On Explicit Branching Programs for the Rectangular Determinant and Permanent Polynomials
本文从参数化复杂度的角度研究了一些著名多项式族的运算电路复杂性。我们主要研究了\emph{rectangular}符号矩阵的行列式和永久多项式在交换和非交换条件下的显式代数分支程序（ABP）的构造.有以下主要結果: 1.本文给出了$k\times n$符号矩阵的非交换永久多项式的一个显式$O^{*}({n\choose {\downarrow k/2}})$大小的ABP构造.我们通过一个显式的ABP构造得到了$S_{n,k}^*$的大小为$O^{*}({n\choose {\downarrow k/2}})$，它是初等对称多项式$S_{n,k}$的非交换对称化版本。2.我们得到了$k\times n$符号矩阵的可交换矩形行列式多项式的一个显式$O^{*}(2^k)$ -规模ABP构造. 3.相反，我们证明了计算有理矩阵上的矩形非交换行列式是$W[1]$ -hard的。
2019-08-22 cs.CC
The method of shifted partial derivatives cannot separate the permanent from the determinant
利用移位偏导数的方法证明了计算永久式所需深度四个回路大小的一个超多项式下界。我们表明，这种方法本身不能证明填充永久$\ell^{n-m} perm_m$不能实现内的$GL_{n^2}$ -轨道封闭的行列式$ det_n$时，$n>2m^2+2m$。我们的证明依赖于几个简单的退化的行列式多项式，麦考利定理，给出了一个下界增长的理想，和一个下界估计古普塔等。关于行列式的移位的偏导数。
2016-09-07 cs.CC math.AG
On the complexity of the permanent in various computational models
我们回答了[Landsberg，Ressayre，2015]中的一个问题，证明了行列式det_m的正则行列式复杂度是O（m^3）。我们回答了[Aravind，Joglekar，2015]中的问题，并推广了[Aravind，Joglekar，2015]的结果，表明当m >= 3时，perm_m或det_m不存在秩一行列式表达式。最后，我们的状态和证明几个“民间传说”的结果有关不同的计算模型。
2016-10-01 cs.CC
Permanent versus determinant: not via saturations
设Det_n表示行列式多项式det_n的GL_{n^2}（C）-轨道关于线性代换的闭包. Det_n的坐标环中不可约GL_{n^2}（C）-表示的最高权（划分）构成一个不可约生成幺半群S（Det_n）.证明了S（Det_n）的饱和度包含所有长度不超过n且大小可被n整除的分划λ.这意味着表示论中永久式与行列式问题的障碍必然是幺半群S（Det_n）的洞。
2015-07-08 cs.CC math.RT
Least change in the Determinant or Permanent of a matrix under perturbation of a single element: continuous and discrete cases
我们公式化的问题，找到的概率，矩阵的行列式经历最小的变化后，扰动的一个元素，提供了大多数或所有的元素的矩阵是随机选择的，随机选择的元素有一个固定的概率是非零的。此外，我们发现，该程序的概率，行列式经历最小的变化取决于随机变量的矩阵元素是连续的或离散的。
2008-05-14 cs.CC cs.DM
Approximate formulation of the probability that the Determinant or Permanent of a matrix undergoes the least change under perturbation of a single element
在以前的论文中，我们讨论了矩阵的行列式在其一个元素扰动时发生最小变化的概率，条件是矩阵的大多数或所有元素都是随机选择的，并且随机选择的元素具有固定的非零概率。在本文中，我们推导出近似公式的概率，假设在一个矩阵的永久性的条款是相互独立的，我们将这一假设应用到几类矩阵。在推导这些公式的过程中，我们确定了斯隆网站上没有列出的几个整数序列。
