关于具有长度约束的顶点不相交A-路径参数化可处理性

顶点连通度的新视角

A New Perspective on Vertex Connectivity

边连通度和点连通度是图论中的两个基本概念。虽然到目前为止，基于图的边连通性对图的结构有了很好的理解，但我们在顶点连通性方面的知识要有限得多。在捕捉边连接的一个重要工具是边不相交的生成树。Tutte和Nash-Williams的著名结果表明，边连通的图$λ$包含$\floor{λ/2}$边不交生成树.我们提出了连接支配集（CDS）的划分和包装的工具，类似于边不相交的生成树，并帮助我们更好地掌握基于其顶点连通图的结构。CDS划分问题的目标是将图的节点划分为尽可能多的连通支配集。CDS包装问题是相应的分数松弛，其中CDS被允许重叠，只要通过分配适当的权重来补偿。CDS划分和CDS包装可以被看作是边不相交生成树的对应物，重点是顶点不相交而不是边不相交。我们构造性地证明了每一个具有$n$节点的$k$ -顶点连通图都有一个大小为$Ω(k/\log n)$的CDS填充和一个大小为$Ω(k/\log^5 n)$的CDS划分.我们证明了$Ω(k/\log n)$ CDS packing界是存在最优的。利用CDS填充，证明了如果$k$ -点连通图的顶点以概率$p$独立采样，则由采样点导出的图具有点连通性$\tildeΩ(kp^2)$ .此外，使用我们的$Ω(k/\log n)$ CDS包装，我们得到了一个存储和转发广播算法的最佳吞吐量的网络模型中，在每一轮，每个节点可以发送一个有限大小的消息到所有的邻…

边不交路Packing的复杂性

The Complexity of Packing Edge-Disjoint Paths

我们介绍和研究路径包装的复杂性。给定图$G$和路径列表，任务是将边不相交的路径嵌入到$G$中。这推广了著名的哈密顿路径问题。由于哈密尔顿路径是有效的可解图的小树宽，我们研究如何将这一结果转化为更一般的路径包装。在积极的一面，我们给出了一个FPT算法的路径数为参数的树。此外，我们给出了一个XP-算法的组合参数的最大程度，连接组件的数量和节点数的程度至少为三。令人惊讶的是，后者几乎是运行时和参数化的紧结果。我们展示了一个几乎匹配我们运行时的ETH下限。此外，如果三个值中的两个是常数，而一个是无界的，则问题就变成NP难的。此外，我们研究限制给定的路径列表。在积极的一面，我们提出了一个FPT算法参数的路径的长度之和。长度为2的Packing路径是多项式时间可解的，而长度为3的packing路径是NP-难的。最后，即使是路径必须覆盖$G$中的每条边一次的空间情形EPC，对于4-正则图上的两条路径也是NP-难的。

最短（A+B）-路填充

Shortest (A+B)-path packing via hafnian

Björklund和Husfeldt开发了一个随机多项式时间算法来解决最短的两个不相交的路径问题。他们的算法基于积算模4和隔离引理。在本文中，我们考虑以下推广的最短两个不相交的道路问题，并开发了一个类似的代数算法。最短完美$(A+B)$ -路径包装问题是：给定一个无向图$G$和两个具有偶数基数的不相交节点子集$A,B$，找出一条两端都在$A$或两端都在$B$中的最短$|A|/2+|B|/2$不相交路径.除了它的NP-困难，我们证明了这个问题可以在随机多项式时间内解决，如果$|A|+|B|$是固定的。我们的算法基本上遵循Björklund和Husfeldt的框架，但使用了一种新的技术：计算与Gallai的减少从$T$ -路径的匹配结合起来的模$2^k$。我们也推广了我们的技术解决其他路径包装问题，并讨论了它的局限性。

