Existence and multiplicity results for a class of Kirchhoff-Choquard equations with a generalized sign-changing potential
研究一类带广义变号势的Kirchhoff-Choquard方程，证明非退化情形下解的存在性与多重性，并保证退化情形下解的存在。
2022-07-25 math.AP
$ (p, N)-$Choquard logarithmic equation involving a nonlinearity with exponential critical growth: existence and multiplicity
目前的工作是关注以下版本的Choquard对数方程$ -Δ_p u -Δ_N u + a|u|^{p-2}u + b|u|^{N-2}u + λ(\ln|\cdot|\ast G(u))g(u) = f(u) \textrm{ in } \mathbb{R}^N $，其中$ a, b, λ>0 $，$ \max\{\frac{N}{2}, 2 \} < p< N $，$f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $是连续函数，表现得像$ \exp(α|u|^{\frac{N}{N-1}}) $在无穷远，$ α>0 $，并有多项式增长，分别和$ G(s)=\int\limits_{0}^{s}g(τ)dτ$。我们证明了一个非平凡的解决方案，在山口水平和非平凡的基态解的存在性。此外，使用对称山路定理的一个版本，我们得到无穷多个解决方案。
2021-05-24 math.AP
Semiclassical states for Choquard type equations with critical growth: critical frequency case
本文研究了Choquard型方程$$ -\vr^2Δu +V(x)u =\Big(\int_{\R^N} \frac{G(u(y))}{|x-y|^μ}dy\Big)g(u) \quad \mbox{in $\R^N$}, $$的半经典态的存在性，其中$0<μ<N$，$N\geq3$，$\vr$是正参数，$G$是$g$的本原，由于Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，$g$是临界增长的.假设势函数$V(x)$在$\R^N$的某个区域内与$V(x)=0$非负，这意味着它是临界频率情况。首先研究了一类具有双临界指数的Choquard方程，利用山路定理和亏格理论证明了半经典解的存在性和多解性。其次，考虑了一类无下微扰的临界Choquard方程，通过建立非定域Choquard方程的整体紧性引理，利用Lusternik-Schnirelman理论证明了高能半经典态的多重性。
2017-10-19 math.AP
An elliptic problem involving critical Choquard and singular discontinuous nonlinearity
本文研究结合临界Hartree型与奇异间断非线性的椭圆问题，应用变分方法和广义梯度证明了弱解的存在性与多重性，并通过$L^\infty$估计确立了其正则性。
2023-09-14 math.AP
Semi-classical states for the nonlinear Choquard equations: existence, multiplicity and concentration at a potential well
研究了非线性Choquard方程：$$ -\varepsilon^2Δv+V(x)v = \frac{1}{\varepsilon^α}(I_α*F(v))f(v) \quad \hbox{in}\ \mathbb{R}^N, $$的半经典态的存在性和多重性，其中$N\geq 3$，$α\in (0,N)$，$I_α(x)={A_α\over |x|^{N-α}}$是Riesz势，$F\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$，$F'(s) = f(s)$和$\varepsilon>0$是小参数.我们开发了一种新的变分方法，我们表明存在一个家庭的解决方案集中，作为$\varepsilon\to 0$，$V(x)$的局部极小在一般条件下$F(s)$。我们的结果对$f(s)=|s|^{p-2}s$也是新的，对$p\in (\frac{N+α}{N}, \frac{N+α}{N-2})$也是适用的。特别地，我们可以给出局部次线性情形$p\in (\frac{N+α}{N}, 2)$的存在性结果，这对Moroz和Van Schaftingen最近的工作中提出的一个公开问题给出了肯定的回答.我们还研究了正单峰解的多重性，并证明了至少存在$\hbox{cupl}(K)+1$解集中在$K$周围作为$\varepsilon\to 0$，其中$K\subset Ω$是$V(x)$…
2017-08-08 math.AP
n-Kirchhoff Choquard equations with exponenetial nonlinearity
本文研究了具有Choquard型指数非线性项的Kirchhoff方程（见下面的$(KC)$）。利用变分方法和Moser-Trudinger不等式证明了$(KC)$弱解的存在性.此外，通过分析Nehari流形上的映射和极小化能量泛函，我们证明了下面的凸-凹问题$(\mathcal{P}_{\la,M})$弱解的存在性和多解性.
