On the Karatsuba divisor problem
Vitalii V. Iudelevich
本文研究了Karatsuba除数问题，针对素数$p$与固定整数$a$的除数函数倒数之和$Φ_a(x)$，提出了其求和表达式的上界估计。
我们得到了求和$Φ_a(x) = \sum_{p\le x}1/(τ(p+a))$的上界，其中$τ(n)$是除数函数，$a\ge 1$是固定整数，$p$取遍不超过$x$的素数。
We obtain an upper bound for the sum $Φ_a(x) = \sum_{p\le x}1/(τ(p+a))$, where $τ(n)$ is the divisor function, $a\ge 1$ is a fixed integer, and $p$ run through primes up to $x$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On Karatsuba's Problem Concerning the Divisor Function $τ(n)$
本文研究了和$\sum\limits_{n\le x}\frac{\D τ(n)}{\D τ(n+a)}$的一个渐近行为。这里，$τ(n)$表示$n$的约数，并且$a\ge 1$是固定整数。
Karatsuba's divisor problem and related questions
本文证明了关于素数减一及平方数加一的除数函数倒数和的两个渐近公式，解决了 Karatsuba 除数问题及相关问题。
On Congruences with Products of Variables from Short Intervals and Applications
我们得到了在某些短区间上变元的$$ (x_1+s)...(x_ν+s)\equiv (y_1+s)...(y_ν+s)\not\equiv0 \pmod p $$模素数$p$型同余的解的个数的上界.我们给出了结果的一些应用，特别是改进了J.Cilleruelo和M. Z. Garaev关于指数同余和短区间积基数的一些双特征标和估计。Friedlander和H. Iwaniec和M. C. Chang和A. A.用除数函数对字符求和。
On the multiplicites of zeros of $ζ(s)$ and its values over short intervals
我们研究了重数$m(β+iγ)$的界，其中$β+iγ\,$（$β\ge \1/2, γ>0)$）表示$ζ(s)$的复零点.可以看出，这个问题可以减少到估计的zeta函数的积分在“非常短”的时间间隔。一个新的，明确的界限$m(β+iγ)$也推导出，这是相关的，当$β$是接近统一的。并对相关的Karatsuba结构进行了讨论。
Piltz divisor problem over number fields à la Voronoï
本文研究了数域上的Piltz除数问题，有时也称为广义Dirichlet除数问题.我们建立了一个类似于Voronoport公式的关于Dirichlet除数问题中误差项的恒等式。
A recursion for divisor function over divisors belonging to a prescribed finite sequence of positive integers and a solution of the Lahiri problem for divisor function $σ_x(n)$
对于有限的正整数序列$A=\{a_j\}_{j=1}^{k},$，我们证明了除数函数$σ_{x}^{(A)}(n)=\sum_{d|n,\enskip d\in A}d^x.$的一个递归式。作为推论，我们给出了D. B. Lahiri [3]：在$x=1.$的情况下，找到类似于经典五边形递归的除数函数$σ_x(n)$的恒等式
The divisor function and divisor problem
这一文本的目的是双重的。首先，我们讨论了涉及保罗Erd \H os（1913-1996），他的百年诞辰是今年的一些除数问题。第二部分讨论了除数问题的一些最新结果，并指出它们与$|ζ(\frac{1}{2}+it)|$的幂矩的关系。这是2013年7月1日至5日在布达佩斯举行的ERDOS 100会议上发表的演讲的扩展版本。
On binary and quadratic divisor problems
研究了除数函数与其他算术函数的移位卷积和。
Higher order divisor problems
证明了k-1元k次齐次多项式上平均的k重除数函数的一个渐近公式。
The divisor problem for binary cubic forms
研究了除数函数在完全可约的二元三次型值上的平均阶，并讨论了它的一些应用。
Divisor Problem and an Analogue of Euler's Summation Formula
用简单的初等方法，得到了除数问题余项的一个非常简单的表达式，并利用它得到了除数函数求和的Euler-Maclaurin模拟，同时得到了除数问题余项与黎曼ζ函数及其平方的近似函数方程的解之间的一个关系，其中自变量为正值.
A binary quadratic Titchmarsh divisor problem
考虑Titchmarsh除数问题的二元二次变式，给出了$\sum_{p^2+q^2\leq N} τ(p^2+q^2+1)$的一个渐近公式，其中$p,q$是素数.
