Lower Bounds for Approximate (& Exact) k-Disjoint-Shortest-Paths
本文针对k-不相交最短路径问题的四个版本，基于Gap-ETH证明了在f(k)·n^{δ·k}时间内不存在(1/2+ε)-近似算法，并进一步在平面DAG、1-平面图及受限度数等结构约束下强化了不可近似性下界。
2024-08-07 cs.DS
Packing Diverse Shortest Cycles
Indian Institute of Technology Madras（马德拉斯印度理工学院）；University of Bergen（卑尔根大学）
本文证明边不相交最短环打包在参数k下是W[1]-难的，并引入更一般的多样最短环覆盖框架，在平面图上给出单指数算法，同时解决打包与多样性问题。
2026-10-08 cs.DS
Efficient Algorithms for Disjoint Shortest Paths Problem and its Extensions
本文提出高效算法解决有向图中的2-不相交最短路径问题，利用多项式递归分解和特征2域动态规划，将时间复杂度从$O(m^5n)$降至$O(mn\log n)$，并首次给出最小交点变体的高效算法。
2025-10-08 cs.DS
Counting approximately-shortest paths in directed acyclic graphs
给定一个有向无圈图，边权为正，有两个顶点s和t，阈值权为L，我们给出了一个计算长度不超过L的s-t路的全多项式时间近似方案.我们扩展算法的情况下，两个（或更多）的情况下，同一个问题。也就是说，给定两个图，有相同的顶点和边，只有不同的边的权重，并给定两个阈值权重L_1和L_2，我们展示了如何近似计数的s-t路径的长度至多L_1在第一个图和长度至多L_2在第二个图。我们相信，我们的算法应该找到应用程序在计数相关的优化问题的近似解决方案，找到一个（最佳）的解决方案，可以减少到一个专门建立的辅助图中的最短路径的计算。
2013-10-11 cs.DS
Finding single-source shortest $p$-disjoint paths: fast computation and sparse preservers
设$G$是一个有向图，它有$n$顶点，$m$边和非负边代价。给定$G$，一个固定的源顶点$s$，和一个正整数$p$，我们考虑对每个顶点$t\neq s$，计算$G$中从$s$到$t$的总代价最小的$p$边不交路的问题. Suurballe和Tarjan~[Networks，1984]通过设计还计算稀疏\emph{single-source $2$-multipath preserver}的$O(m+n\log n)$时间算法解决了$p=2$的上述问题，即，一个包含$2$边不相交路径的子图，该路径具有从$s$到$G$的每隔一个顶点的最小总成本。病例$p \geq 3$作为未决问题。我们研究了一般问题（$p\geq 2$），并证明了任何图允许一个稀疏的单源$p$ -多路径转换器与$p(n-1)$边。这个大小是最佳的，因为每个非根顶点$v$的入度必须至少为$p$。此外，我们设计了一个算法，需要$O(pn^2 (p + \log n))$的时间来计算$p$边缘不相交路径的最小总成本从源到所有其他顶点和最佳大小的单源$p$ -多路径转换器。我们的算法的运行时间优于一个自然的方法，解决$n-1$单对实例使用著名的\emph{successive shortest paths}算法的一个因素的$Θ(\frac{m}{np})$，如果$p=O(1)$和$m=Θ(n^2)$是渐近接近最优的。我们的结…
2021-06-23 cs.DS
Shortest Vertex-Disjoint Two-Face Paths in Planar Graphs
令$G$是复杂度为$n$的有向平面图，每条弧具有非负长度。令$s$和$t$为$G$的两个不同面;令$s_1,...,s_k$为与$s$关联的顶点;令$t_1,...,t_k$为与$t$关联的顶点。给出了一个在$O(kn\log n)$时间内计算连接$G$中$(s_i,t_i)$对的$k$两两顶点不相交路径的算法。
2008-02-20 cs.DS math.CO
Towards single face shortest vertex-disjoint paths in undirected planar graphs
给定图$G$中的终端$\{(s_{1}, t_{1}), \ldots, (s_{k}, t_{k})\}$的$k$对，最小和$k$顶点不相交路径问题是找到具有最小总长度的顶点不相交路径的集合$\{Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{k}\}$，其中$Q_{i}$是$s_i$和$t_i$之间的$s_i$到$t_i$的路径。我们考虑的问题，在平面图中，很少有人知道计算的易处理性，即使在限制的情况下。Kobayashi和Sommer提出了无向平面图中$k \le 3$的多项式时间算法，假设所有终端最多与两个面相邻。Colin de Verdiere和Schrijver给出了一个多项式时间算法，当所有的源都在一个面的边界上，所有的汇都在另一个面的边界上，并询问是否存在多项式时间算法，只要所有的终端都在一个公共面上。当$\{(s_{1}, t_{1}), \ldots, (s_{k}, t_{k})\}$在一个公共面上按逆时针方向排列时，我们给出了无向平面图的$O(kn^5)$时间算法.
