Lower Bounds for Approximate (& Exact) k-Disjoint-Shortest-Paths
本文针对k-不相交最短路径问题的四个版本，基于Gap-ETH证明了在f(k)·n^{δ·k}时间内不存在(1/2+ε)-近似算法，并进一步在平面DAG、1-平面图及受限度数等结构约束下强化了不可近似性下界。
2024-08-07 cs.DS
Packing Diverse Shortest Cycles
Indian Institute of Technology Madras（马德拉斯印度理工学院）；University of Bergen（卑尔根大学）
本文证明边不相交最短环打包在参数k下是W[1]-难的，并引入更一般的多样最短环覆盖框架，在平面图上给出单指数算法，同时解决打包与多样性问题。
2026-10-08 cs.DS
Efficient Algorithms for Disjoint Shortest Paths Problem and its Extensions
本文提出高效算法解决有向图中的2-不相交最短路径问题，利用多项式递归分解和特征2域动态规划，将时间复杂度从$O(m^5n)$降至$O(mn\log n)$，并首次给出最小交点变体的高效算法。
2025-10-08 cs.DS
Finding single-source shortest $p$-disjoint paths: fast computation and sparse preservers
设$G$是一个有向图，它有$n$顶点，$m$边和非负边代价。给定$G$，一个固定的源顶点$s$，和一个正整数$p$，我们考虑对每个顶点$t\neq s$，计算$G$中从$s$到$t$的总代价最小的$p$边不交路的问题. Suurballe和Tarjan~[Networks，1984]通过设计还计算稀疏\emph{single-source $2$-multipath preserver}的$O(m+n\log n)$时间算法解决了$p=2$的上述问题，即，一个包含$2$边不相交路径的子图，该路径具有从$s$到$G$的每隔一个顶点的最小总成本。病例$p \geq 3$作为未决问题。我们研究了一般问题（$p\geq 2$），并证明了任何图允许一个稀疏的单源$p$ -多路径转换器与$p(n-1)$边。这个大小是最佳的，因为每个非根顶点$v$的入度必须至少为$p$。此外，我们设计了一个算法，需要$O(pn^2 (p + \log n))$的时间来计算$p$边缘不相交路径的最小总成本从源到所有其他顶点和最佳大小的单源$p$ -多路径转换器。我们的算法的运行时间优于一个自然的方法，解决$n-1$单对实例使用著名的\emph{successive shortest paths}算法的一个因素的$Θ(\frac{m}{np})$，如果$p=O(1)$和$m=Θ(n^2)$是渐近接近最优的。我们的结…
2021-06-23 cs.DS
Shortest Vertex-Disjoint Two-Face Paths in Planar Graphs
令$G$是复杂度为$n$的有向平面图，每条弧具有非负长度。令$s$和$t$为$G$的两个不同面;令$s_1,...,s_k$为与$s$关联的顶点;令$t_1,...,t_k$为与$t$关联的顶点。给出了一个在$O(kn\log n)$时间内计算连接$G$中$(s_i,t_i)$对的$k$两两顶点不相交路径的算法。
2008-02-20 cs.DS math.CO
Towards single face shortest vertex-disjoint paths in undirected planar graphs
给定图$G$中的终端$\{(s_{1}, t_{1}), \ldots, (s_{k}, t_{k})\}$的$k$对，最小和$k$顶点不相交路径问题是找到具有最小总长度的顶点不相交路径的集合$\{Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{k}\}$，其中$Q_{i}$是$s_i$和$t_i$之间的$s_i$到$t_i$的路径。我们考虑的问题，在平面图中，很少有人知道计算的易处理性，即使在限制的情况下。Kobayashi和Sommer提出了无向平面图中$k \le 3$的多项式时间算法，假设所有终端最多与两个面相邻。Colin de Verdiere和Schrijver给出了一个多项式时间算法，当所有的源都在一个面的边界上，所有的汇都在另一个面的边界上，并询问是否存在多项式时间算法，只要所有的终端都在一个公共面上。当$\{(s_{1}, t_{1}), \ldots, (s_{k}, t_{k})\}$在一个公共面上按逆时针方向排列时，我们给出了无向平面图的$O(kn^5)$时间算法.
