Bi-Lipschitz quasiconformal extensions
Katsuhiko Matsuzaki
本文综述了将实直线拟对称同胚延拓为上半平面双曲度量下双Lipschitz微分同胚的多种方法。
我们综述了将实直线的拟对称同胚延拓为上半平面关于双曲度量双Lipschitz微分同胚的若干方法。
We survey several methods of extending quasisymmetric homeomorphisms of the real line to bi-Lipschitz diffeomorphisms of the upper half-plane with respect to the hyperbolic metric.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Lipschitz continuity of quasiconformal mappings and of the solutions to second order elliptic PDE with respect to the distance ratio metric
本文主要研究一类$(K, K')$ -拟共形映射关于距离比度量的Lipschitz连续性，以及一类拟线性微分方程解关于距离比度量的Lipschitz连续性.
Bi-Lipschitz characteristic of quasiconformal self-mappings of the unit disk satisfying bi-harmonic equation
设$f$是单位圆盘$\mathbb{D}$的一个$K$ -拟共形自映射，它满足：$(1)$，双调和方程$Δ(Δf)=g$ $(g\in \mathcal{C}(\overline{\mathbb{D}}))$，（2）边界条件$Δf=φ$（$φ\in\mathcal{C}(\mathbb{T})$和$\mathbb{T}$表示单位圆），以及$(3)$ $f(0)=0$ .本文证明了$f$是Lipschitz连续的，并进一步证明了当$\|g\|_{\infty}$和$\|φ\|_{\infty}$足够小时，它是双Lipschitz连续的.此外，估计是渐近尖锐的$K\to 1$，$\|g\|_{\infty}\to 0$和$\|φ\|_{\infty}\to 0$，因此，这样的映射$f$表现得几乎像足够小的$K$，$\|g\|_{\infty}$和$\|φ\|_{\infty}$的旋转。
Quasiconformal harmonic mappings between Dini's smooth Jordan domains
设$D$和$Ω$是具有Dini光滑边界的Jordan域，$f:D\mapsto Ω$是调和同胚.本文的目的是证明如下结果：如果$f$是拟共形的，则$f$是Lipschitz的.这推广了最近的一些结果，其中对边界施加了更强的假设，并且在某种程度上是最优的，因为它与平面上共形映射的Lipschitz行为和极小曲面的共形参数化的最佳条件相一致。
Quasiconformal maps with controlled Laplacian
我们建立了单位圆盘$\ID$的$w$到$C^2$ -Jordan整环$Ω$上的每一个$K$ -拟共形映射都是Lipschitz的，只要对某些$p>2$有$Δw\in L^p(\ID)$.我们还证明，如果在这种情况下，$K\to 1$与$\|Δw\|_{L^p(\ID)}\to 0$，和$Ω\to \ID$在$C^{1,α}$ -意义上与$α>1/2,$，然后为Lipschitz常数的界限趋于$1$。此外，我们提供了一个拟共形模拟的Smirnov绝对连续性结果的边界。
On harmonic quasiconformal quasi-isometries
本文的目的是探讨调和映射的Lipschitz连续性的条件。拟双曲度量例如，我们证明了调和拟共形映射是Lipschitz w.r.t.拟双曲度量
The boundary behaviour of $K$-quasiconformal harmonic mappings
本文首先讨论了$K$ -拟共形调和映射的Lipschitz特征和线性测度偏差。然后利用调和映射的Pre-Schwarzian给出了径向John圆的一些特征。
Ahlfors's quasiconformal extension condition and $Φ$-likeness
$Φ$ -like函数的概念被认为是单叶性的充要条件。应用这一思想，我们得到了单位圆盘上的解析函数不仅是单叶函数而且是黎曼球面的拟共形扩张的几个必要条件和充分条件，作为著名的单叶函数和拟共形扩张准则，特别是Ahlfors的拟共形扩张条件的推广.
Quasiconformal planes with bi-Lipschitz pieces and extensions of almost affine maps
准平面$f(V)$是${\Bbb R}^N$（$1\leq n\leq N-1$）的$n$维欧几里德子空间$V$在准共形映射$f:{\Bbb R}^N\to{\Bbb R}^N$下的像.利用弱拟对称常数给出了拟平面是双Lipschitz $n$ -流形和拟平面具有${\Bbb R}^n$的大块双Lipschitz象的充分条件.这些结果的一个主要新颖之处是，我们分析任意余维$N-n$的准平面。为了建立大片段准则，我们证明了“几乎仿射”映射的新的扩张定理，这是独立的兴趣。这项工作是有关调查Tukia和Väisälä的扩展准对称地图的小失真。
On quasiconformal extensions of harmonic mappings associated with pre-Schwarzian derivative
本文将Ahlfors关于解析函数的单叶判别准则和拟共形扩张推广到单位圆盘上的调和映射。此外，我们给出了调和Teichmüller映射的一个一般拟共形扩张，其最大伸缩估计是渐近尖锐的.