2015-07-21 cs.DS
A Polynomial Time Algorithm for the $k$-Disjoint Shortest Paths Problem
不相交路径问题是算法图论和组合优化中的一个基本问题。对于给定的图$G$和$G$中的一组$k$对终端，它要求存在连接每对终端的$k$顶点不相交路径。Robertson和Seymour [JCTB 1995]证明了任何固定$k$的$n^3$算法的存在性，这是他们的Graph Minors项目的亮点之一。在本文中，我们专注于版本的问题，所有的路径都需要最短路径。这个问题，称为不相交的最短路径问题，是由Eilam-Tzoreff [DAM 1998]介绍的，她证明了$k = 2$的情况下承认一个多项式时间算法。这个问题最近受到了一些关注，特别是自从Bérczi和Kobayashi [ESA 2017]证明了在$k = 2$的定向情况下存在多项式时间算法以来。然而，存在一个多项式算法时，$k = 3$在无向版本仍然开放，自1998年以来。在本文中，我们证明了任何固定的$k$，不相交的最短路问题承认一个多项式时间算法。事实上，对于任何固定的$C$，该算法可以扩展到处理连接$(s,t)$对的每条路径的长度至多为$d(s,t) + C$的情况。
2020-11-20 cs.DS math.CO
Shortest (A+B)-path packing via hafnian
Björklund和Husfeldt开发了一个随机多项式时间算法来解决最短的两个不相交的路径问题。他们的算法基于积算模4和隔离引理。在本文中，我们考虑以下推广的最短两个不相交的道路问题，并开发了一个类似的代数算法。最短完美$(A+B)$ -路径包装问题是：给定一个无向图$G$和两个具有偶数基数的不相交节点子集$A,B$，找出一条两端都在$A$或两端都在$B$中的最短$|A|/2+|B|/2$不相交路径.除了它的NP-困难，我们证明了这个问题可以在随机多项式时间内解决，如果$|A|+|B|$是固定的。我们的算法基本上遵循Björklund和Husfeldt的框架，但使用了一种新的技术：计算与Gallai的减少从$T$ -路径的匹配结合起来的模$2^k$。我们也推广了我们的技术解决其他路径包装问题，并讨论了它的局限性。
2017-06-13 cs.DS math.CO
Using a geometric lens to find k disjoint shortest paths
给定一个无向$n$ -顶点图和$k$对的终端顶点$(s_1,t_1), \ldots, (s_k,t_k)$，$k$ -不相交最短路径（$k$-DSP）-问题询问是否存在$k$成对顶点不相交路径$P_1,\ldots, P_k$，使得$P_i$是每个$i \in [k]$的最短$s_i$ -路径.最近，Lochet [SODA 2021]提供了一种在$n^{O(k^{5^k})}$时间内求解$k$ -DSP的算法，回答了一个20年前提出的关于$k$ -DSP对于常数$k$的计算复杂度的问题。一方面，我们提出了一个改进的$n^{O(k!k)}$时间算法的基础上，一个新的几何视图对这个问题。对于特殊情况下$k=2$的$m$边缘图，我们表明，运行时间可以进一步减少到$O(nm)$通过小的修改的算法和精细的分析。另一方面，我们证明了$k$ -DSP相对于$k$是W[1]-硬的，表明多项式运行时间的次数对参数$k$的依赖性大概是不可避免的。
2022-05-02 cs.DS math.CO
Shortest node-disjoint paths on random graphs
设计了一种随机图上路径分配的局部化方法，旨在找到给定源/目的地对之间的最短路径，同时避免节点处的路径重叠。我们提出了一种基于消息传递技术的方法来处理全局信息并优化分配路径。统计性质，如缩放系统的大小和路径数，平均路径长度和过渡到挫折政权进行了分析。所提出的算法的性能进行评估，通过与贪婪算法的比较。
2014-05-18 cond-mat.dis-nn cs.DS math.OC
Tight Approximation and Kernelization Bounds for Vertex-Disjoint Shortest Paths
本文研究最大顶点不相交最短路径问题的近似与核化，证明在gap-ETH下无o(k)近似，且除非P=NP否则无n^(1/2-ε)近似，同时给出紧的2^O(ℓ)时间算法并排除多项式核。
2025-04-22 cs.DS
Fault-Tolerant Edge-Disjoint Paths -- Beyond Uniform Faults
绝大多数的可生存（容错）网络设计模型假设一个统一的故障模型。这样的模型假设给定基数$k$的网络资源（边或顶点）的每个子集可能失败。虽然这种方法产生了干净的组合结构和良好的算法的问题，但它通常无法捕捉来自应用程序的场景集的真实性质。统一模型的一个自然细化是通过将资源集划分为脆弱资源和安全资源来获得的。方案集包含至多$k$故障资源的每个子集。本文研究了容错路径问题（FTP）和容错流问题（FTF），前者对应于最短路径问题，后者对应于$\ell$ -不相交最短$s$ - $t$路径问题。我们提出了复杂性的结果，精确和近似算法为两种模式。我们强调的巨大增加的问题的复杂性方面的统一模拟，边缘不相交的路径问题。
2020-09-10 cs.DS
Packing Short Cycles
本文研究加权图中的短环装填，证明最小和环装填对固定k多项式可解但参数化W[1]-难，并给出平面图上最短环装填的FPT算法及边不相交变体的多项式核。
2024-10-25 cs.DS
A parallel algorithm for the odd two-face shortest k-disjoint path problem
针对平面图上每个面含奇数个终端的双面最短k不相交路径问题，结合已有2-SDPP随机方案、并行化思路及单面确定性算法，提出首个随机多项式时间甚至RNC级的并行算法，还给出(A+B)-SDPP的并行算法。
2025-03-20 cs.DC cs.DS
Differentially Private Range Query on Shortest Paths
我们考虑差分私有范围查询的图，查询范围被定义为一组边缘上的最短路径的图。图中的边携带敏感属性，目标是报告这些属性在计数查询的最短路径上的总和或瓶颈查询中的最小属性。我们使用差分隐私来确保这些查询答案的发布提供对敏感边缘属性的隐私的保护。我们的目标是开发机制，最大限度地减少与给定的隐私预算报告的答案的添加剂错误。在本文中，我们报告非平凡的结果，私人范围查询的最短路径。对于计数范围查询，对于$\varepsilon$ -DP，我们可以实现$\tilde O(n^{1/3})$的附加误差，对于$(\varepsilon, δ)$ -DP，可以实现$\tilde O(n^{1/4})$的附加误差。我们提出了两种算法，我们控制的最终错误，通过仔细平衡扰动添加到边缘属性直接与扰动添加到范围查询答案的子集（可用于其他范围查询）。瓶颈范围查询更容易，并且可以使用标准技术用多对数加性错误来回答。
2023-03-02 cs.DS
Long Directed Detours: Reduction to $2$-Disjoint Paths
我们研究了有向图中{ \sc最长路径}问题的“以上保证”版本：我们给出一个图$G$，$G$的两个顶点$s$和$t$，以及一个非负整数$k$，并且目标是确定$G$是否包含长度至少为$dist_G(s,t) +k$的路径，其中$dist_G(s,t)$是$G$中从$s$到$t$的最短路径的长度（假设存在一个）。证明了在{ \sc $2$ -不相交路径}问题是多项式时间可解的图类中，该问题是由$k$参数化的固定参数可解的.