2015-07-21 cs.DS
A Polynomial Time Algorithm for the $k$-Disjoint Shortest Paths Problem
不相交路径问题是算法图论和组合优化中的一个基本问题。对于给定的图$G$和$G$中的一组$k$对终端，它要求存在连接每对终端的$k$顶点不相交路径。Robertson和Seymour [JCTB 1995]证明了任何固定$k$的$n^3$算法的存在性，这是他们的Graph Minors项目的亮点之一。在本文中，我们专注于版本的问题，所有的路径都需要最短路径。这个问题，称为不相交的最短路径问题，是由Eilam-Tzoreff [DAM 1998]介绍的，她证明了$k = 2$的情况下承认一个多项式时间算法。这个问题最近受到了一些关注，特别是自从Bérczi和Kobayashi [ESA 2017]证明了在$k = 2$的定向情况下存在多项式时间算法以来。然而，存在一个多项式算法时，$k = 3$在无向版本仍然开放，自1998年以来。在本文中，我们证明了任何固定的$k$，不相交的最短路问题承认一个多项式时间算法。事实上，对于任何固定的$C$，该算法可以扩展到处理连接$(s,t)$对的每条路径的长度至多为$d(s,t) + C$的情况。
2020-11-20 cs.DS math.CO
Shortest (A+B)-path packing via hafnian
Björklund和Husfeldt开发了一个随机多项式时间算法来解决最短的两个不相交的路径问题。他们的算法基于积算模4和隔离引理。在本文中，我们考虑以下推广的最短两个不相交的道路问题，并开发了一个类似的代数算法。最短完美$(A+B)$ -路径包装问题是：给定一个无向图$G$和两个具有偶数基数的不相交节点子集$A,B$，找出一条两端都在$A$或两端都在$B$中的最短$|A|/2+|B|/2$不相交路径.除了它的NP-困难，我们证明了这个问题可以在随机多项式时间内解决，如果$|A|+|B|$是固定的。我们的算法基本上遵循Björklund和Husfeldt的框架，但使用了一种新的技术：计算与Gallai的减少从$T$ -路径的匹配结合起来的模$2^k$。我们也推广了我们的技术解决其他路径包装问题，并讨论了它的局限性。
2017-06-13 cs.DS math.CO
Using a geometric lens to find k disjoint shortest paths
给定一个无向$n$ -顶点图和$k$对的终端顶点$(s_1,t_1), \ldots, (s_k,t_k)$，$k$ -不相交最短路径（$k$-DSP）-问题询问是否存在$k$成对顶点不相交路径$P_1,\ldots, P_k$，使得$P_i$是每个$i \in [k]$的最短$s_i$ -路径.最近，Lochet [SODA 2021]提供了一种在$n^{O(k^{5^k})}$时间内求解$k$ -DSP的算法，回答了一个20年前提出的关于$k$ -DSP对于常数$k$的计算复杂度的问题。一方面，我们提出了一个改进的$n^{O(k!k)}$时间算法的基础上，一个新的几何视图对这个问题。对于特殊情况下$k=2$的$m$边缘图，我们表明，运行时间可以进一步减少到$O(nm)$通过小的修改的算法和精细的分析。另一方面，我们证明了$k$ -DSP相对于$k$是W[1]-硬的，表明多项式运行时间的次数对参数$k$的依赖性大概是不可避免的。
2022-05-02 cs.DS math.CO
Shortest node-disjoint paths on random graphs
设计了一种随机图上路径分配的局部化方法，旨在找到给定源/目的地对之间的最短路径，同时避免节点处的路径重叠。我们提出了一种基于消息传递技术的方法来处理全局信息并优化分配路径。统计性质，如缩放系统的大小和路径数，平均路径长度和过渡到挫折政权进行了分析。所提出的算法的性能进行评估，通过与贪婪算法的比较。
2014-05-18 cond-mat.dis-nn cs.DS math.OC
Tight Approximation and Kernelization Bounds for Vertex-Disjoint Shortest Paths
本文研究最大顶点不相交最短路径问题的近似与核化，证明在gap-ETH下无o(k)近似，且除非P=NP否则无n^(1/2-ε)近似，同时给出紧的2^O(ℓ)时间算法并排除多项式核。
2025-04-22 cs.DS
Fault-Tolerant Edge-Disjoint Paths -- Beyond Uniform Faults