2008-05-14 cs.CC cs.DM
Permanental rank versus determinantal rank of random matrices over finite fields
研究随机矩阵在有限域上永久性秩与行列式秩的区别，发现永久性秩概率与零列概率相似，而行列式秩概率则不同。
2025-12-02 cs.CC math.CO math.PR
Bi-polynomial rank and determinantal complexity
积算与行列式问题是理论计算机科学中最重要的问题之一，也是Mulmuley和Sohoni提出的几何复杂性理论的主要研究对象。目前d乘d永久多项式的行列式复杂度的最佳下界是d^2/2，这是Mignon和Ressayre在2004年提出的。受他们的证明方法的启发，我们引入了多项式的自然秩概念，称为双多项式秩。双多项式秩与算术分支程序的宽度有关。偶数次2k的齐次多项式p的双多项式秩被定义为最小值n，使得p可以被写为k次多项式的n个乘积的总和。我们证明了双多项式秩给出了行列式复杂度的一个下界。因此，上述Mignon和Ressayre界在实数域上改进为（d-1）^2 + 1。我们表明，双多项式秩的计算制定为秩最小化问题。利用凹极小化技术，将行列式的下界复杂性问题转化为证明矩阵的半正定性问题，这是解决积和行列式问题的一种新方法.我们提出了一种计算方法，通过凹最小化的技术，给出了这种秩最小化的下界。这也产生了一个新的策略来解决永久性与决定性问题。
2015-04-01 cs.CC
The Computational Complexity of Quantum Determinants
在这项工作中，我们研究了量子行列式的计算复杂性，一个$q$ -变形的矩阵永久式：给定一个复数$q$在单位圆上的复平面和一个$n\times n$矩阵$X$，$q$ -永久式的$X$被定义为$$\mathrm{Per}_q(X) = \sum_{σ\in S_n} q^{\ell(σ)}X_{1,σ(1)}\ldots X_{n,σ(n)},$$其中$\ell(σ)$是逆数的置换$σ$在对称群$S_n$的$n$元素。函数族推广了行列式和积和式，分别对应于$q=-1$和$q=1$的情况。对于最坏情况的困难性，利用Liouville逼近定理和代数数论的事实，证明了对于本原单位根$m$ -次单位根$q$，对于奇素数幂$m=p^k$，精确计算$q$ -持久式是$\mathsf{Mod}_p\mathsf{P}$ -困难的.这意味着一个有效的算法计算$q$ -永久的结果在一个崩溃的多项式层次结构。接下来，我们表明，计算$q$ -永久可以实现使用一个预言，近似于一个多项式乘法误差和一个成员资格的预言有限的代数整数集。由此，有效的近似算法也意味着多项式层次的崩溃。通过随机自约化，计算$q$ -永久性对于满足称为强自相关性质的广泛分布仍然是困难的。具体地，这是通过单位圆上的$O(1/n^2)$点$z$的从$1$ -永久到$q$ -永久的减少来证明的。由于家庭的永久功能共享共同的代数结构，各种技术开发…
2023-02-16 cs.CC math.NT math.QA
Approximating the Permanent via Nonabelian Determinants
Jerrum、Sinclair和Vigoda的著名工作已经建立了{0，1}矩阵的永久式可以通过使用快速混合马尔可夫链在随机多项式时间内近似。文献的另一部分研究了替代的、纯代数的、多项式时间近似方案的可能性。这些方案的工作原理是将每个1替换为代数A的随机元素，并考虑所得矩阵的行列式。当A是非交换的时，这个行列式可以用几种方式定义。我们证明了，对于基于传统行列式的估计量，当A是d × d矩阵的代数时，二阶矩与一阶矩平方的临界比--因此我们需要获得一个好的估计量的试验次数--是（1 + O（1/d））^n。这些结果可以推广到群代数和一般的半单代数。我们还研究了对称化的行列式的Barvinok，所得到的估计有小的方差时，d是足够大的。然而，对于常数d-唯一已知有效算法的情况-我们证明临界比超过2^{n} / n^{O（d）}。因此，我们的结果并没有提供一个新的多项式时间近似计划的永久。事实上，他们认为，代数方法近似的永久面临重大障碍。我们得到这些结果使用图表技术，我们表示矩阵产品的收缩张量产品。当这些矩阵是随机的，在Haar测度或高斯测度中，我们可以根据适当随机置换的循环结构来计算这些乘积的迹。在对称化的情况下，我们的估计，然后来自一个连接的特征理论的对称群。