2023-01-24 cs.DS
Improved Distance Queries and Cycle Counting by Frobenius Normal Form
考虑一个未加权的有向图$G$，直径为$D$。本文介绍了在矩阵乘法时间$\widetilde{O}(n^ω)$中计算给定长度的循环和游动的框架。该框架是基于快速分解成Frobenius范式和汉克尔矩阵向量乘法。它使我们能够有效地解决所有节点最短圈，所有对所有行走问题，也给出了一些改进的距离查询的无权图。
2023-03-13 cs.DS
Detecting Disjoint Shortest Paths in Linear Time and More
本文研究 $k$-DSP 的复杂性，给出加权无向图和 DAG 上 2-DSP 的线性时间检测算法，并改进从 $k$-Clique 到 $k$-DSP 与 $p$-DP 的归约，得到更强条件下界。
2024-05-10 cs.DM cs.DS
A Faster Algorithm for Minimum-Cost Bipartite Matching in Minor-Free Graphs
我们给出了一个$\tilde{O}(n^{7/5} \log (nC))$ -时间算法来计算$K_h$ -minor free图中的最小代价最大基数匹配（最优匹配），其中$K_h$ -minor free图具有$h=O(1)$和整数边权值的幅度至多为$C$。这改进了Cohen等人的$\tilde{O}(n^{10/7}\log{C})$算法[SODA 2017]以及Gabow和Tarjan的$O(n^{3/2}\log (nC))$算法[SIAM J. COMPUT. 1989年]。对于具有$m$边和$n$顶点的图，著名的匈牙利算法在$O(m)$时间内计算每个阶段的最短扩充路径，从而在$O(mn)$时间内产生最优匹配。Hopcroft-Karp [SIAM J. Comput. 1973]和Gabow-Tarjan [SIAM J. 1989]算法计算，在每个阶段中，顶点不相交的最短增广路径（适当定义的成本）在$O(m)$时间的最大集合。这将减少从$n$到$O(\sqrt{n})$的阶段数，并将总执行时间减少到$O(m\sqrt{n})$。为了获得我们的速度，我们放松条件的扩增路径和迭代计算，在每个阶段，一组精心挑选的扩增路径，不限于最短或顶点不相交。因此，我们的算法在每个阶段中计算更多的增强路径，将阶段数从$O(\sqrt{n})$减少到$O(n^{2/5})$。通过使用小的顶点…
2018-07-12 cs.DS
Improved Bounds for Shortest Paths in Dense Distance Graphs
我们研究了在所谓的密集距离图中计算最短路径的问题。$n$顶点上的每个平面图$G$可以被划分成一组$O(n/r)$边不相交区域（称为$r$ -划分），每个区域具有$O(r)$顶点，使得每个区域具有与其他区域共同的$O(\sqrt{r})$顶点（称为边界顶点）。一个区域的稠密距离图是一个包含其边界节点间所有对距离的完全图。$r$ -划分的稠密距离图是各个块的$O(n/r)$稠密距离图的并集。自从Fakcharoenphol和Rao引入密集距离图以来，在密集距离图中计算单源最短路径已经在基本平面图算法中找到了许多应用。Fakcharoenphol和Rao提出了一种算法（后来称为FR-Dijkstra），用于在$O\left(\frac{n}{\sqrt{r}}\log{n}\log{r}\right)$时间内计算密集距离图中的单源最短路径。我们展示了这个问题的$O\left(\frac{n}{\sqrt{r}}\left(\frac{\log^2{r}}{\log^2\log{r}}+\log{n}\log^ε{r}\right)\right)$时间算法，这是第一次改进到目前为止，FR-Dijkstra的重要情况下，$r$是多项式在$n$。在这种情况下，我们的算法是更快的一个因素的$O(\log^2{\log{n}})$，并意味着改进的上限，如多源多汇最大流，单源所有汇最大流，和（动态）…
2016-07-15 cs.DS
Beeping Shortest Paths via Hypergraph Bipartite Decomposition
在分布式计算中，构造两个网络节点之间的最短路径是一项基本任务。这项工作开发计划的建设随机蜂鸣网络之间的一个预定的源节点和任意一组目的地节点的最短路径。我们的第一个方案构造了一个（单一）最短路径的任意目的地在$O (D \log\log n + \log^3 n)$轮具有高概率。我们的第二个方案构造多个最短路径，每个目的地一个，在$O (D \log^2 n + \log^3 n)$轮具有高概率。我们的计划是基于减少上述最短路径建设任务分解超图成二分超图：我们开发了一个蜂鸣程序，分区（多项式大）超图$H = (V_H, E_H)$的超边集$k = Θ(\log^2 n)$不相交的子集$F_1 \cup \cdots \cup F_k = E_H$，使（子）超图$(V_H, F_i)$是二分的意义上，存在一个顶点子集$U \subseteq V$，使$|U \cap e| = 1$为每个$e \in F_i$。这个过程被证明是有助于加快最短路径的建设下的哔哔声模型。
2023-01-03 cs.DC cs.DS
Fault-Tolerant Shortest Paths - Beyond the Uniform Failure Model