Quasiconformal extension fields
考虑映射微分域的扩张，得到了拟共形扩域的一个拓扑度能量下界。我们还考虑了相关的极小化问题的$q$ -调和能量，并表明，能量极小承认更高的可积性。
Quasiconformal Extensions of Harmonic Univalent Mappings of the Unit Disk
本文研究单位圆盘内调和单叶映射的拟共形延拓条件，证明调和强星形映射可延拓至全平面并给出显式延拓函数，同时探讨圆盘外调和映射的可延拓性。
Univalence Criteria and Quasiconformal Extensions
本文给出了单位圆盘U上解析函数单叶的一个更一般的条件。此外，我们还得到了主要结果的拟共形扩张准则的一个改进。
Quasiconformal extension for harmonic mappings on finitely connected domains
本文证明了定义在平面上的一个非连通区域上的调和拟共形映射，如果其Schwarzian导数很小，且其边界分量都是点或拟圆，则它允许拟共形扩张到整个平面.我们还观察到调和映射的一个单叶准则在一致区域上成立。
Loewner chain and quasiconformal extension of some classes of univalent functions
本文得到了单位圆盘上或单位圆盘外的几类共形映射在扩充复平面上的拟共形扩张。其中一些扩展已获得通过构建合适的Loewner链和其他已获得通过应用一个众所周知的结果。
Some generalizations on the univalence of an integral operator and quasiconformal extensions
利用Loewner链的方法，建立了由积分算子定义的函数解析和单叶的充分条件。同时，我们利用Beckers方法将结果改进为一个拟共形扩张准则。
Chordal Loewner chains with quasiconformal extensions
1972年，贝克尔[J. Reine Angew. Math.255（1972），23-43]发现了利用经典径向Loewner链的拟共形扩张的构造。在本文中，我们开发了一个弦模拟贝克尔的建设。作为应用，我们建立了全纯函数的拟共形可拓性的新的充分条件，并给出了Becker和Pommerenke关于半平面上函数的一个著名结果的简化证明[J. ReineAngew. 354（1984），74-94]。
Quasiconformal Extensions to Space of Weierstrass-Enneper Lifts
本文给出了单位圆盘上一类调和映射的Weierstrass-Enneper提升在三维空间的拟共形延拓。这种扩展是基于空间的纤维化，由域中的圆和图像以自然的方式相互对应。凸性在分析中起着至关重要的作用。作为推论，我们得到了圆盘中调和映射为单叶的一个充分条件，并对扩张平面作了明确的拟共形扩张，推广了著名的Ahlfors-Weill公式.
Criteria for univalence and quasiconformal extension of harmonic mappings in terms of the Schwarzian DERIVATIVE
证明了：如果单位圆盘上的复值局部单叶调和映射$f$的Schwarz范数足够小，则$f$确实是全局单叶的，并且可以推广到扩充复平面上的拟共形映射.