A Weighted Divisor Problem
研究了一个加权除数函数$\mathop{{\sum}'}\limits_{mn\leq x}\cos(2πmθ_1)\sin(2πnθ_2)$，其中$θ_i (0<θ_i<1)$是一个有理数.将其与带同余条件的除数问题联系起来，建立了该问题的上界、均值、均方和一些幂矩。
On the large values of the Riemann zeta-function on short segments of the critical line
本文在黎曼假设的基础上，得到了黎曼ζ函数在临界线的很短段上模和幅角的一系列新的条件下界.特别地，给出了A.A.Karatsuba的一个问题的条件解.修正了以前版本的一些错别字（特别是考虑了Yan Fyodorov教授的重要评论）。还增加了对俄罗斯科学基金赠款的提及。
Uniform bounds of Piltz divisor problem over number fields
考虑数域上Piltz除数问题的上界. Piltz除数问题是Dirichlet除数问题的推广。我们在数域上处理这个问题，并在许多情况下改进了这个函数的误差项。我们的证明使用指数和的估计。作为应用之一，我们还对理想计数函数和相对$r$ -素格点给出了一致的结果。
Solutions to some sign change problems on the functions involving sums of divisors
本文针对 Pongsriiam 近期提出的涉及除数和函数的符号变化问题给出解答，填补了相关数论问题的研究空白。
A note on the binary additive divisor problem
本文证明了Motohashi和Meurman的方法在二进制加法除数问题的误差项上有相同的上界。有了这个目标，我们改进了Motohashi证明中的一个估计。
A Proof on Hypothesis of Dirichlet Divisor Problem
证明了$\triangle(X)=X^{1/4+ε(X)}$，$ε(X)=\frac{c}{\log\log X}$ .
Shifted convolution and the Titchmarsh divisor problem over F_q[t]
本文解决了解析数论中关于除数函数的自相关的经典问题在大有限域极限下的一个函数域模拟。
On the Dirichlet divisor problem in short intervals
我们提出了几个新的结果涉及$Δ(x+U)-Δ(x)$，其中$U = o(x)$和$$ Δ(x):=\sum_{n\le x}d(n)-x\log x-(2γ-1)x $$是在经典的Dirichlet除数问题的误差项。
Omega results for the divisor and circle problems
我们获得了两个经典格点问题中误差项的新的Ω结果。这些结果可能是最好的。
On a certain additive divisor problem
我们证明了一个渐近公式的一个变种的二元添加剂除数问题与线性因素的参数，它有一个节能的误差项，这是一致的所有涉及的参数。
On the $k$-free divisor problem
令$Δ^{(k)}(x)$表示$k\geq 2$的无$k$除数问题的误差项.本文对每个$k\geq 4.$建立了积分$\int_1^T|Δ^{(k)}(x)|^2dx$的渐近公式
The Piltz divisor Problem in Number Fields Using The Resonance Method
本文在数域上研究Piltz除数问题，通过推广Soundararajan的Voronoi型公式并应用第二作者的近期结果，成功获得了误差项改进的$\Omega-$界。
On the mean square of the error term for the two-dimensional divisor problem (I)
设$a$和$b$是两个固定的正整数，使得$(a,b)=1.$本文建立了一般二维除数问题的误差项$Δ_{a,b}(x)$均方的渐近公式.
A problem of Ramanujan, Erdos and Katai on the iterated divisor function
我们渐近地确定了log d（d（n））的极大序模，其中d（n）是n的正因子个数.这解决了拉马努金在1915年首次提出的问题。
Optimal Shifting Method in Dirichlet's divisor problem
本文提出一种新的方法研究Dirichlet除数问题，通过研究双曲线下的整数点，利用参数位移定义最优估计，获得经典除数问题的最佳估计。
On the mean square of the error term for the two-dimensional divisor problems(II)
令$Δ(a,b;x)$表示一般二维除数问题的误差项。本文研究离散均值$\sum_{n\leq T}Δ^2(a,b;n)$与连续均值$\int_1^TΔ^2(a,b;x)dx$之间的关系。
Omega Results for The Divisor and Circle Problems Using The Resonance Method
该研究将共振法用于获取带正系数的一般指数和的大值，改进了数论中多个经典问题的Ω界，包括除数问题、圆问题及zeta函数和L函数的均方误差问题。