绝大多数的可生存（容错）网络设计模型假设一个统一的故障模型。这样的模型假设给定基数$k$的网络资源（边或顶点）的每个子集可能失败。虽然这种方法产生了干净的组合结构和良好的算法的问题，但它通常无法捕捉来自应用程序的场景集的真实性质。统一模型的一个自然细化是通过将资源集划分为脆弱资源和安全资源来获得的。方案集包含至多$k$故障资源的每个子集。本文研究了容错路径问题（FTP）和容错流问题（FTF），前者对应于最短路径问题，后者对应于$\ell$ -不相交最短$s$ - $t$路径问题。我们提出了复杂性的结果，精确和近似算法为两种模式。我们强调的巨大增加的问题的复杂性方面的统一模拟，边缘不相交的路径问题。
2020-09-10 cs.DS
Packing Short Cycles
本文研究加权图中的短环装填，证明最小和环装填对固定k多项式可解但参数化W[1]-难，并给出平面图上最短环装填的FPT算法及边不相交变体的多项式核。
2024-10-25 cs.DS
A parallel algorithm for the odd two-face shortest k-disjoint path problem
针对平面图上每个面含奇数个终端的双面最短k不相交路径问题，结合已有2-SDPP随机方案、并行化思路及单面确定性算法，提出首个随机多项式时间甚至RNC级的并行算法，还给出(A+B)-SDPP的并行算法。
2025-03-20 cs.DC cs.DS
Long Directed Detours: Reduction to $2$-Disjoint Paths
我们研究了有向图中{ \sc最长路径}问题的“以上保证”版本：我们给出一个图$G$，$G$的两个顶点$s$和$t$，以及一个非负整数$k$，并且目标是确定$G$是否包含长度至少为$dist_G(s,t) +k$的路径，其中$dist_G(s,t)$是$G$中从$s$到$t$的最短路径的长度（假设存在一个）。证明了在{ \sc $2$ -不相交路径}问题是多项式时间可解的图类中，该问题是由$k$参数化的固定参数可解的.
2023-01-24 cs.DS
Detecting Disjoint Shortest Paths in Linear Time and More
本文研究 $k$-DSP 的复杂性，给出加权无向图和 DAG 上 2-DSP 的线性时间检测算法，并改进从 $k$-Clique 到 $k$-DSP 与 $p$-DP 的归约，得到更强条件下界。
2024-05-10 cs.DM cs.DS
A Faster Algorithm for Minimum-Cost Bipartite Matching in Minor-Free Graphs
我们给出了一个$\tilde{O}(n^{7/5} \log (nC))$ -时间算法来计算$K_h$ -minor free图中的最小代价最大基数匹配（最优匹配），其中$K_h$ -minor free图具有$h=O(1)$和整数边权值的幅度至多为$C$。这改进了Cohen等人的$\tilde{O}(n^{10/7}\log{C})$算法[SODA 2017]以及Gabow和Tarjan的$O(n^{3/2}\log (nC))$算法[SIAM J. COMPUT. 1989年]。对于具有$m$边和$n$顶点的图，著名的匈牙利算法在$O(m)$时间内计算每个阶段的最短扩充路径，从而在$O(mn)$时间内产生最优匹配。Hopcroft-Karp [SIAM J. Comput. 1973]和Gabow-Tarjan [SIAM J. 1989]算法计算，在每个阶段中，顶点不相交的最短增广路径（适当定义的成本）在$O(m)$时间的最大集合。这将减少从$n$到$O(\sqrt{n})$的阶段数，并将总执行时间减少到$O(m\sqrt{n})$。为了获得我们的速度，我们放松条件的扩增路径和迭代计算，在每个阶段，一组精心挑选的扩增路径，不限于最短或顶点不相交。因此，我们的算法在每个阶段中计算更多的增强路径，将阶段数从$O(\sqrt{n})$减少到$O(n^{2/5})$。通过使用小的顶点…
2018-07-12 cs.DS
Improved Bounds for Shortest Paths in Dense Distance Graphs
我们研究了在所谓的密集距离图中计算最短路径的问题。$n$顶点上的每个平面图$G$可以被划分成一组$O(n/r)$边不相交区域（称为$r$ -划分），每个区域具有$O(r)$顶点，使得每个区域具有与其他区域共同的$O(\sqrt{r})$顶点（称为边界顶点）。一个区域的稠密距离图是一个包含其边界节点间所有对距离的完全图。$r$ -划分的稠密距离图是各个块的$O(n/r)$稠密距离图的并集。自从Fakcharoenphol和Rao引入密集距离图以来，在密集距离图中计算单源最短路径已经在基本平面图算法中找到了许多应用。Fakcharoenphol和Rao提出了一种算法（后来称为FR-Dijkstra），用于在$O\left(\frac{n}{\sqrt{r}}\log{n}\log{r}\right)$时间内计算密集距离图中的单源最短路径。我们展示了这个问题的$O\left(\frac{n}{\sqrt{r}}\left(\frac{\log^2{r}}{\log^2\log{r}}+\log{n}\log^ε{r}\right)\right)$时间算法，这是第一次改进到目前为止，FR-Dijkstra的重要情况下，$r$是多项式在$n$。在这种情况下，我们的算法是更快的一个因素的$O(\log^2{\log{n}})$，并意味着改进的上限，如多源多汇最大流，单源所有汇最大流，和（动态）…
