A guide to the Choquard equation
Vitaly Moroz, Jean Van Schaftingen
我们调查旧的和最近的结果处理的存在性和性质的Choquard型方程$$ -Δu + V(x)u = \bigl(|x|^{-(N-α)} * |u|^p\bigr)|u|^{p - 2} u \qquad \text{in $\mathbb{R}^N$}, $$和它的一些变种和扩展。
We survey old and recent results dealing with the existence and properties of solutions to the Choquard type equations $$ -Δu + V(x)u = \bigl(|x|^{-(N-α)} * |u|^p\bigr)|u|^{p - 2} u \qquad \text{in $\mathbb{R}^N$}, $$ and some of its variants and extensions.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Classification of isolated singularities of positive solutions for Choquard equations
本文对Choquard方程正解的孤立奇点进行了分类，并证明了孤立奇异解的存在性。
On fractional Choquard equations
研究了一类具有广义Choquard非线性项和分数阶扩散的非线性Schrodinger方程.我们得到了正则性、存在性、不存在性、对称性以及衰减性。
Existence of solutions for fractional p-Kirchhoff type equations with a generalized Choquard nonlinearities
在这篇文章中，我们在不假设Ambrosetti-Rabinowitz条件的情况下，建立了具有广义Choquard非线性的分数阶$p-$ Kirchhoff型方程解的存在性。
Existence of solutions for a class of nonlinear Choquard equations with critical growth
本文考虑了一类具有临界增长的非线性Choquard方程，证明了方程解的存在性。此外，我们考虑了相应的极小化问题，并证明了极小值的存在性。
Uniqueness and Nondegeneracy of Ground States for Choquard Equations in three dimensions
在$\mathbb{R}^{3}$中得到了Choquard方程$-Δu+u=\left(|x|^{-1}\ast|u|^{p}\right)|u|^{p-2}u$基态的唯一性和非简并性结果，条件是$p>2$和$p$充分接近2.
Quasilinear Choquard equations involving N-Laplacian and critical exponential nonlinearity
该研究聚焦于含N-Laplacian与临界指数非线性项的拟线性Choquard方程，主要探讨了这类方程正解的存在性问题。
Singular Fractional Choquard Equation with a Critical Nonlinearity and a Radon measure
本文讨论了一类具有分数阶Laplacian幂和临界Hardy势的奇异临界Choquard问题的正SOLA（Solutions Obtained as Limits of Approximations）解的存在性.
Positive bound states to nonlinear Choquard equations in the presence of nonsymmetric potentials
证明了一类具有无穷大正极限势的Choquard方程正解的存在性，该势可能自上而下或振荡。我们的结果包括物理的情况下，不需要任何对称性假设的潜力。
Regularity and Pohozaev identity for the Choquard equation involving the $p$-Laplacian operator
该研究针对含$p$-Laplacian算子的非线性Choquard方程，开展了弱解正则性分析并建立了Pohozaev型恒等式，丰富了相关方程的理论结果。
Groundstates for Choquard equations with the upper critical exponent
本文考虑了具有上临界指数的自治Choquard方程。利用Pohožaev约束方法、亚临界近似方法和Strauss紧性引理，得到了$H^1(\mathbb{R}^N)$的正径向对称基态解.这里的结果推广和补充了以前的定理。
Nonlinear Choquard equations: doubly critical case
考虑非线性Choquard方程\begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcl} -Δu +u & = &(I_α*F(u))F'(u) \quad \text{in } \mathbb{R}^N, \\ \lim_{x \to \infty}u(x) & = &0, \end{array}\right. \end{equation*}，其中$I_α$表示里斯位势，$α\in (0, N)$表示Riesz势。本文证明了当$F$是双临界的，即$F(u) = \frac{N}{N+α}|u|^{\frac{N+α}{N}}+\frac{N-2}{N+α}|u|^{\frac{N+α}{N-2}}$时，若$N \geq 5$和$α+ 4 < N$，则非线性Choquard方程存在非平凡解.
