Note on the Type II codes of length $24$
Shoyu Nagaoka, Manabu Oura
本文给出了长度为$24$的自对偶码和双偶码（简称II型码）的重量计数子的一种特殊表示.因此，我们提出了一些同余关系之间的重量枚举。
We express the weight enumerators of self-dual and doubly even (Type II for short) codes of length $24$ with a specified basis. As a consequence, we present some congruence relations among the weight enumerators.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A note on hook length formulas for trees
在这个简短的说明中，我们讨论最近的结果挂钩长度公式的树木统一一些早期的结果，并解释挂钩长度公式自然与家庭越来越多的标签树。
A note on cycle lengths in graphs of chromatic number five and six
本文证明了每一个非完全$(k+1)$ -临界图都含有模$k$的所有长度的圈，其中$k=4,5$ .
Note on islands in path-length sequences of binary trees
拓扑有序（字典）路径长度序列的二叉树的早期表征重新制定在一个完整性条件的缩放卡夫和某些连续性（全段，或岛屿）。缩放的Kraft和被看作是计算一组拓扑连续的叶子在一定水平上的祖先集合是一棵二叉树。
A note on heterochromatic cycles of length 4 in edge-colored graphs
设$G$是边有色图. $G$的异色循环是其中每两个边缘具有不同颜色的循环。对于顶点$v\in V(G)$，令$CN(v)$表示分配给与$v$关联的边的颜色集合。本文证明了$G$包含一个长为4的异色圈，如果对$G$的每对顶点$u$和$v$，$G$都有$n\geq 60$顶点和$|CN(u)\cup CN(v)|\geq n-1$.这扩展了Broersma等人关于存在长度为3或4的异色圈的结果。
A note on the number of edges in a Hamiltonian graph with no repeated cycle length
设$G$是一个$n$ -顶点图，它是通过给一个长度为$n$的圈加上弦而得到的. Markström询问如果$G$中没有两个具有相同长度的循环，则$G$中的最大边数。一个简单的计数参数表明，这样的图最多可以有$n + \sqrt{2n} +1 $边。利用$\mathbb{Z}_n$中的差集，我们证明了对无穷多个$n$，存在一个$n$ -顶点哈密顿图，它有$n + \sqrt{n - 3/4} - 3/2$边且没有重复圈长.
A note on hook length equidistribution on arithmetic progressions
本注记针对分拆中t-钩在同余类上的分布问题，补充证明了t=1即所有钩长的情形满足渐近等分布，完善了相关研究结论。
A note on palindromic length of Sturmian sequences
Frid，Puzynina and Zamboni（2013）将有限字$w$的回文长度定义为连接等于$w$的回文的最小数量。对于一个无限的词$u$，我们研究$PL_{u}$，也就是说，分配给每个正整数$n$，长度$n$的因素在$u$的最大回文长度的功能。最近，Frid（2018）证明了$\limsup_{n\to\infty} PL_{u}(n)=+\infty$适用于任何Sturmian词$u$。我们证明了存在一个常数$K>0$，使得对于每个Sturmian词$u$，$PL_{u}(n)\leq K\ln n$，并且对于每个具有性质$\lim_{n\to\infty}f(n)=+\infty$的非减函数$f$，存在一个Sturmian词$u$，使得$PL_{u}(n)=O(f(n))$ .