Quasiconformal extensions, Loewner chains, and the lambda-Lemma
1972年，J. Becker [J. Reine Angew. [Math.255]发现了Loewner链拟共形可扩的一个充分条件。由这个结果可以推出单位圆上全纯函数的拟共形可拓性的许多已知条件。基于Slodkowski的扩展λ引理，我们给出了Becker结果的新证明（推广）。此外，我们的特点是所有拟共形扩展所产生的贝克尔的（经典）建设和使用，以获得的例子中，贝克尔的扩展是极值（即最佳的意义上的最大扩张），或相反，未能极值。
Loewner theory for quasiconformal extensions: old and new
本文综述了单叶函数的拟共形扩张，并从Teichmüller理论以及基于Loewner理论的经典和现代方法中得到了它的理论背景。
On asymptotically sharp bi-Lipschitz inequalities of quasiconformal mappings satisfying inhomogeneous polyharmonic equations
设$f$是$K$ -拟共形的（$(K,K')$ -quasiconformalresp.）单位盘$\mathbb{D}$的自映射，它满足下列条件：$(1)$，非齐次多调和方程$Δ^{n}f=Δ(Δ^{n-1} f)=φ_{n}$ $(φ_{n}\in \mathcal{C}(\overline{\mathbb{D}}))$，（2）边界条件$Δ^{n-1}f|_{\mathbb{T}}=φ_{n-1},~\ldots,~Δ^{1}f|_{\mathbb{T}}=φ_{1}$（$φ_{j}\in\mathcal{C}(\mathbb{T})$表示$j\in\{1,\ldots,n-1\}$和$\mathbb{T}$的单位圆），和$(3)$ $f(0)=0$，其中$n\geq2$是整数，$K\geq1$（分别为$K'\geq0$）。本文的主要目的是证明$f$是Lipschitz连续的，并进一步证明当$\|φ_{j}\|_{\infty}$对于$j\in\{1,\ldots,n\}$来说足够小时，它是双Lipschitz连续的.此外，估计是渐近尖锐的$K\to 1$（$K'\to0$ resp.）以及对于$j\in\{1,\ldots,n\}$的$\|φ_{j}\|_{\infty}\to 0$，并且因此，这样的映射$f$表现得几乎像对于足够小的$K$（$K'$ resp.）和用于$j\i…
Univalence and quasiconformal extension of an integral operator
本文给出了由积分算子定义的函数的解析性和单叶性的几个充分条件。接下来，我们改进的结果的准共形扩张准则的帮助下的贝克尔的方法。进一步，给出了新的单价准则以及与其它结果的重要关系。一些已知的univalence条件将遵循专门化的参数参与我们的主要结果。
Lipschitz spaces and harmonic mappings
在\cite{kamz}中，作者证明了当两个Jordan域为凸域时，每个具有$C^{1,α}$，$0<α\le 1$，边界的拟共形调和映射都是双Lipschitz的.本文避免了凸性的限制。更确切地说，我们证明：证明了两个Jordan域$Ω_j$，$j=1,2$之间的拟共形调和映射是双Lipschitz的，其中边界为$C^{j,α}$，$j=1,2$.
A Lewy-type theorem for pluriharmonic mappings in $\C^2$ and bi-Lipschitz quasiconformal harmonic maps
本研究证明了$\mathbb{C}^2$中多重调和一一映射的实雅可比行列式非零的四维Lewy型定理，还给出了调和拟共形同胚为双Lipschitz映射的判定准则。
Boundedness, univalence and quasiconformal extension of Robertson functions
本文给出了λ-Robertson函数的几个结果，即在单位盘$D$上定义的解析函数$f$满足$D$中的$f(0) = f'(0)-1=0$和$Re e^{-iλ} {1+zf"(z)/f'(z)} > 0$，其中$λε(-π/2,π/2)$。我们将讨论Robertson函数的有界性和拟共形扩张的条件。在最后一节中，我们利用Löwner链理论给出了Robertson函数的单叶性的另一个证明。
Criteria for univalence and quasiconformal extension for harmonic mappings on planar domains
如果$Ω$是$\overline{\mathbb C}$中的单连通区域，那么根据Ahlfors-Gehring定理，$Ω$是拟圆盘当且仅当存在一个充分条件，使得$Ω$中的全纯函数的单叶性与它们的Schwarzian导数的增长性有关。通过证明拟圆上的一个单叶性准则，我们将这一定理推广到调和映射。我们还证明了满足这一准则的映射允许$\overline{\mathbb C}$的同胚扩张，并且在$Ω$中的拟共形的附加假设下，它们允许$\overline{\mathbb C}$的拟共形扩张. Ahlfors-Gehring定理已经由Osgood，Beardon和Gehring推广到半连通域$Ω$，他们证明了在$Ω$中存在一个Schwarzian的单叶性准则当且仅当$\partialΩ$的分支是点或拟圆。我们把这个定理推广到调和映射。