绝大多数可生存（容错）网络设计模型假设一个统一的场景集。这样的场景集合假设给定基数$k$的网络资源（边或顶点）的每个子集包括场景。虽然这种方法产生了干净的组合结构和良好的算法的问题，但它通常无法捕捉来自应用程序的场景集的真实性质。统一模型的一个自然细化是通过将资源集划分为故障资源和安全资源来获得的。方案集包含至多$k$故障资源的每个子集。这项工作研究的容错路径（FTP）的问题，对应的最短路径问题，在这个故障模型。我们提出了复杂性的结果，以及精确和近似算法FTP。我们强调的巨大增加的问题的复杂性，其统一的模拟，边缘不相交的路径问题。
2013-01-26 cs.DS math.OC
Near-Optimal Disjoint-Path Facility Location Through Set Cover by Pairs
在本文中，我们考虑两种特殊情况下出现的“覆盖对”优化问题，当我们需要放置设施，使每个客户都由两个设施，达到它的不相交的最短路径。这些问题出现在由Breslau等人提出的网络流量监控方案中，并具有潜在的内容分发应用。“set-disjoint”变体适用于使用OSPF路由协议的网络，而“path-disjoint”变体适用于启用MPLS路由的网络，从而以更高的运营成本为代价实现更好的解决方案。虽然我们可以证明没有多项式时间算法可以保证两个版本都有很好的解决方案，但我们能够提供在现实世界网络结构的实例中实践效果非常好的算法。通过利用关于网络实例和对应的成对覆盖问题实例之间关系的数学观察，可以快速实现网络分析，这使我们能够对网络分析进行广泛的实验评估，以及它们产生的解决方案告诉我们所提出的监测方案的有效性。对于集合不相交的变体，我们通过一个新的下界整数规划公式验证了我们的近最优性主张。虽然计算这个下限需要解决NP-难命中集问题，并且在最坏的情况下可能会通过线性因子低估最优值，但它可以通过CPLEX快速计算，并且它等于我们广泛测试平台中所有实例的最优解值。
2016-11-03 cs.DS
Parameterized algorithms for Eccentricity Shortest Path Problem
本文研究了 Eccentricity Shortest Path (ESP) 问题的参数化复杂度，证明了其在不相交路径删除集等参数下是 FPT 的，在反馈顶点集参数下存在近似算法，并在弦顶点删除集参数下是 W[2]-hard 的。
2023-04-06 cs.DM cs.DS
Computing Shortest Paths among Curved Obstacles in the Plane
计算几何中的一个基本问题是计算平面上两点之间的避障欧几里德最短路径。这个问题的多边形障碍的情况下，很好地研究。在本文中，我们考虑的问题版本弯曲的障碍，通常建模为样条。一个样条可以看作是用一个凸的曲线边代替多边形的每一条边（多边形是特殊的样条）。假设每个曲线边的复杂度为O（1）。给定平面上的两个点s和t以及一组$h$两两不相交的样条函数，它们的顶点总数为$n$，我们在$O(n+h\log^{1+ε}h+k)$时间内计算一条避开样条函数的最短s到t路径，其中k是对输入样条函数的结构敏感的参数，其上界为$O(h^2)$。特别地，当所有样条曲线都是凸的时，$k$与样条曲线之间的自由空间中的公共切线（称为“自由公共切线”）的数量成比例。我们开发的技术解决问题的一般（非凸）样条域，这也改善了以前的几个结果。特别是，我们的技术产生一个最佳的输出敏感算法的基本可见性问题的计算所有自由的公共切线之间的$h$成对不相交凸样条曲线与总的$n$顶点。我们的算法运行在$O(n+h\log h+k)$时间和$O(n)$空间，其中$k$是所有自由公共切线的数量。即使对于所有样条曲线都是凸多边形的特殊情况，以前最好的算法也需要$O(n+h^2\log n)$时间。
2015-04-24 cs.CG cs.DS
Gabow's $O(\sqrt{n}m)$ Maximum Cardinality Matching Algorithm, Revisited
Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克信息学研究所）；Sharif University（谢里夫大学）
本文重新审视 Gabow 的 $O(\sqrt{n}m)$ 最大基数匹配算法，提出更直接的实现方法，并提供可运行的实现代码。
2026-04-21 cs.DS
Computing L1 Shortest Paths among Polygonal Obstacles in the Plane
给定一个点$s$和一组完全$n$顶点的$h$两两不相交的多边形障碍物，我们提出了一个新的算法，用于在$O(T)$时间和O（n）空间中构造大小为O（n）的$L_1$最短路径图，使得对于任何查询点$t$，$L_1$最短障碍物的长度-可以在$O(\log n)$时间内报告从$s$到$t$的回避路径，并且可以在与路径的边的数量成比例的附加时间内找到实际的最短路径，其中$T$是用于对自由空间进行三角测量的时间。目前已知，对于任意小的常数$ε>0$，$T=O(n+h\log^{1+ε}h)$。如果三角测量可以最优地完成（即，$T=O(n+h\log h)$），则我们的算法是最优的。以前，最好的算法在$O(n\log n)$时间和O（n）空间中计算这样的$L_1$最短路径图。我们的技术可以扩展到其他相关问题，例如，为多边形域中的一组点位置计算$L_1$测地Voronoi图，找到具有固定方向的最短路径，找到近似欧几里德最短路径等。
2012-02-26 cs.CG cs.DS
Forcing a unique minimum spanning tree and a unique shortest path
Hokkaido University（北海道大学）；Institute of Informatics, University of Warsaw（华沙大学信息学研究所）；LAMSADE, Université Paris-Dauphine, PSL University, CNRS UMR7243（LAMSADE，巴黎第九大学，PSL大学，法国国家科学研究中心UMR7243）；Université Paris Cité, IRIF, CNRS（巴黎西岱大学，IRIF，法国国家科学研究中心）；Nagoya University（名古屋大学）
