Multiplicity of positive solutions for nonlinear field equations in $\R^{N}$
本文在$\R^N$上研究非线性椭圆型方程正解的多重性。解的个数大于或等于非线性项为负的不相交区间的个数。应用程序给出了非线性薛定谔和克莱因-戈登方程的驻波多重性。
2013-04-11 math.AP
Non-constancy and multiplicity of half-harmonic maps from intervals into the circle
Tata Institute of Fundamental Research（塔塔基础研究所）；Centre for Applicable Mathematics（应用数学中心）
研究从实直线到圆的一维半调和映射，通过引入局部相对度等方法，证明不相交区间足够近时存在多个非恒定半调和映射，建立能量低于\(2\pi\)的边界数据多重性结果，还探讨了单个区间上特定边界数据能量极小值情况。
2026-07-23 math.AP
Multiple standing waves for the nonlinear Helmholtz equation concentrating in the high frequency limit
本文研究了半线性问题$$ -Δu -k^2 u=Q(x)|u|^{p-2}u\quad\text{ in }\mathbb{R}^N, \quad N\geq 2. $$在大频率数$k>0$下解的存在性和多解性.指数$p$是次临界的，系数$Q$是连续的，非负的，且满足条件$k\to\infty$.
2016-08-16 math.AP
Standing waves for the Chern-Simons-Schrodinger equation with critical exponential growth
本文利用变分方法和Trudinger-Moser不等式研究了Chern-Simons-薛定谔方程\begin{equation} -Δu+u +λ\left(\int_{0}^{\infty}\frac{h(s)}{s}u^{2}(s)ds+\frac{h^{2}(\vert x\vert)}{\vert x\vert^{2}}\right)u=f(x,u)+εk(x)\quad\quad \text{in}\,\,\mathbb{R}^2, \\ \end{equation}正驻波的存在性和多重性，其中$h(s)=\int_{0}^{s}\frac{l}{2}u^{2}(l)dl$，$λ>0$和非线性项$f:\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$的性质类似于$\text{exp}(α\vert u\vert^{2})$和$\vert u\vert\rightarrow \infty$ .对于$ε=0$的情形，我们可以得到一个山路型解。
2016-07-25 math.AP
On the derivative nonlinear Schr{ö}dinger equation on the half line with Robin boundary condition
本文考虑$[0,+\infty)$上带非线性导数项的薛定谔方程在$0$上的Robin边界条件.使用维里参数，我们得到了爆破解决方案的存在性和使用变分技术，我们得到的稳定性和不稳定性爆破结果驻波。
2021-02-23 math.AP
Standing waves with prescribed mass for the Schrödinger equations with van der Waals type potentials
本文研究了具有不同宽度的范德华势（即两体势）的薛定谔方程的驻波问题.这导致了在规范化约束\[\int_{{\mathbb{R}^N}} {{u}^2}=c>0,\]下研究以下非局部椭圆方程\begin{equation*}\label{1} -Δu=λu+μ(|x|^{-α}\ast|u|^{2})u+(|x|^{-β}\ast|u|^{2})u,\ \ x\in \R^{N} \end{equation*}，其中$N\geq 3$，$μ\!>\!0$，$α$，$β\in (0,N)$，并且频率$λ\in \mathbb{R}$未知并且表现为Lagrange乘子。与已有研究的$α=β$问题相比，上述两个体势$α\neqβ$宽度不同的问题的解集更加丰富。在对$c$，$α$和$β$的不同假设下，我们证明了上述问题解的存在性，多重性和渐近性态.此外，还讨论了相关含时问题的驻波稳定性。
2020-07-02 math.AP
Ill-posedness for the Half wave Schrödinger equation
本文研究了由徐\cite{Xu}引入的半波薛定谔方程的不适定性。在超临界或临界空间中得到不适定性。证明是基于基督，Colliander和陶\cite{CCT1}建立的论点。对于临界空间，我们使用Bahri，Ibrahim和Kikuchi \cite{BIK}证明的驻波解。