2018-10-01 math.AP
Variable order nonlocal Choquard problem with variable exponents
本文研究了具有变指数（-Δ）_{p（\cdot）}^{s（\cdot）}u（x）&=λ的变阶非局部Choquard问题解的存在性和多重性|u（x）|^{α（x）-2}u（x）+ \left（\DD \int_Ω \frac{F(y,u(y))}{|x-y|^{μ(x,y)}} dy \right）f（x，u（x）），x \in Ω，u（x）&=0，x \in \mathbb R^N \setminus Ω，其中$Ω\subset\mathbb R^N$是光滑有界区域，$N\geq 2$，$p,s,μ$和$α$是$\mathbb R^N\times\mathbb R^N$上的连续函数，而$f(x,t)$是Carathédory函数.在对$s,p,μ,α$和$f(x,t)$适当的假设下，首先研究了变指数变阶分数Sobolev空间的Hardy-Sobolev-Littlewood型结果.然后，我们给出了上述方程的存在性/多重性结果。
2019-07-05 math.AP
Critical growth elliptic problems with Choquard type nonlinearity:A survey
本文综述了Choquard方程的最新研究进展和结果，重点讨论了具有卷积型非线性项的偏微分方程解的存在性和多解性。由于其性质，这些方程被归类为非局部问题。我们简要介绍了在这方面已经做的工作，然后说明了我们解决的问题。借助于变分方法和渐近估计，我们证明了我们的主要结果。
2018-11-11 math.AP
Normalized solutions for the Choquard equation with mass supercritical nonlinearity
本文考虑非线性Choquard方程$$\begin{cases} & - Δu = (I_α\ast F(u))F'(u) -μu \ \text{in}\ \mathbb{R}^N, & u \in \ H^1(\mathbb{R}^N), \ \int_{\mathbb{R}^N} |u|^2 dx=m, \end{cases} $$，其中$α\in(0,N)$，$m>0$是给定的，$μ\in \mathbb{R}$是Lagarange乘子，$I_α$是里斯位势.在一般的非线性条件下，证明了非线性方程$F,$正规解的存在性和多重性.
2022-12-27 math.AP
Ground state of a magnetic nonlinear Choquard equation
本文考虑定常磁非线性Choquard方程\[-(\nabla+iA(x))^2u+ V(x)u=\bigg(\frac{1}{|x|^α}*F(|u|)\bigg)\frac{f(|u|)}{|u|}{u},\]，其中$A: \mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}^{N}$是矢量势，$V$是标量势，$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$和$F$是$f$的基元.在温和的假设下，我们证明了这个问题的基态解的存在性。我们还证明了一个简单的多重性结果，通过应用Ljusternik-Schnirelmann方法。
2018-05-16 math.AP
Bifurcation and multiplicity results for critical Grushin-Choquard problems
Indian Institute of Technology Bhilai（印度理工学院比莱分校）；Università Telematica San Raffaele（圣拉斐尔远程大学）
本文研究了涉及Grushin算子的非局部Brézis-Nirenberg型临界Choquard问题，证明了在Dirichlet边界条件下，从任一特征值λ*的分支存在性，并展示了在λ*左侧邻域内非平凡解的数目至少为λ*的多重性的两倍。
2026-05-15 math.AP
Mixed local and nonlocal semilinear elliptic equation with strongly singular and critical Choquard nonlinearity
本文研究混合局部与非局部椭圆方程，结合奇异与临界非线性，通过变分方法证明正解的存在性与多重性。
2023-10-11 math.AP
On nonlocal Choquard equations with Hardy-Littlewood-Sobolev critical exponents
本文研究了一类具有Dirichlet边界条件的非线性Choquard方程$$-Δu =\left(\int_Ω\frac{|u|^{2_μ^{\ast}}}{|x-y|^μ}dy\right)|u|^{2_μ^{\ast}-2}u+λf(u)\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} Ω, $$，其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$，$λ>0$，$N\geq3$，$0<μ<N$的光滑有界区域，$2_μ^{\ast}$是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的临界指数.在适当的非线性项$f(u)$的假设下，我们用变分方法证明了方程解的存在性和多解性.