研究最短\(s\)-\(t\)路径问题和最小权重生成树问题中找最小强制集与反强制集的复杂性，除最短\(s\)-\(t\)路径最小反强制集判定为NP完全外可处理，还设计了相关固定参数可处理算法。
2026-08-24 cs.DS
A New Algorithm for Euclidean Shortest Paths in the Plane
给定平面上一组成对不相交的多边形障碍物，寻找两点之间避障碍的欧几里得最短路径是计算几何中的经典问题，已得到广泛研究。此前，Hershberger和Suri [SIAM J. COMPUT. 1999]给出了$O(n\log n)$时间和$O(n\log n)$空间的算法，其中$n$是所有障碍物的顶点总数。最近，通过修改Hershberger和Suri的算法，Wang [SODA 2021]将空间减少到$O(n)$，而算法的运行时间仍然是$O(n\log n)$。本文提出了一种新的$O(n+h\log h)$时间和$O(n)$空间的算法，只要给定自由空间的三角剖分，其中$h$是障碍物的个数。该算法改进了以前的工作时，$h=o(n)$，是最佳的时间和空间的$Ω(n+h\log h)$是运行时的下限。我们的算法建立了一个最短路径映射的源点$s$，使任何查询点$t$，从$s$到$t$的最短路径长度可以计算在$O(\log n)$的时间和最短的$s$ - $t$路径可以产生在额外的时间线性的路径的边缘的数量。
2021-02-24 cs.CG cs.DS
Fault-Tolerant Distance Labeling for Planar Graphs
在容错距离标记中，我们希望为图$G$的顶点分配短标签，使得从任何三个顶点$u,v,f$的标签，我们可以推断图$G\setminus \{f\}$中的$u$到$v$的距离。我们表明，任何有向加权平面图（事实上，任何图形中的一个图的家庭与$O(\sqrt{n})$大小的分隔符，如未成年人的自由图）承认的容错距离标签的大小$O(n^{2/3})$。我们扩展了这些标签的方式，使我们也可以计算最短路径的数量，并提供额外的上限和下限的标签和神谕计算最短路径。
2021-02-14 cs.DS
Shortest Paths Among Obstacles in the Plane Revisited
给定平面上两两不相交的多边形障碍物，寻找两点间的避障欧氏最短路径是计算几何中的经典问题，并得到了广泛的研究。先前的最佳算法由Hershberger和Suri给出[FOCS 1993，SIAM J. Comput. 1999]并且该算法在$O(n\log n)$时间和$O(n\log n)$空间中运行，其中$n$是所有障碍物的顶点总数。该算法是时间最优的，因为$Ω(n\log n)$是一个下界。二十多年来，空间是否可以减少到$O(n)$一直是一个悬而未决的问题。在本文中，我们解决这个问题的解决方案是在$O(n\log n)$时间和$O(n)$空间，这是最佳的时间和空间，我们实现了这一点，通过修改的Hershberger和Suri的算法。像他们原来的算法一样，我们的新算法可以在$O(n\log n)$时间和$O(n)$空间中为源点$s$构建最短路径映射，这样给定任何查询点$t$，从$s$到$t$的最短路径的长度可以在$O(\log n)$时间内计算，并且可以在额外的时间内产生与路径的边数成线性的最短路径。
2021-05-29 cs.CG cs.DS
Counting thin subgraphs via packings faster than meet-in-the-middle time
Vassilevska和Williams（STOC 2009）展示了如何计算$n$ -时间点图中$k$顶点上的简单路径和$k/2$边的匹配数$n^{k/2+O(1)}$。同年，Koutis和Williams~（ICALP 2009）和Björklund \emph{et al.}（ESA 2009）给出了两个具有相同运行时间的不同算法，通过$n^{st/2+O(1)}$ -时间算法来计算$t$ -从$n$ -元素论域的给定$s$ -大小的子集族中提取的成对不相交集的元组。不久之后，Alon和Gutner（TALG 2010）表明，当通过颜色编码计数时，这些问题具有$Ω(n^{\lfloor st/2\rfloor})$和$Ω(n^{\lfloor k/2\rfloor})$下限。在这里，我们表明，可以做得更好，即，我们表明，“满足在中间”指数$st/2$可以击败，并给出一个算法，在时间上计数$n^{0.45470382 st + O(1)}$ $t$三的倍数。这意味着算法的出现的固定子图的$k$顶点和路径宽度$p\ll k$在$n$ -顶点图在$n^{0.45470382k+2p+O(1)}$的时间，改进了上述三个算法的路径和匹配，并绕过了颜色编码的下限。我们也给出了改进的界计数$t$ -元组的不相交$s$ -集$s=2,3,4$。我们的算法使用快速矩阵乘法。我们证明了一个论点，这…
2015-08-14 cs.DM cs.DS
Shortest Odd Paths in Undirected Graphs with Conservative Weight Functions
针对保守权无向图中NP难的最短奇路径问题，提出负权边构成单树时的多项式时间算法，以及分别以负边相关匹配最大规模、图树宽为参数的两种FPT算法。
2023-08-24 cs.DS math.OC
Fredman's Trick Meets Dominance Product: Fine-Grained Complexity of Unweighted APSP, 3SUM Counting, and More
