Planar Disjoint Shortest Paths is Fixed-Parameter Tractable
本文证明平面不相交最短路径问题在正边权条件下是固定参数可解的，并给出运行时间为 $2^{O(k\log k)}\cdot n^{O(1)}$ 的算法，其参数依赖优于不要求最短路径的平面不相交路径问题。
2025-05-06 cs.DS
A subexponential parameterized algorithm for Directed Subset Traveling Salesman Problem on planar graphs
在参数化算法领域有许多所谓的"平方根现象“的例子：许多最基本的图问题，由一些自然参数$k$参数化，当限制到平面图时变得明显更简单，特别是最佳可能的运行时间在$O(\sqrt{k})$中是指数的，而不是$O(k)$（模标准复杂性假设）。我们考虑一个经典的优化问题子集旅行商，我们被要求访问所有的终端$T$的最小重量封闭行走。我们在平面图中研究了这个问题的参数化复杂性，其中终端数$k=|T|$被视为参数。我们表明，子集TSP可以解决的时间$2^{O(\sqrt{k}\log k)}\cdot n^{O(1)}$，即使在边加权有向平面图。这改进了Klein和Marx [SODA 2014]的算法，具有相同的运行时间，仅适用于具有多项式大整数权重的无向平面图。
2022-09-30 cs.DS
Towards single face shortest vertex-disjoint paths in undirected planar graphs
给定图$G$中的终端$\{(s_{1}, t_{1}), \ldots, (s_{k}, t_{k})\}$的$k$对，最小和$k$顶点不相交路径问题是找到具有最小总长度的顶点不相交路径的集合$\{Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{k}\}$，其中$Q_{i}$是$s_i$和$t_i$之间的$s_i$到$t_i$的路径。我们考虑的问题，在平面图中，很少有人知道计算的易处理性，即使在限制的情况下。Kobayashi和Sommer提出了无向平面图中$k \le 3$的多项式时间算法，假设所有终端最多与两个面相邻。Colin de Verdiere和Schrijver给出了一个多项式时间算法，当所有的源都在一个面的边界上，所有的汇都在另一个面的边界上，并询问是否存在多项式时间算法，只要所有的终端都在一个公共面上。当$\{(s_{1}, t_{1}), \ldots, (s_{k}, t_{k})\}$在一个公共面上按逆时针方向排列时，我们给出了无向平面图的$O(kn^5)$时间算法.
2015-07-21 cs.DS
Planar Disjoint Paths, Treewidth, and Kernels
本文研究平面不相交路径的核化复杂性，证明以 k 为参数时无多项式核及多项式 Turing 核，同时给出以 k+树宽为参数的多项式核，并导出匹配已知界的参数算法。
2023-07-13 cs.DS
The Parameterized Complexity of the Survivable Network Design Problem
对于著名的可生存网络设计问题（SNDP），我们给出了一个带边代价的无向图$G$，一个终端顶点集$R$，以及对每个终端对$s,t\in R$的整数需求$d_{s,t}$.任务是计算$G$的最小代价子图$H$，使得$H$中$s$和$t$之间至少存在$d_{s,t}$不相交路径。如果要求路径是边不相交的，我们得到边连通性变体（EC-SNDP），而内部顶点不相交的路径导致顶点连通性变体（VC-SNDP）。另一个重要的情况是元素连接变体（LC-SNDP），其中路径在边缘和非终端上不相交。在这项工作中，我们阐明了上述问题的参数化的复杂性。我们考虑几个自然参数，其中包括解决方案的大小$\ell$，需求$D$，终端$k$的数量和最大需求$d_\max$的总和。使用简单，优雅的参数，我们证明了以下结果。- 我们给出了一个完整的图片的三个变量w.r.t.的参数化的易处理性。参数$\ell$：EC-SNDP和LC-SNDP都是FPT，而VC-SNDP是W[1]-hard。- 我们确定了VC-SNDP的一些特殊情况，即FPT：* 当$d_\max\leq 3$用于参数$\ell$时，* 在局部有界树宽图上（例如，平面图），以及 * 在树宽$\ell$的图上，参数$tw+D$。- 著名的有向斯坦纳树（DST）问题可以看作是有向图上带有$d_\max=1$的单源EC-SNDP，并且是由$k$参数化的FPT […
2022-11-08 cs.DS
Improved Approximation for Node-Disjoint Paths in Planar Graphs
我们研究了经典的节点不相交路径（NDP）问题：给定一个$n$ -顶点图$G$和一个由称为需求对的$G$的顶点对组成的集合$M=\{(s_1,t_1),\ldots,(s_k,t_k)\}$，找到连接需求对的节点不相交路径的最大基数集. NDP是最基本的路由问题之一，已经得到了广泛的研究。尽管如此，在我们对它的近似性的理解上仍然存在很大的差距：$O(\sqrt n)$的近似比的最佳上限是通过一个简单的贪心算法实现的，而目前最好的否定结果表明，在标准复杂性假设下，对于任何常数$δ$，该问题都没有比$Ω(\log^{1/2-δ}n)$更好的近似。即使对于平面图，也没有更好的近似算法，据我们所知，最好的负界是APX-硬度。也许最大的障碍，以获得更好的近似算法的NDP是，目前已知的近似算法，这类问题依赖于标准的多商品流松弛，其完整性差距是$Ω(\sqrt n)$的NDP，即使在平面图。本文突破了$O(\sqrt n)$对平面图中NDP问题的可逼近性的限制，得到了一个$\tilde O(n^{9/19})$ -逼近。我们引入了一个新的线性规划松弛的问题，和一些新的技术，我们希望这将有助于设计更强大的算法和相关问题。
2016-03-17 cs.DS
Planar Disjoint-Paths Completion
介绍了不相交路径问题的一个完备化对应{ \sc Planar Disjoint Paths Completion}，并研究了它的参数化复杂性。这个问题可以表述如下：给定一个不一定连接的平面图$G,$ $k$终端对，以及$G,$的面$F$，找到一个最小尺寸的边集，如果存在的话，添加到$F$内部，使得嵌入保持平面，并且这些对通过增强网络中的$k$不相交路径连接。我们的结果是双重的：首先，我们给出了一个上限的必要额外的边缘时，解决方案存在的数量。其次，我们证明了该问题是固定参数的易处理问题，特别是，它可以在时间$G.$上求解
2015-11-17 cs.DS math.CO
A Tight Lower Bound for Edge-Disjoint Paths on Planar DAGs