2016-10-30 math.AP
Singular doubly nonlocal elliptic problems with Choquard type critical growth nonlinearities
奇异非线性项的椭圆型方程理论是一个很好的研究课题，但奇异非线性项与非局部非线性项的相互作用至今尚未得到研究。在这篇文章中，我们研究非常奇异和双重非局部奇异问题$(P_λ)$（见下文）。首先，我们建立了一个很弱的比较原理和最优Sobolev正则性。然后利用非光滑分析的临界点理论和能量泛函的几何关系，建立了正弱解的全局多重性。
2020-02-07 math.AP
The Choquard logarithmic equation involving fractional Laplacian operator and a nonlinearity with exponential critical growth
本文研究了Choquard对数方程$(-Δ)^{\frac{1}{2}} u + au + λ(\ln|\cdot|\ast |u|^{2})u = f(u) \textrm{ in } \mathbb{R}$，$ a>0 $，$ λ>0 $和一类指数临界增长的非线性方程$f$非平凡解的存在性和多重性.我们证明了一个非平凡的解决方案，在山口水平和一个非平凡的基态解指数临界和亚临界增长。此外，当$ f $有亚临界增长，我们保证存在无穷多个解决方案，通过亏格理论。
2020-12-18 math.AP
Singularly perturbed critical Choquard equations
本文研究奇摄动Choquard方程$$ -\vr^2Δu +V(x)u =\vr^{μ-3}\Big(\int_{\R^3} \frac{Q(y)G(u(y))}{|x-y|^μ}dy\Big)Q(x)g(u) \quad \mbox{in $\R^3$}, $$的半经典极限，其中$0<μ<3$，$\vr$是正参数，$V,Q$是$\R^3$上的两个连续实函数，而$G$是$g$的本原，由于Hardy-Littlewood-Sobolev不等式，$g$是临界增长的.在适当的非线性假设下，我们首先建立了$g$中常系数临界Choquard方程基态的存在性.其次，我们建立了半经典解的存在性和多重性，并用变分方法刻画了浓度行为。
2017-05-12 math.AP
Fractional Choquard Equation with Critical Nonlinearities
本文研究了含分数Laplacian算子\[ (-\De)^s u = \left( \int_{\Om}\frac{|u|^{2^*_{μ,s}}}{|x-y|^μ}\mathrm{d}y \right)|u|^{2^*_{μ,s}-2}u +\la u \; \text{in } \Om,\]的非线性Choquard方程的Brezis-Nirenberg型问题，其中$\Om $是$\mathbb R^n$中具有Lipschitz边界的有界区域，$\la $是实参数，$s \in (0,1)$，$n >2s$和$2^*_{μ,s}= (2n-μ)/(n-2s)$是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式意义下的临界指数.利用变分方法得到了上述方程解的存在性、多解性、正则性和不存在性结果。
2016-06-07 math.AP
Multiplicity of solutions with prescribed mass for a quasilinear critical Choquard equation driven by a local-nonlocal operator
LMAP (UMR E2S UPPA CNRS 5142)（拉普拉斯力学与结构物理实验室（E2S UPPA CNRS 联合研究单位））；Indian Institute of Technology, Delhi（印度德里理工学院）
研究具有混合局部和非局部算子的临界增长Choquard方程在质量次临界扰动下至少两个不同归一化解的存在性。
2026-05-27 math.AP
Positive solutions for nonlinear Choquard equation with singular nonlinearity
本文研究了具有奇异非线性项\begin{equation*} \quad -\De u = \la u^{-q} + \left( \int_{\Om}\frac{|u|^{2^*_μ}}{|x-y|^μ}\mathrm{d}y \right)|u|^{2^*_μ-2}u, \quad u>0 \; \text{in}\; \Om,\quad u = 0 \; \mbox{on}\; \partial\Om, \end{equation*}的非线性Choquard方程，其中$\Om$是$\mb{R}^n$中的有界区域，具有光滑边界$\partial \Om$，$n > 2,\; \la >0,\; 0 < q < 1, \; 0<μ<n$和$2^*_μ=\frac{2n-μ}{n-2}$ .利用变分方法和相应的Nehari流形结构，证明了当$\la$小于某个正常数时，上述问题正弱解的存在性和多解性.我们还研究了这些弱解的正则性。
2016-11-02 math.AP
Normalized solutions for fractional Choquard equation with critical growth on bounded domain
本文利用极小化技术和一致山路定理，证明了星形有界域上临界分数阶Choquard方程正解的多重性，分别得到第一解和第二解。
2025-09-09 math.AP
Non-existence and multiplicity of positive solutions for Choquard equations with critical combined nonlinearities
本文研究含临界组合非线性项的Choquard方程正解的不存在性与多解性，确定了参数空间中对应方程无正基态或多正解的区域，得到了基态存在阈值与双正解条件，揭示了非局部项的特殊影响。
2025-01-03 math.AP
