Metric Planarity Testing is Hard
Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克计算机科学研究所）；Indian Institute of Science（印度科学学院）；Aalto University（阿尔托大学）；University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）
本研究证明度量平面性测试是NP困难的，在指数时间假设下不存在$2^{o(n)}$时间算法，同时给出两种算法结果作为补充。
2026-10-14 cs.DS
Advances on Testing C-Planarity of Embedded Flat Clustered Graphs
我们提出了一个多项式时间算法，用于测试嵌入式平面聚类图的c-平面性，每个聚类图的每个面上最多有两个顶点。
2014-08-12 cs.CG cs.DM cs.DS
Fully-dynamic Planarity Testing in Polylogarithmic Time
给定一个动态图的插入和删除的边缘，一个自然的问题是，图目前是否承认一个平面嵌入。我们给出了一个确定性的全动态算法一般的图形，运行在摊销$O(\log^3 n)$时间每边插入或删除，保持一个位，指示图形是否目前是平面的。这是对以前的最佳算法[Eppstein，Galil，Italiano，Spencer，1996]的指数改进，以前的最佳算法每次更新花费摊销的$O(\sqrt{n})$时间。
2019-12-10 cs.DS
Testing Upward Planarity of Partial $2$-Trees
我们提出了一个$O(n^2)$ -时间算法来测试一个$n$ -顶点定向部分$2$ -树是否是向上平面的。该结果改进了以前最好的已知算法，该算法在$O(n^4)$时间内运行。
2022-08-26 cs.CG cs.DS
Multilevel Planarity
本文介绍并研究了多层平面性测试问题，它是上平面性和水平平面性的推广。令$G = (V, E)$是有向图，并且令$\ell: V \to \mathcal P(\mathbb Z)$是将整数的有限集合分配给每个顶点的函数。$G$的多级平面图是$G$的平面图，使得每个顶点$v \in V$的$y$坐标是$y(v) \in \ell(v)$，并且每个边被绘制为严格的$y$单调曲线。我们提出了线性时间算法，用于测试嵌入图的多级平面性与一个单一的源和定向循环。补充这些算法的结果，我们表明，多级平面性测试是NP完全的，即使在非常有限的情况下。
2018-10-31 cs.CG cs.DS
Level Planarity: Transitivity vs. Even Crossings
最近，Fulek等人提出了（径向）水平平面性的Hanani-Tutte结果，即，一个图是（径向）水平平面的，如果它允许任何两个（独立的）边相交偶数次的（径向）水平绘图。我们表明，2-Sat制定的水平平面性测试由于Randerath等人。是等价的强Hanani-Tutte定理水平平面性。此外，我们表明，这种关系进行到径向水平的平面性，从而产生一种新的多项式时间算法测试径向水平的平面性。
2018-08-29 cs.DM cs.DS
Planarity Testing Revisited
平面性测试是确定给定图是否是平面图的问题，而平面嵌入是相应的构造问题。Allender和Mahajan借助于Reingold的结果，确定了这类问题的有界空间复杂度恰好为Logspace。不幸的是，该算法是相当令人生畏的，概括起来说，有界亏格的情况似乎是一个很高的要求。在这项工作中，我们提出了一个简单的平面嵌入算法运行在对数空间。我们希望这个算法将更易于推广。该算法是基于3-连通平面图具有唯一嵌入、Tutte关于圈冲突图的判别准则的一个变体以及圈基的显式变化这一事实。对于平面图。我们还提出了一个对数空间算法来找到平面性的障碍，即一个Kuratowski未成年人，如果图是非平面的。据我们所知，这是这个问题的第一个对数空间算法。
2011-01-13 cs.CC cs.DS
A Planarity Test via Construction Sequences
最佳线性时间算法测试的平面图是众所周知的超过35年。然而，这些算法非常复杂，最近的出版物仍然试图给出更简单的线性时间测试。我们给出了一个简单的减少，从平面性测试的问题，计算一个3-连通图的某种结构。该方法与以前的平面性测试不同;作为关键概念，我们在每个时间点保持3连接的平面嵌入。该算法在线性时间内运行，如果输入图是平面的，则计算平面嵌入，否则计算Kuratowski细分。
2012-02-22 cs.DM cs.DS