2009-06-09 cs.CC cs.DM math.CO
The Algebraic Cost of a Boolean Sum
本文研究了永久多项式VNP完备性证明无法适用于行列式的原因，分离出三个证明VNP困难性的基本性质，通过“布尔和的代价”揭示了两者在代数复杂度上的根本差异。
2025-07-17 cs.CC
Almost Settling the Hardness of Noncommutative Determinant
本文研究了非交换代数上矩阵行列式的计算复杂性。特别是，我们问的问题，“在哪些代数，是行列式更容易计算比永久？“为了解决这个问题，我们展示了以下非交换行列式计算的困难和容易。* [难度]计算一个n \times n矩阵的行列式，其元素本身是域上的2个\times 2矩阵，与计算域上的积和一样难。这扩展了最近的结果Arvind和Srinivasan，谁证明了一个类似的结果，但需要的条目是线性尺寸。* [简单] n个\times n矩阵（其元素本身是d个\times d个上三角矩阵）的行列式可以在poly（n^d）时间内计算。将上述与有限维代数的分解定理相结合（特别是利用2 \times 2矩阵代数的简单结构），我们可以将上述困难和容易的陈述扩展到更一般的代数，如下所示。设A是有限域上的有限维代数，其根为R（A）. * [难]如果商A/R（A）是非交换的，那么计算代数A上的行列式和计算永久式一样难。* 如果商A/R（A）是可交换的，并且此外，R（A）具有幂零指数d（即，最小d使得R（A）d = 0），则存在计算代数A上的行列式的poly（n^d）-时间算法。特别地，对于有限域上的任何常维代数A，由于R（A）的幂零指数至多为常数，我们有以下二分法：如果A/R（A）是交换的，则有效的行列式计算是可行的，否则行列式与永久的一样难。
2011-01-06 cs.CC
New Algorithms and Hard Instances for Non-Commutative Computation
受非竞争性多变量行列式和永久行列式的复杂性[Chien et al. STOC 2011，Bläser ICALP 2013，Gentry CCC 2014]我们试图获得非交换永久式的硬实例的严格特征。证明了在含有$S_3$和$2\times 2$矩阵的代数上，计算分量大小为6的图的加权邻接矩阵的Cayley积和行列式是$\#{\sf P}$完备的.此外，我们证明了$2^{Ω(n)}$的一个下界的分支程序的大小计算凯莱永久的邻接矩阵的组件大小有界的图。此外，我们观察到，几乎所有的图的组件大小为2的下限。在积极的一面，我们表明，凯莱永久图的组件大小$c$可以计算时间$n^{c{\sf poly}(t)}$，其中$t$是一个参数取决于标签的顶点。最后，我们展示的多项式是等价的凯莱永久多项式，但很容易计算交换域。
2015-08-10 cs.CC
Parameterized Valiant's Classes
我们定义了一个参数化的代数复杂性类的理论，类似于参数化的布尔计数类。我们定义类VFPT和VW[t]，它们反映布尔计数类#FPT和#W[t]，并定义适当的约简和完备性概念。我们的主要贡献是参数化团族的VW[1]-完全性证明。这个证明比布尔世界中的复杂得多。它需要一些新的概念，如有界指数和的合成定理和布尔算术公式。此外，我们还研究了两个多项式链接到永久的参数化的复杂性有很大不同。
2019-11-22 cs.CC
Geometric complexity theory and matrix powering
Valiant著名的行列式与永久性问题是代数复杂性理论中的旗舰问题。Mulmuley和Sohoni（Siam J COMPUT 2001，2008）介绍了几何复杂性理论，这是一种通过代数几何和表示理论来研究这一问题和相关问题的方法。他们的方法是将永久多项式乘以线性形式的高次幂（一个称为填充的过程），然后比较行列式和填充永久多项式的轨道闭合。这种填充最近被大量用于显示移位偏导数方法（Efremenko，Landsberg，Schenck，Weyman，2016）和几何复杂性理论（Ikenmeyer Panova，FOCS 2016和Bürgisser，Ikenmeyer Panova，FOCS 2016）的不可行结果。根据Nisan（STOC 1991）的经典均匀化结果，我们用可变矩阵幂的迹代替几何复杂性理论中的行列式。这给出了一个等价的，但更清晰的齐次公式的几何复杂性理论中的填充被删除。这从根本上改变了证明复杂性下界所涉及的表示论问题。我们证明，在这种齐次制定有没有轨道发生障碍，证明甚至超线性下限的复杂性的永久。这是几何复杂性理论中第一个排除了某些模型中超线性下界的不可行结果。有趣的是--与行列式相反--可变矩阵幂的迹并不是由其稳定子唯一确定的。