On the study of $(p, Q)$-Laplace Choquard equations with critical Trudinger-Moser nonlinearity in $\mathbb{H}^N$
本文研究Heisenberg群上具有临界Trudinger-Moser非线性与Stein-Weiss反应的(p,Q)-Laplace Choquard方程解的存在性与多重性，结合变分原理与全新Brézis-Lieb引理证明。
2024-07-23 math.AP
Three solutions for a fractional elliptic problem with asymmetric critical Choquard nonlinearity
本文研究了分数拉普拉斯算子上的非对称非线性Choquard问题：\begin{equation*} \begin{array}{rl} (-Δ)^s u &= \displaystyle-λ|u|^{q-2}u + au + b\left( \int\limits_Ω \frac{(u^{+}(y))^{2^{*}_{μ,s}}}{|x-y|^ μ}\, dy\right) (u^{+})^{2^{*}_{μ,s}-2}u \quad\text{in} \; Ω, u &= 0\quad \text{in} \; \mathbb{R}^{N}\backslashΩ, \end{array} \end{equation*}，其中$Ω$是$\mathbb{R}^{N}$的有$C^2$边界的开有界区域，$N > 2s$和$s \in (0,1)$ .这里$(-Δ)^s$是分数Laplace算子，$λ> 0$是实参数，$q \in (1, 2)$，$a > 0$和$b> 0$是给定常数，$2^{*}_{μ,s} = \frac{2N-μ}{N-2s}$是Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和符号$u^{+} = \max \{u, 0\}$意义下的临界指数.利用山路引理和链接定理证明了上述问题至少有三个非平凡解。
2021-07-09 math.AP
On fractional Schrodinger systems of Choquard type
本文首先利用集中紧性技巧证明了非线性分数阶Schrödinger-Choquard方程\[ i\partial_tΨ+ (-Δ)^αΨ= a |Ψ|^{s-2}Ψ+λ\left( \frac{1}{|x|^{N-β}} \star |Ψ|^p \right)|Ψ|^{p-2}Ψ \ \ \mathrm{in}\ \mathbb{R}^{N+1}, \]驻波解的存在性和稳定性，其中$N\geq 2$，$α\in (0,1)$，$β\in (0, N)$，$s\in (2, 2+\frac{4α}{N})$，$p\in [2, 1+\frac{2α+β}{N})$，并且常数$a, λ$是非负的，满足$a+λ> 0.$。然后，我们推广这些论证，建立了非线性分数阶薛定谔系统耦合驻波的类似结果。巧克力口味的。同样的论点适用于具有任意数量的组合非线性的方程，并且在某些假设下，当$|x|^{β-N}$被更一般的卷积势$\mathcal{K}:\mathbb{R}^N\to [0, \infty)$取代时。对于$α=1$情况，可以应用相同的参数，并且结果也是相同的。
2016-06-20 math-ph math.AP math.MP
Existence and multiplicity of solutions for critical Kirchhoff-Choquard equations involving the fractional $p$-Laplacian on the Heisenberg group
本文研究Heisenberg群上含分数阶$p$-Laplacian的临界Kirchhoff-Choquard方程，分别借助Krasnoselskii亏格定理与分数阶集中紧性原理，证明参数$\mu$充分大时有无穷多解、充分小时有$m$对解。
2024-01-18 math.AP math.FA
Multiple positive solutions for degenerate Kirchhoff equations with singular and Choquard nonlinearity
本文研究了以下Kirchhoff-Choquard问题：\begin{equation*} \begin{array}{cc} \displaystyle M\left( \iint\limits_{\mathbb{R}^{2N}} \frac{|u(x)-u(y)|^2}{|x-y|^{N+2s}}\,dxdy\right) (-Δ)^s u = \fracλ{u^γ} + \left( \int\limits_Ω \frac{|u(y)|^{2^{*}_{μ,s}}}{|x-y|^ μ}\, dy\right) |u|^{2^{*}_{μ,s}-2}u \;\text{in} \; Ω, %\quad \quad u > 0\quad \text{in} \; Ω, \quad \quad u = 0\quad \text{in} \; \mathbb{R}^{N}\backslashΩ, \end{array} \end{equation*}其中$Ω$是$\mathbb{R}^{N}$的有$C^2$边界的开有界区域，$N > 2s$和$s \in (0,1)$正弱解的存在性、多解性和正则性. $M$模型基尔霍夫型系数，特别是退化的情况下，基尔霍夫系数M是零在零。$(-Δ)^s$是分数Laplace算子，$λ> 0$是实参数，$γ\in (0,1)$和$2^{*}_{μ,s} …
2021-06-21 math.AP
Normalized solutions to lower critical Choquard equation with a local perturbation