(see本文证明了边不相交路径问题是W[1]-难参数化的，即使输入图是平面有向无环图（DAG）。这回答了Slivkins的一个问题（ESA '03，SIDMA '10）。此外，在指数时间假设（ETH）下，我们证明了没有$f(k)\cdot n^{o(k)}$算法的平面DAG上的边不相交的路径，其中$k$是终端对的数量，$n$是顶点的数量和$f$是任何可计算的功能。即使图的最大入度和最大出度都至多为$2$，我们的硬度仍然成立。我们的结果表明，$n^{O(k)}$的Fortune等。（TCS '80）的边缘不相交的道路上的算法是渐近紧的，即使我们增加了一个额外的限制的平面性。作为该结果的一个特例，我们得到了平面有向图上的边不相交路是W[1]-难参数化的，其参数是终端对的个数$k$.这回答了Cygan等人（FOCS '13）和Schrijver（pp. 417-444，Building Bridges II，'19），并完成了平面有向图和平面无向图上的不相交路径问题的边和顶点版本的参数化复杂性状态的景观。
2021-01-26 cs.DM cs.DS
Parameterized Algorithms for Upward Planarity
我们获得了新的参数化算法的经典问题，确定是否有向无环图承认一个向上的平面绘图。我们的研究结果包括一个新的固定参数的算法参数化的源的数量，一个XP算法参数化的树宽，和一个固定参数的算法参数化的树深。所有这三种算法都是使用一种新的框架，结合SPQR树分解与参数化技术的问题。我们的方法统一和推动超越以前的易处理性结果的问题上的串并联有向图，单源有向图和外平面有向图。
2022-03-10 cs.CG cs.DS
An Approximation Algorithm for Fully Planar Edge-Disjoint Paths
对于边不相交路径问题的最大化问题，如果供给图和需求边构成一个平面图，我们设计了一个常数因子的近似算法。通过平面对偶，这等价于平面图中的包装切割，使得每个切割仅包含一个需求边。我们还表明，自然的线性规划松弛有恒定的完整性差距，产生一个近似的最大多流最小多割定理。
2020-01-06 cs.DM cs.DS math.CO
Parameterized Algorithms for Maximum Cut with Connectivity Constraints
本文研究了\textsc{Maximum Cut}的两个变体，我们称之为\textsc{Connected Maximum Cut}和\textsc{Maximum Minimal Cut}。在这些问题中，给定一个未加权图，目标是计算满足某些连通性要求的最大割。这两个问题都是NP完全的，即使在平面图上，而平面图上的\textsc{Maximum Cut}在多项式时间内是可解的。我们首先证明了这些问题是NP-完全的，即使在平面二部图和分裂图。然后，我们给出了参数化算法，使用图的参数，如树的宽度，树的宽度，和双覆盖数。最后，我们得到FPT算法的解决方案的大小。
2019-08-09 cs.DS
Shortest Vertex-Disjoint Two-Face Paths in Planar Graphs
令$G$是复杂度为$n$的有向平面图，每条弧具有非负长度。令$s$和$t$为$G$的两个不同面;令$s_1,...,s_k$为与$s$关联的顶点;令$t_1,...,t_k$为与$t$关联的顶点。给出了一个在$O(kn\log n)$时间内计算连接$G$中$(s_i,t_i)$对的$k$两两顶点不相交路径的算法。
2008-02-20 cs.DS math.CO
Lower Bounds for Approximate (& Exact) k-Disjoint-Shortest-Paths
本文针对k-不相交最短路径问题的四个版本，基于Gap-ETH证明了在f(k)·n^{δ·k}时间内不存在(1/2+ε)-近似算法，并进一步在平面DAG、1-平面图及受限度数等结构约束下强化了不可近似性下界。
2024-08-07 cs.DS
Approximation and parameterized algorithms for covering disjointness-compliable set families
The Open University of Israel（以色列开放大学）
研究了覆盖不相容可补集合族的近似算法，证明其近似比为O(α log τ)，并给出了多根覆盖Steiner问题的近似算法。
2025-12-23 cs.DS
Constant Approximating Disjoint Paths on Acyclic Digraphs is W[1]-hard
本文证明在无环有向图上，以自然参数 k 衡量时，最大不相交路径问题对任意常数 c 都难以获得 c-近似，且为 W[1]-难，这是该问题参数化近似的首个非平凡结果。
2024-09-05 cs.DS
Subexponential parameterized algorithms for planar and apex-minor-free graphs via low treewidth pattern covering
我们证明了下面的定理。给定平面图$G$和整数$k$，可以在多项式时间内随机采样具有以下性质的$G$的顶点的子集$A$：（i）$A$导出树宽为$\mathcal{O}(\sqrt{k}\log k)$的$G$的一个子图，（ii）对于$G$在至多$k$顶点上的每个连通子图$H$，$A$覆盖$H$的整个顶点集的概率至少为$(2^{\mathcal{O}(\sqrt{k}\log^2 k)}\cdot n^{\mathcal{O}(1)})^{-1}$，其中$n$是$G$的顶点数。再加上标准的动态规划技术的图形有界树宽，这一结果给出了一个通用的技术，获得（随机）次指数参数化算法的问题，平面图，通常与运行时间界$2^{\mathcal{O}(\sqrt{k} \log^2 k)} n^{\mathcal{O}(1)}$。该技术可以应用于可表达为在大型宿主图中搜索具有规定属性的小的连通模式的问题，这样的问题的示例包括定向$k$ -路径、加权$k$ -路径、顶点覆盖局部搜索和子图同构等。到目前为止，这些问题是否可以在平面图上的次指数参数化时间内解决仍然是开放的，因为它们不适合经典的二维技术。此外，我们所有的结果，事实上，任何一类的图，不包括一个固定的顶点图作为一个未成年人，特别是在图嵌入在任何固定的表面。
2016-04-20 cs.DS
The planar directed k-Vertex-Disjoint Paths problem is fixed-parameter tractable
给定图G和k对顶点（s_1，t_1），.，（s_k，t_k），k-顶点不相交路径问题要求两两顶点不相交路径P_1，.，使得P_i从s_i到t_i。Schrijver [SICOMP'94]证明了平面有向图上的k-顶点不相交路问题可以在时间n^{O（k）}内求解。我们给出了一个运行时间为2^{2^{O（k^2）}} n^{O（1）}的算法，即证明了问题的固定参数可处理性.
