Omega results for the divisor and circle problems
Kannan Soundararajan
我们获得了两个经典格点问题中误差项的新的Ω结果。这些结果可能是最好的。
We obtain new omega results for the error terms in two classical lattice point problems. These results are likely to be the best possible.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Omega bounds for the Piltz divisor problem
本文通过结合共振论证与计数定理，在数域上改进了Piltz除数问题误差项的omega界，并去除了先前界中的三次迭代对数因子。
Omega Results for The Divisor and Circle Problems Using The Resonance Method
该研究将共振法用于获取带正系数的一般指数和的大值，改进了数论中多个经典问题的Ω界，包括除数问题、圆问题及zeta函数和L函数的均方误差问题。
Sharp omega results for the divisor and circle problems
本文通过建立猜想中sharp的omega结果，并确定所获得的大值的符号，改进了Soundararajan以及Sourmelidis和Mahatab后续的独立改进，首次提升了Hafner在1981年对除数问题的Ω_+结果和圆问题的Ω_-结果。主要的新成分是一种共振方法，它直接与Voronoï求和公式中出现的相位工作，通过将通常的正核替换为单侧扇形核，即Gamma分布的密度，其傅里叶变换位于复平面上合适的扇形内。
Omega Theorems for The Twisted Divisor Function
对于一个固定的$θ\neq 0$，我们定义扭曲除数函数$$ τ(n, θ):=\sum_{d\mid n}d^{iθ}\ .$$在这篇文章中，我们考虑以下渐近公式$$ \sum_{n\leq x}^*|τ(n, θ)|^2=ω_1(θ)x\log x + ω_2(θ)x\cos(θ\log x) +ω_3(θ)x + Δ(x),$$中的误差项$Δ(x)$，其中$i=1, 2, 3$的$ω_i(θ)$是仅依赖于$θ$的常数。我们得到$$Δ(T)=Ω\left(T^{α(T)}\right) \text{ where } α(T) =\frac{3}{8}-\frac{c}{(\log T)^{1/8}} \text{ and } c>0,$$以及一个$Ω$ -界的勒贝格措施的一组点，上述估计举行。
Global numerical bounds for the number-theoretic omega functions
本文给出了数论中ω和Ω函数均值与log log n之差的全局显式最优常数数值界。
An improvement on Gauss's Circle Problem and Dirichlet's Divisor Problem
本文利用 Bombieri-Iwaniec 方法，通过导出第一个间距问题的新估计并结合 Huxley 关于第二个间距问题的结果，对 Gauss 圆问题和 Dirichlet 除数问题提出了改进。
Moments of an exponential sum related to the divisor function
我们使用圆的方法来获得紧界的$L^p$范数的指数和涉及除数函数的$p > 2$。
On the distribution of the error terms in the divisor and circle problems
本文研究解析数论经典误差项的分布，重点改进 Dirichlet 除数问题余项 $Δ(x)$ 与概率模型分布的差异估计，确定其大偏差形状，并将结果推广至 Gauss 圆问题及 Riemann zeta 函数二阶矩误差项。
On the distribution of additive twists of the divisor function and Hecke eigenvalues
我们获得了渐近与$\int_0^1|\sum_{n\le X} d(n)e(nα)|^sdα$的$s < 2$，其中$d(n) = \sum_{d | n} 1$是除数函数的节能误差项。我们也得到这样的渐近$\int_0^1|\sum_{n\le X}λ_f(n)e(nα)|^sdα$的所有$s > 0$。我们证明了一种重复应用Jutila变式圆法和Voronoi求和的迭代法.