A Note on the Stanley Distribution
理查德·斯坦利证明了在长度为n的随机置换中，随机变量“最大上下子序列的长度”的集中化/规范化版本是渐近正态的。我们超越，并提出了一个更精确的渐近公式的时刻。
A Note on Subgroup Perfect Codes in Cayley Graphs
本文给出有限群子群为完美码的充要条件，并据此确定超特殊2-群及西罗2-子群为超特殊的有限群的所有子群完美码。
A Note on the Asymptotic Least Density of Covering Codes in $[q]^n$
本文重新审视了Krivelevich、Sudakov和Vu对[q]^n中半径为R的覆盖码渐进最小密度上界的研究，通过在核心定理中使用略有不同的优化方法，改进了其上界。
A note on $\overline{2}$-separable codes and $B_2$ codes
我们得到一个简单的证明，基于信息论不等式，$q$ -ary $\overline{2}$ -可分离码的最大速率的上界，改进了最近的结果王任何$q\geq 13$。对于$q=2$的情形，我们恢复了Lindström的一个结果，但推导过程要简单得多。该方法很容易扩展到给界$B_2$代码，虽然没有改善王的结果，使用更简单的工具，并可能是有用的，为未来的应用。
A note on extremal digraphs containing at most $t$ walks of length $k$ with the same endpoints
设$n,k,t$为正整数。在一个有向图中，在$n$顶点上，最多有$t$长度为$k$且端点相同的不同游动的弧的最大数目是多少？本文证明了当$k\ge n-1\ge \max\{2t+1,2\left\lceil \sqrt{2t+9/4}+1/2\right\rceil+3\}$时，最大数等于$n(n-1)/2$，且极有向图是传递竞赛图。在此基础上，我们可以确定$k\ge \max\{2t+1,2\left\lceil \sqrt{2t+9/4}+1/2\right\rceil+3\}$和$n$的最大数和极有向图是充分大的，推广了已有的结果.还提出了一个猜想。
A note on uniform intersecting families with maximum transversal size
我们构造了一个横截尺寸为$\lceil \frac{k+1}{2} \rceil$，长度为$k+1$的相交$k$ -族，并研究了它的一些性质.我们用这个族证明了$q(4) = 9$。我们还为$k = 2^m - 1$构建了一个$k$ -家族，其长度为$2k+1$，横向尺寸至少为$(2k+1)/3$ .
A note on $t$-designs in isodual codes
本文利用扩展二元二次剩余码及其对偶码构造了3-设计，为组合设计理论提供了新的构造方法。
Abelian Ramsey Length and Asymptotic Lower Bounds
本技术说明的目的是评估一个渐近下界的阿贝尔拉姆齐长度。
A note on the asymptotics of the number of O-sequences of given length
我们查看长度为$n$的$O$序列的数量$L(n)$。回想一下，$O$ -序列可以代数地定义为标准分次$k$ -代数的希尔伯特函数，或者组合地定义为多重复形的$f$ -向量。受Huneke的启发，交换代数学家Enkosky和Stone在最近的一篇论文中首次研究了序列$L(n)$。在本文中，我们通过一个很短的划分理论论证，显著地改进了它们的上界和下界。特别是，事实证明，适当的正常数$c_1$和$c_2$和所有$n>2$，$$e^{c_1\sqrt{n}}\le L(n)\le e^{c_2\sqrt{n}\log n}.$$它仍然是一个开放的问题，以确定一个精确的渐近估计$L(n)$。
A note on binary completely regular codes with large minimum distance
本文对长度为$n$的二进制纠错完全正则码进行了分类，给出了最小距离为$δ>n/2$的二进制纠错完全正则码的分类结果.
A note on the Assmus--Mattson theorem for some binary codes II
令$C$为四权重二进制码，其具有全部一个向量。此外，我们假设$C$支持$t$ -设计的所有权重从Assmus-Mattson定理。我们以前表明，$t\leq 5$。在本文中，我们显示了类似的情况下，五，六重量码的结果。
A note on Barker sequences of even length
巴克序列是所有非平凡非周期自相关为0、1或-1的二进制序列。唯一已知的巴克序列具有长度2、3、4、5、7、11或13。这是一个古老的猜想，不再巴克序列存在，事实上，有一个压倒性的证据，这一猜想。对于奇数长度的二进制序列，这个猜想是正确的，而对于偶数长度，它仍然是开放的，是否存在偶数长度大于4的巴克序列。类似于众所周知的事实，巴克序列的奇数长度必然是斜对称的，我们表明，在偶数长度的情况下，也有一种形式的对称性，虽然较弱。为了利用这种对称性，我们推导出不同的公式计算的非周期相关。用初等方法证明了不存在具有$C_{1}=C_{3}=\cdots=C_{\frac{n}{2}-1}$的偶数长度n>4的Barker序列，其中$C_{k}$表示序列的$k$次非周期自相关.