2013-04-15 cs.DM cs.DS math.CO
On Feedback Vertex Set: New Measure and New Structures
针对无向图上的{反馈点集}问题（{ \sc fvs}），提出了一种新的参数化算法.我们通过考虑它的一个变体来处理这个问题，{不相交反馈顶点集}问题（{ \sc disjoint-fvs}），它找到一个大小为$k$的反馈顶点集，该反馈顶点集与图$G$的给定反馈顶点集$F$没有重叠。我们开发了一个改进的核化算法{ \sc disjoint-fvs}，并证明了{ \sc disjoint-fvs}可以在多项式时间内解决时，$G \setminus F$中的所有顶点的度上限为3。然后，我们提出了一个新的分支和搜索过程{ \sc disjoint-fvs}，并介绍了一个新的分支和搜索措施。该过程有效地减少了一个给定的图的图上{ \sc disjoint-fvs}成为多项式时间可解的，和新的措施更准确地评估的效率的过程。这些算法和组合的研究，使我们能够开发一个$O^*(3.83^k)$的时间参数化算法的一般{ \sc fvs}问题，改善所有以前的算法的问题。
2014-06-02 cs.DS
On the Parameterized Tractability of Packing Vertex-Disjoint A-Paths with Length Constraints
Tata Institute of Fundamental Research（塔塔基础研究所）；National Institute of Science, Education and Research（国家科学教育与研究学院）；Indraprastha Institute of Information Technology Delhi（德里因德拉普拉斯塔信息技术学院）
研究了具有长度约束的顶点不相交A-路径打包问题，证明了其在不同参数下的复杂性，并提供了相应的算法和内核。
2026-02-16 cs.DM cs.DS
A Framework for Parameterized Subexponential-Subcubic-Time Algorithms for Weighted Problems in Planar Graphs
本文提出一种框架，用于在平面图中解决加权问题的参数化子指数-子立方时间算法，处理权重、多连通组件及指数参数模式的问题。
2026-04-01 cs.DS
On the Parameterized Complexity of Bend-Minimum Orthogonal Planarity
本文改进了最小弯曲正交平面性问题的参数化复杂性结果，证明其仅以度数至多2的顶点数和弯曲数为参数时仍为FPT，并由此得出直线平面性测试的FPT结论。
2023-09-06 cs.CG cs.DS
The Power of Cut-Based Parameters for Computing Edge Disjoint Paths
本文回顾了经典的边不相交路径（EDP）问题，其中给定一个无向图$G$和一组终端对$P$，并询问$G$是否包含一组连接$P$中每个终端对的成对边不相交路径.我们的目的是确定结构特性（参数）的图形，允许有效的解决方案的EDP不限制终端的位置在$P$以任何方式。在这种情况下，EDP是已知的，保持NP-困难，即使在极其有限的图类，如图的顶点覆盖大小$3$。我们提出了三个结果，使用边缘分离器为基础的参数，以图表新的岛屿的易处理性的复杂性景观的电子数据处理。我们的第一个和主要结果利用最近的结构参数treecut宽度（一个参数与图形浸入和图形切割的基本联系）：我们得到一个多项式时间的算法EDP上的每一个图形类的有界treecut宽度。我们的第二个结果表明，EDP参数化的树切宽度是不太可能是固定参数听话。我们的最后，第三个结果是一个多项式内核的EDP参数化的最小反馈边集的大小在图中。
2018-08-10 cs.DS
Faster parameterized algorithm for pumpkin vertex deletion set
一个有向图$G$称为南瓜图，如果$G$是具有公共起始点$s$和公共终止点$t$的导出路的并集，且每两条路的内部顶点不相交.给出了一个算法，给定有向图$G$和整数$k$，通过删除最多$k$的顶点来判定是否能从$G$得到南瓜.该算法在$O^*(2^k)$时间内运行。
2019-01-08 cs.DS
Rerouting Planar Curves and Disjoint Paths
本文考虑图中$k$不交路的一种变换。对于一个图和一对连接同一组终端对的$k$不相交路径$\mathcal{P}$和$\mathcal{Q}$，我们的目标是确定是否可以通过重复地用另一条路径替换一条路径来将$\mathcal{P}$转换为$\mathcal{Q}$，使得中间路径也是$k$不相交路径.这个问题被称为不相交路径重构。我们首先表明，不相交的路径重构是PSPACE完全的，即使当$k=2$。另一方面，我们证明了当图嵌入在平面上，并且$\mathcal{P}$和$\mathcal{Q}$中的所有路径都连接两个面的边界时，不相交路径重构可以在多项式时间内求解。该算法是基于一个拓扑特征的重路由曲线的平面上使用的代数相交数。我们还考虑不相交的$s$ - $t$路径的变换作为变体。我们证明了平面图中不相交的$s$ - $t$路径重构问题可以在多项式时间内确定，而该问题一般是PSPACE完全的.