2016-07-15 cs.DS
Beeping Shortest Paths via Hypergraph Bipartite Decomposition
在分布式计算中，构造两个网络节点之间的最短路径是一项基本任务。这项工作开发计划的建设随机蜂鸣网络之间的一个预定的源节点和任意一组目的地节点的最短路径。我们的第一个方案构造了一个（单一）最短路径的任意目的地在$O (D \log\log n + \log^3 n)$轮具有高概率。我们的第二个方案构造多个最短路径，每个目的地一个，在$O (D \log^2 n + \log^3 n)$轮具有高概率。我们的计划是基于减少上述最短路径建设任务分解超图成二分超图：我们开发了一个蜂鸣程序，分区（多项式大）超图$H = (V_H, E_H)$的超边集$k = Θ(\log^2 n)$不相交的子集$F_1 \cup \cdots \cup F_k = E_H$，使（子）超图$(V_H, F_i)$是二分的意义上，存在一个顶点子集$U \subseteq V$，使$|U \cap e| = 1$为每个$e \in F_i$。这个过程被证明是有助于加快最短路径的建设下的哔哔声模型。
2023-01-03 cs.DC cs.DS
Fault-Tolerant Shortest Paths - Beyond the Uniform Failure Model
绝大多数可生存（容错）网络设计模型假设一个统一的场景集。这样的场景集合假设给定基数$k$的网络资源（边或顶点）的每个子集包括场景。虽然这种方法产生了干净的组合结构和良好的算法的问题，但它通常无法捕捉来自应用程序的场景集的真实性质。统一模型的一个自然细化是通过将资源集划分为故障资源和安全资源来获得的。方案集包含至多$k$故障资源的每个子集。这项工作研究的容错路径（FTP）的问题，对应的最短路径问题，在这个故障模型。我们提出了复杂性的结果，以及精确和近似算法FTP。我们强调的巨大增加的问题的复杂性，其统一的模拟，边缘不相交的路径问题。
2013-01-26 cs.DS math.OC
Near-Optimal Disjoint-Path Facility Location Through Set Cover by Pairs
在本文中，我们考虑两种特殊情况下出现的“覆盖对”优化问题，当我们需要放置设施，使每个客户都由两个设施，达到它的不相交的最短路径。这些问题出现在由Breslau等人提出的网络流量监控方案中，并具有潜在的内容分发应用。“set-disjoint”变体适用于使用OSPF路由协议的网络，而“path-disjoint”变体适用于启用MPLS路由的网络，从而以更高的运营成本为代价实现更好的解决方案。虽然我们可以证明没有多项式时间算法可以保证两个版本都有很好的解决方案，但我们能够提供在现实世界网络结构的实例中实践效果非常好的算法。通过利用关于网络实例和对应的成对覆盖问题实例之间关系的数学观察，可以快速实现网络分析，这使我们能够对网络分析进行广泛的实验评估，以及它们产生的解决方案告诉我们所提出的监测方案的有效性。对于集合不相交的变体，我们通过一个新的下界整数规划公式验证了我们的近最优性主张。虽然计算这个下限需要解决NP-难命中集问题，并且在最坏的情况下可能会通过线性因子低估最优值，但它可以通过CPLEX快速计算，并且它等于我们广泛测试平台中所有实例的最优解值。
2016-11-03 cs.DS
Parameterized algorithms for Eccentricity Shortest Path Problem
本文研究了 Eccentricity Shortest Path (ESP) 问题的参数化复杂度，证明了其在不相交路径删除集等参数下是 FPT 的，在反馈顶点集参数下存在近似算法，并在弦顶点删除集参数下是 W[2]-hard 的。
2023-04-06 cs.DM cs.DS
Computing Shortest Paths among Curved Obstacles in the Plane