2017-07-26 cs.CC math.RT
Approximating the Permanent with Fractional Belief Propagation
我们讨论计划的精确和近似计算的永久性，并相互比较。具体来说，我们分析了置信传播（BP）方法和分数置信传播（FBP）的推广计算永久的非负矩阵。在实验中验证了已知的界限和公式，并提出了一些新的理论关系、界限和公式。分数自由能（FFE）泛函由标量参数$γ\in[-1;1]$参数化，其中$γ=-1$对应于BP极限，并且$γ=1$对应于排除原理（但忽略完美匹配约束）平均场（MF）极限。FFE相对于$γ$表现出单调性和连续性。对于每个非负矩阵，我们定义其特殊值$γ_*\in[-1;0]$为$γ$，其中$γ$ -参数化FFE泛函的最小值等于矩阵的永久值，其中$γ$ -区间的下限和上限对应于永久值的各自边界。我们的实验分析表明，$γ_*$的分布不同的合奏，但$γ_*$总是位于$[-1;-1/2]$间隔。此外，对于所有的系综考虑的行为$γ_*$是非常独特的，提供了一个经验的实际指导，估计永久的非负矩阵通过FFE方法。
2013-01-05 cond-mat.stat-mech cs.CC cs.DM
Binary Determinantal Complexity
我们证明，对于写的3 × 3永久多项式作为一个矩阵的行列式组成的零，一，和变量作为条目，一个7 × 7矩阵是必需的。我们的证明是基于计算机的，并使用二分图的枚举。此外，我们分析的多项式序列的多项式大小的矩阵，只包括零，一个和变量的决定因素。我们表明，这些正是在常数自由多项式大小（弱）扭电路的复杂性类的序列。
2015-01-23 cs.CC
No occurrence obstructions in geometric complexity theory
永久性与行列式猜想是复杂性理论中的一个主要问题，它等价于复杂性类VP_{ws}和VNP的分离。Mulmuley和Sohoni（SIAM J.Comput.，2001年）建议研究这个猜想的一个加强版本，在复数上相当于分离行列式和填充永久多项式的轨道闭合。在那篇论文中，还提出了通过展示出现障碍物来分离这些轨道闭合，这些障碍物是GL_{n^2}（C）的不可约表示，它们出现在轨道闭合的一个坐标环中，而不是另一个。我们证明这种方法是不可能的。然而，我们并不排除一般的方法，通过Mulmuley和Sohoni提出的多重性障碍的永久性与行列式的问题。
2018-09-17 cs.CC math.AG math.RT
Symmetric Arithmetic Circuits
本文提出对称算术电路模型，证明计算积和式需指数规模，而特征零域上行列式可用多项式规模对称电路计算。
2024-01-19 cs.CC cs.DM cs.LO
New Hardness Results for the Permanent Using Linear Optics
2011年，Aaronson给出了一个基于量子线性光学的惊人证明，表明计算矩阵的积和式的问题是#P-hard的。Aaronson的证明自然导致了对恒量的近似结果的困难，并且可以说它比Valiant在1979年对同一事实的开创性证明更简单。然而，它并没有证明计算永久式对于任何以前不知道的矩阵类都是P-困难的。在本文中，我们提出了一个新的结果，主要是来自通过这些线性光学技术的矩阵永久。首先，我们证明了计算实正交矩阵的积和式的问题是P-困难的。就像Aaronson的原始证明一样，这将表明即使是乘法近似仍然是#P-难以计算的。硬度结果甚至转化为有限域上的积和式，其中计算正交矩阵的积和式的问题在有限域F_{p^4}中对于所有不等于2或3的素数p是Modpp-困难的。有趣的是，这个特征是紧密的：在特征2的域中，积和行列式重合;在特征3的域中，可以通过Kogan的一个非平凡结果有效地计算正交矩阵的积和。最后，我们用更初等的论证证明了半正定矩阵的积和式的P-困难性，这表明尽管经典计算机可以有效地对热态玻色子抽样实验的某些概率进行抽样，但它们很难精确计算.