A Note on the Number of Permutations whose Cycle Lengths Are Prime Numbers
令$A$是自然数的集合，并且令$S_{n,A}$是$[n]=\{1,2,...,n\}$的具有属于$A$的循环长度的所有置换的集合。对于$A(n)=A\cap [n]$，极限$ρ=\lim_{n\to\infty}\mid A(n)\mid/n$（如果存在）通常称为集合$A$的密度。(Here $\mid B\mid$代表集合$B$的基数。）多项研究表明，基数$\mid S_{n,A}\mid$（如$n\to\infty$）的渐进行为取决于密度$ρ$。结果表明，在$\mid S_{n,A}\mid$的渐近分析中，假设$ρ>0$起着至关重要的作用. Kolchin（1999）注意到，缺乏对满足$ρ=0$的置换类的研究，并提出了对某些特定情况的研究。本文考虑循环长度为素数的置换，即假定$A=\mathcal{P}$，其中$\mathcal{P}$表示所有素数的集合。根据素数定理，可以得出这类置换的$ρ=0$。我们推导出求和函数$\sum_{k\le n}\mid S_{k,\mathcal{P}}\mid/k!$的渐近公式为$n\to\infty$。在我们的证明中，我们采用经典的Hardy-Littlewood-Karamata Tauberian定理。
A note on Beckett-Gray codes and the relationship of Gray codes to data structures
本文介绍了一种源自塞缪尔·贝克特戏剧《四重奏》的自然数学结构。我们称这种结构为二进制贝克特-格雷码。我们列举了所有的代码为$n \leq 6$和$n=7,8$的例子。Beckett-Gray码可以实现为队列数据结构的连续状态。我们表明，二进制反射格雷码可以实现为两个堆栈数据结构的连续状态。
A note on Assmus--Mattson type theorems
本文给出了码与格的Assmus-Mattson型定理.我们发现，一个二元双偶自对偶码的长度为24米，最小重量为4米提供了一个组合1-设计和一个甚至幺模格秩为24米，最小范数为2米提供了一个球形3-设计。我们注意到，一些这样的代码和格给t-设计更高的t。作为推论，我们给出了长度为24 m，最小重量为4 m的二元双偶自对偶码的重量计数元的一些限制条件。也给出了三元和四元类似物。
A note on the linkage construction for constant dimension codes
在随机线性网络编码中，常维码被用于差错控制，因此构造具有大基数的常维码在过去的十年中得到了广泛的关注。在这里，我们改进了所谓的联动建设。推广了含有提升MRD码的等维码的已知上界。
A note on full weight spectrum codes
如果存在每个非零权重小于或等于$ n $的码字，则线性$ [n,k]_q $码$ C $被称为全权重谱（FWS）码。在这个简短的通信中，我们确定了线性$ [n,k]_q $全权谱（FWS）码存在的充分必要条件。我们的方法的核心是线性码的几何视图，其中生成矩阵的列对应于$ PG(k-1,q) $中的点。
A note on the rainbow Turán number of brooms with length 2 handles
本文纠正了关于长度为2的柄的雨伞图的雨伞Turán数的原始证明错误，并为特定同余类的极值构造提供了特征化。
A Note on the Inheritance of the Isometry-Dual Property under Puncturing AG Codes
考虑AG码序列在一组求值点$P_1,\dots,P_n$处求值仅在定义点$Q$处具有极点的函数，其中码序列满足等距对偶条件（即，同时包含原始码和它们的对偶码）。我们证明了一个必要条件，在此条件下，在取出一些评价点（即打孔），所得到的AG码仍然可以满足等距对偶性质。这个条件与$Q$的Weierstrass半群的所谓最大稀疏理想有关。
A note on long cycles in sparse random graphs
令$L_{c,n}$表示$G(n,{c}/{n})$中最长循环的大小，$c>1$为常数。我们证明存在连续函数$f(c)$，使得$ L_{c,n}/n \to f(c)$ a.s.对于$c\geq 20$，从而将作者和Frieze的结果推广到更小的$c$值。此后，对于$c\geq 20$，我们确定$G(n,c/n)$包含其最短和最长循环长度之间的每个长度的循环的概率极限为$n\to \infty$。
A note on the Assmus--Mattson theorem for some binary codes
我们以前提出了第一个非平凡的例子，一个代码支持$t$ -设计的所有权重从阿斯姆斯-马特森定理和支持$t'$ -设计的一些权重与一些$t'>t$。这表明推广Assmus-Mattson定理的可能性，该定理在设计和编码理论中非常重要。在本文中，我们推广了这个例子，加强了Assmus-Mattson定理沿这一方向。作为推论，我们给出了扩展Golay码$\mathcal{G}_{24}$的一个新的特征.
