Uniqueness and Nondegeneracy of Ground States for Choquard Equations in three dimensions
Chang-Lin Xiang
在$\mathbb{R}^{3}$中得到了Choquard方程$-Δu+u=\left(|x|^{-1}\ast|u|^{p}\right)|u|^{p-2}u$基态的唯一性和非简并性结果，条件是$p>2$和$p$充分接近2.
We obtain uniqueness and nondegeneracy results for ground states of Choquard equations $-Δu+u=\left(|x|^{-1}\ast|u|^{p}\right)|u|^{p-2}u$ in $\mathbb{R}^{3}$, provided that $p>2$ and $p$ is sufficiently close to 2.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The logarithmic Choquard equation: sharp asymptotics and nondegeneracy of the groundstate
本文导出了对数Choquard方程$$ - Δu + a u = \frac{1}{2 π} \Bigl[\ln \frac{1}{|x|}* |u|^2 \Bigr] \ u \qquad \text{in $\mathbb{R}^2$} $$唯一正的径向对称解的渐近衰减性，并建立了它的非退化性。对于相应的三维问题，E. Lenzmann（Analysis & PDE，2009）.
Nondegeneracy of bubble solutions to the Choquard equation in two dimension
针对二维带指数非线性项的Choquard方程解的非退化性这一未决问题，结合解的积分表示与球谐分解完成证明，推广了平面Liouville方程及高维上临界Choquard方程的相关结果。
Limit profiles and uniqueness of ground states to the nonlinear Choquard equations
考虑非线性Choquard方程\begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcl} -Δu +u & = &(I_α*|u|^p)|u|^{p-2}u \quad \text{in } \mathbb{R}^N, \\ \lim_{x \to \infty}u(x) & = &0, \end{array}\right. \end{equation*}，其中$I_α$表示里斯位势，$α\in (0, N)$表示Riesz势。本文研究了一类非线性Choquard方程$α\to 0$和$α\to N$的基态极限轮廓.当$α$足够接近$0$或接近$N$时，这导致基态的唯一性和非简并性。
Existence and uniqueness of ground states for $p$ - Choquard model in 3D
研究了三维情形下的$p$ -Choquard方程，建立了相应Weinstein泛函基态的存在唯一性.为了证明基态的唯一性，我们利用径向对称性将方程转化为一个常微分系统，并利用Pohozaev恒等式和Gronwall引理证明了任意两个Weinstein极小点重合.
A priori estimates, uniqueness and non-degeneracy of positive solutions of the Choquard equation
考虑非局部Choquard方程$- Δu + u - (|\cdot|^{-α} * |u|^p) |u|^{p-2} u = 0$在$\mathbb{R}^d$中的正解.与基态相比，正解形成更大的解类，并且缺乏变分信息。在Ma-Zhao关于对称性的结果[Ma-Zhao，2010]的参数范围内，我们证明了正解的先验估计，将De Figueiredo-Lions-Russbaum [De Figueiredo-Lions-Nussbaum，1982]的经典方法推广到我们模型的无界区域和非局部非线性.作为应用，我们证明了当$d \in \{ 3, 4, 5\}$，$p \ge 2$和$(α, p)$接近于$(d-2, 2)$时，Choquard方程正解的唯一性和非退化性.