Saddle solutions for the fractional Choquard equation
研究了分数阶Choquard方程\begin{align*} (-Δ)^{s}u+ u=(K_α\ast|u|^{p})|u|^{p-2}u, \quad x\in \mathbb{R}^N \end{align*}的鞍型解，其中$s\in(0,1)$，$N\geq 3$和$K_α$为$α\in (0,N)$阶里斯位势.对于每个具有秩$1\leq k\leq N$和$p\in[2,\frac{N+α}{N-2s})$的Coxeter群$G$，我们构造了一个具有指定对称节点配置的$G$ -鞍解.这是一个对应的分数Choquard方程的鞍解Choquard方程，并进一步完成了非径向符号变化的解决方案，这个双重非局部方程的存在性。
The logarithmic Choquard equation: sharp asymptotics and nondegeneracy of the groundstate
本文导出了对数Choquard方程$$ - Δu + a u = \frac{1}{2 π} \Bigl[\ln \frac{1}{|x|}* |u|^2 \Bigr] \ u \qquad \text{in $\mathbb{R}^2$} $$唯一正的径向对称解的渐近衰减性，并建立了它的非退化性。对于相应的三维问题，E. Lenzmann（Analysis & PDE，2009）.
Normalized solutions to a Choquard equation involving mixed local and nonlocal operators
本文研究了涉及混合局部与非局部扩散算子的Choquard型方程的归一化解，证明了其存在性与正则性，并建立了归一化解与归一化基态存在性之间的等价关系。
Limit profiles and uniqueness of ground states to the nonlinear Choquard equations
考虑非线性Choquard方程\begin{equation*} \left\{\begin{array}{rcl} -Δu +u & = &(I_α*|u|^p)|u|^{p-2}u \quad \text{in } \mathbb{R}^N, \\ \lim_{x \to \infty}u(x) & = &0, \end{array}\right. \end{equation*}，其中$I_α$表示里斯位势，$α\in (0, N)$表示Riesz势。本文研究了一类非线性Choquard方程$α\to 0$和$α\to N$的基态极限轮廓.当$α$足够接近$0$或接近$N$时，这导致基态的唯一性和非简并性。
Soliton dynamics for the generalized Choquard equation
研究了一类具有非局域非线性项的非线性薛定谔方程的孤子动力学.特别地，我们考虑我们称之为{ \em广义Choquard方程}的非线性项是$(|x|^{θ-N} * |u|^p)|u|^{p-2}u$。这个问题是特别有趣的，因为基态解决方案是不知道是唯一的或非退化。
A Hardy-Littlewood-Sobolev type inequality for variable exponents and applications to quasilinear Choquard equations involving variable exponent
在这项工作中，我们证明了一个版本的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的可变指数。然后利用变分方法证明了一类含$p(x)$ -Laplacian算子的Choquard方程解的存在性。
Multiple nodal solutions of nonlinear Choquard equations
本文研究了非线性Choquard方程\begin{equation*} \ \ \ \ (P)\ \ \ \ \begin{cases} -Δu+u=(|x|^{-1}\ast|u|^p)|u|^{p-2}u \ \ \ \text{in}\ \mathbb{R}^3, \ \ \ \ \\ u\in H^1(\mathbb{R}^3),\\ \end{cases} \end{equation*}的多节点解的存在性，其中$p\in (\frac{5}{2},5)$ .我们证明了对于任何正整数$k$，问题$(P)$至少有一个径向对称的解决方案改变符号正好$k$倍。
Scattering for the non-radial focusing inhomogeneous nonlinear Schrödinger-Choquard equation
本文研究了Schrödinger-Choquard方程$$i\partial_tu+Δu=-(I_α\ast|\cdot|^b|u|^{p})|\cdot|^b|u|^{p-2}u.$$整体解的长时间行为。受Murphy关于非径向非均匀NLS散射的简单证明的启发，我们在能量空间中证明了亚临界情形下基态以下的散射理论，而没有径向假设。
Multi-peak solutions for nonlinear Choquard equation with a general nonlinearity
本文研究了一类含有一般非线性项的非线性Choquard型方程.利用惩罚论证的方法，证明了存在一族具有多个浓度区域的解，这些浓度区域集中在位势$V$的极小点处。此外，不需要$f(s)/s$的单调性和所谓的Ambrosetti-Rabinowitz条件。
On the existence results for $m$-Harmonic equation with critical Choquard Nonlinearity