本文研究了具有局部扰动\begin{equation*} \begin{cases} -Δu+λu=γ(I_α\ast|u|^{\frac{N+α}{N}})|u|^{\frac{N+α}{N}-2}u+μ|u|^{q-2}u,\quad \text{in}\ \mathbb{R}^N, \\ \int_{\mathbb{R}^N}|u|^2dx=c^2, \end{cases} \end{equation*}的下临界Choquard方程正规解的存在性和不存在性，其中$γ, μ, c>0$，$2<q\leq 2+\frac{4}{N}$和$λ\in\mathbb{R}$是一个以Lagrange乘子形式出现的未知参数.本文关于该方程的结果回答了Yao，Chen，Randulescu和Sun [Siam J. Math. Anal.，54（3）（2022），3696-3723]。此外，基于所得结果，我们研究了非自治Choquard方程\begin{equation*} \begin{cases} -Δu+λu=(I_α\ast [h(εx)|u|^{\frac{N+α}{N}}])h(εx)|u|^{\frac{N+α}{N}-2}u+μ|u|^{q-2}u,\ x\in \mathbb{R}^N, \\ \int_{\mathbb{R}^N}|u|^2dx=c^2, \end{cas…
2022-08-18 math.AP
Concentrating solutions of the fractional $(p,q)$-Choquard equation with exponential growth
College of Mathematics, Changchun Normal University（长春师范大学数学学院）；Faculty of Education, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学教育学院）；Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学物理学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）
本文研究了分数$(p,q)$-Choquard方程在参数$\varepsilon$趋近于零时正解的多重性和集中性，利用变分方法和范畴理论，推广了已有结论。
2025-05-31 math.AP
Asymptotic profiles for Choquard equations with combined attractive nonlinearities
研究了非线性Choquard方程$$ -Δu+\varepsilon u=(I_α\ast |u|^{p})|u|^{p-2}u+ |u|^{q-2}u \quad {\rm in} \ \mathbb R^N, $$正基态解的渐近性质，其中$N\ge 3$为整数，$p\in [\frac{N+α}{N}, \frac{N+α}{N-2}]$，$q\in (2,\frac{2N}{N-2}]$，$I_α$为Riesz势，$\varepsilon>0$为参数.我们表明，作为$\varepsilon\to 0$（resp. $\varepsilon\to \infty$），经过适当的尺度变换，$(P_\varepsilon)$的基态解在$H^1(\mathbb R^N)$中收敛到某些极限方程的特定解.我们还建立了一个尖锐的渐近特性，这样的重标度，和精确的渐近行为的$u_\varepsilon(0), \|\nabla u_\varepsilon\|_2^2, \|u_\varepsilon\|_2^2, \int_{\mathbb R^N}(I_α\ast |u_\varepsilon|^p)|u_\varepsilon|^p$和$\|u_\varepsilon\|_q^q$，这取决于在一个非平凡的方式上的指数$p, q$和空间维数$N$。我们还讨论了我们的结果与相关的质量约束问题的规…
2023-02-27 math.AP
On Choquard-Kirchhoff Type Critical Multiphase Problem
针对含 Choquard 非局部项和广义临界增长项的 Kirchhoff 型变指数多相方程，论文借助空间嵌入、集中紧性与 HLS 型不等式证明弱解的存在性与多重性。
2025-01-07 math.AP
Normalized solutions for a class of fractional Choquard equations with mixed nonlinearities
Department of Mathematics, Yunnan Normal University（云南师范大学数学系）
本文研究了具有混合非线性的分数Choquard方程归一化解的存在性和多重性，证明了在特定条件下地面态解的存在性。
2025-12-18 math.AP
On the classification of the spectrally stable standing waves of the Hartree problem
考虑了具有一般幂非线性和空间维数的分数阶Hartree模型。我们构造变分的“规范化”的解决方案，相应的Choquard-Pekar模型-特别是一些关键的属性，如光滑性和钟形的建立。作为一个后果的建设，我们表明，这些孤子是光谱稳定的时间相关的Hartree模型的解决方案。此外，我们分析了经典Hartree问题的Moroz-Van Schaftingen孤子在任意维数和幂次非线性下的谱稳定性。一个完整的分类，其中的主要结论是，只有和确切的“正规化”的解决方案（只存在于一部分的范围）是谱稳定的。
2017-02-11 math.AP
Degeneracy and multiplicity of standing-waves of the one-dimensional non-linear Schrödinger equation for a class of algebraic non-linearities
研究了一维非线性Schrödinger方程归一化驻波解的存在性、稳定性与非退化性，证明了对特定代数非线性项存在退化极小值及同质量同能量正径向对称极小值的多重性，并验证了基态与极小值驻波的稳定性。
2023-08-05 math.AP
Orbital stability of normalized ground states for critical Choquard equation with potential