2022-10-21 cs.CG cs.DS math.CO
A tight lower bound for Vertex Planarization on graphs of bounded treewidth
在顶点平面化问题中，要求从输入图中删除尽可能少的顶点以获得平面图。这个问题的参数化的复杂性，参数化的解决方案的大小（删除顶点的数量）最近引起了极大的关注。Jansen、Lokshtanov和Saurabh [SODA 2014]的最新算法在$n$ -顶点图上按时间$2^{O(k \log k)} \cdot n$运行，其解大小为$k$。如果可以在运行时间范围内获得对$k$的单指数依赖性，则它仍然是开放的。Jansen、Lokshtanov和Saurabh的工作的核心技术贡献之一是一种算法，该算法在树宽$w$的图上求解顶点平面化的加权变体$2^{O(w \log w)} \cdot n$。在这个简短的说明中，我们证明了这个例程的运行时间在指数时间假设下是紧的，即使是在未加权的图中，也可以通过树深度进行参数化。因此，它是不可能的，一个潜在的单指数算法的顶点平面化参数化的解决方案的大小可以通过仅仅改善上述有界树宽子程序。
2015-11-26 cs.DS
Fast Algorithms for Parameterized Problems with Relaxed Disjointness Constraints
在参数化复杂性中，考虑经典问题的不同概括是一个自然的想法。通常，这样的推广是通过引入一个“松弛”变量来获得的，其中原始问题对应于将该变量设置为常数值。例如，将最多$p$大小的集合打包到给定论域中的问题推广为最大匹配问题，该问题通过采用$p=2$来恢复。大多数情况下，问题的复杂性随着松弛变量的增加而增加，但最近Abasi等人给出了一个令人惊讶的问题-- $r$ -Simple $k$ -Path --可以通过具有运行时间的随机算法$O^*(2^{O(k \frac{\log r}{r})})$来解决。也就是说，问题的复杂性随着$r$而降低。在本文中，我们进一步追求Abasi等人勾画的方向。我们的主要贡献是去随机化工具，它提供了Abasi等人主要技术结果的确定性对应物：用于$(r,k)$的$O^*(2^{O(k \frac{\log r}{r})})$算法-单式检测，其是在作为算术电路给出的多项式中找到总次数$k$和最多$r$的个别次数的单式的问题。我们的技术适用于一个大类的电路，特别是它可以被用来去随机化的结果Abasi等人。$r$ -简单$k$ -Path. On我们的方式，这个结果，我们介绍了代表集的多集，这可能是独立的利益的概念。最后，我们给出了两个例子，已经在文献中研究的问题，在相同的松弛现象发生。第一个是集合打包问题的自然放松，我们允许打包集合在每个元素处最多重叠$r$次。…
2015-04-24 cs.DS
Irrelevant Vertices for the Planar Disjoint Paths Problem
不相交路径问题询问，给定图$G$和一组终端对$(s_{1},t_{1}),\ldots,(s_{k},t_{k})$，是否存在连接$s_{i}$和$t_{i}$的$k$成对顶点不相交路径的集合，对于$i=1,\ldots,k.$在他们用于该问题的$f(k)\cdot n^{3}$算法中，Robertson和Seymour引入了不相关顶点技术，根据该技术，在树宽大于$g(k)$的每个实例中存在“不相关”顶点。顶点，其移除创建问题的等效实例。这一事实是基于著名的唯一链接定理，其-非常技术-证明给出了一个函数$g(k)$，这是负责一个巨大的参数依赖的运行时间的算法。在本文中，我们给出了一个新的和自包含的证明这一结果，强烈利用可平面图的组合性质，并实现了$g(k)=O(k^{3/2}\cdot 2^{k}).$我们的界是从根本上优于一般图的边界。
2016-06-20 cs.DS math.CO
Vertex Disjoint Path in Upward Planar Graphs
$k$ -顶点不交路问题是算法图论中研究最多的问题之一。在1994年，Schrijver证明了当限制在平面有向图类中时，对于每个固定的$k$，该问题都可以在多项式时间内得到解决，并且它是否是固定参数可处理的（关于参数$k$）在这个限制类中是一个长期存在的公开问题。就在最近，\cite{CMPP}。\实现了重大突破，作出了积极回答。尽管这个结果很重要（他们的证明也很精彩），但它在理论上还是很重要的。他们的证明技术在技术上非常复杂，并且至少具有双指数参数依赖性。因此，实际上可以实现该算法似乎是不现实的。因此，在本文中，我们研究了一类较小的平面有向图，一类向上平面有向图，一类研究得很好的平面图，可以画在一个平面上，使所有的边缘都向上绘制。我们证明了在向上平面有向图类上，问题（i）仍然是NP-完全的，（ii）问题是固定参数可处理的。虽然成员在FPT如下立即从\cite{CMPP}的一般结果，我们的算法只有单指数参数依赖相比，一般平面有向图的双指数参数依赖。此外，我们的算法可以很容易地实现，在\cite{CMPP}中的算法相比。
2013-12-05 cs.CC cs.DS
Packing cycles in planar and bounded-genus graphs
我们设计的常数因子近似算法找到尽可能多的不相交的周期，从一定的家庭周期在一个给定的平面或有界属图。这里不相交可以指顶点不相交或边不相交，图可以是无向的或有向的。所考虑的圈族必须满足两个性质：它必须是不可交叉的，并且允许对给定的非负边权重在该族中找到一个权重最小的圈，或者（在可平面图中）在删除一个给定的边子集后，该族中所有剩余圈的并集。我们的设置概括了过去单独研究的许多问题。例如，满足上述性质的三个族是（i）有向图或无向图中的所有循环，（ii）无向图中的所有奇数循环，以及（iii）无向图中精确地包含一个需求边的所有循环，其中需求边形成边集合的子集。后者的家庭（iii）对应于经典的不相交路径问题在完全平面和有界属的情况下。虽然常数因子近似算法是已知的边缘不相交的路径在这种情况下，我们改进了常数在平面的情况下，并获得第一个这样的算法顶点不相交的路径。我们还获得了近似的最小-最大定理的Erdens-Pósa型。例如，平面有向图中的最小反馈顶点集至多是顶点不相交圈的最大数目的12倍。
2023-02-03 cs.DM cs.DS math.CO
Long Directed Detours: Reduction to $2$-Disjoint Paths
我们研究了有向图中{ \sc最长路径}问题的“以上保证”版本：我们给出一个图$G$，$G$的两个顶点$s$和$t$，以及一个非负整数$k$，并且目标是确定$G$是否包含长度至少为$dist_G(s,t) +k$的路径，其中$dist_G(s,t)$是$G$中从$s$到$t$的最短路径的长度（假设存在一个）。证明了在{ \sc $2$ -不相交路径}问题是多项式时间可解的图类中，该问题是由$k$参数化的固定参数可解的.