计算几何中的一个基本问题是计算平面上两点之间的避障欧几里德最短路径。这个问题的多边形障碍的情况下，很好地研究。在本文中，我们考虑的问题版本弯曲的障碍，通常建模为样条。一个样条可以看作是用一个凸的曲线边代替多边形的每一条边（多边形是特殊的样条）。假设每个曲线边的复杂度为O（1）。给定平面上的两个点s和t以及一组$h$两两不相交的样条函数，它们的顶点总数为$n$，我们在$O(n+h\log^{1+ε}h+k)$时间内计算一条避开样条函数的最短s到t路径，其中k是对输入样条函数的结构敏感的参数，其上界为$O(h^2)$。特别地，当所有样条曲线都是凸的时，$k$与样条曲线之间的自由空间中的公共切线（称为“自由公共切线”）的数量成比例。我们开发的技术解决问题的一般（非凸）样条域，这也改善了以前的几个结果。特别是，我们的技术产生一个最佳的输出敏感算法的基本可见性问题的计算所有自由的公共切线之间的$h$成对不相交凸样条曲线与总的$n$顶点。我们的算法运行在$O(n+h\log h+k)$时间和$O(n)$空间，其中$k$是所有自由公共切线的数量。即使对于所有样条曲线都是凸多边形的特殊情况，以前最好的算法也需要$O(n+h^2\log n)$时间。
2015-04-24 cs.CG cs.DS
Gabow's $O(\sqrt{n}m)$ Maximum Cardinality Matching Algorithm, Revisited
Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克信息学研究所）；Sharif University（谢里夫大学）
本文重新审视 Gabow 的 $O(\sqrt{n}m)$ 最大基数匹配算法，提出更直接的实现方法，并提供可运行的实现代码。
2026-04-21 cs.DS
Exact Covers via Determinants
给定一个n个顶点的k-一致超图，将其划分为k个相等的部分，使得每个超边包含来自每个部分的一个顶点，k维匹配问题询问是否存在一个覆盖所有顶点的不相交超边集合。我们证明了它可以用一个随机多项式空间算法在O*（2^（n（k-2）/k））时间内求解。O*（）表示法隐藏了n和k中的多项式因子。当我们去掉划分约束，允许任意基数为k的超边时，我们得到了精确的k-集覆盖问题。我们证明了它可以用一个随机多项式空间算法在O*（c_k^n）内求解，其中c_3=1.496，c_4=1.642，c_5=1.721，并给出了k越大时的一般界.这两个结果都大大改进了之前解决这些问题的最佳算法，尤其是对于小k，并且遵循了新的观察结果，即Lovasz通过决定因素进行完美匹配检测（1979）承认嵌入到最近提出的集合包含-排除计数方案中覆盖，尽管它无法计算完美匹配。
2010-02-03 cs.DS
Computing L1 Shortest Paths among Polygonal Obstacles in the Plane
给定一个点$s$和一组完全$n$顶点的$h$两两不相交的多边形障碍物，我们提出了一个新的算法，用于在$O(T)$时间和O（n）空间中构造大小为O（n）的$L_1$最短路径图，使得对于任何查询点$t$，$L_1$最短障碍物的长度-可以在$O(\log n)$时间内报告从$s$到$t$的回避路径，并且可以在与路径的边的数量成比例的附加时间内找到实际的最短路径，其中$T$是用于对自由空间进行三角测量的时间。目前已知，对于任意小的常数$ε>0$，$T=O(n+h\log^{1+ε}h)$。如果三角测量可以最优地完成（即，$T=O(n+h\log h)$），则我们的算法是最优的。以前，最好的算法在$O(n\log n)$时间和O（n）空间中计算这样的$L_1$最短路径图。我们的技术可以扩展到其他相关问题，例如，为多边形域中的一组点位置计算$L_1$测地Voronoi图，找到具有固定方向的最短路径，找到近似欧几里德最短路径等。
2012-02-26 cs.CG cs.DS
The Shortest Even Cycle Problem is Tractable
给定一个有向图，我们展示了如何有效地找到一个最短的（有向的，简单的）周期上的一个偶数的顶点。据我们所知，没有多项式时间算法是以前已知的这个问题。事实上，在多项式时间内找到有向图中的任何偶数循环已经开放了二十多年，直到Robertson，Seymour和Thomas（Ann. of Math.（2）1999）以及McCuaig（Electron. J. Combin. 2004;在STOC 1997联合宣布）给出了一个有效的可测试的结构特征的偶圈自由有向图。方法上，我们的算法依赖于代数指纹和随机多项式身份测试在有限域，并使用生成多项式隐含在Vazirani和Yannakakis（离散应用数学。1989），枚举加权循环覆盖作为一个永久的和一个行列式多项式的差异。我们主要的技术贡献是与永久性工作的需要。我们设计了一个家庭的有限交换环的特征4，同时（i）通过永久和行列式的生成多项式身份的非退化表示，（ii）支持有效的永久计算，（iii）使仿真的有限域算术的特征2。在这里，我们的工作是由比约克隆德和Husfeldt（SIAM J. COMPUT。2019年），他使用了一个效率相当低的环设计来获得最短两条不相交路径问题的多项式时间算法。吉尔伯特和Tarjan（编号。Math.1978）以及Alon和Yuster（J. ACM 2013），我们还展示了当我们控制输入图的分隔符结构时，用于求解线性…