2021-12-20 math.AP
Threshold for Existence, Non-existence and Multiplicity of positive solutions with prescribed mass for an NLS with a pure power nonlinearity in the exterior of a ball
得到了球外半线性椭圆型方程正规解的存在性、不存在性和多重性的阈值结果。据我们所知，这是第一次在文献中解决这个问题。特别是，我们表明，规定的质量可以影响归一化的解决方案的数量，并在质量超临界的情况下有稳定的效果。此外，当N = 2时，在阈值中我们发现一个新的指数p = 6，这似乎在过去对这个方程没有起作用。此外，我们的发现是“相当令人惊讶的”，与在整个空间和球上获得的结果完全不同。我们还将表明，域的性质是至关重要的驻波的存在和稳定性。作为一种预示，众所周知，在超临界情况下，这些波在RN中是不稳定的。在本文中，我们将证明，在外部区域，他们是强稳定的。
2022-09-14 math.AP
Standing waves with prescribed mass for NLS equations with Hardy potential in the half-space under Neumman boundary condition
该研究针对半空间中带Hardy势的NLS方程的Neumann问题，结合Ekeland变分原理与含Morse指标的参数化极小极大原理，证明了两类指定质量规范化驻波解的存在性，构建了适用于更一般非线性项的半空间Hardy型系统变分研究框架。
2025-03-20 math.AP
Standing waves for the NLS on the double-bridge graph and a rational-irrational dichotomy
研究了图上非线性薛定谔方程（NLS）驻波搜索的边值问题。精确地说，我们感兴趣的是描述{ \it双桥图}上的NLS驻波，其中两个半无限的半直线连接在不同顶点的圆上。在两个顶点处施加所谓的基尔霍夫边界条件。图的结构用两个长度$L_1$和$L_2$来表征，我们感兴趣的是给定频率$ω$的驻波的存在性和性质.对于每个$ω>0$，仅存在圆上支持的解（椭圆余弦解），并且仅针对$L_1/L_2$的有理值;它们可以扩展到每个$ω\in \mathbb{R}$。我们研究了$ω<0$的解在圆上周期，但在半直线上具有非平凡分量。该问题被证明是等价的非线性边值问题，其中的边界条件依赖于谱参数$ω$。在用有理$L_1/L_2$对解进行分类之后，我们转向$L_1/L_2$无理，表明存在驻波仅对应于可计数的一组频率$ω_n$。证明了频率序列$\{ω_n\}_{n \geq 1}$在$-\infty$上有一个聚点，并且它至少有一个有限的极限点，一般不为零.最后，任何负实数都可以是一组允许频率的极限点，直到为图选择合适的无理几何$L_1/L_2$。这些结果依赖于实数的丢番图逼近的基本性质。
2017-06-29 math.AP
Standing waves for two-component elliptic system with critical growth in $\mathbb{R}^{4}$: the attractive case
本文考虑具有临界增长的二分量椭圆型方程组\begin{equation*} \begin{cases} -Δu+(V_1(x)+λ)u=μ_1u^{3}+βuv^{2}, \ \ x\in \mathbb{R}^4, -Δv+(V_2(x)+λ)v=μ_2v^{3}+βvu^{2}, \ \ x\in \mathbb{R}^4 , % u\geq 0, \ \ v\geq 0 \ \text{in} \ \R^4. \end{cases} \end{equation*}，其中$V_j(x) \in L^{2}(\mathbb{R}^4)$是非负势，非线性系数$β,μ_j$，$j=1,2$为正.这里我们还假设为$λ>0$。在$β>\max\{μ_1,μ_2\}$的假设下，利用变分方法和度理论，证明了方程正解的存在性和多解性。这些结果推广了Cerami和Passaseo关于半空间上半线性薛定谔方程的结果（SIAM J. Math. Anal.，28，867-885，（1997））的存在性，同时将Liu和Liu（Calc.变种偏微分方程，59：145，（2020））。
2022-11-07 math.AP
The nonlinear Schrödinger equation in the half-space