本文研究带势临界Choquard方程给定质量的基态驻波存在性与轨道稳定性，通过新Strichartz估计和新空间构造证明了归一化基态的轨道稳定性，为该模型首个此类结果，方法可推广到其他带势混合非线性方程。
2024-12-11 math.AP
A New Method to prove the Existence, Non-existence, Multiplicity, Uniqueness, and Orbital Stability/Instability of standing waves for NLS with partial confinement
本文给出了一种新的方法来证明部分禁闭NLS驻波的存在性、不存在性、多重性、轨道稳定性/不稳定性，即使在约化方程中也不需要亚临界假设。利用这种方法，我们对[7，注1.10]中提出的一个公开问题给出了肯定的回答，其中作者证明了不止一个正规解的存在性。我们还建立了依赖于分歧参数的基态解的唯一性结果。我们解释说，当部分限制的效果是强的，降维出现的一些参数。我们还发现了与完全约束情形不同的分岔现象。
2022-11-18 math.AP
$p$-biharmonic Kirchhoff equations with critical Choquard nonlinearity
本文研究含临界 Choquard 非线性的 $p$-双调和 Kirchhoff 方程，通过建立集中紧性原理并结合变分法，证明不同 $r$ 下解关于参数 $λ$、$α$ 的存在性与多重性。
2025-08-30 math.AP
Normalized solutions to lower critical Choquard equation in mass-supercritical setting
本文研究质量超临界Choquard方程的规范化解，通过新紧性引理证明正径向基态解的存在性，并给出极限行为及正解不存在性与多重性的阈值条件。
2025-02-25 math.AP
Singular Choquard elliptic problems involving two nonlocal nonlinearities via the nonlinear Rayleigh quotient
本文利用非线性 Rayleigh 商和 Nehari 方法，研究了由两个卷积项驱动的奇异 Choquard 椭圆问题，证明了在特定参数下解的存在性与多重性，并给出了全空间中解的不存在性结果。
2024-12-19 math.AP
Multiplicity, asymptotics and stability of standing waves for nonlinear Schrödinger equation with rotation
本文研究了玻色-爱因斯坦凝聚中具有转动的非线性薛定谔方程在质量超临界状态下具有指定质量$c>0$的驻波的多重性、渐近性和稳定性.在适当的旋转频率限制下，通过在质量球上搜索相应能量泛函的临界点，得到了局部极小解$u_c$和山路解$\hat{u}_c$ . %，在相关参数的适当假设下。此外，我们表明，$u_c$是一个基态的小质量$c>0$和描述的质量崩溃行为的最小为$c\to 0$，而$\hat{u}_c$是一个激发态。最后证明了与$u_c$有关的驻波是稳定的。值得注意的是，开创性的工作\cite{aMsC,shYZ}意味着该模型的解的有限时间爆破发生在质量超临界设置，因此，在本文中，我们得到了一个新的稳定性结果。本文的主要贡献是将\cite{JeSp,gYlW}中关于同一模型的主要结果从质量亚临界和质量临界区推广到质量超临界区，其中涵盖了物理上最相关的情况。
2020-08-25 math.AP
Multiplicity and uniform estimate for a class of variable order fractional $p(x)$-Laplacian problems with concave-convex nonlinearities
本文研究了具有变指数\begin{equation*} \begin{array}{rl} (-Δ)_{p(\cdot)}^{s(\cdot)}u(x)&=λ|u(x)|^{α(x)-2}u(x)+\left(\DD\int_Ω\frac{F(y,u(y))}{|x-y|^{μ(x,y)}}dy\right)f(x,u(x)),\\ &~\hspace{6cm} x\in Ω, \\ u(x)&=0 ,\hspace{20mm} x\in Ω^c:=\mathbb R^N\setminusΩ, \end{array} \end{equation*}的变阶非局部Choquard问题解的存在性和多解性，其中$\Om\subset\mathbb R^N$是光滑有界区域，$N\geq 2$，$p,s,μ$和$α$是$\mathbb R^N\times\mathbb R^N$上的连续函数，$f(x,t)$是具有$F(x,t):=\displaystyle\int_{0}^{t} f(x,s)ds$的连续函数.在对$s,p,μ,α$和$f(x,t)$适当的假设下，首先研究了变指数变阶分数Sobolev空间的Hardy-Sobolev-Littlewood型结果.然后，我们给出了上述方程的存在性/多重性结果。
2020-10-11 math.AP
Multiplicity and asymptotics of standing waves for the energy critical half-wave
本文研究了具有指定质量$\int_{{\mathbb{R}^N}} {{u}^2}=a^2$的驻波到能量临界半波\begin{equation}\label{eqA0.1} \sqrt{-Δ}u=λu+μ|u|^{q-2} u+|u|^{2^*-2}u,\ \ u\in H^{1/2}(\R^N), \end{equation}的多重性和渐近性，其中$N\!\geq\! 2$，$a\!>\!0$，$q \!\in\!\big(2,2+\frac{2}{N}\big)$，$2^*\!=\!\frac{2N}{N-1}$和$λ\!\in\!\R$作为Lagrange乘子出现.我们发现，\eqref{eqA0.1}承认一个基态$u_a$和一个激发态$v_a$，其特征在于由一个局部极小和一个山路临界点相应的能量泛函。得到了$\{u_a\}$，$\{v_a\}$的几个渐近性质，值得指出的是，我们得到了$\{u_a\}$为$a\!\to\! 0^+$的精确描述，而不需要任何有关极限问题的唯一性条件.本文的主要贡献是将J. Bellazzini等[Math.Ann.371（2018），707-740]中的主要结果从能量亚临界推广到能量临界情况。进一步地，这些结果可以推广到具有Sobolev临界指数的一般分数阶非线性Schr dinger方程，推广了H. J. Luo-Z. T. Zhang [C…