Uniqueness, symmetry and convergence of positive ground state solutions of the Choquard type equation on a ball
研究了球$B_R$上非局部Choquard型方程正基态解的定性性质.首先，我们利用Talenti不等式证明了正基态解的径向对称性。其次，我们发展了牛顿定理，然后借助于压缩映射原理建立了正基态解的唯一性。最后，通过构造截断函数和能量比较方法，证明了正基态解的收敛性为$R\to \infty$。我们的结果推广和改进了文献中已有的结果。
Uniqueness and nondegeneracy for Dirichlet fractional problems in bounded domains via asymptotic methods
研究了有界区域上具有Dirichlet条件的分数阶Lane-Emden型问题的正解.我们证明了在一般区域上渐近线性问题的唯一性和非退化性。此外，我们还证明了所有已知的唯一性和非退化的结果在局部情况下推广到非局部制度时，分数参数s是充分接近1。
Uniqueness and nondegeneracy of ground states for nonlinear Schrödinger equations with attractive inverse-power potential
研究了具有聚焦幂型非线性项和吸引反幂势的定常非线性薛定谔方程基态的唯一性和非简并性.我们改进了Shioji和Watanabe（2016）的结果，并将其应用于证明我们方程基态的唯一性和非简并性。我们还讨论了基态驻波的轨道不稳定性。
Uniqueness and nondegeneracy of positive solutions of $\Ds u+u=u^p$ in $\R^N$ when $s$ is close to 1
我们考虑方程$\Ds u+u=u^p$，其中$s\in(0,1)$在$p$的亚临界范围内。证明了当$s$充分接近于1时，方程存在唯一的极小元，且该极小元是非退化的.
Orbital stability of solitary waves for the generalized Choquard model
本文考虑了三维情况下描述囚禁电子气的广义Choquard方程。能量最小化子（称为基态）的轨道稳定性的研究主要取决于这些最小化子的局部唯一性。在等价的方法中，我们可以优化Gagliardo-Nirenberg不等式，使其满足固定$L^2$范数的约束。对于$p=2$情形，即对于Hartree-Choquard情形，极小值的唯一性是众所周知的。$p > 2$的主要困难是与可能缺乏控制的$L^p$规范的最小。
Uniqueness and nondegeneracy of ground states for 2d-nonlinear scalar field equations with point interaction
本文研究了原点处具有点相互作用的二维非线性标量场方程基态，通过 Pohožaev 恒等式证明了正径向解与基态的唯一性，并利用变分与 ODE 技巧证明了基态在能量空间中是非退化临界点。
Critical fractional Kirchhoff problems: Uniqueness and Nondegeneracy
本文研究了临界分数阶Kirchhoff方程\begin{equation*} \Big(a+b{\int_{\mathbb{R}^{N}}}|(-Δ)^{\frac{s}{2}}u|^2dx\Big)(-Δ)^su=|u|^{2^*_s-2}u,\quad \text{in}\ \mathbb{R}^{N}, \end{equation*}，其中$a,b>0$，$\frac{N}{4}<s<1$，$2^*_s=\frac{2N}{N-2s}$和$(-Δ)^s$是分数阶Laplacian.证明了该问题正解的唯一性和非退化性，可用于研究分数阶Kirchhoff方程的奇异扰动问题.
Uniqueness and nondegeneracy of least-energy solutions to fractional Dirichlet problems
本文证明了在足够大的球及更一般的对称区域中，分数阶Dirichlet半线性问题最小能量解的唯一性与非退化性，方法基于增长区域的一致估计、基态性质及新的对称性刻画。
Uniqueness of positive radial solutions of Choquard type equations
本文研究Choquard型方程正径向解的存在性与唯一性，针对p≠2时缺乏变分框架的情形，通过建立新的微分不等式并运用打靶法，将已有结果从p=2推广到p∈[1,2]。
Uniqueness and nondegeneracy of positive solutions to a class of Kirchhoff equations in $\mathbb{R}^3$