An SPQR-Tree-Like Embedding Representation for Upward Planarity
SPQR-树是一种数据结构，它压缩表示一个双连通平面图的所有平面嵌入。它在约束平面度测试中起着关键作用。我们开发了一个类似的数据结构，称为UP-树，companion表示所有向上平面嵌入的双连通单源有向图。我们通过解决双连通单源有向图的向上平面嵌入扩展问题来证明UP树的有用性。
2019-08-01 cs.DS
An SPQR-Tree-Like Embedding Representation for Level Planarity
SPQR树是一种有效地表示双连通平面图的所有平面嵌入的数据结构。它是一个关键工具，在一些约束平面性测试算法，寻求平面嵌入的图受到一些给定的一组约束。我们开发了一个类似SPQR树的数据结构，它表示具有单个源的双连通水平图的所有水平平面嵌入，称为LP树，并给出了一个简单的算法来在线性时间内计算它。此外，我们表明，LP-树可以用来适应三个约束平面算法的水平平面的情况下，使用它们作为一个下降的替代SPQR树。
2020-09-25 cs.DS
Beyond Level Planarity
在本文中，我们解决了计算复杂性的两个公开问题有关的水平平面性的概念扩展到不同的表面的平面。也就是说，我们表明，测试的存在性的水平嵌入的水平图的表面上的滚动圆柱或表面上的环面，分别称为$\textit{Cyclic Level Planarity}$和$\textit{Torus Level Planarity}$，是多项式时间可解的问题。此外，我们证明了一个复杂性二分法测试的$\textit{Simultaneous Level Planarity}$的一组水平图，相对于水平图的数量和水平的数量。
2016-08-29 cs.CG cs.DS
C-Planarity Testing of Embedded Clustered Graphs with Bounded Dual Carving-Width
对于一个聚类图，即一个图的顶点集被递归地划分成簇，C-平面性测试问题问是否有可能找到一个平面嵌入的图和表示的每个簇作为一个区域同胚到一个封闭的磁盘，使1。由每个簇诱导的子图被绘制在相应盘的内部，2.每个边缘与任何盘相交最多一次，以及3.簇之间的嵌套由表示来反映，即，子集群被正确地包含在它们的父集群中。该问题的计算复杂性自1995年引入以来一直是图形可视化理论的核心[Qing-Wen Feng，Robert F.科恩和彼得·伊德斯。聚类图的平面性。ESA '95]，最近才解决[Radoslav Fulek和Csaba D.托特原子嵌入性、嵌入平面性和增厚性。出现在SODA '20]。在这一突破之前，即使图具有指定的平面嵌入，即嵌入聚类图，复杂性问题仍然没有得到解决。我们表明，C-平面性测试问题承认一个单指数单参数FPT算法嵌入聚类图，当参数化的雕刻宽度的对偶图的输入。这是第一个FPT算法，这个长期存在的开放问题，相对于一个显着的图形宽度参数。此外，在一般情况下，我们的FPT算法的多项式依赖小于Fulek和Tóth的算法。为了进一步加强这一结果的相关性，我们表明，C-平面性测试问题保留其计算复杂性时，由其他几个图形宽度参数，这可能会导致更快的算法参数化。
2019-10-04 cs.CG cs.DS
Upward Planarity Testing of Biconnected Outerplanar DAGs Solves Partition
本文通过$O(n)$时间归约证明，双连通外平面DAG的上向平面性测试等价于划分问题，并给出反向结果，为高效算法存在性设立首个障碍。
2023-12-23 cs.DM cs.DS
(k,p)-Planarity: A Relaxation of Hybrid Planarity
我们提出了一个新的模型，放宽现有的混合表示的混合平面性。一个图$G = (V,E)$是$(k,p)$ -平面的，如果$V$可以被划分成大小至多为$k$的簇，使得$G$允许绘图，其中：（i）每个簇与一个封闭的有界平面区域相关联，称为簇区域;（ii）聚类区域是成对不相交的，（iii）每个顶点$v \in V$用最多$p$不同的点来标识，称为\emph{ports}，在其集群区域的边界上;（iv）每个集群间边缘$(u,v) \in E$用将$u$的端口连接到$v$的端口的约旦弧来标识;（v）集群间边缘除了在它们的端点处之外不与集群区域交叉或相交。我们首先用$p<k$严格约束了$(k,p)$ -平面图的边数。证明了$(4,1)$ -平面性检验和$(2,2)$ -平面性检验是NP完全问题。最后，我们证明了$(2,2)$ -平面图类和$1$ -平面图类都不包含另一个，表明$(k,p)$ -平面图是一个大而新的类。
2018-09-21 cs.CC cs.DS
A New Perspective on Clustered Planarity as a Combinatorial Embedding Problem