2021-02-19 math.AP
Existence and multiplicity of sign-changing standing waves for a gauged nonlinear Schrödinger equation in $\R^2$
本文研究了含有Chern-Simons项\begin{align*} \left\{ \begin{array}{ll} -\triangle {u}+ωu+\left(\frac{h^2(|x|)}{|x|^2}+\int_{|x|}^{+\infty}\frac{h(s)}{s}u^2(s){\rm ds}\right) u =λ|u|^{p-2}u& \mbox{in}\,\,\R^2, u(x)=u(|x|)\, \in\, H^1(\R^2), \end{array} \right. \end{align*}的二维规范非线性薛定谔方程的变号解，其中$ω,λ>0$，$p\in(4,6)$和$$ h(s)=\frac{1}{2}\int_0^sτu^2(τ)dτ. $$通过一种新的扰动方法和下降流不变集方法，研究了变号解的存在性和多重性.此外，建立了{ \it能量加倍}，即，变号解$w_λ$的能量严格大于大$λ>0$基态能量的两倍。最后，对于任何序列$λ_n\rightarrow\infty$作为$n\rightarrow\infty$，直到一个子序列，$λ_n^{\frac{1}{p-2}}w_{λ_n}\rg w$强烈地在$H_{rad}^1(\R^2)$中作为$n\rightarrow\infty$，其中$w$是$$ -\triangle {u}+ωu=|u|^{p-2…
2018-11-14 math.AP
Normalized Solutions to the Kirchhoff-Choquard Equations with Combined Growth
本文研究带组合增长的Kirchhoff-Choquard非局部方程的规范化解，运用变分法证明了多类解的存在性、多重性及渐近性质，填补了特定参数情形下的研究空白。
2024-12-09 math.AP
Multiplicity of positive solutions for nonlinear field equations in $\R^{N}$
本文在$\R^N$上研究非线性椭圆型方程正解的多重性。解的个数大于或等于非线性项为负的不相交区间的个数。应用程序给出了非线性薛定谔和克莱因-戈登方程的驻波多重性。
2013-04-11 math.AP
Critical growth elliptic problems involving Hardy-Littlewood-Sobolev critical exponent in non-contractible domains
研究了环型有界区域上非齐次Choquard方程正解的存在性和多解性。精确地说，我们考虑下面的方程\[ -\De u = \left(\int_{\Om}\frac{|u(y)|^{2^*_μ}}{|x-y|^μ}dy\right)|u|^{2^*_μ-2}u+f \; \text{in}\; \Om,\quad u = 0 \; \text{ on } \pa \Om , \]，其中$\Om$是$\mathbb{R}^N( N\geq 3)$、$2^*_μ=\frac{2N-μ}{N-2}$、$f \in L^{\infty}(\Om)$和$f \geq 0$中的光滑有界环形区域。利用Lusternik-Schnirelmann理论和变分方法证明了当环的内孔足够小时，上述问题存在四个正解.
2019-03-08 math.AP
Existence and multiplicity of normalized solutions to a large class of elliptic equations on bounded domains with general boundary conditions
本文利用改进的扰动方法，在有界区域上研究一类带一般边界条件和非线性项的薛定谔方程正规化解的存在性与多重性，并将该方法推广到临界指数增长、磁场、双调和及 Choquard 方程等情形。
2025-07-07 math.AP
Kirchhoff equations with Hardy-Littlewood-Sobolev critical nonlinearity
我们考虑下面的Kirchhoff-Choquard方程\[ -M(\|\na u\|_{L^2}^{2})\De u = \la f(x)|u|^{q-2}u+ \left(\int_{\Om}\frac{|u(y)|^{2^*_μ}}{|x-y|^μ}dy\right)|u|^{2^*_μ-2}u \; \text{in}\; \Om,\quad u = 0 \; \text{ on } \pa \Om , \]其中$\Om$是$\mathbb{R}^N( N\geq 3)$中具有$C^2$边界的有界区域，$2^*_μ=\frac{2N-μ}{N-2}$，$1<q\leq 2$，并且$f$是连续实值变号函数.当$1<q< 2$时，利用Nehari流形方法和集中紧性引理，证明了上述问题正解的存在性和多解性.利用山路引理证明了当$q=2$时正解的存在性.
2019-01-31 math.AP
Multiple standing waves for the nonlinear Helmholtz equation concentrating in the high frequency limit
本文研究了半线性问题$$ -Δu -k^2 u=Q(x)|u|^{p-2}u\quad\text{ in }\mathbb{R}^N, \quad N\geq 2. $$在大频率数$k>0$下解的存在性和多解性.指数$p$是次临界的，系数$Q$是连续的，非负的，且满足条件$k\to\infty$.