Omega bounds for the Piltz divisor problem
本文通过结合共振论证与计数定理，在数域上改进了Piltz除数问题误差项的omega界，并去除了先前界中的三次迭代对数因子。
On a Smoothed Walfisz Divisor Problem
用除数函数σ替换Dirichlet除数函数τ，研究平滑Dirichlet除数问题，证明σ(n)加权和的显式渐近公式，从而消除经典平均阶中的困难部分，并推导Walfisz除数问题中误差项积分的收敛性。
On the binary additive divisor problem in mean
研究了经典加性除数问题的均值问题。我们感兴趣的主要条款，在这里是一个由Motohashi，但我们也给一个上界的情况下，主要条款是阿特金森。此外，我们指出，证明产生一个类似的上界移动卷积和傅里叶系数的一个固定的全纯尖点形式的平均。
Uniform Titchmarsh divisor problems
Titchmarsh型因子和的渐近公式得到的强误差项是一致的移位参数。这适用于更一般的算术函数，如两个平方和，改善了误差项的代表性的数字作为一个总和的素数和两个平方，和傅里叶系数的尖点形式，概括的结果皮特。
On the integral of the error term in the Dirichlet divisor problem
得到了几个结果有关的功能$Δ_k(x)$，它代表的误差项在一般狄利克雷除数问题。这些包括该函数的积分估计，以及相应的均方积分。详细研究了$Δ_2(x)$的均方积分。
The group ring of Q/Z and an application of a divisor problem
首先证明了群环Q/Z中的一些初等但有用的恒等式。我们的身份有潜在的应用，涉及法瑞分数的总和几个未解决的问题。在本文中，我们使用这些身份，连同一些解析数论和结果的因子在短的时间间隔，估计基数的一类集的基本利益。
A paucity problem associated with a shifted integer analogue of the divisor function
假设$θ$是无理数。于是，几乎所有可以被写为移位整数$n+θ$ $(n\in {\mathbb N})$的$k$倍积的元素$ν\in {\mathbb Z}[θ]$因此基本上被唯一地表示.
Subconvexity for the Riemann zeta-function and the divisor problem
给出了黎曼ζ函数的经典次凸性界$ζ(1/2+it) \ll_εt^{1/6+ε}$的一个简单证明，并讨论了用更精细的技巧进行估计的问题.分析了Dirichlet除数问题与$|ζ(1/2+it)|$均方之间的联系。
Divisor problems for restricted Fourier coefficients of modular forms
研究模形式的傅里叶系数的除数函数平均值，探讨整数次幂下的平均行为及角度约束条件下的贡献。
Dirichlet divisor problem on Gaussian integers
我们改进了现有的黎曼ζ函数的矩估计。因此，我们能够得到新的估计的渐近行为的$\sum_{N α\le x} \mathfrak{t}_k(α)$，其中$N$代表的一个复数的范数和$\mathfrak{t}_k$是$k$ -维除数函数的高斯整数。
Divisor problem in arithmetic progressions modulo a prime power
本文得到了等差数列$n \equiv a \pmod q$中整数$n \le x$上除数函数平均值的一个渐近公式，其中$q=p^k$对素数$p\ge 3$和充分大的整数$k$成立.特别地，我们打破了这类公式的经典障碍$q \le x^{2/3}$，推广了R.~ Khan（2015），使其在$k$中统一。
Exponential and infinitary divisors
我们的论文致力于修改因子领域的几个问题：即指数和无穷因子。我们研究了修改的因子，因子和和totient函数的行为。主要结果涉及的平均值和极值阶的显式估计的渐近行为。
A generalization of the Titchmarsh divisor problem
本文研究了整数k≥2的k-自由除数函数d^(k)(n)，推导出关于Titchmarsh除数问题的渐进行为公式，证明了该公式与非零整数a相关，并展示了其在算术函数类中的应用。
On some upper bounds for the zeta-function and the Dirichlet divisor problem
令$d(n)$表示$n$的约数，令$$ Δ(x) := \sum_{n\le x}d(n) - x(\log x + 2γ-1) $$表示经典Dirichlet除数问题中的误差项，令$ζ(s)$表示黎曼ζ函数.给出了$$ \int_0^TΔ^k(t)|ζ(1/2+it)|^{2m}dt \qquad(k,m\in\Bbb N) $$型积分的几个上界.这补充了论文的结果Ivić-Zhai [Indag. Math.2015]，其中为上述积分建立了$2\le k \le 8,m =1$的渐近公式。
On the generalised Dirichlet divisor problem