研究具有临界Choquard非线性的m-调和方程，通过探讨极小值建立精细估计，证明在不同次临界扰动下该方程存在非平凡解，是处理多重调和方程和此类型非线性的首篇文章，结果新颖。
Global existence and blowup for Choquard equations with an inverse-square potential
本文研究了具有平方反比势的Choquard方程在能量亚临界区的聚焦和散焦非线性。对于所有的情况，建立了局部适定性结果在$H^1(\mathbb{R}^N)$。此外，在散焦情形下证明了任意初始值的整体存在性，而在聚焦情形下建立了基态以下的整体存在/爆破二分法。
Nonexistence and optimal decay of supersolutions to Choquard equations in exterior domains
考虑一类半线性椭圆问题，其非线性项为幂与幂的里斯位势的乘积。这个方程族包括Choquard或非线性薛定谔-牛顿方程。我们证明了对于某些参数值，方程在外部区域不存在非平凡的非负上解。当存在上解时，同样的技术产生最优的衰减率。
On a class of Kirchhoff-Choquard equations involving variable-order fractional $p(\cdot)-$ Laplacian and without Ambrosetti-Rabinowitz type condition
本文研究了一类含变阶分数阶$p(\cdot)-$ Laplacian算子的双非局部Kirchhoff-Choquard型方程的弱解的存在性，利用Nehari流形得到基态解的存在性，利用喷泉定理和对偶喷泉定理得到无穷多解的存在性.这里的非线性不满足著名的Ambrosetti-Rabinowitz型条件。
Existence and nonexistence of solutions to Choquard equations
本文建立了Choquard方程\begin{equation}\label{eq 1} - Δu + u = q\,(I_α\ast |u|^p) |u|^{q - 2} u+p\,(I_α\ast |u|^q) |u|^{p - 2} u\quad {\rm in }\quad \mathbb{R}^N, \end{equation}基态解的存在性，其中$N \ge 3$，$α\in (0, N)$，$I_α: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$是里斯位势，$p,\,q >0$满足\begin{equation}\label{eq 2} \frac{2(N+α)}{N}<p+q< \frac{2(N+α)}{N-2}. \end{equation}.此外，我们还证明了该Choquard方程的Pohožaev型恒等式，这意味着当$(p,q)$不满足上述条件时，该问题不存在.
Choquard Equations with Mixed Potential
本文研究了一类非线性Choquard方程$$-Δu+a(z)u=K(u)f(u)\quad \text{in}\quad \R^N,$$，其中$\R^N=\R^L\times\R^M$，$L\geq2$，$K(u)=|.|^{-γ}*F(u)$，$γ\in(0,N)$，$a$是连续实函数，$F$是$f$的原函数.在一些适当的假设下，混合的潜在$a$。我们证明了上述方程的非平凡解的存在性。
Symmetric positive solutions to nonlinear Choquard equations with potentials
建立了一类具位势的Choquard方程解的存在性结果。势在无穷远处有一个极限，并且在$\mathbb{R}^N$的线性等距的闭子群的作用下取不变。因此，所找到的正解在相同的作用下是不变的。将处理指数大于等于2或小于2的幂非线性。我们的结果包括物理的情况。
Semiclassical states for Choquard type equations with critical growth: critical frequency case
本文研究了Choquard型方程$$ -\vr^2Δu +V(x)u =\Big(\int_{\R^N} \frac{G(u(y))}{|x-y|^μ}dy\Big)g(u) \quad \mbox{in $\R^N$}, $$的半经典态的存在性，其中$0<μ<N$，$N\geq3$，$\vr$是正参数，$G$是$g$的本原，由于Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，$g$是临界增长的.假设势函数$V(x)$在$\R^N$的某个区域内与$V(x)=0$非负，这意味着它是临界频率情况。首先研究了一类具有双临界指数的Choquard方程，利用山路定理和亏格理论证明了半经典解的存在性和多解性。其次，考虑了一类无下微扰的临界Choquard方程，通过建立非定域Choquard方程的整体紧性引理，利用Lusternik-Schnirelman理论证明了高能半经典态的多重性。
n-Kirchhoff Choquard equations with exponenetial nonlinearity
本文研究了具有Choquard型指数非线性项的Kirchhoff方程（见下面的$(KC)$）。利用变分方法和Moser-Trudinger不等式证明了$(KC)$弱解的存在性.此外，通过分析Nehari流形上的映射和极小化能量泛函，我们证明了下面的凸-凹问题$(\mathcal{P}_{\la,M})$弱解的存在性和多解性.