聚类平面性问题（c-planarity）询问层次聚类图是否允许平面绘图，使得聚类可以很好地由区域表示。我们引入了cd树数据结构，并给出了c平面性的一个新的刻画。它导致在以下情况下的c-平面性测试的有效算法。(i)每个簇和每个协簇（簇的补簇）最多有两个连通的分量。(ii)每个簇最多有五条向外的边。此外，cd树揭示了c-平面性和平面性之间的有趣联系，并限制了顶点周围边的顺序。一方面，这引起了一堆新的开放问题的c-平面性，另一方面，它提供了一个新的角度对以前的结果。
2015-06-18 cs.DM cs.DS math.CO
Implementing a Partitioned 2-page Book Embedding Testing Algorithm
在书嵌入中，图的顶点被放置在“书”的“书脊”上，边被分配给“页”，以便同一页上的边不交叉。在分块两页书嵌入问题中，将边划分为两个集合E_1和E_2，两页书，E_1的边指定为第1页，E_2的边指定为第2页。这个问题包括检查是否存在沿书脊的顶点排序，以便每个页面的边缘不交叉。Hong和Nagamochi给出了一个有趣而复杂的线性时间算法来处理基于SPQR树的分块2页图书嵌入。我们展示了该算法的有效实现，并通过大量的实验测试表明其有效性。由于分区的2页书嵌入和集群平面性之间的关系，我们产生了一个副作用，实现了一个集群平面性测试，其中图正好有两个集群。
2012-09-04 cs.DS
Rectilinear Planarity of Partial 2-Trees
本文提出O(n^2)时间算法测试部分2-树的直线平面性，改进现有O(n^3 log n)界限，并在特定条件下达到最优O(n)时间，基于对正交螺旋性的深入研究。
2023-06-22 cs.DS
Worst-Case Polylog Incremental SPQR-trees: Embeddings, Planarity, and Triconnectivity
我们发现，每个标记的平面图$G$可以分配一个规范的嵌入$ϕ(G)$，这样，对于任何平面$G'$，从$G$不同的插入或删除一个边缘，局部变化的组合嵌入的数量需要从$ϕ(G)$到$ϕ(G')$是$O(\log n)$。相比之下，存在嵌入式图，其中$Ω(n)$变化是必要的，以适应一个插入的边。我们提供了一个匹配的$Ω(\log n)$局部变化的下限，虽然我们的上限是最坏的情况下，我们的下限保持在摊销的情况下。我们的证明是基于BC树和SPQR树，我们开发的\emph{pre-split}变种，这些一般的图形，基于一种新的有偏重路径分解，其中的结构变化对应的边缘插入和删除的基础图形组成的最多$O(\log n)$基本操作的一个特别简单的形式。作为次要的结果，我们展示了如何在最坏的情况下$O(\log^3 n)$时间确定性地在底层图中的边插入下保持预分裂树。使用此，我们获得确定性的数据结构，增量平面性测试，增量平面嵌入，增量三连通性，每一个最坏的情况下$O(\log^3 n)$更新和查询时间，回答了一个开放的问题La Poutré和Westbrook从1998年。
2019-10-20 cs.DS
Dynamic Planar Embedding is in DynFO
本文证明动态平面嵌入属于 DynFO：通过仅维护三连通分量嵌入及分离对二染色，支持边插入、删除并拒绝破坏平面性的插入。
2023-07-17 cs.CC cs.DS cs.LO
Structural Parameterizations of $k$-Planarity
Hokkaido University（北海道大学）；Nagoya University（名古屋大学）
本研究将1-平面性的结构参数化复杂度研究拓展至k≥1的一般情形，给出紧的参数化上下界，证明常数树宽图子类上1-平面性测试仍为NP完全、局部交叉数近似难度更高。
2025-08-27 cs.DS
Compact Distributed Certification of Planar Graphs
Naor、Parter和Yogev（SODA 2020）最近证明了平面性的\emph{distributed interactive proof}的存在（即，用于证明网络是平面的），使用用于基于顺序IP协议构造分布式IP协议的复杂通用技术。平面性的交互式证明是基于对任何给定的用于平面性测试的顺序线性时间算法的正确执行的分布式认证。它涉及证明者和随机分布式验证者之间的三个交互（即，它是\dMAM协议），并且在$n$节点网络中的$O(\log n)$比特上使用小证书。我们表明，一个单一的互动证明是足够的，和随机化是不必要的，通过提供一个明确的描述\emph{proof-labeling scheme}的平面性，仍然使用证书上只是$O(\log n)$位。我们还表明，有没有证明标签计划-事实上，甚至没有\emph{locally checkable proofs} -平面性使用证书的$o(\log n)$位。