在本文中，我们仔细地结合了Fredman的技巧[SICOMP'76]和Matoušek的优势积方法[IPL'91]，以获得细粒度复杂性的强大结果：- 假设在$\{1, 2, \ldots, n\}$中具有边权重的无向图的APSP需要$n^{3-o(1)}$时间（当$ω=2$），我们显示了各种条件下界，包括用于未加权有向APSP的$n^{7/3-o(1)}$下界和用于计算两个$n \times n$布尔矩阵之间的最小见证积的$n^{2.2-o(1)}$下界，即使是$ω=2$，改进了它们的平凡$n^2$下界。我们的技术也可以用来减少未加权有向APSP问题的其他问题。特别是，我们表明，（当$ω= 2$），如果未加权定向APSP需要$n^{2.5-o(1)}$时间，那么最小见证产品需要$n^{7/3-o(1)}$时间。- 我们发现，令人惊讶的是，许多核心问题在细粒度的复杂性是等同于他们的自然计数版本。特别地，我们证明了Min-Plus Product和Exact Triangle是次三次等价于它们的计数版本，3SUM是次二次等价于它们的计数版本。- 我们获得新的算法使用新的变种的Balog-Szemerédi-Gowers定理从添加剂组合。例如，我们得到了一个$O(n^{3.83})$时间确定性算法，用于精确计算任意加权图中的最短路径数，改进了教科书中的$\widetilde{O}(n^{…
2023-03-25 cs.DS
Counting Paths and Packings in Halves
它表明，一个可以计数$k$ -边路径在$n$ -顶点图和$m$ -集$k$ -包装上的$n$ -元素的宇宙，分别在时间${n \choose k/2}$和${n \choose mk/2}$，直到一个因子多项式在$n$，$k$，和$m$ ;在多项式空间中，边界保持，如果乘以$3^{k/2}$或$5^{mk/2}$，分别。这些是一个更一般的结果的含义：给定$n$ -元素论域上的两个集合族，人们可以用$\nO(n \ell)$基本运算来计算两个集合族的笛卡尔积中的不相交集合对，其中$\ell$是两个集合族及其子集中的成员数。
2009-04-20 cs.DM cs.DS
Bicriteria Rectilinear Shortest Paths among Rectilinear Obstacles in the Plane
给定平面上$h$两两不相交的直线障碍物的直线区域$\mathcal{P}$，研究了在$\mathcal{P}$中计算两点$s$和$t$之间的双准则直线最短路问题.考虑了三种类型的双准则直线路径：最小连接最短路径、最短最小连接路径和最小代价路径，其中路径的代价是边数和路径长度的非减函数，还考虑了单点和两点路径查询。这些问题的算法以前已经给出。我们的贡献是三方面的。首先，我们发现一个关键错误，在所有以前的算法。其次，我们以一种不那么微不足道的方式纠正错误。第三，我们进一步改进的算法，使他们甚至比以前的（不正确的）算法时，$h$是相对较小的。例如，对于最小链路最短路径，我们得到以下结果。我们的算法在$O(n+h\log^{3/2} h)$时间内计算最小链路最短$s$ - $t$路径。对于单点查询，我们为源点$s$构建了一个在$O(n+h\log^{3/2} h)$时间内大小为$O(n+ h\log h)$的数据结构，使得给定任何查询点$t$，可以在$O(\log n)$时间内确定最小链路最短$s$ - $t$路径。对于两点查询，通过$O(n+h^2\log^2 h)$时间和空间预处理，可以在$O(\log n+\log^2 h)$时间内为任意两个查询点$s$和$t$确定一条最小链接最短$s$-$t$路径;或者，通过$O(n+h^2\cdot \log^{2} h \cdot 4^{\sq…
2017-06-23 cs.CG cs.DS
A Local-to-Global Theorem for Congested Shortest Paths
本文将有向无环图的局部到全局最短路径定理推广至无向图和有向图（往返路径），并据此证明当$k-c$为常数时无向图上的拥塞$k$-最短路径问题可在多项式时间内解决。
2023-06-27 cs.CC cs.DM cs.DS
Fixed-parameter tractability of counting small minimum $(S,T)$-cuts
计数最小割的参数化复杂性是一个自然的问题，因为Ball和Provan证明了它的#P-完备性。对于任意无向图$G=(V,E)$及其两个不相交的顶点集$S,T$，我们设计了一个计算最小边$(S,T)$ -割的固定参数的易处理算法，该算法以最小边的大小$p$为参数.我们的算法在变换后的图实例上操作。这种变换称为引流，它揭示了至多$n=\left| V \right|$连续最小$(S,T)$ -割集$Z_i$的集合。证明了任意最小$(S,T)$ -截$X$至少包含一个截$Z_i$的边.这一观察，与门格尔定理，使我们能够建立算法计数所有最小$(S,T)$ -切割与运行时间$2^{O(p^2)}n^{O(1)}$。最初专用于计数最小切割，它可以被修改以获得最小边缘$(S,T)$ -切割的FPT采样。
2019-07-05 cs.CC cs.DS
Number Balancing is as hard as Minkowski's Theorem and Shortest Vector