2023-01-24 cs.DS
The Parameterized Complexity of Problems on Outer k-Planar Graphs
Utrecht University（乌得勒支大学）
本文研究外k-平面图上图问题的参数化复杂性，证明Binary CSP等少数问题仍难解，多数问题固定参数可处理，还建立了外k-平面图的多项结构结果并明确其在图参数层次中的位置。
2026-07-30 cs.CC cs.CG cs.DS
Uncrossed Multiflows and Applications to Disjoint Paths
University of Illinois, Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Aix-Marseille Université（艾克斯-马赛大学）；University of British Columbia（不列颠哥伦比亚大学）
研究平面图中非交叉多流的存在性、整数化及其在最大不相交路径和最小拥塞整数多流问题中的应用，提出成对平面实例族并给出近似算法。
2026-05-26 cs.CG cs.DS
Parameterized Complexity of $(A,\ell)$-Path Packing
给定图$G = (V,E)$、$A \subseteq V$以及整数$k$和$\ell$，\textsc{$(A,\ell)$-Path Packing}问题要求找到长度为$\ell$的$k$顶点不相交路径，这些路径的端点在$A$中，内部点在$V \setminus A$中。我们研究了这个问题的参数化复杂性参数$|A|$，$\ell$，$k$，树宽，路径宽度，以及它们的组合。我们提出了尖锐的复杂性对比这些参数。在其他结果中，我们表明，该问题是多项式时间可解时，$\ell \le 3$，而它是NP-完全常数$\ell \ge 4$。我们还证明了该问题是W[1]-hard的路径宽度${}+|A|$参数，而它是固定参数易处理的树宽度${}+\ell$参数。
2020-08-08 cs.DS
New Hardness Results for Routing on Disjoint Paths
在经典的节点不相交路径（NDP）问题中，输入由无向$n$ -顶点图$G$和其顶点对的集合$\mathcal{M}=\{(s_1,t_1),\ldots,(s_k,t_k)\}$组成，所述顶点对被称为源-目的地或需求对。我们的目标是通过节点不相交路径路由尽可能多的需求对。该问题的最佳当前近似是由一个简单的贪婪算法，其近似因子是$O(\sqrt n)$，而最佳当前负结果是一个$Ω(\log^{1/2-δ}n)$ -硬度的近似任何常数$δ$，在标准的复杂性假设。即使是看似简单的特殊情况下的问题仍然知之甚少：当输入图是一个网格，最好的电流算法实现$\tilde O(n^{1/4})$ -近似，当它是一个一般的平面图，一个有效的算法的最佳电流近似比是$\tilde O(n^{9/19})$。目前已知的最好的下界的逼近这两个版本的问题是APX硬度。在本文中，我们证明了NDP是$2^{Ω(\sqrt{\log n})}$ -难以近似，除非所有的NP问题的算法与运行时间$n^{O(\log n)}$。即使底层图是一个具有最大顶点度$3$的平面图，并且所有源顶点都位于单个面的边界上（但目标顶点可以位于图中的任何位置），我们的结果也成立。我们将这一结果扩展到密切相关的边不相交路径问题，显示出相同的硬度的逼近比，即使是次立方平面图与所有的源位于一个单一的面的边界上。
2016-11-16 cs.DS
Graph Planarity Testing with Hierarchical Embedding Constraints
层次嵌入约束定义了一组允许的循环顺序的边缘事件的顶点图。这些约束表示在FPQ树。FPQ-树是PQ-树的变体，除了P-和Q-节点之外还包括F-节点。F节点表示固定的置换，即，它无法逆转。设$G$是一个图，使得$G$的每个顶点都配备有一组FPQ树，该FPQ树编码其关联边的层次嵌入约束。我们研究的问题，测试是否$G$承认一个平面嵌入，这样，对于每个顶点$v$的$G$，循环顺序的事件到$v$的边缘描述的至少一个FPQ树与~ $v$。我们证明了这个问题是固定参数易处理的双连通图，其中的参数是$G$的树宽和与$G$的每个顶点相关联的FPQ-树的数量。我们还证明了，如果仅用FPQ-树的数目来参数化，则该问题是NP-完全的，如果仅用树宽来参数化，则该问题是W[1]-困难的。除了其本身的有趣性之外，层次嵌入约束的平面性测试研究还可以用于解决其他平面性测试问题。特别是，我们将我们的技术应用于研究的NodeTrix平面性测试的聚类图。我们发现，NodeTrix平面性测试与固定的双方是固定参数的参数化时，参数化的集群的大小和树宽的多图通过折叠集群到单顶点，只要这个图是bconnected。
2019-11-16 cs.DS
On Structural Parameterizations of Firefighting
消防问题定义如下。在时间$t=0$，在图的顶点处发生火灾。在每个时间步$t \geq 0$，消防员永久地保卫（保护）未燃烧的顶点，然后火灾从着火的顶点蔓延到所有未保卫的邻居。当火势不再蔓延时，这个过程就停止了。目标是为消防员找到一个顶点序列，使保存（未烧毁）的顶点数最大化。消防问题原来是NP-困难的，即使限制到二分图或树的最大程度为三。我们研究了各种结构参数化的消防问题的参数化复杂性。我们所有的参数测量到一个图类的距离（在顶点删除方面），消防问题允许一个多项式时间算法。具体地，对于图类$\mathcal{F}$和图$G$，如果$G \setminus S$属于$\mathcal{F}$，则顶点子集$S$被称为$\mathcal{F}$的调制器。我们考虑的参数是调制器的大小图类，如阈值图，有界直径图，不相交工会的明星，分裂图。首先，我们证明了当用调制器的大小参数化至多两个图和分裂图时，问题是W[1]-困难的。在上述棘手的结果相比，我们表明，消防是固定参数易处理（FPT）时，参数化的调制器的大小阈值图和不相交工会的明星，这是子类的直径最多两个图。我们进一步研究这些问题的核化复杂性，发现消防承认一个多项式内核时，参数化的调制器的大小，一个集团，而它是不太可能承认一个多项式内核时，参数化的调制器的大小，一个不相交的工会的明星。
2017-11-28 cs.DS
Disjoint Shortest Paths with Congestion on DAGs