装填短环

Packing Short Cycles

本文研究加权图中的短环装填，证明最小和环装填对固定k多项式可解但参数化W[1]-难，并给出平面图上最短环装填的FPT算法及边不相交变体的多项式核。

$k$ -安全生成有根子（di）图的FPT算法

FPT algorithms for packing $k$-safe spanning rooted sub(di)graphs

我们研究了Bang-Jensen和Yeo [Theor. Comput. Sci. [2015 - 05 - 15][2015 - 05][2016 - 05][201 Appl. Math. 2016]关于在图和有向图中找到不相交的“平衡”生成有根子结构，这推广了经典的填充问题。即，给定一个正整数$k$，一个有向图$D=(V,A)$，和一个根$r \in V$，我们考虑寻找两个弧不相交的$k$ -安全生成$r$ -树形图的问题和寻找两个弧不相交的$(r,k)$ -流分支的问题.我们表明，这两个问题是FPT参数$k$，改进现有的XP算法。后者的这些结果回答了一个问题的Bang-Jensen，Havet，和杨[离散。Appl.Math.2016]。此外，给定一个整数$k$，一个图$G=(V,E)$，和$r \in V$，我们考虑的问题，找到两个弧不相交的$(r,k)$ -安全生成树。我们表明，这个问题也是FPT参数$k$，再次改善以前的XP算法。我们的主要技术贡献是证明了这样的跨越子结构的存在是等价的子结构的存在与大小和最大（出）度都有界的（线性或二次）功能的$k$，这可能是独立的利益。

A $5k$-vertex Kernel for $P_2$-packing

The $P_2$-packing problem asks for whether a graph contains $k$ vertex-disjoint paths each of length two. We continue the study of its kernelization algorithms, and develop a $5k$-vertex kernel.

Packing cycles in planar and bounded-genus graphs

We devise constant-factor approximation algorithms for finding as many disjoint cycles as possible from a certain family of cycles in a given planar or bounded-genus graph. Here disjoint can mean vertex-disjoint or edge-disjoint, and the graph can be undirected or directed. The family of cycles under consideration must satisfy two properties: it must be uncrossable and allow for an oracle access that finds a weight-minimal cycle in that family for given nonnegative edge weights or (in planar graphs) the union of all remaining cycles in that family after deleting a given subset of edges. Our se…

平面有向k-顶点不相交路问题是一个固定参数的易处理问题

The planar directed k-Vertex-Disjoint Paths problem is fixed-parameter tractable

给定图G和k对顶点（s_1，t_1），.，（s_k，t_k），k-顶点不相交路径问题要求两两顶点不相交路径P_1，.，使得P_i从s_i到t_i。Schrijver [SICOMP'94]证明了平面有向图上的k-顶点不相交路问题可以在时间n^{O（k）}内求解。我们给出了一个运行时间为2^{2^{O（k^2）}} n^{O（1）}的算法，即证明了问题的固定参数可处理性.

Konig边删除问题的可处理性

Tractability of Konig Edge Deletion Problems

一个图称为Konig图，如果它的最大匹配的大小等于它的最小顶点覆盖的大小。Konig边删除问题询问在给定的图中是否存在一组至多k条边，其删除导致Konig图。虽然这个问题的顶点版本（Konig顶点删除）在十多年前就已经被证明是固定参数可处理的，但Konig边删除问题的固定参数可处理性从那时起就一直是开放的，并且在几篇论文中被证明是W[1]-困难的。本文通过证明该猜想是W[1]-困难的，解决了该猜想.我们证明了这个问题的一个变体，在这里我们给出了一个图G和一个最大匹配M，我们想要一个k-大小的Konig边删除集，是从M不相交，是固定参数可处理的。

一种更快的Mader's $\mathcal{S}$-路径打包确定性算法

A Faster Deterministic Algorithm for Mader's $\mathcal{S}$-Path Packing

针对Mader's $\mathcal{S}$-路径打包问题，提出一种新的确定性算法，通过归约到线性拟阵奇偶性，利用增广路径算法并优化矩阵运算，时间复杂度达$O(mnk)$，优于现有结果。

$P_2$ -填充的参数化透视

A Parameterized Perspective on $P_2$-Packings

我们从参数化的角度研究图中的（点不相交）$P_2$ -填充.从大小为$j$的最大$P_2$ -包装$\p$开始，我们使用极值参数来确定$\p$的多少个顶点出现在大小为$(j+1)$的一些$P_2$ -包装中。我们基本上可以“重用”$2.5j$顶点。我们还提出了一个核化算法，给出了由$7k$的大小有界的内核。利用这两个结果，我们建立了一个算法，它构造了一个$P_2$ -包装的大小$k$在时间$\Oh^*(2.482^{3k})$。