本文建立了一类非局部Kirchhoff方程\begin{eqnarray*} -\left(a+b\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla u|^{2}\text{d} x\right)Δu+u=|u|^{p-1}u & & \text{in }\mathbb{R}^{3}, \end{eqnarray*}正解的唯一性和非退化性结果，其中$a,b$为正常数，$1<p<5$ .在本文之前，即使是关于Kirchhoff型方程的正基态解，似乎也没有这类结果，更不用说一般正解了。为了克服非定域性带来的困难，本文对Kirchhoff方程进行了新的观察，并应用了经典薛定谔方程的相关理论。
Uniqueness and Nondegeneracy of Ground State for the $L^2$-Critical Boson Star Equation
本文证明了$L^2$临界玻色星方程基态在相位旋转和平移下的唯一性，并确定了线性化算子的核，进而验证了质量接近钱德拉塞卡质量时Lieb-Yau唯一性猜想。
Uniqueness and nondegeneracy of ground states for $(-Δ)^su+u=2(I_2\star u^2)u$ in $\mathbb{R}^N$ when $s$ is close to 1
本文研究分数阶 Choquard 方程在 $s$ 接近 1 时基态的唯一性与非退化性，核心方法是对幂次 $s$ 进行连续性论证。
Uniqueness and nondegeneracy of solutions for a critical nonlocal equation
对非局部临界方程$$ -Δu=\left(I_μ\ast u^{2^{\ast}_μ}\right)u^{{2}^{\ast}_μ-1},~~x\in\mathbb{R}^{N}, $$的正解进行分类，其中$0<μ<N$，如果$N=3\ \hbox{or} \ 4$，$0<μ\leq4$，如果$N\geq5$，$I_μ$是由$$ I_μ(x)=\frac{Γ(\fracμ{2})}{Γ(\frac{N-μ}{2})π^{\frac{N}{2}}2^{N-μ}|x|^μ} $$定义的Riesz势，其中$Γ(s)=\int^{+\infty}_{0}x^{s-1}e^{-x}dx$，$s>0$和$2^{\ast}_μ=\frac{2N-μ}{N-2}$是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的上临界指数.利用积分形式的移动平面方法证明了方程正解的对称性和唯一性，并证明了当$μ$接近$N$时方程唯一解的非退化性.
Uniqueness and nondegeneracy of ground states for the Schrödinger-Newton equation with power nonlinearity
本文研究三维空间中带幂非线性项的薛定谔-牛顿方程，通过分析基态在参数趋于零和无穷时的极限形态证明基态唯一性，并利用线性化方程的球谐分解证明基态非退化性。
Some existence and uniqueness results for logistic Choquard equation
该文研究分数阶$p$-Laplacian驱动的双重非局部logistic Choquard方程，在一般非线性假设下分析弱解的存在性、唯一性等性质，应用于次扩散、超扩散问题并得到特定非线性项下能量变号解的存在性。
Uniqueness, Nondegeneracy, and Asymptotic Expansions of Ground States for the Dirac-Coulomb System
本文研究 Dirac-Coulomb 系统基态，在充分大的 $c$ 下证明了基态在平移、相位变换和旋量旋转下的唯一性，确定了线性化算子核，并给出了非相对论极限下的渐近展开。
Uniqueness and nondegeneracy of sign-changing radial solutions to an almost critical elliptic problem
研究了半线性椭圆型方程\begin{align*} Δu-u+|u|^{p-1}u=0\quad{\rm{in}}\ \mathbb{R}^N,\quad u\in H^1(\mathbb{R}^N), \end{align*}的变号径向解，其中$1<p<\frac{N+2}{N-2}$，$N\geq3$ .众所周知，该方程存在唯一的正径向解和具有精确$k$节点的变号径向解。本文证明了当$p$接近于$\frac{N+2}{N-2}$时，这种变号径向解也是唯一的。此外，这些解是非退化的，即，线性化算子的核恰好是$N$维的。