Existence of solutions for critical Choquard equations via the concentration compactness method
本文考虑非线性Choquard方程$$ -Δu+V(x)u =\left(\int_{\mathbb{R}^N}\frac{G(y,u)}{|x-y|^μ}dy\right)g(x,u)\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} \mathbb{R}^N, $$，其中$0<μ<N$，$N\geq3$，$g(x,u)$由于Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和$G(x,u)=\displaystyle\int^u_0g(x,s)ds$而具有临界增长性.首先，假设位势$V(x)$可能是变号的，利用浓度紧性原理研究了Choquard方程的山路型解的存在性.其次，在Benci和Cerami \cite{BC1}引入的条件下，利用一个整体紧性引理，研究了非局部Choquard方程的高能解的存在性.
Symmetry and Nonexistence of Positive Solutions for Fractional Choquard Equations
本文研究了Choquard方程\begin{eqnarray*}\left\{ \begin{array}{lll} (-\triangle)^{α/2}u=(|x|^{β-n}\ast u^p)u^{p-1},~~~&x\in R^n, u\geq0,\,\,&x\in R^n, \end{array} \right. \end{eqnarray*}，其中$0<α,β<2$，$1\leq p<\infty$，$n\geq2$ .利用移动平面的直接法，我们分别证明了临界和次临界情形下正解的对称性和不存在性。
Nodal solutions for the Choquard equation
我们考虑一般的Choquard方程$$ -Δu + u = (I_α\ast |u|^p) |u|^{p - 2} u $$，其中$I_α$是一个里斯位势.我们构造了$p \in (\frac{N + α}{N}, \frac{N + α}{N - 2})$的极小作用奇解和$p \in (2,\frac{N + α}{N - 2})$的极小作用节点解.我们引入了一个新的极小化极大原理的最小作用节点的解决方案，我们开发了新的集中紧性引理的符号变化的Palais-Smale序列。非线性薛定谔方程是Choquard方程的非定域对应方程，它没有这样的解。
Existence of groundstates for a class of nonlinear Choquard equations in the plane
本文证明了一类非线性Choquard方程$$ -Δu+u=(I_α*F(u))F'(u)\qquad\text{in }\mathbb{R}^2, $$在非线性$F \in C^1 (\mathbb{R},\mathbb{R})$的一般非平凡性、增长性和亚临界性下非平凡基态解的存在性，其中$$ -Δu+u=(I_α*F(u))F'(u)\qquad\text{in }\mathbb{R}^2, $$是平面$\mathbb{R}^2$上$α$阶的里斯位势.
The existence of positive ground state solutions for the Choquard type equation on groups of polynomial growth
本文设$G$是一个齐维数多项式增长离散群的Cayley图，$N\geq3$ .研究了$G$上的Choquard型方程：\begin{equation} Δu+(R_α\ast\mid u\mid^{p})\mid u\mid^{p-2}u=0, \end{equation}其中$α\in(0,N)$，$p>\frac{N+α}{N-2}$和$R_α$表示离散分数Laplace算子的Green函数，它与里斯位势具有相同的渐近性.我们证明了这类Cayley图上的离散Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，并利用离散集中紧原理证明了超临界情形下相应Sobolev型不等式的极值函数的存在性，从而得到上述Choquard型方程的正基态解.此外，我们用$p$ -Laplace，双调和和$p$ -双调和算子等得到了Choquard型方程的正基态解.