计算路径和半包装

Counting Paths and Packings in Halves

它表明，一个可以计数$k$ -边路径在$n$ -顶点图和$m$ -集$k$ -包装上的$n$ -元素的宇宙，分别在时间${n \choose k/2}$和${n \choose mk/2}$，直到一个因子多项式在$n$，$k$，和$m$ ;在多项式空间中，边界保持，如果乘以$3^{k/2}$或$5^{mk/2}$，分别。这些是一个更一般的结果的含义：给定$n$ -元素论域上的两个集合族，人们可以用$\nO(n \ell)$基本运算来计算两个集合族的笛卡尔积中的不相交集合对，其中$\ell$是两个集合族及其子集中的成员数。

打包多样最短环

Packing Diverse Shortest Cycles

本文证明边不相交最短环打包在参数k下是W[1]-难的，并引入更一般的多样最短环覆盖框架，在平面图上给出单指数算法，同时解决打包与多样性问题。

参数化边界修改问题的下限以上

Parameterizing edge modification problems above lower bounds

我们研究的参数化复杂性的一个变种的$F$自由编辑问题：给定一个图$G$和一个自然数$k$，是否有可能修改在最$G$的$k$边缘，使所得到的图不包含诱导子图同构到$F$？在我们的变体中，输入还包含$G$的诱导子图的顶点不相交包装$\mathcal{H}$，其提供将$G$变换成无$F$图所需的边修改的数目的下界$h(\mathcal{H})$。虽然早期的作品使用的数量$k$作为参数或输入图$G$的结构参数，我们认为，而不是参数$\ell:=k-h(\mathcal{H})$，即，边缘修改的数量以上的下限$h(\mathcal{H})$。我们开发了一个通用的数据简化规则的框架，以显示固定参数的易处理性与$\ell$ $K_3$ -自由编辑，反馈弧集在Tournament，和集群编辑时，包装$\mathcal{H}$包含有界的解决方案的大小的子图。对于$K_3$ -Free Editing，我们还证明了$K_3$ s和$\ell=0$的边不相交填充的NP-困难性，而对于$K_q$ -Free Editing和$q\ge 6$，$\ell=0$的NP-困难性甚至适用于$K_q$ s的顶点不相交填充。此外，我们提供了NP-硬度结果$F$ -免费顶点删除，其目的是删除最小数量的顶点，使输入图$F$ -免费的。

稀疏图类的列表$\u0007mathcal H$-填充问题的复杂度研究

On the complexity of list $\mathcal H$-packing for sparse graph classes

本文研究稀疏图类下列表$\u0007mathcal H$-填充问题的复杂度，针对顶点/边不相交的列表变体，在有界度图、平面图、有界树宽图等类上得到了若干正负复杂度结果。

非序列星型装箱问题的近似算法

Approximation algorithms for non-sequential star packing problems

本文研究了 NP 难的 $k^+$-星和 $k^-/t$-星装箱问题，提出了基于局部搜索的改进近似算法，分别给出了 $k^+$-星和 $k^-/t$-星装箱问题的近似比并改进了现有最佳结果。

在Parikh预算下进行排列匹配：线性时间的检测、打包和不相交选择

Permutation Matching Under Parikh Budgets: Linear-Time Detection, Packing, and Disjoint Selection

本文提出了一种在Parikh预算下进行排列匹配的线性时间算法，解决检测、打包和不相交选择问题。

具有重叠项的Bin Packing分页问题的算法

Algorithms for the Pagination Problem, a Bin Packing with Overlapping Items

我们介绍了强NP完全分页问题，一个扩展的BIN包装，包装在一起的两个项目可能会使他们占用的体积小于其各自的大小之和。为了实现这个属性，一个项目被定义为来自给定字母表的有限符号集：而在BIN PACKING中，任何两个这样的集合将是不相交的，在PAGINATION中，它们可以共享零个，一个或多个符号。在将问题制定为整数线性规划之后，我们尝试用几种算法来近似其解决方案：从经典BIN PACKING算法的直接适应，到专用算法（贪婪和非贪婪），再到标准和分组遗传算法。所有这些都是首先从理论上研究，然后在一个广泛的随机测试集上进行实验。基于这些数据，我们提出了一个给定实例的统计难度的预测措施，并最终建议在这种情况下应该使用哪种算法，这取决于时间限制或质量要求。