本文研究半空间Dirichlet问题\begin{equation} \tag{$P_c$} \label{problem-abstract} -Δv + v = |v|^{p-1}v,\ \mbox{ in } \mathbb{R}^N_{+}, \qquad v = c,\ \mbox{ on } \partial \mathbb{R}^N_{+},\ \qquad \lim_{x_N \to \infty} v(x',x_N) = 0 \mbox{ uniformly in }x' \in \mathbb{R}^{N-1}, \end{equation}，其中$\mathbb{R}^N_{+} := \{\,x \in \mathbb{R}^N: x_N > 0\, \}$对某些$N \geq 1$和$p > 1$，$c > 0$是常数.我们分析了\eqref{problem-abstract}有界正解的存在性、不存在性和多重性。证明了\eqref{problem-abstract}有界正解的存在性和多重性与$c > 0$的值和$N$的维数有显著的依赖关系.我们发现一个明确的数字$c_p \in (1,\sqrt{e})$，只依赖于$p$，它决定了存在和不存在之间的阈值。特别地，在$N \geq 2$维中，我们证明了对于$0 < c < c_p$，问题\eqref{probl…
2020-12-01 math.AP
Prescribed mass standing waves for Schrödinger-Maxwell equations with combined nonlinearities
本文研究具有组合非线性项的薛定谔-麦克斯韦方程在指定 L² 质量约束下的归一化解，证明了解的存在性、不存在性与多重性，并分析了参数极限下的渐近行为及驻波的稳定性。
2023-09-18 math.AP
Standing waves for the NLS equation with competing nonlocal and local nonlinearities: the double $L^{2}$-supercritical case
研究了一类具有竞争Hartree型和幂型非线性项\begin{equation*} \begin{array}{ll} i\partial _{t}ψ+Δψ+γ(I_{α}\ast |ψ|^{p})|ψ|^{p-2}ψ+μ|ψ|^{q-2}ψ=0, & \text{ }\forall (t,x)\in \mathbb{R\times R}^{N},% \end{array}% \end{equation*} %的NLS方程，其中$γμ<0$ .我们在能量空间中建立了局部适定性的条件。在双$L^{2}$ -超临界情形下，通过发展一种约束方法，证明了当$γ<0,μ>0$和$γ>0,μ<0, $分别为两种情况时，具有指定质量的驻波的存在性和多重性.此外，我们通过考虑适当的局部极小化问题和分析映射，分别证明了驻波的弱轨道稳定性和强不稳定性。在这项工作中进行了一个新的分析的映射。我们认为它是创新的，因为它在以前的任何结果中都没有讨论过。同时给出了Cauchy问题解爆破的下界速率。由于这两类非线性的“\textquotedblleft强度”不同，我们发现这两种情况下的结果有本质的不同。我们将处理两个主要的场景，由于它们不同的几何结构，它们彼此完全不同。这导致了令人惊讶的发现。此外，竞争的纯幂型非线性的情况下，可以从我们的研究感谢一个很好的选择的核心Hartree项。
2023-03-19 math.AP
On (in)stability of discontinuous standing waves for the NLS with a delta-prime on star graphs
Department of Mathematics, IME-USP（圣保罗大学数学与统计学院）
研究具有幂次非线性的一维非线性薛定谔方程在含δ′相互作用的星型图上顶点处不连续驻波的存在性与（不）稳定性，用非变分方法刻画驻波轮廓，分析其稳定性。
2026-07-07 math.AP
Stable standing waves for a NLS on star graphs as local minimizers of the constrained energy
在由$N \geq 3$半线（边）构成的星图上，我们考虑了一个具有次临界幂型非线性项和吸引力δ相互作用的薛定谔方程。从以前的作品，它是已知的，存在一个家庭的驻波，对称的交换边缘，可以参数化的质量（或$L^2$ -范数）的元素。此外，如果质量足够小，那么相应的对称驻波是基态，因此它是轨道稳定的。另一方面，如果质量高于门限值，则系统没有基态。在这里，我们证明了轨道稳定性保持每一个值的质量，即使相应的对称驻波是不是基态，因为它无论如何是一个{ \em本地}极小的能量之间的功能具有相同的质量。证明是基于一种新的技术，允许限制的分析，以功能的孤立子片，减少问题的有限维之一。这样，我们不需要使用变分法的直接法，也不需要线性化过程。
2015-09-06 math.AP
A Liouville-type theorem for the Lane-Emden equation in a half-space
本文证明了半空间中 Lane-Emden 方程 Dirichlet 问题在法向单调正解的不存在性，解决了长期公开问题，并将结果推广至一般凸非线性项。
2020-03-24 math.AP
Existence and orbital stability of standing-wave solutions of the NLS-log equation on a tadpole graph