A note on the order of iterated line digraphs
给定一个有向图$G$，我们提出了一种新的方法来求$k$ -迭代线有向图$L^k(G)$的顶点数$n_k$的递归方程，对于$k\geq0$，其中$L^0(G)=G$ .我们利用$G$的商有向图$π(G)$的极小多项式得到了这个结果。我们展示了一些例子，这种方法适用于所谓的循环Kautz，单循环，和无环有向图。在第一种情况下，我们的方法给出了任何长度的三元长度-2 squarefree字的枚举。
A note on the maximum number of $k$-powers in a finite word
\emph{power}是$\underbrace{uu...u}_{k \; \text{times}}$形式的字，其中$u$是字，$k$是正整数;幂也称为{ \em $k$ -幂}，$k$是它的{ \em指数}。我们证明，对于任何$k \ge 2$，不同的非空$k$ -功率因子在一个字的长度$n$的最大数量是在$\frac{n}{k-1}-Θ(\sqrt{n})$和$\frac{n-1}{k-1}$。我们还证明了在一个长度为$n$的字中，指数至少为2的不同非空幂因子的最大数目至多为$n-1$。这两个上界都推广了Brlek和Li（2022）关于长度$n$字中不同平方因子的最大数量的$n-1$的最近上界。
Note on the residue codes of self-dual $\mathbb{Z}_4$-codes having large minimum Lee weights
本文证明了长度为$24k$的自对偶$\mathbb{Z}_4$ -码的剩余码$24k+8$）和最小Lee权重$8k+4 \text{ or }8k+2$（分别$8k+8 \text{ or }8k+6$）是对每个正整数$k$的二元极值双偶自对偶码。利用上述特征构造了一些新的长度为$24$和最小Lee重量为$10$的自对偶$\mathbb{Z}_4$ -码.这些码是在该长度的所有I型$\mathbb{Z}_4$码中具有最大最小Lee权重和最大欧几里得权重的I型$\mathbb{Z}_4$码。此外，还发现了新的极值Ⅱ型$\mathbb{Z}_4$ -码，其长度为$56$.
A Complete Classification of Ternary Self-Dual Codes of Length 24
三进制自对偶码的分类长度可达20。在长度为24时，已知只有极值自对偶码的分类。本文利用24维奇幺模格的分类方法，给出了长度为24的三进制自对偶码的一个完全分类。
A Note on Linear Complementary Pairs of Group Codes
本文给出了一个简短而初等的证明：对于线性互补对$(C,D)$，其中$C$和$D$是群代数中的$2$边理想，$D$由$C$唯一确定，且对偶码$D^\perp$与$C$置换等价.这包括Carlet等人和Güneri等人关于nD循环码的早期结果，这些结果已经在多项式空间中通过精细而冗长的计算得到了证明。
A note on regular subgroups of the automorphism group of the linear Hadamard code
我们考虑线性Hadamard码的自同构群的正则子群。这些子群对应于$GA(r,2)$的正则子群，其中$n=2^r-1 $是Hamadard码的长度。我们证明了二面体群$D_{2^{r-1}}$是$GA(r,2)$的正则子群，仅当$r=3$。按照\cite{M}的方法，我们研究了由长度为15的Hadamard码的自同构群的正则子群得到的Hamming码的正则子群。
A note on short minimal codes from subgeometries
针对已有学者证明的射影空间子几何构造特定参数线性极小码的结论，本文利用射影平面小阻塞集理论，对q>9的奇数情形给出该结论的简短证明。
A note on plane partition diamonds
本文证明了平面分拆钻石计数函数及其多项式部分的新公式，该函数表示长度为k的n的平面分拆钻石数量。
A note on graphs without short even cycles
证明了任意n-顶点图不含长度不超过2k的偶数圈，其边数不超过1/2（n^{1 + 1/k}）+ O（n），广义多边形的极性图证明了当k = 2，3，5时，这是渐近紧的.