全平面边不相交路径的近似算法

An Approximation Algorithm for Fully Planar Edge-Disjoint Paths

对于边不相交路径问题的最大化问题，如果供给图和需求边构成一个平面图，我们设计了一个常数因子的近似算法。通过平面对偶，这等价于平面图中的包装切割，使得每个切割仅包含一个需求边。我们还表明，自然的线性规划松弛有恒定的完整性差距，产生一个近似的最大多流最小多割定理。

无长诱导路图的$r$ -星装箱问题的线性点核

Linear-Vertex Kernel for the Problem of Packing $r$-Stars into a Graph without Long Induced Paths

设整数$r\ge 2$和$d\ge 3$是固定的。设${\cal G}_d$是在$d$顶点上没有导出路的图的集合。研究了将$K_{1,r}$的$k$顶点不相交副本（$k\ge 2$）从参数化预处理打包成图$G$的问题，即，核心化，观点。我们证明了每个图$G\in {\cal G}_d$都可以在多项式时间内约简为一个具有$O(k)$顶点的图$G'\in {\cal G}_d$，使得$G$至少具有$K_{1,r}$的$k$顶点不相交副本当且仅当$G'$具有。这样的结果是已知的任意图$G$时$r=2$，我们猜想，它持有的每一个$r\ge 2$。

T_{h+1}-自由边删除问题的难度与可处理性

Hardness and Tractability of T_{h+1}-Free Edge Deletion

研究T_{h+1}-自由边删除问题的难度与可处理性，证明其在不同参数化下的固定参数可处理性及复杂性结果。

Steiner树布局问题的腔方法

The cavity approach for Steiner trees packing problems

置信传播近似，或腔方法，最近已被应用到几个组合优化问题的零温度实现，最大和算法。特别是，最近的事态发展，以解决边不相交的路径问题和奖品收集斯坦纳树问题的图已经显示出显着的结果，几类图和基准实例。在这里，我们提出了一个概括这些技术的两个变种的斯坦纳树包装问题，多个“相互作用”的树必须寻求在一个给定的图形。根据树之间的相互作用，我们区分顶点不相交的斯坦纳树问题，树不能共享节点，从边不相交的斯坦纳树问题，边不能共享树，但节点可以是多个树的成员。网络设计中的一些实际问题可以映射到这两种变体中，例如，超大规模集成（VLSI）芯片的物理设计。这里描述的形式主义依赖于两个组件的边缘变量，使我们能够制定一个消息传递算法的V-DStP和两个算法的E-DStP不同的计算时间的缩放相对于一些相关的参数。我们将表明，用于边缘不相交的变体的两个形式主义之一，允许我们映射到适当的二分图的加权最大匹配问题的最大和更新方程。我们开发了一个启发式的最大和方程的基础上，表现出优异的性能，在合成网络（特别是超过标准的多步贪婪程序的大利润率）和大型基准的VLSI的最佳解决方案是已知的情况下，该算法发现在两种情况下的最佳和最优的差距从来没有大于4%。

周期的分散包装

Scattered packings of cycles

我们考虑的问题分散的周期，给定一个图$G$和两个正整数$r$和$\ell$，问$G$是否包含一个集合的$r$周期，成对的距离至少$\ell$。这个问题推广了对应于$\ell = 1$情形的不相交圈问题。我们证明了当参数化$r$，$\ell$，和最大程度$Δ$，问题的分散圈承认一个核心上$24 \ell^2 Δ^\ell r \log(8 \ell^2 Δ^\ell r)$顶点。我们还提供了一个$(16 \ell^2 Δ^\ell)$内核的情况下$r=2$和$(148 Δr \log r)$内核的情况下$\ell = 1$。我们的证明依赖于两个简单的减少规则和仔细的分析。

计数小最小$(S,T)$ -割的固定参数易处理性

Fixed-parameter tractability of counting small minimum $(S,T)$-cuts

计数最小割的参数化复杂性是一个自然的问题，因为Ball和Provan证明了它的#P-完备性。对于任意无向图$G=(V,E)$及其两个不相交的顶点集$S,T$，我们设计了一个计算最小边$(S,T)$ -割的固定参数的易处理算法，该算法以最小边的大小$p$为参数.我们的算法在变换后的图实例上操作。这种变换称为引流，它揭示了至多$n=\left| V \right|$连续最小$(S,T)$ -割集$Z_i$的集合。证明了任意最小$(S,T)$ -截$X$至少包含一个截$Z_i$的边.这一观察，与门格尔定理，使我们能够建立算法计数所有最小$(S,T)$ -切割与运行时间$2^{O(p^2)}n^{O(1)}$。最初专用于计数最小切割，它可以被修改以获得最小边缘$(S,T)$ -切割的FPT采样。