本文改进了广义 Dirichlet 除数问题中大 $k$ 情况下余项 $Δ_k(x)$ 的无条件估计，证明了 $Δ_k(x) \ll x^{1 - 1.889k^{-2/3}}$。
An induction principle for the Bombieri-Vinogradov theorem over $\mathbb{F}_q[t]$ and a variant of the Titchmarsh divisor problem
设$\mathbb{F}_q[t]$是有限域$\mathbb{F}_{q}$上的多项式环.对于算术函数$ψ_{1}, ψ_{2}: \mathbb{F}_{q}[t]\rightarrow\mathbb{C}$，我们建立了如果Bjerieri-Vinogradov型等分布结果对$ψ_{1}$和$ψ_{2}$成立，那么它也对它们的Dirichlet卷积$ψ_{1} \ast ψ_{2}$成立。作为应用，我们解决了一个版本的Titchmarsh除数问题在$\mathbb{F}_{q}[t]$。更精确地说，我们得到了$\mathbb{F}_q[t]$中两个素数的移位乘积上的除数函数的平均行为的渐近性。
On a problem of Pongsriiam on the sum of divisors, II
本文研究除数之和函数$σ(n)$，证明了满足$σ(30n+1)\geq σ(30n)$的正整数$n$的密度小于0.0371813，部分回答了Pongsriiam提出的问题。
On the distribution of the divisor function and Hecke eigenvalues
我们研究了除数函数在短区间和等差数列中的行为。后一个问题是最近研究的。Fouvry，S. Ganguly，E. Kowalski，and Ph. Michel.我们证明了他们的主要定理的一个补充结果。我们还表明，在一定长度的短间隔的除数函数具有高斯极限分布。Hecke特征值的类似问题也被考虑。
The Greatest Common Divisor of Multinomial Coefficients, or A Neat Little Number Theory Result
在研究流形的示性数时，我们注意到计算只是计算多项式系数的倍数。当时，我们对计算这些示性数的最大公因数感兴趣，由此产生了这个有趣且有趣的数论问题。在这篇简短的论文中，我将给出这个问题的答案，它给出了某些多项系数的最大公因数。
A Divisor problem for polynomials
刻画了一首一多项式多项式$f(x) \in \mathbb{Z}[x]$具有\[f(p) \mid f(p^{p}),~\text{for all sufficiently large primes }p \geq N(f). \]的性质，并给出了首一多项式$f(x) \in \mathbb{Z}[x]$对所有素数$p$满足$f(p) \mid f(p^{p})$的必要条件和充分条件.
On the Riemann zeta-function and the divisor problem IV
令$Δ(x)$表示Dirichlet除数问题中的误差项，$E(T)$表示$|ζ(1/2+it)|$的均方渐近公式中的误差项。如果$E^*(t) = E(t) - 2πΔ^*(t/(2π))$与$Δ^*(x) = -Δ(x) + 2Δ(2x) - {1\over2}Δ(4x)$，则证明$$ \int_0^T|E^*(t)|^3dt \ll_εT^{3/2+ε}, $$是（最多为“$ε$”的最佳可能），而$ζ(1/2+it) \ll_εt^{ρ/2+ε}$如果是$E^*(t) \ll_εt^{ρ+ε}$。
Sharp omega results for the divisor and circle problems
本文通过建立猜想中sharp的omega结果，并确定所获得的大值的符号，改进了Soundararajan以及Sourmelidis和Mahatab后续的独立改进，首次提升了Hafner在1981年对除数问题的Ω_+结果和圆问题的Ω_-结果。主要的新成分是一种共振方法，它直接与Voronoï求和公式中出现的相位工作，通过将通常的正核替换为单侧扇形核，即Gamma分布的密度，其傅里叶变换位于复平面上合适的扇形内。
On the general additive divisor problem
我们得到了一个新的上界$\sum_{h\le H}Δ_k(N,h)$为$1\le H\le N$，$k\in \N$，$k\ge3$，其中$Δ_k(N,h)$是（预期）的误差项的渐近公式$\sum_{N < n\le2N}d_k(n)d_k(n+h)$，和$d_k(n)$是除数函数产生的$ζ(s)^k$。当$k=3$的结果改善，为$H\ge N^{1/2}$，界在最近的工作\cite{[1]}拜尔，布朗宁，Marasingha和赵，谁处理的情况下$k=3$。
Combinatorial identities and Titchmarsh's divisor problem for multiplicative functions