Uniqueness and nondegeneracy of positive solutions to elliptic equations with Robin boundary conditions
本文针对特定Robin边界条件的半线性椭圆方程，通过尺度论证与线性化问题分析，证明满足合适条件时其正解唯一，并研究了凹、凸非线性项的影响。
Sharp estimates, uniqueness and nondegeneracy of positive solutions of the Lane-Emden system in planar domains
我们研究了Lane-Emden系统$$\begin{cases} -Δu=v^p,\quad u>0,\quad\text{in}~Ω, -Δv=u^q,\quad v>0,\quad\text{in}~Ω, u=v=0,\quad\text{on}~\partialΩ, \end{cases}$$，其中$Ω\subset\mathbb{R}^2$是一个光滑的有界域。在最近的工作中，我们研究了正解$p,q\to+\infty$和$|q-p|\leq Λ$的浓度现象。在本文中，我们得到了这类多泡解的精确估计，包括局部极大值和尺度参数的精确收敛速度，以及解的精确逼近。作为这些尖锐的估计的应用，我们表明，当$Ω$是凸的，那么这个系统的解决方案是唯一的和非退化的大$p, q$。
Uniqueness and Nondegeneracy of positive solutions to Kirchhoff equations and its applications in singular perturbation problems
本文建立了Kirchhoff方程\begin{eqnarray*} -\left(a+b\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla u|^{2}\right)Δu+u=|u|^{p-1}u & & \text{in }\mathbb{R}^{3}, \end{eqnarray*}正能量解的唯一性和非退化性，其中$a,b>0$，$1<p<5$为常数.然后，作为应用，我们在对势函数$V:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}$的适当假设下，得到了扰动Kirchhoff问题\begin{eqnarray*} -\left(ε^2a+εb\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla u|^{2}\right)Δu+V(x)u=|u|^{p-1}u & & \text{in }\mathbb{R}^{3} \end{eqnarray*}（$ε>0$充分小）解的存在性和局部唯一性.利用Lyapunov-Schmidt约化方法得到了解的存在性结果。这似乎是第一次研究奇摄动Kirchhoff问题的约化方法，因为以前的所有结果都是通过各种变分方法得到的。这种方法的另一个优点是它给出了所有$p\in (1,5)$的扰动问题的统一证明，这与文献中使用变分方法有很大不同。局部唯一性结果是全新的。它是利用一类局部Pohozaev恒等式得到的，这类恒等式是邓、林和严最近…
Uniqueness and nondegeneracy of ground states to nonlinear scalar field equations involving the Sobolev critical exponent in their nonlinearities for high frequencies
半线性椭圆型方程基态解的唯一性和非退化性的研究是非常重要的，因为由此产生的能量景观及其对各种动力学的影响。在[AIKN 3]中，研究了具有Sobolev临界指数的组合幂型非线性项的半线性椭圆型方程.在那里，它表明，如果维度是4或更高，频率是足够小的，那么正径向基态是唯一的和非简并的。在本文中，我们将这些结果的情况下，高频率时的维数是5和更高。适当的重新标度的方程后，我们证明了解决方案的主要行为是由Sobolev临界部分的基态是明确的，他们的简并性的特点。我们的结果是一个关键的一步，对相应的非线性薛定谔和克莱因-戈登方程的能量以上的基态能量的解决方案的不同动力学的研究。我们对维度的限制主要是由于在第三和第四维度中存在共振。
Nondegeneracy of positive solutions to a Kirchhoff problem with critical Sobolev growth
本文证明了具有临界增长的Kirchhoff方程\begin{eqnarray*} -\left(a+b\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla u|^{2}\right)Δu=u^{5}, & u>0 & \text{in }\mathbb{R}^{3},\end{eqnarray*}正解的唯一性和非退化性，其中$a,b>0$为正常数.这一结果在Kirchhoff方程的奇异扰动问题中有潜在的应用。