本文首次在蝌蚪图上研究 NLS-log 方程，利用 Neumann-Kirchhoff 边界条件和分裂特征值方法，证明了正单瓣态驻波解的存在性与轨道稳定性，并给出相关线性化算子的 Morse 指数与零化指数。
2025-07-05 math.AP
A priori bounds and multiplicity for fully nonlinear equations with quadratic growth in the gradient
考虑了梯度二次增长的完全非线性一致椭圆型方程，如有界区域上的具有Dirichlet边界条件的$$ -F(x,u,Du,D^2u) =λc(x)u+\langle M(x)D u, D u \rangle +h(x) $$，这里的$λ\in\mathbb{R}$，$c,\, h \in L^p(Ω)$，$p>n\geq 1$，$c\gneqq 0$和矩阵$M$满足$0<μ_1 I\leq M\leq μ_2 I$ .最近这个问题被研究的“强制”的情况下$λc\le0$，可以预期的唯一性的解决方案，它被证实，解决方案集是更复杂的非强制方程。这一猜想在2015年由Arcoya、de Coster、Jeanjean和Tanaka通过利用问题的积分公式对发散形式的方程进行了验证。在这里，我们表明，类似的现象发生一般，甚至完全非线性，方程的nondivergence形式。我们使用基于最大值原理的不同技术。我们开发了一种新的方法来获得关键的一致的先验界，这允许我们使用度理论。这种方法是基于基本的正则性估计，如半Harnack不等式，并在Vázquez型强最大值原理为我们的方程。
2018-03-09 math.AP
Existence and (in)stability of standing waves for the nonlinear Schrödinger Equations on looping-edge graphs with $δ'$-type interactions
研究了环形边图上非线性薛定谔方程的行波解的存在性与轨道稳定性，利用隐函数定理建立了收敛于dnoidal型雅可比椭圆解的行波族，并结合扰动理论和Kre\uın- von Neumann扩展理论分析了稳定性。
2026-04-10 math-ph math.AP math.MP
Nonlinear Schrödinger Equations on looping-edge graphs with $δ'$-type interactions
Department of Mathematics, IME-USP（数学系，IME-USP）
本文研究了在含环边图上非线性薛定谔方程的行波解存在性及轨道稳定性，通过椭圆函数和尾部轮廓结合δ'型顶点条件，探讨了不同参数下的稳定性与存在性。
2026-04-20 math.AP
Multiplicity results in the non-coercive case for an elliptic problem with critical growth in the gradient
本文考虑边值问题\begin{equation} - Δu = λc(x)u+ μ(x) |\nabla u|^2 + h(x), \qquad u \in H^1_0(Ω) \cap L^{\infty}(Ω), \leqno{(P_λ)} \end{equation}，其中$Ω\subset \R^N, N \geq 3$是具有光滑边界的有界区域.假设对于某些$p > N$，$c\gneqq 0$、$c,h$属于$L^p(Ω)$。对于某些$μ_1 \in \R$，还包括$μ\in L^{\infty}(Ω)$和$μ\geq μ_1 >0$。已知当$λ\leq 0$时，问题$(P_λ)$至多有一个解。在本文中，我们研究，在各种假设下，结构的一组解决方案的$(P_λ)$假设$λ>0$。我们的研究揭示了这个问题的丰富结构。我们表明，特别是$λ=0$发生的影响，在所有的半空间$]0,+\infty[\times(H^1_0(Ω) \cap L^{\infty}(Ω))$的解决方案。我们的大多数结果是有效的，没有假设$h$有一个符号。如果我们要求$h$有一个符号，我们观察到，对于$h\gneqq 0$和$h\lneqq 0$，解的集合完全不同。我们还表明，当$h$有一个标志，没有这个标志的解决方案可能存在。还得到了符号解的一些唯一性结果。本文最后列出了一系列悬而未决的问题。
2015-09-21 math.AP
Normalized solutions to the mixed dispersion nonlinear Schrödinger equation in the mass critical and supercritical regime
本文研究了混合色散非线性薛定谔方程$$ γΔ^2 u -Δu + αu=|u|^{2 σ} u, \quad u \in H^2(\R^N), $$在约束$$ \int_{\R^N}|u|^2 \, dx =c>0. $$下解的存在性。我们假设$γ>0, N \geq 1, 4 \leq σN < \frac{4N}{(N-4)^+}$，而参数$α\in \R$将以Lagrange乘子的形式出现。在给定$c \in \R^+$的条件下，我们考虑了基态、正解和径向解的多重性等问题。我们还讨论了相应色散方程驻波的稳定性。