给定素数上周期的乘法函数$f$，得到了移位卷积和$\sum_{|h|<n\leq x} f(n) τ(n-h)$的完全渐近展开式，其中$τ$表示除数函数，$h\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$表示移位卷积和.我们特别考虑$f$是广义除数函数$τ_z$与$z\in\mathbb{C}$的特殊情况，和两个平方和的特征函数（或更一般地说，理想规范的阿贝尔扩展）。作为另一个应用，我们推导出了广义Titchmarsh除数问题$\sum_{|h|<n\leq x,\,ω(n)=k} τ(n-h)$的完全渐近展开式，其中$ω(n)$计算$n$的不同素除数的个数，从而推广了Fouvry和Baugeri-Friedlander-Iwaniec的一个结果.我们提出了两种不同的证明：第一依赖于一个有效的组合公式的希斯-布朗的类型的除数函数$τ_α$与$α\in\mathbb{Q}$，和插值参数的$z$ -变量的加权平均值的$τ_z$。第二个是基于$τ_z$的Linnik型恒等式和易碎数的良好可因子分解性。
On the Riemann zeta-function and the divisor problem II
本文的第一部分发表在CEJM（2）（4）（2004），1-15。现在证明$$ \int_0^T|E^*(t)|^5{\rm d}t \ll_εT^{2+ε}. $$这里$$ E^*(t) = E(t) - 2πΔ^*(t/2π), Δ^*(x) = - Δ(x) +2Δ(2x) - {1\over2}Δ(4x), $$其中$E(t)$是$|ζ(1/2+it)|$的均方公式中的误差项，$Δ(x)$是狄利克雷除数问题中的误差项。它还示出了如何边界的时刻$|E^*(t)|$导致边界的时刻$|ζ(1/2+it)|$。
On the higher moments of the error term in the divisor problem
令$Δ(x)$表示Dirichlet除数问题中的误差项。我们的主要结果是渐近公式$$ \int_1^X Δ^3(x){\rm d}x = BX^{7/4} + O_ε(X^{β+ε}) \qquad(B > 0) $$和$$ \int_1^X Δ^4(x){\rm d}x = CX^2 + O_ε(X^{γ+ε}) \qquad(C > 0) $$与$β= 7/5, γ= 23/12$。这改进了值$β= 47/28, γ= 45/23$，因为K.- M.曾。证明了关于$Δ^3(x)$和$Δ^4(x)$在短区间上积分的一个结果。
On a Problem by Erdős and Mirsky on the ratio of the number of divisors of consecutive integers
针对Erdős和Mirsky关于连续整数因数个数之比的问题，研究了满足存在无穷多整数$n$使$\alpha=\log\frac{d(n+1)}{d(n)}$的实数$\alpha$集合的闭包$\mathcal{L}$，并给出其密度的改进下界。
On certain correlations into the divisor problem
该研究探讨了除数问题中无理数θ的狄利克雷误差项相关性，证明了在具有给定无理性度量函数ψ的情况下，去相关程度可由ψ⁻¹量化。
On the mean square of the zeta-function and the divisor problem
令$Δ(x)$表示Dirichlet除数问题中的误差项，$E(T)$表示$|ζ(1/2+it)|$的均方渐近公式中的误差项。如果$E^*(t) = E(t) - 2πΔ^*(t/2π)$与$Δ^*(x) = -Δ(x) + 2Δ(2x) - {1\over2}Δ(4x)$，则得到渐近公式$$ \int_0^T (E^*(t))^2 {\rm d} t = T^{4/3}P_3(\log T) + O_ε(T^{7/6+ε}), $$，其中$P_3$是首项系数为正的$\log T$的三次多项式.误差项中的指数7/6是该方法的极限。
Two-parameter Identities for Divisor Sums in Algebraic Number Fields
在与他丢失的笔记本一起发表的一页纸的片段中，拉马努金陈述了两个二重级数恒等式，分别与著名的高斯圆和狄利克雷除数问题相关。这些恒等式包含一个“额外”的参数，拉马努金可能是为了攻击这些著名的问题而推导出这些恒等式的。类似的著名未解决的问题与$f_K(n)$有关，$f_K(n)$是代数数域$K$中范数$n$的整理想的个数。本文建立了包含一个“额外”参数的涉及$f_K(n)$或与$K$相关的除数函数的Riesz和恒等式.当上指数趋于无穷大时，也建立了上界。
On Frobenius problem with restrictions on common divisors of coefficients
令$m,s,t$是正整数，其中$t\leq s-2$和$a_1,a_2,\ldots,a_s$是正整数，使得$(a_1,a_2,\ldots,a_{s-1})=1$。本文证明了每一个足够大的正整数都可以写成$a_1μ_1+a_2μ_2+\ldots+a_sμ_m$的形式，其中正整数$μ_1,μ_2,\ldots,μ_s$没有大于$1$的正整数的$m$次幂的公约数，但$μ_1,μ_2,\ldots,μ_n$的值的每一个$t$都有大于$1$的正整数的$m$次幂的公约数.此外，我们表明，每一个足够大的正整数可以写为一个正整数$μ_1,μ_2,\ldots,μ_n$的总和，没有公约数是$m$ -次幂的正整数大于$1$，但每个$s-1$的值的$μ_1,μ_2,\ldots,μ_s$有一个公约数是$m$ -次幂的正整数大于$1$。
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