Moment estimates for the exponential sum with higher divisor functions
我们得到了量$\int_0^1 \bigg|\sum_{n\le X}τ_k(n)e(nα)\bigg|dα$的渐近解，其中$τ_k(n) = \sum_{d_1\dots d_k = n} 1$ .这是圆方法的快速应用的结果。一路上，我们发现劣弧界的指数和与$τ_k$，高时刻的狄利克雷内核和渐近。
Mean square of zeta function, circle problem and divisor problem revisited
本文围绕 zeta 函数均方、圆问题与除数问题，通过改进 [BW17] 第 4 节相关方法，给出其定理 3 的新结果。
A Montgomery-Hooley theorem for the k-fold divisor function
令$d_k(n)$表示$k$倍除数函数.对于广泛的大$q$的预期绑定$$\sum_{n\leq x\atop {n\equiv a(q)}}d_k(n)-\text { main term }\approx \sqrt {x/q}$$被证明是真实的，在平均意义上-所有$k$。这概括了Pongsriiam和Vaughan [15]研究$k=2$的工作，并回答了Rodgers和Soundarajan [17]的工作，他们使用渐近大筛来研究问题的平滑版本。我们使用Goldston和Vaughan [7]开发的圆方法来研究非光滑问题。
Two-parameter Identities for Divisor Sums in Algebraic Number Fields
在与他丢失的笔记本一起发表的一页纸的片段中，拉马努金陈述了两个二重级数恒等式，分别与著名的高斯圆和狄利克雷除数问题相关。这些恒等式包含一个“额外”的参数，拉马努金可能是为了攻击这些著名的问题而推导出这些恒等式的。类似的著名未解决的问题与$f_K(n)$有关，$f_K(n)$是代数数域$K$中范数$n$的整理想的个数。本文建立了包含一个“额外”参数的涉及$f_K(n)$或与$K$相关的除数函数的Riesz和恒等式.当上指数趋于无穷大时，也建立了上界。
Apollonius circles and the number of irreducible factors of polynomials
我们提供的非常数不可约因素，出现在一个多项式$f(X)\in\mathbb{Z}[X]$的典型分解的多重性的总和的上界，在所有的$f$的根的情况下，位于阿波罗纽斯圆与两个点的实轴上的整数横坐标$a$和$b$，与这些点的距离的比率取决于$f(a)$和$f(b)$的容许因子。特别是，我们得到这样的上界的情况下，$f(a)$和$f(b)$有几个素因子，和$f$是Eneström-Kakeya多项式，或Littlewood多项式，或有一个大的首项系数。类似的结果也得到了多元多项式在任意领域，在非阿基米德设置。
Fibonacci, Dirichlet, and Gauss in a single sum
研究分数部分和\(\sum_{k = 1}^{n}\{F_n/F_k\}\)，其渐近行为因\(n\)奇偶性而异，奇数\(n\)对应高斯圆问题，偶数\(n\)对应狄利克雷除数问题，还证明了二阶递推数列类似公式。
Lattice points in elliptic paraboloids
利用$d\ge3$考虑了$\mathbb{R}^d$中一类椭圆抛物面对应的格点问题，证明了期望是最优指数，改进了以往的结果.这对于$d=3$尤其明显，因为即使对于球体，最优指数也是分形的。我们还处理的情况下$d=2$的某些方面，得到一个简单的抛物区域的$Ω$ -结果是未知的经典圆和除数问题。
Lattice points in large regions and related arithmetic functions: Recent developments in a very classic topic
这是一篇关于大平面域和三维及三维以上物体中格点理论的综述文章，重点是最近的发展和新方法，包括许多仅在过去几年中建立的结果。它涉及经典的圆和球的问题，以及与目前国家的最先进的有关格点在更一般的地区和机构。此外，对除数问题和有关的算术函数作了详尽的说明。
Arithmetic of higher-dimensional orbifolds and a mixed Waring problem
研究了当$D$是涉及超平面的$\mathbb{Q}$ -因子时，高维orbifold $(\mathbb{P}^{n-1},D)$上有理点的密度.这使我们能够解决一个问题的谷本关于是否设置的有理点这样的orbifold构成一个薄集。我们的方法依赖于Hardy-Littlewood圆方法来首先研究混合幂的Waring问题的渐进版本。在这样做，我们作出了至关重要的使用最近决议的主要猜想在维诺格拉多夫的中值定理，由于Bourgain-Demeter-Guth和伍利。
New pathways and connections in Number Theory and Analysis motivated by two incorrect claims of Ramanujan
我们把注意力集中在拉马努金丢失的笔记本中的三页，即第336页、第335页和第332页，注意力从高到低依次排列。在第336页，拉马努金提出了两个恒等式，但公式是错误的--每个都被发散级数破坏了。我们只集中在两个不正确的“身份”，这可能是为了攻击扩展的除数问题。本文证明了Ramanujan错误主张的一个修正版本，它包含了其中出现的收敛级数，Ramanujan错误主张中的收敛级数与G.F. Voronoi，G.H. Hardy等人在研究经典Dirichlet除数问题时提出的。第335页包括两个公式，具有双重无穷级数的贝塞尔函数，第一个是与经典的圆问题发起的高斯，第二个是与狄利克雷除数问题。第一和第四作者，随着孙金，写了几篇论文提供证明这两个困难的公式在不同的解释。在本专题中，我们将回到这两个公式，并在更一般的设置中检查它们。Voronoi求和公式在我们的研究中表现突出。特别地，我们推广了J.R. Wilton的方法，并导出了一个涉及因子和函数$σ_s(n)$的类似物.本文还建立了涉及修正Bessel函数和修正Lommel函数的新的级数恒等式和积分恒等式。在其他结果中，我们建立了一个模块化的变换无穷级数涉及$σ_{s}(n)$和修改的Lommel功能。本文定义并讨论了两类新的相关的积分变换，我们称之为Koshliakov变换，因为N. S. Koshliakov首先发现了每一个优雅的特殊情…
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