A note on the minimum distance of quantum LDPC codes
基于MacKay，Mitchison和Shokrollahi提出的Cayley图，给出了一类量子LDPC码的最小距离的一个新下界.我们的界是指数的，改进了Couvreur，Delfosse和Zémor的二次界。这个结果是通过检查超立方体的局部满足某些奇偶性条件的子集族得到的。
Properties of perfect transitive binary codes of length 15 and extended perfect transitive binary codes of length 16
给出了长度为15的完全传递二元码和长度为16的扩展的完全传递二元码的一些性质，以供参考。
A note on the Assmus--Mattson theorem for some ternary codes (a resume)
本文研究二和三重三元码，基于 Assmus--Mattson 定理证明其导出的 $t$-设计满足 $t \leq 5$，并以此给出（扩展）三元 Golay 码的新刻画。
On the Residue Codes of Extremal Type II Z4-Codes of Lengths 32 and 40
在本文中，我们确定了长度为32和40的极值II型Z4-码的剩余码的维数。我们证明了每一个长度为32的二进制双偶自对偶码都可以实现为某些极值II型Z4码的剩余码。它还表明，有一个唯一的极值II型Z4码的长度为32，其剩余码具有最小的尺寸6等价。结果，构造了许多新的长度为32和40的极值II型Z4-码。
Extremal Type II $\mathbb{Z}_4$-codes constructed from binary doubly even self-dual codes of length $40$
本文证明了长度为$40$的二元双偶自对偶码都可以实现为某些极值II型$\mathbb{Z}_4$ -码的剩余码。因此，它表明，至少有$94356$不等价的极值II型$\mathbb{Z}_4$ -码的长度$40$。
The lengths of projective triply-even binary codes
证明了不存在长度为$59$的二元投射三偶码。这解决了投射三偶-偶二进制码的最后一个开长度。因此，对于长度$15$、$16$、$30$、$31$、$32$、$45$和$\ge 60$，精确地存在射影三偶二进制码。
Classification of ternary maximal self-orthogonal codes of length 25
本文对长度为25的三元最大自正交码进行了完整分类，扩展了此前长度至24的分类结果。
Classification of self-dual codes of length 36
本文给出了长度为36的二元自对偶码的一个完全分类。
New extremal binary self-dual codes of lengths 64 and 66 from bicubic planar graphs
本文研究了连通三次平面二部图及其相关的二元自对偶码。利用这些图的面-点关联矩阵得到了长度为16的二元自对偶码。通过考虑它们到环R_2的提升，构造了新的长度为64的极值二元自对偶码作为Gray象。更准确地说，我们构造了15个长度为64的新代码。此外，通过对二进制码进行构造，得到了10个长度为66的新码。这些重量枚举码构造的第一次在文献中。将结果制成表格。
On the maximum size of variable-length non-overlapping codes
本文通过建立变长与定长非重叠码的联系，证明长度至多 n 的 q 元变长非重叠码规模以 C(n,q) 为上界，并给出码字平均长度下界及渐近结果。
A complete classification of doubly even self-dual codes of length 40
给出了长度为40的二元双偶自对偶码的一个完全分类。作为结果，还给出了长度为38的二元极值自对偶码的分类。
No projective 16-divisible binary linear code of length 131 exists
我们证明了不存在长度为131的射影16-可分二进制线性码。这意味着几个改进的上界为常数维码，用于随机线性网络编码，和部分扩展。
Classification of quaternary Hermitian self-dual codes of length 20
给出了长度为20的四元厄米特自对偶码的一种分类。利用这一分类，还给出了长度为22的极值四元厄米特自对偶码的分类。
A note on small weight codewords of projective geometric codes and on the smallest sets of even type
本文研究了射影几何码中最小权重码字的分类及最小偶类型集，提供了已知结果的简短证明。
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