Area distortion under meromorphic mappings with nonzero pole having quasiconformal extension
设$Σ_k(p)$是定义在$\mathbb{D}$上的单叶亚纯函数类，其$k$ -拟共形扩张到扩充复平面$\widehat{\mathbb{C}}$，其中$0\leq k < 1$ .令$Σ_k^0(p)$是函数类$f \in Σ_k(p)$，其在$\mathbb{D}$上具有形式$f(z)= 1/(z-p) + \sum_{n=1}^{\infty}b_n z^{n}$的展开。在这篇文章中，我们得到了$Σ_k^0(p)$中函数的尖锐面积畸变和加权面积畸变不等式。作为所得结果的结果，我们提出了一个尖锐的估计的界限的希尔伯特变换。
Quasiconformal extension of meromorphic functions with nonzero pole
本文考虑单位圆盘上的亚纯单叶函数$f(z)$，它的单极点在$z=p\in(0,1)$上，且对扩张复平面$\hat{\mathbb C},$有$k$-拟共形扩张，其中$0\leq k < 1$.我们用$Σ_k(p)$表示这类函数。我们首先证明了这类函数的面积定理。其次，我们得到了单位圆盘上单极点在$z=p\in(0,1)$的亚纯函数属于类$Σ_k(p)$的一个充分条件。最后，我们给出了$Σ_k(p)$类中函数的卷积性质。
Quasiconformal extension of strongly spirallike functions
我们证明了对于$-π/2<λ<π/2$和具有$|λ|<πα/2.$的$0<α<1$，一个强$λ$ -螺旋函数可以推广到复平面的一个$\sin(πα/2)$ -拟共形自同构。本文给出了$α.$阶强$λ$ -螺状域的几个几何特征，并给出了标准强$λ$ -螺状域的映射函数的具体形式。$α.$级螺旋状结构域$U_{λ,α}$本研究的一个关键工具是$λ$ -辐角的概念，它是由Y. C.金与作者
Area Theorems and Quasiconformal Extensions of Harmonic Mappings with a Pole
本文针对单位圆盘中具有单极点且允许对数奇异性的单叶调和映射，建立了广义面积定理，并给出了显式k-拟共形延拓的充分条件。
The $p$-Weil-Petersson Teichmüller space and the quasiconformal extension of curves
对于$p >1$，我们考虑了平面上的$p$-Weil-Petersson曲线空间$γ$与实直线上的$u=\log γ'$的$p$空间之间的对应关系.我们证明了由热核定义的Beurling-Ahlfors扩张的变体产生了$u$在$p$ -Besov空间到$p$ -可积Beltrami系数空间的域上的全纯映射.这特别给出了从$p$ -可积Beltrami系数空间到$p$ -Weil-Petersson Teichmüller空间的Teichmüller投影的整体实解析截面。
On some results for meromorphic univalent functions having quasiconformal extension
本文研究了在$\ID$上的单叶亚纯函数$f$在$z=p\in[0,1)$上具有单极点且留数为1.设$Σ_k(p)$是$Σ(p)$中的函数类，它们对扩展复平面$\sphere$ %具有$k$ -拟共形扩张，其中$q=\frac{1+k}{1-k}$，其中$0\leq k < 1$ .我们首先给出了这类函数的一个表示公式，并利用这个公式得到了$Σ_k(p)$类函数的Laurent系数的一个渐近估计。然后给出了$Σ(p)$中函数属于$Σ_k(p).$类的一个充分条件，最后得到了$Σ(p)$中函数的一个尖锐失真结果，并由此得到了$Σ_k(p).$中函数的一个失真估计
Univalent functions with quasiconformal extensions: Becker's class and estimates of the third coefficient
本文研究了单位圆盘$\mathbb D$中的单叶函数$f(z)=z+a_2z^2+a_3z^3+\ldots$可拓成$k$ -q. c. $\mathbb C$的（=拟共形）自同构。特别是，我们回答了一个问题，估计$|a_3|$提出的Kühnau和Niske [数学。78（1977）185-192]。这是我们在研究允许q.c.的单叶函数时得到的结果之一。扩展通过一个建设，基于Loewner的参数表示方法，由于贝克尔[J. Reine Angew.数学。255（1972）23-43]。我们考虑的另一个问题是找到最大的$k_*\in(0,1]$，使得$\mathbb D$中的每个单价函数$f$具有一个$k$ -q.c.用$k\leqslant k_*$扩展$\mathbb C$，也允许Becker q.c.-扩展，可能具有更大的扩张上限。证明了$k_*>1/6$ .此外，我们表明，在某些情况下，贝克尔的扩展原来是最佳的。也就是说，给定任何$k\in(0,1)$，对于每个有限Blaschke积，在$\mathbb D$中对应于一个单叶函数$f$，它允许Becker $k$ -q. c。延伸，但无$k'$ -q.c.使用$k'<k$扩展$\mathbb C$。
Ruscheweyh's univalence criterion and quasiconformal extensions
Ruscheweyh延长工作贝克尔和Ahlfors的充分条件规范化的解析函数的单位磁盘是单叶有。本文利用Becker方法将结果改进为一个拟共形扩张准则。作为应用，对Ruscheweyh提出的一个公开问题给出了肯定的回答.