Saddle solutions for the Choquard equation with a general nonlinearity
在Berestycki和Lions的思想下，我们证明了Choquard方程\[ -Δu + u= \big(I_α\ast F(u)\big)F'(u)\qquad \text{ in }\;\mathbb{R}^N \]鞍型节点解的存在性，其中$N\geq 2$和$I_α$是$α\in (0,N)$阶里斯位势.没有任何紧凑的设置，我们构造鞍解的Choquard方程的节点域的圆锥形证明考克斯特的对称配置在$\mathbb R^N$统一的方式。此外，如果$F'$是奇数的，并且在$(0,+\infty)$上具有常数符号，则鞍解在相应Coxeter群的基本区上保持有符号，并且在任何两个相邻区域上接收相反的符号。这些结果进一步完成了变分框架在构造的Choquard方程的符号变化的解决方案，但仍然需要一个二次或超二次增长的$F$附近的起源。
The Choquard logarithmic equation involving a nonlinearity with exponential growth
在目前的工作中，我们关注的Choquard对数方程$-Δu + au + λ(\ln|\cdot|\ast |u|^{2})u = f(u)$在$\mathbb{R}^2$，为$ a>0 $，$ λ>0 $和非线性$f$指数临界增长。我们证明了一个非平凡的解决方案，在山口水平和非平凡的基态解的存在性。此外，我们提供了这些结果下的对称设置，考虑到分组的$ O(2) $。
Odd symmetry of least energy nodal solutions for the Choquard equation
我们考虑Choquard方程（也称为定常Hartree方程或薛定谔-牛顿方程）\[ -Δu + u = (I_α\star |u|^p) |u|^{p - 2}u. \]这里$I_α$代表$α\in (0,N)$阶的里斯位势，和$\frac{N - 2}{N + α} < \frac{1}{p} \le \frac{1}{2}$ .证明了当$α$接近于$0$或接近于$N$时，最小能量节点解关于超平面具有奇对称性.
Groundstates for nonlinear fractional Choquard equations with general nonlinearities
研究了由分数阶Laplacian驱动的非线性Choquard方程：具有$N\geq3$，$s\in(0,1)$和$μ\in(0,N)$的$$ (-Δ)^{s}u+ u =(|x|^{-μ}\ast F(u))f(u)|{4.14mm}{in}|{1.14mm} \mathbb{R}^N, $$.在假定非线性项满足一般Berestycki-Lions型条件\cite{BL}的条件下，利用变分方法证明了该方程基态的存在性.
On the Brezis-Nirenberg type critical problem for nonlinear Choquard equation
建立了非线性Choquard方程$$-Δu =\left(\int_Ω\frac{|u|^{2_μ^{\ast}}}{|x-y|^μ}dy\right)|u|^{2_μ^{\ast}-2}u+λu\4.14mm\mbox{in}\1.14mm Ω, $$的Brezis-Nirenberg型问题解的存在性结果，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$的有界区域，具有Lipschitz边界，$λ$是实参数，$N\geq3$，$2_μ^{\ast}=(2N-μ)/(N-2)$是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的临界指数.
Existence and qualitative properties of solutions for a Choquard-type equation with Hardy potential
本文研究带Hardy势的Choquard型方程正解的存在性与定性性质，提出含Hardy势的非局部集中紧性原理结合加权空间转化分析解的存在性与渐近行为，并用移动平面法得到解的对称性。
Nondegeneracy of bubble solutions to the Choquard equation in two dimension
针对二维带指数非线性项的Choquard方程解的非退化性这一未决问题，结合解的积分表示与球谐分解完成证明，推广了平面Liouville方程及高维上临界Choquard方程的相关结果。
The existence and convergence of solutions for the nonlinear Choquard equations on groups of polynomial growth
本文研究了齐维数为$N\geq 2$的多项式增长的离散群的Cayley图上的非线性Choquard方程\begin{eqnarray*} Δ^{2}u-Δu+(1+λa(x))u=(R_α\ast|u|^{p})|u|^{p-2}u \end{eqnarray*}，其中$α\in(0,N),\,p>\frac{N+α}{N},\,λ$为正参数，$R_α$表示与里斯位势具有相同渐近性的离散分数拉普拉斯算子的格林函数.在对$a(x)$的一些假设下，利用Nehari流形方法，建立了非线性Choquard方程基态解的存在性和渐近性态.