在k-不相交最短路径问题中，给出了一组终端顶点对$\{(s_i,t_i)\mid 1\le i\le k\}$，要求我们找到路径$P_1,\ldots,P_k$，使得每条路径$P_i$是从$s_i$到$t_i$的最短路径，并且图的每个顶点至多在其中之一处路由.我们介绍了一个推广的问题，即，$k$ -不相交的最短路径与拥塞- $c$，其中每个顶点被允许路由到$c$路径。我们提供了一个简单的算法来解决这个问题的时间$f(k) n^{O(k-c)}$的DAG。利用DAG的技术，我们证明了这个问题在一般无向图上的时间$f(k) n^{O(k)}$是可解的。我们的DAG算法基于早期的$k$算法-具有拥塞的不相交路径- $c$ [IPL 2019]，但我们显著简化了他们的论点。然后，我们证明了它是不可能的，以改善算法显着表明，对于每个常数$c$的问题是W[1]-硬w.r.t.参数$k-c$。我们也考虑无圈平面图的问题，但这次我们只限于边不相交的最短路径问题。我们表明，即使在非循环平面图上，也没有$f(k)n^{o(k)}$算法的问题，除非ETH失败。
2021-07-07 cs.DS
On Structural Parameterizations of the Edge Disjoint Paths Problem
在本文中，我们重新审视经典的边缘不相交路径（EDP）的问题，其中一个是一个无向图G和一组终端对P，并要求G是否包含一组成对的边缘不相交路径连接每个终端对P.我们的重点在于结构参数化的问题，允许有效的（多项式时间或FPT）算法。作为我们的第一个结果，我们回答了Fleszar，Mnich和Spoerhase（2016）中提出的一个开放性问题，通过证明如果输入图具有大小为1的反馈顶点集，则可以在多项式时间内解决该问题。我们还表明，EDP参数的树宽和最大程度的输入图是固定参数听话。已经开发了两种新的算法EDP使用结构上的限制输入图，然后我们把我们的注意力转向增强图，即，在每个端子对之间添加一条边之后从输入图获得的图。在对输入图的扩展中，即使树宽为2，EDP也是NP难的，Zhou et al.（2000）的结果表明，如果扩展图具有恒定的树宽，则EDP可以在非均匀多项式时间内求解;我们注意到，从那时起，这个结果对FPT算法的可能改进仍然是开放的。我们表明，这是非常不可能的，通过建立W[1]-硬度的问题参数化的树宽（甚至反馈顶点集）的增强图。最后，我们开发了一个FPT算法的EDP利用一个新的结构参数的增强图。
2017-11-06 cs.DS
Network Sparsification for Steiner Problems on Planar and Bounded-Genus Graphs
我们提出了多项式时间算法，稀疏平面和有界属图，同时保持最佳或接近最佳的解决方案，施泰纳问题。我们的主要贡献是一个多项式时间的算法，给定一个未加权图$G$嵌入表面的属$g$和指定的面$f$有界的一个简单的周期长度$k$，发现一组$F \subseteq E(G)$的大小多项式在$g$和$k$包含一个最佳的Steiner树的任何一组终端是一个子集的$f$的顶点。我们应用这个一般定理证明了：* 给定嵌入在亏格$g$的曲面上的一个未赋权图$G$和一个终端集$S \subseteq V(G)$，我们可以在多项式时间内找到一个集合$F \subseteq E(G)$，它包含$S$的一个最优Steiner树$T$，并且在$g$和$|E(T)|$中具有大小多项式; * 一个类似的结果对于终端对集合$S$的一个最优Steiner森林也成立;* 给定一个未加权平面图$G$和一个终端集$S \subseteq V(G)$，可以在多项式时间内找到一个集$F \subseteq E(G)$，它包含一个分离$S$的最优（边）多路割$C$，并且在$|C|$中具有大小多项式。在参数化复杂性的语言中，这些结果意味着平面和有界亏格图（分别由树和森林的大小参数化）上的Steiner树和Steiner森林以及平面图（由割集的大小参数化）上的（边）多路割的第一多项式核。此外，我们得到了我们的主要贡献的加权变体。
2017-07-11 cs.DS
On a Conjecture for Parameterized st-Orientations
Yale University（耶鲁大学）
本文通过构造一个9顶点双连通图，反驳了Papamanthou和Tollis提出的关于MaxSTN和MinSTN算法产生的最长路径长度关系的猜想。
2026-06-15 cs.DS
Dynamic data structures for parameterized string problems
我们重温经典的字符串问题，考虑在该地区的参数化的复杂性，并研究他们通过镜头的动态数据结构。也就是说，我们的目标不是要求一个静态算法来有效地解决给定的实例，而是设计一个数据结构来有效地维护解决方案，或者在实例更新时报告缺乏解决方案。我们首先考虑最接近的字符串问题，我们设计随机动态数据结构与分期付款的更新时间$d^{\mathcal{O}(d)}$和$|Σ|^{\mathcal{O}(d)}$，分别，其中$Σ$是字母表和$d$是假设的最大距离的界限。这些是通过将已知的最接近字符串的静态方法与颜色编码相结合来获得的。接下来，我们注意到，根据Frandsen等人的结果~ [J. ACM'97]可以容易地推断出一个元定理，该元定理为具有$\mathcal{O}(\log \log n)$形式的最坏情况更新时间的参数化字符串问题提供动态数据结构，其中$k$是所讨论的参数，$n$是字符串的长度。我们展示了这个元定理的效用，给出这样的数据结构的问题不相交因子和编辑距离。我们也给这些问题明确的数据结构，最坏情况下的更新时间$\mathcal{O}(k2^{k}\log \log n)$和$\mathcal{O}(k^2\log \log n)$，分别。最后，我们讨论了如何由Amarilli等人引入的下限方法。[ICALP'21]可用于表明，对于参数$k$的恒定值，不太可能获得不相交因子和编辑距离的更…
2022-05-01 cs.DS
Approximate Turing Kernelization for Problems Parameterized by Treewidth
