W$是连续的，当$|x|$趋于无穷大时，$\inf_{\mathbb{R}^{N}}W>0,$和$W(x)$趋于正常数.在对$Ω$和$W$的有限对称性假设和对$W$在无穷远处衰减的一些假设下，我们建立了该问题的正解和多个变号解的存在性，具有小的能量.
2012-11-25 math.AP
Nonlinear Choquard equations involving nonlocal operators
本文研究非线性Choquard方程\begin{equation}\label{eq 1a1-} (-Δ+id)^{\frac{1}{2}}u=(I_α*{|u|^p})|u|^{p-2}u\ \ {\rm in} \ \ \mathbb{R}^N, \ \ \ u\in H^{\frac{1}{2}}(\mathbb{R}^N), \end{equation}，其中$(-Δ+id)^\frac{1}{2}$是非局部算子，$p>0$，$N\geq2$和$I_α$是$α\in(0,N)$阶Riesz势.我们证明了如果是$\frac{N+α}{N}<p<\frac{N+α}{N-1}$，则上述问题有基态解，如果是$0<p\leq\frac{N+α}{N+1}$或$p\geq\frac{N+α}{N-1}$，则无解.当$p$满足$\frac{N+α}{N}<p<\frac{N+α}{N-1}$时，进一步讨论了上述问题无穷多解的存在性.
2017-06-02 math.AP