2016-08-16 math.AP
Standing waves for the Chern-Simons-Schrodinger equation with critical exponential growth
本文利用变分方法和Trudinger-Moser不等式研究了Chern-Simons-薛定谔方程\begin{equation} -Δu+u +λ\left(\int_{0}^{\infty}\frac{h(s)}{s}u^{2}(s)ds+\frac{h^{2}(\vert x\vert)}{\vert x\vert^{2}}\right)u=f(x,u)+εk(x)\quad\quad \text{in}\,\,\mathbb{R}^2, \\ \end{equation}正驻波的存在性和多重性，其中$h(s)=\int_{0}^{s}\frac{l}{2}u^{2}(l)dl$，$λ>0$和非线性项$f:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$的性质类似于$\text{exp}(α\vert u\vert^{2})$和$\vert u\vert\rightarrow \infty$ .对于$ε=0$的情形，我们可以得到一个山路型解。
2016-07-25 math.AP
Standing waves with prescribed mass for the Schrödinger equations with van der Waals type potentials
本文研究了具有不同宽度的范德华势（即两体势）的薛定谔方程的驻波问题.这导致了在规范化约束\[\int_{{\mathbb{R}^N}} {{u}^2}=c>0,\]下研究以下非局部椭圆方程\begin{equation*}\label{1} -Δu=λu+μ(|x|^{-α}\ast|u|^{2})u+(|x|^{-β}\ast|u|^{2})u,\ \ x\in \R^{N} \end{equation*}，其中$N\geq 3$，$μ\!>\!0$，$α$，$β\in (0,N)$，并且频率$λ\in \mathbb{R}$未知并且表现为Lagrange乘子。与已有研究的$α=β$问题相比，上述两个体势$α\neqβ$宽度不同的问题的解集更加丰富。在对$c$，$α$和$β$的不同假设下，我们证明了上述问题解的存在性，多重性和渐近性态.此外，还讨论了相关含时问题的驻波稳定性。
2020-07-02 math.AP
Threshold for Existence, Non-existence and Multiplicity of positive solutions with prescribed mass for an NLS with a pure power nonlinearity in the exterior of a ball
得到了球外半线性椭圆型方程正规解的存在性、不存在性和多重性的阈值结果。据我们所知，这是第一次在文献中解决这个问题。特别是，我们表明，规定的质量可以影响归一化的解决方案的数量，并在质量超临界的情况下有稳定的效果。此外，当N = 2时，在阈值中我们发现一个新的指数p = 6，这似乎在过去对这个方程没有起作用。此外，我们的发现是“相当令人惊讶的”，与在整个空间和球上获得的结果完全不同。我们还将表明，域的性质是至关重要的驻波的存在和稳定性。作为一种预示，众所周知，在超临界情况下，这些波在RN中是不稳定的。在本文中，我们将证明，在外部区域，他们是强稳定的。
2022-09-14 math.AP
Standing waves for two-component elliptic system with critical growth in $\mathbb{R}^{4}$: the attractive case
本文考虑具有临界增长的二分量椭圆型方程组\begin{equation*} \begin{cases} -Δu+(V_1(x)+λ)u=μ_1u^{3}+βuv^{2}, \ \ x\in \mathbb{R}^4, -Δv+(V_2(x)+λ)v=μ_2v^{3}+βvu^{2}, \ \ x\in \mathbb{R}^4 , % u\geq 0, \ \ v\geq 0 \ \text{in} \ \R^4. \end{cases} \end{equation*}，其中$V_j(x) \in L^{2}(\mathbb{R}^4)$是非负势，非线性系数$β,μ_j$，$j=1,2$为正.这里我们还假设为$λ>0$。在$β>\max\{μ_1,μ_2\}$的假设下，利用变分方法和度理论，证明了方程正解的存在性和多解性。这些结果推广了Cerami和Passaseo关于半空间上半线性薛定谔方程的结果（SIAM J. Math. Anal.，28，867-885，（1997））的存在性，同时将Liu和Liu（Calc.变种偏微分方程，59：145，（2020））。
2022-11-07 math.AP
Ground states of the Schrödinger equation coupled with fourth-order gravitation -- Part 1: the case $K_{a, b} \leq 0$
本文研究了Schrödinger方程与四阶引力耦合的地面态存在性及渐进行为，分析了不同几何情况下地面态的收敛性。
2025-12-27 math.AP
Critical growth fractional Kirchhoff elliptic problems
本文研究了下列分数阶Kirchhoff-Choquard问题：\begin{equation*} \begin{array}{cc} \displaystyle M\left( \|u\|^2\right) (-Δ)^s u = \dsλf(x)|u|^{q-2}u + \left( \int\limits_Ω \frac{|u(y)|^{2^{*}_{μ,s}}}{|x-y|^ μ}\, dy\right) |u|^{2^{*}_{μ,s}-2}u \;\text{in} \; Ω, u > 0\quad \text{in} \; Ω, \,\, u = 0\quad \text{in} \; \mathbb{R}^{N}\backslashΩ, \end{array} \end{equation*}，其中$Ω$是$\mathbb{R}^{N}$的开有界区域，$N > 2s$和$s \in (0,1)$，这里$M$模型为$M(t) = a + bt^{\te-1}$形式的Kirchhoff型系数，其中$a, b > 0$是给定的常数. $(-Δ)^s$是分数拉普拉斯算子，$λ> 0$是实参数。本文利用变分方法研究了${q} \in (1,2^*_s)$和$\te \geq 1$解的存在性. %，我们还考虑了当$\te > 2^*_{μ,s}$用于$2< q < 2^*_{s}$时…
2022-12-11 math.AP