2021-11-04 cs.DS math.CO
Forcing a unique minimum spanning tree and a unique shortest path
Hokkaido University（北海道大学）；Institute of Informatics, University of Warsaw（华沙大学信息学研究所）；LAMSADE, Université Paris-Dauphine, PSL University, CNRS UMR7243（LAMSADE，巴黎第九大学，PSL大学，法国国家科学研究中心UMR7243）；Université Paris Cité, IRIF, CNRS（巴黎西岱大学，IRIF，法国国家科学研究中心）；Nagoya University（名古屋大学）
研究最短\(s\)-\(t\)路径问题和最小权重生成树问题中找最小强制集与反强制集的复杂性，除最短\(s\)-\(t\)路径最小反强制集判定为NP完全外可处理，还设计了相关固定参数可处理算法。
2026-08-24 cs.DS
A New Algorithm for Euclidean Shortest Paths in the Plane
给定平面上一组成对不相交的多边形障碍物，寻找两点之间避障碍的欧几里得最短路径是计算几何中的经典问题，已得到广泛研究。此前，Hershberger和Suri [SIAM J. COMPUT. 1999]给出了$O(n\log n)$时间和$O(n\log n)$空间的算法，其中$n$是所有障碍物的顶点总数。最近，通过修改Hershberger和Suri的算法，Wang [SODA 2021]将空间减少到$O(n)$，而算法的运行时间仍然是$O(n\log n)$。本文提出了一种新的$O(n+h\log h)$时间和$O(n)$空间的算法，只要给定自由空间的三角剖分，其中$h$是障碍物的个数。该算法改进了以前的工作时，$h=o(n)$，是最佳的时间和空间的$Ω(n+h\log h)$是运行时的下限。我们的算法建立了一个最短路径映射的源点$s$，使任何查询点$t$，从$s$到$t$的最短路径长度可以计算在$O(\log n)$的时间和最短的$s$ - $t$路径可以产生在额外的时间线性的路径的边缘的数量。
2021-02-24 cs.CG cs.DS
Shortest Paths Among Obstacles in the Plane Revisited
给定平面上两两不相交的多边形障碍物，寻找两点间的避障欧氏最短路径是计算几何中的经典问题，并得到了广泛的研究。先前的最佳算法由Hershberger和Suri给出[FOCS 1993，SIAM J. Comput. 1999]并且该算法在$O(n\log n)$时间和$O(n\log n)$空间中运行，其中$n$是所有障碍物的顶点总数。该算法是时间最优的，因为$Ω(n\log n)$是一个下界。二十多年来，空间是否可以减少到$O(n)$一直是一个悬而未决的问题。在本文中，我们解决这个问题的解决方案是在$O(n\log n)$时间和$O(n)$空间，这是最佳的时间和空间，我们实现了这一点，通过修改的Hershberger和Suri的算法。像他们原来的算法一样，我们的新算法可以在$O(n\log n)$时间和$O(n)$空间中为源点$s$构建最短路径映射，这样给定任何查询点$t$，从$s$到$t$的最短路径的长度可以在$O(\log n)$时间内计算，并且可以在额外的时间内产生与路径的边数成线性的最短路径。
2021-05-29 cs.CG cs.DS
Algorithmic Applications of Baur-Strassen's Theorem: Shortest Cycles, Diameter and Matchings
考虑一个有向图或无向图，其整边权重来自集合[-W，W]，不包含负权重圈。在本文中，我们介绍了一个通用的框架，解决问题，这样的图使用矩阵乘法。该框架是基于使用Baur-Strassen定理和Strojohann的行列式算法。它使我们能够给新的和简单的解决方案，以下列问题：* 寻找最短的循环-我们给出了一个简单的\tilde{O}（Wn^ω）时间算法，在无向和有向图中寻找最短的循环。对于有向图（以及具有非负权重的无向图），这与Roditty和Vassilevska-Williams在2011年获得的时间界限相匹配。另一方面，对于具有负权重的无向图，以前没有在\tilde{O}（Wn^ω）时间内工作的算法。此外，我们的算法对于一个给定的有向或无向图检测它是否包含一个负权重循环在相同的运行时间。* 计算直径和半径--我们给出了一个计算无向图或有向图的直径和半径的简单的\tilde{O}（Wn^ω）时间算法。据我们所知，没有算法与此运行时间是已知的无向图与负权重。* 寻找最小权完美匹配-我们提出了一个\tilde{O}（Wn^ω）的时间算法，在无向图中寻找最小权完美匹配。这解决了Sankowski在2006年提出的一个公开问题，他提出了这样的算法，但仅限于二分图的情况。为了解决最小权完美匹配问题，我们发展了一种新的组合解释的对偶解决方案，这揭示了这个问题的新的光。这样的组合解释是以前不知道的…