Radial extension of a bi-Lipschitz parametrization of a starlike Jordan curve
本文讨论了星形Jordan曲线$γ$的双Lipschitz参数化$F(e^{it})=f(t)$的径向扩张$w$。至0我们表明，如果参数化是bi-Lipschitz，那么扩展是bi-Lipschitz，因此拟共形。如果$γ$是单位圆，则为$\mathrm{Lip}(f)=\mathrm{Lip}(F)=\mathrm{Lip}(w)=K_w$。若$γ$不是以原点为中心的圆，且$F$是$γ$的极参数化，则证明了$\mathrm{Lip}(f)=\mathrm{Lip}(F)<\mathrm{Lip}(w)$ .
An N-dimensional version of the Beurling-Ahlfors extension
将单调拟共形映射从n维推广到n+1维，同时保持单调性和拟共形性。通过一个积分算子显式地给出了扩展。在n=1的情况下，它产生Beurling-Ahlfors扩张的一个改进。
Quasiconformal Extension of Meromorphic Functions with High-Order Poles
本文研究了单位圆盘内具高阶极点且可拟共形延拓的亚纯单叶函数类，通过面积定理和卷积方法建立广义面积型不等式及成员条件，推广卷积定理并改进相关现有结果。
Evolution dynamics of conformal maps with quasiconformal extensions
研究了泛Teichmüller空间$T$上的单参数曲线和嵌入到$T$中的齐性空间$M=\Diff S^1/\Rot S^1$上的单参数曲线.其结果是，我们推导出共形映射的发展方程，承认拟共形扩展，特别是，使相关的quasidisks有界的光滑Jordan曲线。给出了粘性流体Hele-Shaw流动的一些应用。
Loewner chains with quasiconformal extensions: an approximation approach
由Bracci、Contreras、Díaz-Madrigal和Gumenyuk提出的Loewner理论中的一种新方法提供了Loewner方程的径向和弦向版本的统一处理。在这个框架下，广义Loewner链满足微分方程$$ \partial_{t}f_{t}(z) = (z - τ(t))(1-\overline{τ(t)}z)\partial_{z}f_{t}(z)p(z,t), $$，其中$τ: [0,\infty) \to \overline{\mathbb{D}}$是可测的，$p$被称为Herglotz函数。本文证明了如果存在一个$k \in [0,1)$使得$p$对所有$z \in \mathbb{D}$和几乎所有$t \in [0,\infty)$都满足$$ |p(z,t) - 1| \leq k |p(z,t) + 1| $$，则$f_{t}$对所有$t \in [0,\infty)$都有$k$ -拟共形扩张到整个黎曼球面.径向情况（$τ=0$）和弦状情况（$τ=1$）已由Becker [J. Reine Angew.数学. \textbf{255}（1972），23-43]和Gumenyuk和作者（数学. Z. \textbf{285}（2017），no.3，1063- 1089）。在我们的定理中，没有对$τ\in \overline{\mathbb{D}}$施加多余…
Quasiconformal Jordan domains
我们将经典的Carathéodory扩张定理推广到拟共形Jordan域$( Y, d_{Y} )$。称度量空间$( Y, d_{Y} )$是拟共形Jordan域，如果$( Y, d_{Y} )$的完备化$\overline{Y}$有有限Hausdorff $2$ -测度，边界$\partial Y = \overline{Y} \setminus Y$与$\mathbb{S}^{1}$同胚，且存在一个在几何意义下拟共形的同胚$ϕ\colon \mathbb{D} \rightarrow ( Y, d_{Y} )$.我们证明了$ϕ$有一个连续的，单调的，满射的扩展$Φ\colon \overline{ \mathbb{D} } \rightarrow \overline{ Y }$。这个结果在这个一般性中是最好的。另外，我们还得到了$Φ$是拟共形同胚的一个充要条件.我们提供了充分条件的限制$Φ$ $\mathbb{S}^{1}$是一个准对称和$\partial Y$是双Lipschitz等价于一个准圆在平面上。
On the maximal dilatation of quasiconformal minimal Lagrangian extensions
给定圆的一个拟对称同胚$φ$，Bonsante和Schlenker证明了双曲平面的最小拉格朗日扩张$f_φ:\mathbb{H}^2\to\mathbb{H}^2$的存在唯一性.根据作者以前的工作，它的最大伸缩满足$\log K(f_φ)\leq C||φ||$，其中$||φ||$表示交比范数.通过研究两个单参数极小Lagrange扩张族的最大伸缩和交比范数，给出了最优常数$C$的值的约束条件，并讨论了可能的下不等式.