Isolated singularities of positive solutions for Choquard equations in sublinear case
本文研究了Choquard方程在次线性情形$q \in (0,1)$ $$\displaystyle \ \ -Δu+ u =I_α[u^p] u^q\;\; {\rm in}\; \mathbb{R}^N\setminus\{0\}, % [2mm] \phantom{ } \;\; \displaystyle \lim_{|x|\to+\infty}u(x)=0, $$下正解的孤立奇点，其中$p >0, N \geq 3, α\in (0,N)$和$I_α[u^p](x) = \int_{\mathbb{R}^N} \frac{u^p(y)}{|x-y|^{N-α}}dy$是作为非局部项出现在方程中的里斯位势.研究了Choquard方程在指数对$(p,q)$的不同取值范围下孤立奇异解的存在性和不存在性.此外，我们还得到了该方程的最小奇异解的定性性质。
Normalized solutions for the Choquard equation with mass supercritical nonlinearity
本文考虑非线性Choquard方程$$\begin{cases} & - Δu = (I_α\ast F(u))F'(u) -μu \ \text{in}\ \mathbb{R}^N, & u \in \ H^1(\mathbb{R}^N), \ \int_{\mathbb{R}^N} |u|^2 dx=m, \end{cases} $$，其中$α\in(0,N)$，$m>0$是给定的，$μ\in \mathbb{R}$是Lagarange乘子，$I_α$是里斯位势.在一般的非线性条件下，证明了非线性方程$F,$正规解的存在性和多重性.
Ground state of a magnetic nonlinear Choquard equation
本文考虑定常磁非线性Choquard方程\[-(\nabla+iA(x))^2u+ V(x)u=\bigg(\frac{1}{|x|^α}*F(|u|)\bigg)\frac{f(|u|)}{|u|}{u},\]，其中$A: \mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}^{N}$是矢量势，$V$是标量势，$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$和$F$是$f$的基元.在温和的假设下，我们证明了这个问题的基态解的存在性。我们还证明了一个简单的多重性结果，通过应用Ljusternik-Schnirelmann方法。
Stability and instability of standing waves for a generalized Choquard equation with potential
我们将研究一个广义Choquard方程的驻波：$$ -i\partial_t u-Δu+V(x)u=(|x|^{-μ}\ast|u|^p)|u|^{p-2}u, \ \ \hbox{in}\ \ \mathbb{R}\times\mathbb{R}^3, $$其中$V(x)$是一个实函数，$0<μ<3$，$2-μ/3<p<6-μ$和$\ast$代表卷积。在适当的势能假设和适当的频率下，研究了驻波$ω$的稳定性和不稳定性。
Existence of groundstates for a class of nonlinear Choquard equations
本文利用Berestycki和Lions的思想，证明了非线性Choquard方程[- Δu + u = \bigl（I_α \ast F（u）\bigr）F'（u）\quad \text{in (\R^N),} ]在非线性项（F）的几乎必要条件下存在非平凡解（\in H ^1（\R^N））.这个解是基态;而且如果（F）在（（0，\infty））上是偶数和单调的，则（u）是常号的和径向对称的。
A priori estimates, uniqueness and non-degeneracy of positive solutions of the Choquard equation
考虑非局部Choquard方程$- Δu + u - (|\cdot|^{-α} * |u|^p) |u|^{p-2} u = 0$在$\mathbb{R}^d$中的正解.与基态相比，正解形成更大的解类，并且缺乏变分信息。在Ma-Zhao关于对称性的结果[Ma-Zhao，2010]的参数范围内，我们证明了正解的先验估计，将De Figueiredo-Lions-Russbaum [De Figueiredo-Lions-Nussbaum，1982]的经典方法推广到我们模型的无界区域和非局部非线性.作为应用，我们证明了当$d \in \{ 3, 4, 5\}$，$p \ge 2$和$(α, p)$接近于$(d-2, 2)$时，Choquard方程正解的唯一性和非退化性.