2018-11-29 math.AP
Orbital instability of standing waves for NLS equation on Star Graphs
研究了在一个顶点有$δ$相互作用的星图$Γ$（$N$的半直线粘在公共顶点上）上具有任意正幂非线性项的非线性薛定谔方程.相互作用的强度由固定值$α\in \mathbb{R}$定义。在Adami { \it et al.}的近期工作中，结果表明，对于$α\neq 0$，$Γ$上的NLS方程允许唯一的对称（关于边的排列）驻波，并且所有其他可能的驻波都是非对称的。对于$α<0$，证明了在具有次临界幂型非线性项的NLS方程中，唯一的对称驻波是轨道稳定的。本文分析了$α<0$和$α>0$的驻波稳定性。通过将Sturm理论推广到星图上的薛定谔算子，我们给出了每个驻波的Morse指数和简并指数的显式计数。对于$α<0$，我们证明了具有任意正幂非线性项的NLS方程中的所有非对称驻波都是轨道不稳定的。对于$α>0$，我们证明了所有驻波的轨道不稳定性。
2018-01-22 math-ph math.AP math.DS
Variational properties and orbital stability of standing waves for NLS equation on a star graph
研究了星图{ $\mathcal{G}$ }上非线性薛定谔方程的驻波，星图{$N$}是由半直线组成的.在顶点处发生相互作用，该相互作用由强度为$α\leqslant 0$的δ型边界条件描述。非线性是聚焦功率型的。动力学由形式为$ i \frac{d}{dt}Ψ_t = H Ψ_t - | Ψ_t |^{2μ} Ψ_t $的方程给出，其中$H$是产生线性薛定谔动力学的哈密顿算子。我们表明存在的几个家庭的驻波的每一个符号的耦合在顶点的每一个$ω> \frac{α^2}{N^2}$。此外，我们确定的基态，作为最小化的Nehari流形上的行动，并命令的各个家庭。最后，我们表明，基态是轨道稳定的每个允许的$ω$，如果非线性是亚临界或临界的，否则为$ω<ω^\ast$。
2014-08-08 math-ph math.AP math.MP
Standing waves of the quintic NLS equation on the tadpole graph
蝌蚪图由一个圆和一条连接在顶点上的半直线组成。本文研究了具有五次幂非线性项的非线性薛定谔方程的驻波问题，在方程的顶点处满足Neumann-Kirchhoff边界条件。具有频率$ω\in (-\infty,0)$的驻波的轮廓被表征为能量的二次部分被约束到$L^6$中的单位球的全局最小值。极小值集包括系统的基态集，它们是在恒定质量下能量的全局极小值（$L^2$ -范数），但它实际上更宽。虽然基态只存在于一定的质量间隔，驻波存在于每个$ω\in (-\infty,0)$，并对应于一个更大的质量间隔。结果表明，存在临界频率$ω_0$和$ω_1$，使得驻波是$ω\in [ω_0,0)$的基态，$ω\in (ω_1,ω_0)$的等质量能量的局部极小值，以及$ω\in (-\infty,ω_1)$的等质量能量的鞍点.证明利用变分方法和微分方程的分析理论。
2020-09-10 math-ph math.AP math.DS
Standing waves on a flower graph
一个花图由一条射线和在一个顶点上与$N \geq 2$相连的$N$对称环组成（如果$N = 1$，则称为蝌蚪图）。在三次非线性薛定谔方程的框架下，我们考虑了花图上的正单瓣态。我们的论文的主要新颖之处是严格的应用程序的周期函数的二阶微分方程对理解的对称性和分支的驻波度量图。我们发现，正的单瓣对称态（这是小的固定质量的能量基态）经历了一个分岔较大的质量，在这一点$(N-1)$分支的其他正的单瓣状态出现：每个分支有$K$较大的组件和$(N-K)$较小的组件，其中$1 \leq K \leq N-1$。结果表明，对于大的固定质量，只有含$K = 1$的分支代表能量的局部极小，而对于大的固定质量，基态能量不能达到。从周期函数得到的分析结果进行了数值说明。
2020-09-11 math-ph math.AP math.DS
Stability of periodic waves in the model with intensity--dependent dispersion
State University of Maringá（马里兰加州立大学）；McMaster University（麦克马斯特大学）
研究非线性薛定谔方程中强度依赖色散系数的驻波周期波，证明存在两种光滑周期波族，其能量-周期映射在homoclinic轨道内单调递增，外侧单调递减，通过数值分析得出两种波族在低频时能量稳定，但接近峰值波极限频率时不稳定。
2026-03-30 math.AP math.CA math.DS