2012-08-17 cs.DS
Algorithm for $\mathcal{B}$-partitions, parameterized complexity of the matrix determinant and permanent
每个方阵$A=(a_{uv})\in \mathcal{C}^{n\times n}$可以表示为具有$n$顶点的有向图。在有向图中，块（或2-连通分支）是没有割点的最大连通子有向图。矩阵的行列式和积和式可以根据有向图中块的某些特定导出子图的行列式和积和式来计算。有趣的是，这些诱导子图是顶点不相交的，它们划分有向图。有向图的这种划分称为$\mathcal{B}$ -划分。在本文中，首先，我们开发了一个算法来找到$\mathcal{B}$ -划分。其次，我们分析了矩阵行列式和积和式的参数化复杂性，其中参数是图的块大小和割点个数。我们给出了一类割点和块大小的组合，其参数化的复杂性击败了行列式和积和式的最新复杂性。
2018-10-10 cs.CC cs.DS
Shortest Odd Paths in Undirected Graphs with Conservative Weight Functions
针对保守权无向图中NP难的最短奇路径问题，提出负权边构成单树时的多项式时间算法，以及分别以负边相关匹配最大规模、图树宽为参数的两种FPT算法。
2023-08-24 cs.DS math.OC
Bicriteria Rectilinear Shortest Paths among Rectilinear Obstacles in the Plane
给定平面上$h$两两不相交的直线障碍物的直线区域$\mathcal{P}$，研究了在$\mathcal{P}$中计算两点$s$和$t$之间的双准则直线最短路问题.考虑了三种类型的双准则直线路径：最小连接最短路径、最短最小连接路径和最小代价路径，其中路径的代价是边数和路径长度的非减函数，还考虑了单点和两点路径查询。这些问题的算法以前已经给出。我们的贡献是三方面的。首先，我们发现一个关键错误，在所有以前的算法。其次，我们以一种不那么微不足道的方式纠正错误。第三，我们进一步改进的算法，使他们甚至比以前的（不正确的）算法时，$h$是相对较小的。例如，对于最小链路最短路径，我们得到以下结果。我们的算法在$O(n+h\log^{3/2} h)$时间内计算最小链路最短$s$ - $t$路径。对于单点查询，我们为源点$s$构建了一个在$O(n+h\log^{3/2} h)$时间内大小为$O(n+ h\log h)$的数据结构，使得给定任何查询点$t$，可以在$O(\log n)$时间内确定最小链路最短$s$ - $t$路径。对于两点查询，通过$O(n+h^2\log^2 h)$时间和空间预处理，可以在$O(\log n+\log^2 h)$时间内为任意两个查询点$s$和$t$确定一条最小链接最短$s$-$t$路径;或者，通过$O(n+h^2\cdot \log^{2} h \cdot 4^{\sq…
2017-06-23 cs.CG cs.DS
A Local-to-Global Theorem for Congested Shortest Paths
本文将有向无环图的局部到全局最短路径定理推广至无向图和有向图（往返路径），并据此证明当$k-c$为常数时无向图上的拥塞$k$-最短路径问题可在多项式时间内解决。
2023-06-27 cs.CC cs.DM cs.DS
Number Balancing is as hard as Minkowski's Theorem and Shortest Vector
数字平衡（NBP）问题如下：给定实数$a_1,\ldots,a_n \in [0,1]$，找到两个不相交的子集$I_1,I_2 \subseteq [n]$，使得它们的和的差$|\sum_{i \in I_1}a_i - \sum_{i \in I_2}a_i|$最小。鸽子洞原理的一个应用表明，总有一个解决方案，其中的差异是最多$O(\frac{\sqrt{n}}{2^n})$。然而，找到最小值是NP困难的。Karmarkar和Karp在1982年提出的差分算法在多项式时间内最多可以得到$n^{-Θ(\log n)}$的解，但此后没有进一步的改进。在本文中，我们展示了NBP和Minkowski定理之间的关系。首先，我们表明，一个近似的预言闵可夫斯基定理给出了一个近似的NBP预言。也许更令人惊讶的是，我们表明，一个近似的NBP甲骨文给出了一个近似的闵可夫斯基甲骨文。特别是，我们证明了任何多项式时间算法，保证最多$2^{\sqrt{n}} / 2^{n}$的差异的解决方案将给出一个多项式近似闵可夫斯基以及多项式因子近似算法的最短向量问题。