Fractional Schrödinger equations with mixed nonlinearities: asymptotic profiles, uniqueness and nondegeneracy of ground states
本文研究含消失参数的混合非线性分数阶 Schrödinger 方程，刻画次临界与临界情形下正基态解的渐近剖面，并据此证明小参数时解的唯一性与非退化性。
Uniqueness and Nondegeneracy of ground states of $ -Δu + (-Δ)^s u+u = u^{p+1} \quad \hbox{in $\mathbb{R}^n$}$ when $s$ is close to $0$ and $1$
本文研究混合局部/非局部薛定谔方程，证明当参数 $s$ 接近 0 或 1 时，方程存在唯一且非退化的基态解。
Uniqueness for linear integro-differential equations in the real line and applications
本文证明了非局部线性方程$L φ- c(x)φ= 0$在$\mathbb{R}$中解的唯一性，其中$L$是椭圆积分-微分算子，存在正解或奇解只在零点处为零.作为应用，我们在$\mathbb{R}$中推导了半线性问题$L u = f(u)$的层解（有界解和单调解）在Allen-Cahn型非线性项下的非退化性.据我们所知，这是第一个工作，这种独特性和nondegeneracy结果证明在非本地框架时，Caffarelli-西尔维斯特扩展技术是不可用的。我们的证明是基于一个非局部刘维型方法开发的哈默尔，罗斯-奥顿，陛下，和Valdinoci在二维非线性问题。
Concentration, Local Uniqueness, and Morse Index of Multi-bubble Solutions for a Critical Exponential Biharmonic Choquard Equation
该研究针对临界指数双调和Choquard方程的Navier问题，分析多泡解的集中性，通过泛函ℱ_m的临界点性质得到多泡解的局部唯一性与Morse指数公式，明确了尺度方向的控制项。
Qualitative analysis on logarithmic Schrödinger equation with general potential
本文研究了对数薛定谔方程：\[ -Δu+ V(|x|) u=u\log u^2, u\in H^1(\mathbb R^N). \]正解的存在性、唯一性、非退化性和一些定性性质。这里的\[ -Δu+ V(|x|) u=u\log u^2, u\in H^1(\mathbb R^N). \]和$V\in C^2((0,+\infty))$允许在$0$处奇异，在无穷远处排斥（即，$V(r)\to-\infty$作为${r\to\infty}$）。在一般假设下，我们证明了该方程在径向情形下解的存在性、唯一性和非退化性，这些结果特别适用于奇异势，如$V(r)=α_{1}\log r+α_2 r^{α_3}+α_4$ with $α_1>1-N$，$α_2, α_3\geq 0$和$α_4\in\mathbb R$，它们对$α_1<0$和$α_2=0$是排斥的.我们还研究了一类具有临界频率势的幂律非线性薛定谔方程与具有$V(r)=α\log r$，$α>1-N$的非线性薛定谔方程之间的联系，证明了从幂型问题到对数型问题的唯一正径向解的收敛性.在进一步的假设下，通过证明解的径向对称性，得到了$H^1(\mathbb R^N)$的唯一性和非退化性结果.
Ground states of a logarithmic Schrödinger equation with a power perturbation in $\mathbb{R}^N$: existence, uniqueness and nondegeneracy
本文研究$\boldsymbol{\text{R}}^N$中带幂扰动的对数薛定谔方程的正基态解，证明其对任意正参数存在、小参数下唯一且非退化，通过Nehari流形极小化等方法完成证明。
Nondegeneracy properties and uniqueness of positive solutions to a class of fractional semilinear equations
该研究证明了分数阶半线性方程在全空间和单位球Dirichlet问题下正解的非径向非退化性，推导了特殊情形下的唯一性与完全非退化性，还确定了特定指数下的唯一正基态解并算出相关Gagliardo-Nirenberg不等式的精确常数。
Uniqueness and Nondegeneracy of Ground States for $(-Δ)^s Q + Q - Q^{α+1} = 0$ in $\mathbb{R}$