2020-05-12 cs.DC cs.DS
On the Parameterized Complexity of Bend-Minimum Orthogonal Planarity
本文改进了最小弯曲正交平面性问题的参数化复杂性结果，证明其仅以度数至多2的顶点数和弯曲数为参数时仍为FPT，并由此得出直线平面性测试的FPT结论。
2023-09-06 cs.CG cs.DS
2-Level Quasi-Planarity or How Caterpillars Climb (SPQR-)Trees
给定一个二分图$G=(V_b,V_r,E)$，$2$ -级拟平面性问题要求存在一个平面中的$G$的绘图，使得$V_b$和$V_r$中的顶点分别位于两条平行线$\ell_b$和$\ell_r$上，$E$中的每条边都画在由$\ell_b$和$\ell_r$限定的平面的无界带中，并且$E$中没有三条边两两相交。证明了$2$ -级拟平面问题是NP-完全的。这回答了杜伊莫维奇、波尔和伍德的一个悬而未决的问题。此外，我们表明，问题成为线性时间可解的，如果在$V_b$沿$\ell_b$的顶点的顺序是规定的。我们的贡献提供了第一个结果的计算复杂性识别准平面图，这是一个长期存在的开放问题。我们的线性时间算法利用了几个成分，包括一个组合表征的积极的情况下的问题，在存在的一个平面嵌入与毛虫状结构，和SPQR树为基础的算法，用于测试存在这样的平面嵌入。我们的算法建立在一个分类的类型的嵌入相对于它们包含的毛毛虫的一部分的结构，并执行一个计算的可实现的嵌入类型的基础上，通过恒定大小的小工具，其功能的简洁描述。
2020-11-04 cs.CG cs.DS
Dynamic Embeddings of Dynamic Single-Source Upward Planar Graphs
一个有向图$G$是上平面的，如果它允许一个平面嵌入使得每条边都是$y$-单调的.与平面性测试不同，向上平面性测试是NP难的，除非在限制情况下，例如当图具有单源属性（即每个连通分量只有一个源）时。在本文中，我们提出了一个动态的算法，以保持一个组合嵌入$\mathcal{E}(G)$的单源向上平面图的边缘删除，边缘收缩，边缘插入向上通过一个面，和单源保持顶点分裂通过指定的角。此外，我们支持子图翻转形式的嵌入$\mathcal{E}(G)$的变化，子图翻转镜像或滑动通过最多两个顶点连接到图的其余部分的子图的位置。只要图形保持向上平面，就支持所有更新操作，只要图形保持单源，就支持所有查询。违反向上平面性的更新被我们的更新算法识别并拒绝。我们动态地维护一个线性大小的数据结构$G$，它支持一个顶点和一个面之间的关联查询，和向上链接的顶点对。如果一对顶点不是向上翻转的，我们方便一个翻转的查询，指向一个子图翻转，使他们的翻转，如果任何这样的翻转存在。我们支持所有的更新和查询在$O(\log^2 n)$的时间。
2022-09-28 cs.CG cs.DS
Crossing Minimization for 1-page and 2-page Drawings of Graphs with Bounded Treewidth
我们调查交叉最小化1页和2页的书籍图纸。我们表明，计算1页的交叉数是固定参数易于处理的交叉数，测试2页平面性是固定参数易于处理的树宽，计算2页的交叉数是固定参数易于处理的交叉数和输入图的树宽的总和。我们证明了这些结果通过Courcelle定理的固定参数的一元二阶逻辑有界树宽的图形表示的属性的易处理性。
2014-08-27 cs.DM cs.DS math.CO
Graph Inference with Effective Resistance Queries
University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）；University of California San Diego（加利福尼亚大学圣迭戈分校）；Oregon State University（俄勒冈州立大学）
本文研究利用有效电阻预言机进行图推断，提出测试树、双连通性等性质的O(n)查询算法，以及重构算法，并证明ER查询与最短路径查询能力不可比较。
2025-02-25 cs.DM cs.DS cs.LG
Beyond BFS: A Comparative Study of Rooted Spanning Tree Algorithms on GPUs
Indian Institute of Technology Tirupati（印度理工学院提鲁帕蒂分校）
本文研究了GPU上根spanning树算法的比较，提出基于连接性框架的RST构建方法，在高直径图上实现300倍加速，推动GPU图分析方法的革新。
2026-03-12 cs.DC cs.DS