Singularly perturbed critical Choquard equations
本文研究奇摄动Choquard方程$$ -\vr^2Δu +V(x)u =\vr^{μ-3}\Big(\int_{\R^3} \frac{Q(y)G(u(y))}{|x-y|^μ}dy\Big)Q(x)g(u) \quad \mbox{in $\R^3$}, $$的半经典极限，其中$0<μ<3$，$\vr$是正参数，$V,Q$是$\R^3$上的两个连续实函数，而$G$是$g$的本原，由于Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，$g$是临界增长的.在适当的非线性假设下，我们首先建立了$g$中常系数临界Choquard方程基态的存在性.其次，我们建立了半经典解的存在性和多重性，并用变分方法刻画了浓度行为。
Least action nodal solutions for the quadratic Choquard equation
本文证明了二次Choquard方程$$ -Δu + u = \big(I_α\ast |u|^2\big)u \quad\text{in }\; \mathbb R^N,$$最小作用节点解的存在性，其中$$ -Δu + u = \big(I_α\ast |u|^2\big)u \quad\text{in }\; \mathbb R^N,$$是$α\in(0,N)$阶里斯位势.当$p\searrow 2$满足时，该解被构造为非线性Choquard方程$$ -Δu + u = \big(I_α\ast |u|^p\big)|u|^{p-2}u \quad\text{in }\; \mathbb R^N$$的最小作用节点解的极限.利用Nehari节点集上的变分极小极大方法，证明了$p>2$最小作用节点解的存在性.当$p<2$ .
Existence of solutions for a fractional Choquard--type equation in $\mathbb{R}$ with critical exponential growth
本文研究了一类分数阶Choquard型方程\[ (-Δ)^{1/2}u + u=\Big( I_μ\ast F(u)\Big)f(u), \quad x\in\mathbb{R}, \]，其中$(-Δ)^{1/2}$表示$1/2$算子，$I_μ$是具有$0<μ<1$的Riesz势，$F$是$f$的原函数.利用变分方法和极大极小估计研究了$f$在Trudinger-Moser不等式意义下具有临界指数增长性时解的存在性.
Ground state solutions for non-autonomous fractional Choquard equations
考虑非线性分数阶Choquard方程\begin{equation}\label{e:introduction} \begin{cases} (-Δ)^{s} u + u = (1 + a(x))(I_α\ast (|u|^{p}))|u|^{p - 2}u\quad\text{ in }\mathbb{R}^N,\\ u(x)\to 0\quad\text{ as }|x|\to \infty, \end{cases} \end{equation}，这里是$s\in (0, 1)$，$α\in (0, N)$，$p\in [2, \infty)$和$\frac{N - 2s}{N + α} < \frac{1}{p} < \frac{N}{N + α}$ .在不要求$a(x)$具有任何对称性的条件下，假设$\lim_{|x|\to\infty}a(x) = 0$满足适当的假设，证明了基态解的存在性.
Choquard equations with critical nonlinearities
本文研究了$\mathbb{R}^N$ \begin{equation*} -Δu+u=(I_α\ast|u|^{p})|u|^{p-2}u+λ|u|^{q-2}u \quad \mathrm{in}\ \mathbb{R}^N, \end{equation*}中Choquard方程的Brezis-Nirenberg型问题，其中$N\geq 3,\ α\in(0,N)$，$λ>0$，$q\in (2,\frac{2N}{N-2}]$，$p=\frac{N+α}{N}$或$\frac{N+α}{N-2}$是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的临界指数，$I_α$是里斯位势.基于亚临界问题的结果，利用亚临界近似和Pohožaev约束方法，在$H^1(\mathbb{R}^N)$中得到了该问题的正的径向非增基态解.最后，得到了一般Choquard方程解的正则性和Pohožaev恒等式.