证明了非线性方程$(-Δ)^s Q + Q - Q^{α+1}= 0$在$\mathbb{R}$中基态解$Q = Q(|x|) \geq 0$的唯一性，其中$s < 1/2$的基态解为$0 < s < 1$，$0 < α< \frac{4s}{1-2s}$，$s \geq 1/2$的基态解为$0 < α< \infty$.这里$(-Δ)^s$表示一维的分数拉普拉斯算子。特别地，我们推广（通过完全不同的技术）Amick和Toland在[Acta Math.，\textbf{167}（1991），107- 126]。作为本文的一个关键结果，我们证明了相应的线性化算子$L_+ = (-Δ)^s + 1 - (α+1) Q^α$是非退化的，即，例如，其核满足$\mathrm{ker}\, L_+ = \mathrm{span}\, \{Q'\}$。关于$L_+$的这个结果证明了一个谱假设，该假设对于具有分数拉普拉斯算子的非线性色散偏微分方程的孤波稳定性和爆破分析起着核心作用，例如广义Benjamin-Ono（BO）和Benjamin-Bona-Mahony（BBM）水波方程。
Simultaneous Recovery of the Initial Source and Sound Speed for the Wave Equation under a Constitutive Constraint
研究从单个边界测量对标量波动方程初始源和声速同时恢复，通过本构关系耦合未知量，利用微局部和卡尔曼框架，在特定几何条件下建立全局唯一性和利普希茨稳定性，还获部分数据结果。
Uniqueness of Ground States for Pseudo-Relativistic Hartree Equations
证明了三维准相对论Hartree方程基态$Q$在$H^{1/2}$中的唯一性，只要$Q$具有足够小的$L^2$质量.这一结果表明，Lieb和Yau在[CMP 112（1987），147 - 174]中提出的唯一性猜想至少在小的条件下成立.我们的证明结合了变分参数与非相对论极限，这导致了一定的哈特里型方程（也称为Choquard-Pekard或Schroedinger-Newton方程）。这个极限Hartree方程的基态的唯一性是众所周知的。在这里，作为一个关键因素，我们证明了所谓的非退化的线性化。这个非简并结果也是独立的兴趣，因为它证明了一个关键的频谱假设在一系列文件的有效孤波运动和经典的限制非相对论性哈特里方程。
Uniqueness of least energy solutions to the fractional Lane-Emden equation in the ball
本文证明了球域上分数阶Lane-Emden方程在齐次Dirichlet外部条件下最小能量解的唯一性，利用Morse理论和新的Hopf引理型结果，受C. S. Lin启发。
Uniqueness and Symmetry Breaking for Singular $Q$-curvature Equations in $\R^n$
该研究针对R^n中奇异Q-曲率方程，通过变换建立解的对称性，证明径向解的唯一性与非退化性，构造非径向解分支，还证明γ足够小时所有解均为径向解。
Qualitative Properties of Ground States for the Stationary Magnetopolaron with a Weak Magnetic Field
针对弱磁场下三维定态磁极化子，证明其基态的唯一性、非退化性，推导基态对称性、单调性及基态能量的二阶渐近展开。
Nondegeneracy of positive solutions for critical Hartree equation on Heisenberg group and it's applications
本文研究Heisenberg群上广义能量临界Hartree方程正气泡解的唯一性与非退化性，通过Cayley变换等方法完成证明，并将其应用于分析Brezis-Nirenberg型问题解当$\boldsymbol{\reals}\rightarrow0$时的渐近行为。
On uniqueness and non-degeneracy of anisotropic polarons
本文研究了描述各向异性介质中极化子的 Choquard--Pekar 方程，证明了弱各向异性介质中极小子的唯一性与非退化性，并推导了大范围各向异性介质下极小子的对称性及相关线性化算子核的归约性质。
On ground states for the L^2-critical boson star equation
