Degenerate billiards
在普通的台球系统中，哈密顿系统的轨迹在与超曲面（散射体）碰撞后被弹性反射。如果散射体是余维大于1的子流形，我们说台球是退化的。碰撞是罕见的。我们研究的轨迹退化台球有无限数量的碰撞与散射。简并台球在天体力学中表现为弹性反射系统的极限或奇点系统的极限。我们证明了存在的轨迹，这样的系统跟踪相应的退化台球的轨迹。证明是基于一个版本的方法的反可积的限制。
2016-06-22 math.DS
Upper bound on the number of collisions of pinned billiard balls
我们考虑“钉球”系统，即，具有固定位置和伪速度的球。伪速度的变化规律与运动球之间的全弹性碰撞速度的变化规律相同。对于不同的钉扎球对的可能的伪碰撞的时间选择在一个外生的方式。本文给出了$d$维空间中$n$钉扎球系统的最大伪碰撞次数的一个明确的上界。证明是基于对折叠的分析，即，将沿着折痕折叠一张纸的想法形式化的映射。本文证明了一个点的轨道的大小的上界。
2022-03-17 math.DS
Periodic orbits for square and rectangular billiards
本文研究方形与矩形数学台球，分类其周期轨道，证明碰撞数必为偶数，并将轨道类别数联系到 Euler 函数，同时分析给定碰撞数的构造及终止于角点的奇异轨迹。
2024-10-25 math.DS
Semi-deterministic processes with applications in random billiards
本研究刻画了交替随机游走与随机台球系统的遍历性条件，并给出产生遍历动力学的粗糙微结构实例，填补了扩散与确定性系统之间的空白。
2023-12-31 math-ph math.DS math.MP
Hyperbolic billiards on polytopes with contracting reflection laws
我们研究了$\Rr^d$中多面体上的台球，其中具有收缩反射律，即反射角朝向法线收缩的非标准反射律。我们证明，台球上的通用多面体是一致双曲的，存在一个正整数$k$，使任何$k$连续的碰撞，相应的法线的碰撞发生的多面体的面生成$\Rr^d$。作为我们的主要结果的应用，我们证明了台球上的通用多面体是一致双曲的，如果无论是收缩反射法是足够接近镜面或多面体是钝的。最后，我们详细研究了一类$3$维单形上的台球问题。
2016-11-07 math.DS
On Length Spectrum Rigidity of Dispersing Billiard Systems
本文考虑一类在平面上的色散台球系统，该系统是通过去掉三个满足不食条件的凸解析散射体而形成的。该系统中的碰撞映射与子移位共轭，提供周期点的自然标记。研究了这类系统的显长谱刚性问题。我们表明，两个这样的系统具有相同的标记长度谱当且仅当它们的碰撞映射是解析共轭到彼此附近的同宿轨道和两个散射体和标记长度谱一起唯一地确定第三个散射体。
2022-08-25 math.DS
On pinned billiard balls and foldings
我们考虑"钉球"系统，即，具有固定位置和伪速度的球。伪速度的变化规律与运动球之间的全弹性碰撞速度的变化规律相同。对于不同的钉扎球对的碰撞次数是以外生的方式选择的。利用$n$，$d$和球心的位置，给出了$d$维空间中$n$钉扎球系统的最大伪碰撞次数的一个显式上界.作为第一步，我们研究折叠，即，将沿着折痕折叠一张纸的想法形式化的映射。
2018-07-24 math.DS
Rolling systems and their billiard limits
广义上讲，台球系统可以被看作是机械系统的模型，其中刚性部件通过弹性冲击（碰撞）力相互作用。当需要或必须考虑涉及球体的碰撞中的线性/角动量交换时，已经使用了一种通常被称为无滑动的台球系统。在最近的工作中，很明显，防滑台球在许多方面类似于非完整力学系统。基于鲍里索夫，Kilin和Mamaev的想法，我们表明，无滑动台球非常普遍的非完整（滚动）系统的限制，在某种程度上，这是类似于如何普通台球出现的限制测地流通过平坦的黎曼流形。