数字平衡（NBP）问题如下：给定实数$a_1,\ldots,a_n \in [0,1]$，找到两个不相交的子集$I_1,I_2 \subseteq [n]$，使得它们的和的差$|\sum_{i \in I_1}a_i - \sum_{i \in I_2}a_i|$最小。鸽子洞原理的一个应用表明，总有一个解决方案，其中的差异是最多$O(\frac{\sqrt{n}}{2^n})$。然而，找到最小值是NP困难的。Karmarkar和Karp在1982年提出的差分算法在多项式时间内最多可以得到$n^{-Θ(\log n)}$的解，但此后没有进一步的改进。在本文中，我们展示了NBP和Minkowski定理之间的关系。首先，我们表明，一个近似的预言闵可夫斯基定理给出了一个近似的NBP预言。也许更令人惊讶的是，我们表明，一个近似的NBP甲骨文给出了一个近似的闵可夫斯基甲骨文。特别是，我们证明了任何多项式时间算法，保证最多$2^{\sqrt{n}} / 2^{n}$的差异的解决方案将给出一个多项式近似闵可夫斯基以及多项式因子近似算法的最短向量问题。
2016-11-29 cs.CC cs.CG cs.DM
The Shortest Even Cycle Problem is Tractable
给定一个有向图，我们展示了如何有效地找到一个最短的（有向的，简单的）周期上的一个偶数的顶点。据我们所知，没有多项式时间算法是以前已知的这个问题。事实上，在多项式时间内找到有向图中的任何偶数循环已经开放了二十多年，直到Robertson，Seymour和Thomas（Ann. of Math.（2）1999）以及McCuaig（Electron. J. Combin. 2004;在STOC 1997联合宣布）给出了一个有效的可测试的结构特征的偶圈自由有向图。方法上，我们的算法依赖于代数指纹和随机多项式身份测试在有限域，并使用生成多项式隐含在Vazirani和Yannakakis（离散应用数学。1989），枚举加权循环覆盖作为一个永久的和一个行列式多项式的差异。我们主要的技术贡献是与永久性工作的需要。我们设计了一个家庭的有限交换环的特征4，同时（i）通过永久和行列式的生成多项式身份的非退化表示，（ii）支持有效的永久计算，（iii）使仿真的有限域算术的特征2。在这里，我们的工作是由比约克隆德和Husfeldt（SIAM J. COMPUT。2019年），他使用了一个效率相当低的环设计来获得最短两条不相交路径问题的多项式时间算法。吉尔伯特和Tarjan（编号。Math.1978）以及Alon和Yuster（J. ACM 2013），我们还展示了当我们控制输入图的分隔符结构时，用于求解线性…
2021-11-04 cs.DS math.CO
Multi-Pass Graph Streaming Lower Bounds for Cycle Counting, MAX-CUT, Matching Size, and Other Problems
考虑流模型中的以下间隙循环计数问题：$2$ -正则$n$ -顶点图$G$的边在流中逐个到达，并且我们保证$G$是$k$ -循环或$2k$ -循环的不相交并集，对于一些小的$k$ ;目标是区分这两种情况。Verbin和Yu [SODA 2011]介绍了这个问题，并表明解决这个问题的任何单通道流算法都需要$n^{1-Ω(\frac{1}{k})}$空间。这个结果及其背后的技术-布尔隐藏超匹配通信问题-已经被广泛用于证明各种问题的流下界。尽管它的意义和广泛的应用范围，Verbin和Yu的下界技术带有一个关键的弱点，这是继承了所有后续的结果：布尔隐藏超匹配问题是困难的，只有当正好有一轮的通信，可以解决对数通信在两轮。因此，从这个问题导出的所有流下界仅适用于单通道算法。我们证明了第一个多遍的间隙周期计数问题的下限：任何$p$通过流算法，可以区分不相交的联盟$k$ -周期与$2k$ -周期-甚至$k$ -周期与一个哈密尔顿周期-需要$n^{1-\frac{1}{k^{Ω(1/p)}}}$空间。作为这个结果的推论，我们可以将许多以前的下界扩展到多遍算法。例如，我们现在可以证明，$(1+ε)$近似于MAX-CUT的值、最大匹配大小或$n$ × $n$矩阵的秩的任何流算法需要$n^{Ω(1)}$空间或$Ω(\log{(\frac{1}ε)})$遍。对于所有这些问题，先前的工作甚至只在两个通道中打开了…
2021-04-17 cs.CC cs.DS
Two-Point $L_1$ Shortest Path Queries in the Plane
设$\mathcal{P}$是一组$h$成对不相交的多边形障碍物，其在平面中具有$n$顶点。我们考虑构建一个数据结构的问题，该数据结构可以快速计算任意两个查询点$s$和$t$之间的$L_1$最短避障路径。先前，在$O(n^2\log^2 n)$时间内构造大小为$O(n^2\log n)$的数据结构，其在$O(\log^2 n+k)$时间内回答每个两点查询，即，在$O(\log^2 n)$时间内报告最短路径长度，在附加的$O(k)$时间内报告实际路径，其中$k$是输出路径的边数.本文建立了一种新的数据结构，其大小为$O(n+h^2\cdot \log h \cdot 4^{\sqrt{\log h}})$ in $O(n+h^2\cdot \log^{2} h \cdot 4^{\sqrt{\log h}})$ time，在$O(\log n+k)$时间内回答每个查询.请注意，对于任何常数$ε>0$，$n+h^2\cdot \log^{2} h \cdot 4^{\sqrt{\log h}}=O(n+h^{2+ε})$。此外，我们将我们的技术扩展到加权直线版本，其中$\mathcal{P}$的“障碍”是具有“权重”的直线区域，并允许$L_1$路径以加权成本穿过它们。我们的算法在$O(\log n+k)$时间内回答每个查询，并在$O(n^2\cdot \log^{2} n\cdot 4…
2014-03-13 cs.CG cs.DS
Algorithmic Aspects of Temporal Betweenness
该研究系统探究基于不同最优时间路径的时间介数变体，证明最先到达路径、最快路径的介数计算为#P难，给出最短路径及两类最先到达路径特例的多项式时间算法，并通过实验验证算法有效性、给出使用建议。