本文考虑$L^2$ -临界玻色子星方程$$ \sqrt{-Δ} \, u - \big (|x|^{-1} \ast |u|^2 \big) u = -u \quad {in $\R^3$}. $$的基态解$u \geq 0$，证明了$u$的解析性和径向对称性.在本文的前一个版本中，我们也在$\R^3$中陈述了$L^2$ -临界玻色子星方程基态的唯一性和非简并性，但那里给出的论点包含一个缺口。然而，我们参考我们最近的预印本\cite{FraLe}在{ \tt arXiv：1009.4042}，在那里我们证明了一个一般的唯一性和非退化结果的基态的非线性方程的分数拉普拉斯在$d=1$空间维。
Uniqueness of ground states for the L^2-critical boson star equation
在$\R^3$中建立了$L^2$ -临界玻色子星方程$\sqrt{-Δ} u - (|x|^{-1} \ast |u|^2) u = -u$基态$u(x) \geq 0$的唯一性.证明混合变分参数与调和扩展到半空间$\R^4_+$。除了唯一性，我们还显示了基态的径向（平移）和线性化的非简并性。我们的结果为含时$L^2$ -临界玻色子星方程的爆破分析提供了不可缺少的基础。唯一性证明可以推广到不同的分数拉普拉斯算子$(-Δ)^s$和空间维数。
Second radial eigenfunctions to a fractional Dirichlet problem and uniqueness for a semilinear equation
该研究分析带非递减径向势的分数阶Schrödinger型算子的第二径向Dirichlet本征函数形态，证明其本征空间单性、变号特性与非零边界导数，并应用于证明半线性分数阶方程正基态解的唯一性与非退化性。
Local uniqueness of multi-peak positive solutions to a class of fractional Kirchhoff equations
本文研究了分数Kirchhoff方程中多峰正解的存在性与局部唯一性，通过非局部算子与基态非退化性相结合的方法，结合Lyapunov-Schmidt约简和局部Pohozǎev恒等式，证明了在特定条件下多峰正解的局部唯一性。
Uniqueness of radial solutions for the fractional Laplacian
我们证明了一般的唯一性结果的径向解的线性和非线性方程涉及的分数拉普拉斯$(-Δ)^s$与$s \in (0,1)$的任何空间维度$N \geq 1$。通过推广Cabre和Sire的\cite{CaSi-10}的单调性公式，证明了当势$V$是径向非减的时，线性方程$(-Δ)^s u+ Vu = 0$在$\mathbb{R}^N$中至多有一个径向有界解在无穷远处为零.特别地，这个结果意味着相应的分数阶薛定谔算子$H=(-Δ)^s + V$的所有径向本征值都是简单的。此外，通过结合这些发现的线性方程的拓扑边界上的上半空间$\mathbb{R}^{N+1}_+$的相关问题，我们显示的唯一性和非退化的基态解的非线性方程$(-Δ)^s Q + Q - |Q|^α Q = 0$在$\mathbb{R}^N$的任意空间维度$N \geq 1$和所有容许指数$α>0$。这推广了前两位作者最近在\cite{FrLe-10}中得到的N=1维非简并唯一性结果，特别是Amick和Toland \cite{AmTo-91}发现的Benjamin-Ono方程孤立波的唯一性结果.
Uniqueness of positive radial ground states for the massive pseudo-relativistic nonlinear Schrödinger equation
研究大质量伪相对论非线性薛定谔方程正径向基态的唯一性，通过质量协变振荡定理和延拓论证，证明其唯一性并修复尺度不变性失效问题。
Ground states for pseudo-relativistic Schrödinger equations with logarithm-law: qualitative properties and nonrelativistic limit
研究对数非线性伪相对论薛定谔方程的基态，通过幂律近似建立存在性与定性性质，证明非相对论极限收敛于高斯子，并推广到能量基态。
Quantitative analysis of ground states for the fractional logarithmic Schrödinger equation
本文证明分数阶对数薛定谔方程正基态的唯一性与非简并性，并由此建立尖锐的分数阶对数Sobolev不等式。
Normalized clustering peak solutions for Schrödinger equations with general nonlinearities
研究具有一般非线性项的 Schrödinger 方程的正规化聚类峰解，通过引入新方法建立下梯度估计，证明了在局部极大值附近解的聚集性及自治问题的基态解存在性。
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