Ahlfors-Weill extensions for harmonic mappings
对于定义在单位圆盘上且Schwarz导数足够小的调和映射，给出了$\overline{\mathbb{C}}$的拟共形扩张的两个新公式。它们都是全纯函数的Ahlfors-Weill扩张的推广。
On the Uniqueness of the Norton-Sullivan Quasiconformal extension
该研究证明了Norton-Sullivan扩展映射是将实数上的bi-Lipschitz函数扩展到上半平面上的拟共形函数的唯一方式，且发现其他扩展形式属于该群作用的轨道。
Maximal surfaces in Anti-de Sitter space, width of convex hulls and quasiconformal extensions of quasisymmetric homeomorphisms
给出了三维Anti-de Sitter空间中极大非正曲率曲面的主曲率的上界，它只依赖于曲面的凸包的宽度.此外，给出了一个拟对称同胚$ϕ$，研究了$ϕ$作为Anti-de Sitter空间无穷远边界上的一条曲线的凸包的宽度与$ϕ$的交比范数之间的关系.作为应用，证明了若$ϕ$是$\mathbb{R}\mathrm{P}^1$的具有交比范数的拟对称同胚，则有$||ϕ||$，其中$K$是$ϕ$的最小拉格朗日扩张到双曲平面的最大扩张.
Extension of boundary homeomorphisms to mappings of finite distortion
本文给出了实直线或圆的同胚分别在上半平面或圆盘上扩张到有限畸变映射的充分条件。此外，我们可以保证扩张的拟共形伸缩满足一定的可积性条件，如$p$ -可积性或指数可积性。满足后一个可积条件的映射也被称为大卫同胚。我们的扩展运算符与Beurling和Ahlfors在其著名作品中使用的扩展运算符相同。我们证明了拟共形扩张的Beurling-Ahlfors扩张的同胚的实直线，在其对称失真函数的最佳界。更具体地说，拟共形伸缩的上界是对称失真函数的平均值，下界是对称失真函数本身。因此，拟共形扩张的Beurling-Ahlfors扩张同胚的实线是（次）指数可积，是$p$ -可积，或有一个$BMO$优，当且仅当对称失真是（次）指数可积，是$p$ -可积，或有一个$BMO$优，分别。这些定理都是新的，并调和了过去已经建立的几个充分扩张条件。
Optimal extension of Lipschitz embeddings in the plane
证明了单位圆在平面上的每一个双Lipschitz嵌入都可以推广到单位圆盘上的一个双Lipschitz映射，且所涉及的常数都有线性界.这回答了Daneri和Pratelli提出的一个问题。此外，每一个Lipschitz嵌入的循环延伸到Lipschitz同胚的平面，再次与一个线性界的常数。
Symmetrization and extension of planar bi-Lipschitz maps
我们证明了，每一个中心对称的双Lipschitz嵌入到平面的圆可以扩展到一个全球的双Lipschitz映射的平面上的失真的线性界限。这回答了Daneri和Pratelli在中心对称映射的特殊情况下提出的一个问题。对于一般的双Lipschitz嵌入，我们的失真界具有线性和立方增长的组合，这改善了先前的结果。证明涉及双Lipschitz映射的对称化结果，这可能是独立的利益。
Strongly symmetric homeomorphisms on the real line with uniform continuity
本文研究拟共形Teichmüller理论中出现在调和分析方面的实直线的强对称同胚。这类元素的特征在于它可以拟共形地扩展到上半平面，使得它的复伸缩导致消失的Carleson测度。然而，与单位圆上的情形不同，实直线上的强对称同胚在复合或反演下都不保持。在本文中，我们提出了这两种情况之间的区别和联系。特别是，我们表明，如果一致连续性假设为强对称同胚的实数线，那么它们被保存这些操作。我们还表明，一致连续的重心扩张导致消失的Carleson测度，所以这样做的组成和逆的上半平面的拟共形同胚。
Beurling-Ahlfors extension by heat kernel, ${\rm A}_\infty$-weights for VMO, and vanishing Carleson measures
研究了由热核卷积给出的实直线的拟对称同胚的Beurling-Ahlfors扩张的一个变形，证明了强对称同胚的拟共形扩张（即其导数是对数为VMO的${\rm A}_\infty$ -权）的复扩张在上半平面上诱导出一个消失的Carleson测度.
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