我们扩展了Lokshtanov等人[STOC 2017]引入的有损核化概念，以近似图灵核化。$α$ -用于参数化优化问题的近似图灵内核是一种多项式时间算法，当允许访问在$O(1)$时间中输出$c$ -近似解的Oracle时，使用对仅取决于参数的某些函数$f$的大小最多为$f(k)$的Oracle的调用，获得所考虑问题的$(α\cdot c)$ -近似解。使用这个定义，我们证明了由树宽$\ell$参数化的独立集具有一个带有$O(\frac{\ell^2}{\varepsilon})$顶点的$(1+\varepsilon)$ -近似图灵核，回答了Lokshtanov等人提出的一个悬而未决的问题。[STOC 2017]。此外，我们给出了以下图问题的$(1+\varepsilon)$ -近似图灵核的树宽参数：顶点覆盖，边团覆盖，边不相交三角形包装和连通顶点覆盖。我们推广的结果独立集和顶点覆盖，通过显示，所有的图形问题，我们将称之为“友好”承认$(1+\varepsilon)$ -近似图灵内核的多项式大小时，参数树宽。我们使用它来获得近似图灵核的顶点不相交$H$ -包装的连通图$H$，团覆盖，反馈顶点集和边支配集。
2020-04-27 cs.CC cs.DS
A Fast Parameterized Algorithm for Co-Path Set
k-CO-PATH SET问题是，给定一个图G和一个正整数k，是否可以从G中删除k条边，使得剩下的是一个不相交路径的集合。我们给出了一个线性时间fpt算法，其复杂度为O^*（1.588^k），用于确定k-CO-PATH SET，显著改进了Feng，Zhou和Wang（2015）之前最著名的O^*（2.17^k）。我们的主要工具是一个新的O^*（4^{tw（G）}）算法的CO-PATH集使用的切割和计数框架，其中tw（G）表示树的宽度。在一般的图形中，我们将其与分支算法相结合，该算法将6 k-内核细化为减少的实例，我们证明这些实例具有有界树宽。
2016-07-27 cs.DS
A Framework for Parameterized Subexponential Algorithms for Generalized Cycle Hitting Problems on Planar Graphs
次指数参数化算法是已知的平面图上的广泛的自然问题，但技术通常是高度特定的问题。本文的目标是介绍一个框架，获得$n^{O(\sqrt{k})}$时间算法的一个家庭的图形修改问题，其中包括问题，可以被看作是广义循环命中问题。我们的出发点是节点唯一标签覆盖问题（也就是说，给定一个CSP实例，其中每个约束都是两个变量的值的排列，任务是删除$k$变量以使实例可满足）。我们引入了一个变种的问题，其中$k$顶点必须删除，使每一个2-连接组件的剩余实例是可满足的。然后，我们使用基数约束来扩展该问题，这些约束限制某个值可以使用的次数（全局或在解的2连通分量内）。我们表明，有一个$n^{O(\sqrt{k})}$时间算法的平面图的任何问题，可以制定这种方式，其中包括大量的研究问题，例如，奇循环transmittance，子集反馈顶点集，组反馈顶点集，子集组反馈顶点集，顶点多路切割，和组件顺序连接。对于那些问题，承认适当的（准）多项式内核（增加参数仅线性和保持平面性），我们的结果立即意味着平面图上的$2^{O(\sqrt{k}\cdot\operatorname{polylog}(k))}n^{O(1)}$时间参数化算法。特别是，我们使用或适应已知的核化结果，以获得$2^{O(\sqrt{k}\cdot \operatorname{polylog}(k))} n^{O(1)}$时间（随机）算法的顶点多路…
2021-10-28 cs.CC cs.DS
Parameterized Algorithmics for Graph Modification Problems: On Interactions with Heuristics
在图修改问题中，给定一个图G，目标是对G应用最少数量的修改操作（如删除边），使得得到的图满足一定的性质。例如，簇删除问题要求删除尽可能少的边，使得所得图是团的不相交联合。图修改问题出现在许多应用中，包括生物和社交网络的分析。通常，图修改问题是NP难的，这使得它们成为参数化复杂性研究的自然候选者。我们讨论了几个富有成效的相互作用之间的发展固定参数的算法和设计的图形修改问题，具有相当不同的方面的互利。
2016-06-10 cs.DS
An FPT Algorithm for Max-Cut Parameterized by Crossing Number
最大割问题在一般图上是NP难的，而在平面图上可以在多项式时间内求解。在本文中，我们提出了一个固定参数的易处理的算法的问题的“几乎”平面图：给定一个$n$ -顶点图和它的画与$k$交叉，我们的算法运行在时间$O(2^k(n+k)^{3/2} \log (n + k))$。之前，Dahn，Kriege和Mutzel（IWOCA 2018）获得了一种算法，该算法给定$n$ -顶点图及其$1$ -具有$k$交叉的平面图，在时间上运行$O(3^k n^{3/2} \log n)$。我们的结果同时提高了运行时间，并消除了$1$ -平面性的限制。
2019-05-24 cs.CC cs.DS
The two-edge connectivity survivable-network design problem in planar graphs
请考虑以下问题：给定一个有边代价的图和一个顶点子集Q，找到一个最小代价子图，其中有两条边不相交的路连接Q中的每对顶点。这个问题是一个故障弹性模拟的施泰纳树问题，例如，在电信应用中出现。我们研究了一个更一般的混合连接制定，也在电信优化。给定图中每个顶点v在{0，1，2}中的一个数（或要求）r（v），找到一个最小代价子图，其中对于每对顶点u，v，有min{r（u），r（v）}条边不相交的u-to-v路。我们在平面图中解决这个问题，考虑一个流行的放松，其中的解决方案是允许使用多个副本的输入图的边缘（单独支付每个副本）。该问题在一般图中是最大SNP-困难的，在平面图中是强NP-困难的。给出了平面图的第一个多项式时间近似方案。时间复杂度为O（n）。在对平面图的单面边界上的顶点的要求仅为非零的附加限制下，我们给出了求最优解的多项式时间算法。
2015-09-30 cs.DS
Subexponential Parameterized Directed Steiner Network Problems on Planar Graphs: a Complete Classification