2018-02-28 cs.CC quant-ph
On the Principal Minor Expansion and Complexity of the Symmetrized Determinant
Universität des Saarlandes（萨尔兰州立大学）；Indian Institute of Technology Kanpur（坎普尔印度理工学院）
研究对称化行列式的代数性质与复杂性，证明其主余子式展开与普通行列式类似，且在非交换代数中计算对称化行列式为#P难问题，且在非交换和交换设定下均为VNP完全。
2026-06-25 cs.CC
Anticoncentration of the Permanent in Ginibre Ensembles
研究吉尼贝尔系综中归一化行序积和式的反集中性，通过比较拉普拉斯变换阶的平方高斯积和式与平方行列式来证明，给出其径向密度相关条件及上界，特别解决了\(\mathbb{K}=\mathbb{C}\)时的积和式反集中猜想。
2026-07-23 cs.CC math-ph math.MP
Symmetric Algebraic Circuits and Homomorphism Polynomials
研究了对称代数复杂性理论，证明对称多项式可由小电路表示当且仅当其可表示为有限treewidth图的同态计数多项式的线性组合，并探讨了子图计数多项式的对称复杂性与模式图顶点覆盖数的关系。
2026-03-16 cs.CC
An introduction to geometric complexity theory
我调查的方法，从微分几何，代数几何和表示论相关的永久v.行列式的问题，从计算机科学，一个代数模拟的P v. NP问题。
2015-09-08 cs.CC math.AG math.DG
Complexity and Completeness of Immanants
固有子是n × n矩阵的多项式函数，它附加在对称群Sn的不可约特征标上，或等价于大小为n的Young图。内在性包括决定性和永久性作为极端情况。Valiant在他的NP理论的代数模型中证明了积和式的计算是一个完整的问题，即，它是VNP完成。我们证明了，如果固有子被连接到一个图族，其分离度为$Ω(n^δ)$，对于某些$δ>0$，固有子的计算是VNP-完全的。我们将图的分隔定义为单行中包含的最大数量的悬伸框。我们的定理证明了一个猜想Buergisser为各种各样的家庭，特别是我们恢复与新的证明他的VNP-完整性结果的挂钩和矩形。
2003-01-23 cs.CC math.CO
Weakening Assumptions for Deterministic Subexponential Time Non-Singular Matrix Completion
在（Kabanets，Impagliazzo，2004）中，给出了如何在确定性次指数时间内确定电路多项式恒等式测试问题（CPIT），假设算术电路的一些显式多线性多项式族的硬度。本文考虑了CPIT的一种特殊情况，即低次非奇异矩阵完备化（NSMC）。对于这个子类的问题，它示出了如何获得相同的确定性的时间范围，使用较弱的假设，在确定性的复杂性。硬度随机性权衡也将显示在相反的方向，在努力取得进展的Valiant的VP与VNP的问题。为了分离VP和VNP，已知证明m × m持久式的行列式复杂度是$m^{ω(\log m)}$就足够了。本文证明了，对于一个适当的显式性概念，具有行列式复杂度m^{ω（\log m）} $ is equivalent to the existence of an efficiently computable generator $ G_n $ for multilinear NSMC with seed length $ O（n^{1/ \sqrt{\log n} }）$. The latter is a combinatorial object that provides an efficient deterministic black-box algorithm for NSMC. ``Multilinear NSMC'' indicates that $ G…
2009-10-08 cs.CC