$(A,\ell)$ -路径包装的参数化复杂性

Parameterized Complexity of $(A,\ell)$-Path Packing

给定图$G = (V,E)$、$A \subseteq V$以及整数$k$和$\ell$，\textsc{$(A,\ell)$-Path Packing}问题要求找到长度为$\ell$的$k$顶点不相交路径，这些路径的端点在$A$中，内部点在$V \setminus A$中。我们研究了这个问题的参数化复杂性参数$|A|$，$\ell$，$k$，树宽，路径宽度，以及它们的组合。我们提出了尖锐的复杂性对比这些参数。在其他结果中，我们表明，该问题是多项式时间可解时，$\ell \le 3$，而它是NP-完全常数$\ell \ge 4$。我们还证明了该问题是W[1]-hard的路径宽度${}+|A|$参数，而它是固定参数易处理的树宽度${}+\ell$参数。

瓦片包装层析成像是NP难的

Tile Packing Tomography is NP-hard

离散层析成像处理从低维投影重建有限空间对象，并且例如在时间表设计中具有应用。在本文中，我们考虑的问题，重建瓷砖包装从其行和列的投影。它由固定瓷砖的不相交副本组成，所有副本都包含在一些矩形网格中。投影表示每行和每列中有多少单元格被平铺覆盖。构造一个满足给定投影的瓦片堆积有多难？已知它可以通过贪心算法求解条形图（宽度或高度为1的图块），并且已知某些特定图块的NP-硬度结果。本文证明了当瓷砖不是一个酒吧时，该问题是NP-难的。

基于割的参数在计算边不相交路径中的作用

The Power of Cut-Based Parameters for Computing Edge Disjoint Paths

本文回顾了经典的边不相交路径（EDP）问题，其中给定一个无向图$G$和一组终端对$P$，并询问$G$是否包含一组连接$P$中每个终端对的成对边不相交路径.我们的目的是确定结构特性（参数）的图形，允许有效的解决方案的EDP不限制终端的位置在$P$以任何方式。在这种情况下，EDP是已知的，保持NP-困难，即使在极其有限的图类，如图的顶点覆盖大小$3$。我们提出了三个结果，使用边缘分离器为基础的参数，以图表新的岛屿的易处理性的复杂性景观的电子数据处理。我们的第一个和主要结果利用最近的结构参数treecut宽度（一个参数与图形浸入和图形切割的基本联系）：我们得到一个多项式时间的算法EDP上的每一个图形类的有界treecut宽度。我们的第二个结果表明，EDP参数化的树切宽度是不太可能是固定参数听话。我们的最后，第三个结果是一个多项式内核的EDP参数化的最小反馈边集的大小在图中。

簇编辑的次指数固定参数易处理性

Subexponential fixed-parameter tractability of cluster editing

在相关聚类中，也称为聚类编辑，我们给出一个无向n顶点图G和一个正整数k。任务是决定G是否可以被转换成聚类图，即，通过改变最多k个邻接，即通过添加/删除最多k个边，来实现集团的不相交并集。我们给出了一个次指数算法，在时间上用2 ^O（sqrt（pk））+ n^O（1）来决定G是否可以通过改变至多k个邻接而转化为具有p个团的簇图.我们补充我们的算法的研究结果，我们的算法的渐近行为的以下严格的下限。我们证明，除非ETH失败，对于任何常数0 < s <= 1，存在p = Theta（k^s），使得没有算法在时间上决定2^o（sqrt（pk））n^O（1）是否可以通过改变至多k个邻接将G转换为具有p个团的簇图。

采样列表打包

Sampling List Packings

研究图的列表打包计数问题，在最大度 $\Delta$ 且颜色数至少 $\Omega(\Delta^2)$ 时，基于 Glauber 动力学的快速混合给出 FPRAS，并分析非典型自旋系统。