On nonlocal Choquard equations with Hardy-Littlewood-Sobolev critical exponents
本文研究了一类具有Dirichlet边界条件的非线性Choquard方程$$-Δu =\left(\int_Ω\frac{|u|^{2_μ^{\ast}}}{|x-y|^μ}dy\right)|u|^{2_μ^{\ast}-2}u+λf(u)\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} Ω, $$，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$，$λ>0$，$N\geq3$，$0<μ<N$的光滑有界区域，$2_μ^{\ast}$是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的临界指数.在适当的非线性项$f(u)$的假设下，我们用变分方法证明了方程解的存在性和多解性.
Choquard equations with critical exponential nonlinearities in the zero mass case
本文研究零质量情形下由加权N-Laplace算子驱动且具有多项式核的Choquard方程，在Sobolev嵌入极限设定下允许非线性项增长至临界指数，并用变分方法证明正解存在性，完善了对数核情形的已有分析。
The existence of least energy nodal solutions for some class of Kirchhoff equations and Choquard equations
本文研究了一类Kirchhoff型问题的最小能量节点解的存在性。由于Kirchhoff方程是一个非局部方程，寻找变号解的变分设置不同于局部情况。利用变号Nehari流形上的约束极小化方法，证明了Kirchhoff问题存在能量超过最小能量两倍的最小能量节点解。作为我们方法的一个副产品，我们得到了Choquard方程最小能量变号解的存在性，并证明了变号解的能量严格大于最小能量，且小于最小能量的两倍.
Ground state solutions for a nonlinear Choquard equation
本文讨论了Choquard方程$$-Δu=(I_α*F(u))F'(u)\quad\quad\quad\text{in }\mathbb R^N.$$基态解的存在性，在一般假设下证明了解的存在性，特别是研究了齐次非线性方程$F(u)=\frac{|u|^p}p$的情形. $N=2$和$N\ge3$病例在某些步骤中的处理方式不同。通过一个变分的山路策略的解决方案。所呈现的结果包含在arXiv ID 1212.2027和1604.03294的论文中
Symmetry of Positive Solutions for the Fractional Schr$ \ddot{\textrm{o}}$dinger Equations with Choquard-type Nonlinearities
本文研究了具有Choquard型非线性项\begin{equation*} \left\{\begin{array}{r@{\ \ }c@{\ \ }ll} (-Δ)^{\fracα{2}}u + u - C_{n,-β} \,(|x|^{β-n}\ast u^{p})\, u^{p-1}& = &0 & \mbox{in}\ \ \mathbb{R}^{n}\,, \\[0.05cm] u & > & 0 & \mbox{on}\ \ \mathbb{R}^{n}, \end{array}\right. \end{equation*}的分数阶Schr $ \ddot{\textrm{o}}$ dinger方程，其中$ 0< α,β< 2, 1\leq p <\infty \,\,and\,\, n\geq 2. $首先我们构造了相关方程在无穷远处的衰减结果和窄区原理.然后利用广义运动平面直接法建立了上述方程正解的径向对称性。
Existence and asymptotic behavior of the least energy solutions for fractional Choquard equations with potential well
本文研究了由分数阶Laplacian $$(-Δ)^{s} u+λV(x)u=(I_α\ast F(u))f(u) \ \ in \ \ R^{N},$$驱动的非线性Choquard方程最小能量解的存在性和渐近性态，其中$N> 2s$，$ (N-4s)^{+}<α< N$，$λ$为正参数，非负势函数$V(x)$为连续的.利用变分方法证明了当$λ$足够大时，最小能量解的存在性，该解位于$int (V^{-1}(0))$势阱附近。
Groundstates of nonlinear Choquard equations: existence, qualitative properties and decay asymptotics
考虑半线性椭圆问题[- Δu + u =（I_α \ast \abs{u}^p）\abs{u}^{p - 2} \quad \text{in (\mathbb{R}^N),} ]，其中（I_α）是里斯位势，（p>1）.这个方程族包括Choquard或非线性薛定谔-牛顿方程。对于最佳的参数范围，我们证明了方程正基态解的存在性。我们还建立了基态的正则性和正性，并证明了所有正基态都是径向对称的，并且关于某点单调衰减。最后，我们得到了基态在无穷远处的衰减渐近性。
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