In the Directed Steiner Network problem, the input is a directed graph G, a subset T of k vertices of G called the terminals, and a demand graph D on T. The task is to find a subgraph H of G with the minimum number of edges such that for every edge (s,t) in D, the solution H contains a directed s to t path. In this paper we investigate how the complexity of the problem depends on the demand pattern when G is planar. Formally, if \mathcal{D} is a class of directed graphs closed under identification of vertices, then the \mathcal{D} -Steiner Network ( \mathcal{D} -SN) problem is the special case…
2022-08-11 cs.CC cs.DS
The role of planarity in connectivity problems parameterized by treewidth
For some years it was believed that for "connectivity" problems such as Hamiltonian Cycle, algorithms running in time 2^{O(tw)}n^{O(1)} -called single-exponential- existed only on planar and other sparse graph classes, where tw stands for the treewidth of the n-vertex input graph. This was recently disproved by Cygan et al. [FOCS 2011], Bodlaender et al. [ICALP 2013], and Fomin et al. [SODA 2014], who provided single-exponential algorithms on general graphs for essentially all connectivity problems that were known to be solvable in single-exponential time on sparse graphs. In this article we f…
2013-12-10 cs.DM cs.DS math.CO
Parameterized Complexity of Simultaneous Planarity
本文探讨了SEFE问题的参数化复杂性，证明了其关于k及并图的点覆盖数或反馈边集数是FPT的，揭示了共享图多种参数的难解性，并彻底解决了所有参数对的易处理性。
2025-04-30 cs.DS
Optimal parameterized algorithms for planar facility location problems using Voronoi diagrams
我们研究了一类定义在平面图和二维平面上的设施选址问题。在这些问题中，$k$对象的子集必须被选择，满足一定的包装（不相交）和覆盖约束。我们的主要结果表明，对于这些问题中的每一个，选择$k$对象的$n^{O(k)}$时间蛮力算法可以改进到$n^{O(\sqrt{k})}$时间。该算法是基于一个想法，最近推出的几何QPTAS的设计，但尚未用于精确的算法和平面图。我们专注于一个假设的解决方案的$k$对象的Voronoi图，猜测这个沃罗诺伊图的平衡分离器循环，以获得一个集合，分离的解决方案，在一个平衡的方式，然后递归的子问题。我们补充我们的研究提供证据，包装问题有$n^{O(\sqrt{k})}$时间算法更一般的一类对象比覆盖问题。
2015-04-21 cs.CC cs.CG cs.DS
Packing Diverse Shortest Cycles
Indian Institute of Technology Madras（马德拉斯印度理工学院）；University of Bergen（卑尔根大学）
本文证明边不相交最短环打包在参数k下是W[1]-难的，并引入更一般的多样最短环覆盖框架，在平面图上给出单指数算法，同时解决打包与多样性问题。
2026-10-08 cs.DS
Parameterized Maximum Node-Disjoint Paths
研究 Maximum Node-Disjoint Paths 问题的参数化近似，提出基于 color-coding 的 FPT 近似方案解决 tree-depth 参数，并证明 pathwidth 下不可近似，精确界定参数边界。
2025-09-17 cs.CC cs.DS
A Parameterized Algorithm for Mixed Cut
经典门格尔定理指出，在任何无向（或有向）图$G$中，给定一对顶点$s$和$t$，顶点（边）不相交路径的最大数目等于从$s$和$t$断开所需的顶点（边）的最小数目。该最小-最大结果可以转化为多项式时间算法，以找到顶点（边）不相交路径的最大数量以及将$s$从$t$断开所需的顶点（边）的最小数量。在本文中，我们研究了这个问题的混合版本，称为混合切割，其中我们给定一个无向图$G$，顶点$s$和$t$，正整数$k$和$l$，目的是检验是否存在$k$大小的顶点集$S \subseteq V(G)$和$l$大小的边集$F \subseteq E(G)$，使得从$G$与$s$和$F$断开连接。我们从一个小的观察开始，这个问题是NP完全的，然后研究这个问题，实际上是一个更强的泛化，在参数化复杂性领域。特别是我们研究的混合多路切割未切割的问题，随着一组终端$T$，我们也给出了一个等价关系$\mathcal{R}$上$T$，问题是我们是否可以删除最多$k$顶点和最多$l$边缘，使终端的连通性在所得到的图方面$\mathcal{R}$。我们的主要结果是使用Chitnis等人（FOCS 2012）引入的递归理解方法的混合多路切割-未切割的固定参数算法。
2015-09-18 cs.DS