2021-04-08 cs.DM cs.DS
Faster Counting and Sampling Algorithms using Colorful Decision Oracle
In this work, we consider $d$ -{ \sc Hyperedge Estimation} and $d$ -{ \sc Hyperedge Sample} problem in a hypergraph $\mathcal{H}(U(\mathcal{H}),\mathcal{F}(\mathcal{H}))$ in the query complexity framework, where $U(\mathcal{H})$ denotes the set of vertices and $\mathcal{F}(\mathcal{H})$ denotes the set of hyperedges. The oracle access to the hypergraph is called { \sc Colorful Independence Oracle} ({ \sc CID}), which takes $d$ (non-empty) pairwise disjoint subsets of vertices $A_1,\ldots,A_d \subseteq U(\mathcal{H})$ as input, and answers whether there exists a hyperedge in $\mathcal{H}$ havin…
2022-01-25 cs.DS
(Noisy) Gap Cycle Counting Strikes Back: Random Order Streaming Lower Bounds for Connected Components and Beyond
本文研究了带噪声间隙环计数问题在随机边划分下的鲁棒通信复杂性，证明了当 $k$ 大于 $\log{n}$ 的常数倍时通信复杂度为 $\Omega(n)$，由此导出随机顺序流中连通分量计数等问题的空间下界，解决了相关猜想。
2023-05-18 cs.CC cs.DS
Paths and Intersections: Repelling Pairs
National University of Singapore（新加坡国立大学）；University of Minnesota Twin Cities（明尼苏达大学双城分校）
研究冈村-西摩实例最短路径度量反问题，给定循环有序终端集上的OS度量D，目标是找到其最小实现，通过分析图结构，证明D确定规范中间图模板，可恢复最小实现的底层嵌入图并计算边长。
2026-09-11 cs.CG cs.DS math.CO
Sampling Algorithms for Butterfly Counting on Temporal Bipartite Graphs
针对时间二分图上的蝴蝶计数问题，提出包含三种采样策略的通用框架，通过近似估计实现高效准确计数，并在六个真实数据集上验证了优越性能。
2023-10-18 cs.DB cs.DS cs.SI
Half-space separation in monophonic convexity
本文研究单音凸性中的半空间分离问题，证明该问题可在多项式时间内求解，与测地凸性中的NP完全性形成对比。
2024-09-02 cs.DM cs.DS math.CO
Touring a Sequence of Orthogonal Polygons
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；POSTECH（浦项科技大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Saarland University（萨尔兰大学）；Humboldt-University Berlin（柏林洪堡大学）；Aalto University（阿尔托大学）；University of Hamburg（汉堡大学）
研究如何计算访问一系列k个多边形的最短路径，提出在正交多边形和曼哈顿距离下，针对不同情况设计了高效算法，包括亚二次复杂度算法和轴对齐矩形的线性算法。
2026-05-12 cs.CG cs.DS
Counting basic-irreducible factors mod $p^k$ in deterministic poly-time and $p$-adic applications
找到多项式$f(x)$模素数$p$的不可约因子在确定性多项式时间内是未知的。虽然有这样一个经典的算法，{ \em计数}的不可约因子的数量$f\bmod p$。我们可以问同样的问题模素数幂$p^k$。$f\bmod p^k$的不可约因子在数量上呈指数级增长，因此很难描述它们。我们能否计算出那些保持不可约模$p$的不可约因子$\bmod~p^k$？这些被称为{ \em基本不可约}。一个简单的例子是在$f=x^2+px \bmod p^2$中;它有$p$许多基本不可约因子。还要注意，$x^2+p \bmod p^2$是不可约的，但不是基本不可约的！本文给出了在确定性poly（deg $(f),k\log p$）-time中计算$f\bmod p^k$的基不可约因子个数的算法。这解决了在（Cheng等人，ANTS'181&Kopp等人，Math.Comp. '19）。特别是，我们正在计算根$\bmod\ p^k$，这给出了第一个确定性的多时间算法来计算$f$的Igusa zeta函数。此外，我们的算法有效地分区集的所有基本不可约因素（可能是指数）到仅仅度$(f)$ -许多不相交的集，使用紧凑的树数据结构和{ \em分裂}理想。
2019-02-20 cs.CC cs.DS cs.SC