2016-11-29 cs.CC cs.CG cs.DM
Two-Point $L_1$ Shortest Path Queries in the Plane
设$\mathcal{P}$是一组$h$成对不相交的多边形障碍物，其在平面中具有$n$顶点。我们考虑构建一个数据结构的问题，该数据结构可以快速计算任意两个查询点$s$和$t$之间的$L_1$最短避障路径。先前，在$O(n^2\log^2 n)$时间内构造大小为$O(n^2\log n)$的数据结构，其在$O(\log^2 n+k)$时间内回答每个两点查询，即，在$O(\log^2 n)$时间内报告最短路径长度，在附加的$O(k)$时间内报告实际路径，其中$k$是输出路径的边数.本文建立了一种新的数据结构，其大小为$O(n+h^2\cdot \log h \cdot 4^{\sqrt{\log h}})$ in $O(n+h^2\cdot \log^{2} h \cdot 4^{\sqrt{\log h}})$ time，在$O(\log n+k)$时间内回答每个查询.请注意，对于任何常数$ε>0$，$n+h^2\cdot \log^{2} h \cdot 4^{\sqrt{\log h}}=O(n+h^{2+ε})$。此外，我们将我们的技术扩展到加权直线版本，其中$\mathcal{P}$的“障碍”是具有“权重”的直线区域，并允许$L_1$路径以加权成本穿过它们。我们的算法在$O(\log n+k)$时间内回答每个查询，并在$O(n^2\cdot \log^{2} n\cdot 4…
2014-03-13 cs.CG cs.DS
Touring a Sequence of Orthogonal Polygons
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；POSTECH（浦项科技大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Saarland University（萨尔兰大学）；Humboldt-University Berlin（柏林洪堡大学）；Aalto University（阿尔托大学）；University of Hamburg（汉堡大学）
研究如何计算访问一系列k个多边形的最短路径，提出在正交多边形和曼哈顿距离下，针对不同情况设计了高效算法，包括亚二次复杂度算法和轴对齐矩形的线性算法。
2026-05-12 cs.CG cs.DS
Exact Matching in Matrix Multiplication Time
Preferred Networks, Inc.（Preferred Networks 公司）；Osaka University（大阪大学）
本研究通过矩阵束行列式多项式的快速重构方法，将其应用于图的Tutte矩阵随机求值，提出了矩阵乘法时间的精确匹配随机算法，并扩展至线性拟阵奇偶等相关问题。
2026-08-11 cs.DS cs.SC math.CO
Finding Efficient Region in The Plane with Line segments
设$\mathscr O$为$\mathbb{R}^2$中的一组$n$不相交障碍物，$\mathscr M$为运动物体。令$s$和$l$分别表示移动对象$\mathscr M$的起始点和最大路径长度。给定${R}^2$中的点$p$，我们说点$p$对于$\mathscr M$是可实现的，使得$π(s,p)\leq l$，其中$π(\cdot)$表示存在障碍物时的最短路径长度。一个是找到区域$\mathscr R$，使得对于任何点$p\in \mathbb{R}^2$，如果对于$\mathscr M$可实现，则为$p\in \mathscr R$ ;否则为$p\notin \mathscr R$。在本文中，我们限制我们的注意力线段障碍的情况下。为了解决这个问题，我们开发了三种算法。为了直观起见，我们首先提出了一个更简单的算法。其基本思想是将问题归结为计算一组圆形可见区域（CVR）的并集。该算法需要$O(n^3)$时间。通过分析其主要步骤，我们突破了它的瓶颈，使用最短路径映射（SPM）技术，以获得这些圈（事先不可用），产生一个$O(n^2\log n)$算法。由于上述发现，第三种算法也使用SPM技术。然而，它没有继续建造CVR。相反，它直接遍历SPM的每个区域来跟踪边界，最终算法获得$O(n\log n)$复杂度。
2018-07-03 cs.CG cs.DS