2020-09-13 math.DG math.DS
No-slip billiards in dimension two
我们研究了无滑台球的动力学，在这个模型中，小的旋转圆盘可以在与边界的碰撞中交换线动量和角动量。我们给出了新的结果的周期性和有界性的轨道，这表明一类台球（包括所有多边形）是不是遍历。计算机生成的相图显示非遍历的功能，这表明混沌无滑台球不能很容易地使用普通技术在标准台球产生混沌。
2016-02-03 math.DS
Differential Geometry of Rigid Bodies Collisions and Non-standard Billiards
由$\mathbb{R}^n$中的两个无约束刚体组成的机械系统的位形流形$M$，$n\geq 1$，是一个有边界带边流形（通常有奇点）的流形。完整的系统描述需要边界条件，这些条件规定了碰撞后轨道应如何继续。边界条件是在$M$的边界上的每个切空间处的碰撞映射的分配，其给出作为碰撞前状态的函数的系统的碰撞后状态。我们的主要结果是一个完整的描述空间的线性碰撞地图满足能量和（线和角）动量守恒，时间可逆性，和自然的要求，脉冲力只作用在切触点的碰撞机构。这些假设可以用几何语言来表述，即明确给出$M$边界切丛的一族向量子丛：对角子丛、非滑移子丛和脉冲子丛。在边界构型上的碰撞映射被证明是限制在非滑动子空间上的恒等式的等距对合。这种映射的空间自然地被识别为$\mathbb{R}^{n-1}$、$0\leq k\leq n-1$的$k$维子空间的格拉斯曼的联合，每个子空间指定接触粗糙度的方向。然后，我们考虑非标准的台球系统，通过固定的机构之一的位置，并允许不同的镜面反射的边界条件定义。我们还提出了一些意见的动力学性质的简单例子的非标准台球，并提供了一个充分条件的台球映射的边界状态的空间，以保持规范（刘维）措施的常能超曲面。
2015-01-26 math.DG math.DS
Bifurcations of periodic and chaotic attractors in pinball billiards with focusing boundaries
我们研究了台球模型的动力学与修改的碰撞规则：从碰撞传出的角度是一个统一的收缩，由一个因子λ，入射角。这些弹球台球插入之间的一维映射时，λ =0和经典的弹性碰撞的哈密顿情况下，λ =1。对于所有λ <1，动力学是耗散的，因此会产生吸引子，吸引子可能是周期性的或混沌的。受最近Markarian，Pujals和Sambarino的严格结果的启发，我们数值研究并证明了当收缩参数变化时所产生的吸引子的分叉。有些台球只表现出周期吸引子，有些只表现出混沌吸引子，还有一些台球则是两种吸引子共存。
2009-06-11 math.DS nlin.CD
Stability of periodic orbits in no-slip billiards
在一组自然的物理要求下，二维刚体碰撞贴图可以分为两种类型：标准镜面反射贴图和第二种，我们称之为Broomhead和Gutkin之后的无滑移贴图。这导致研究无滑台球-平面台球系统中的移动粒子是一个磁盘（旋转对称的质量分布），其平移和旋转速度都可以改变在每次碰撞的边界的台球域。在本文中，我们大大扩展了以前的结果（Broomhead和Gutkin）的有界性和线性稳定性的Sinai型台球（Wojtkowski）的无滑台球的周期轨道。我们证明了：（i）对于具有分段光滑边界和至少一个内角小于$π$的平面上的台球区域，无滑移台球动力学总是包含椭圆周期- $2$轨道;（ii）多边形无滑移台球总是允许小的不变开集，因此关于正则不变台球测度不能遍历;（三）无滑动版本的西奈台球必须包含线性稳定的周期轨道的周期$2$，更一般地说，我们提供了一个曲率阈值，在此通常发生的周期- $2$轨道从双曲线转移到椭圆形;（四）最后，我们提出了一些意见关于周期轨道在一类多边形台球。
2016-12-10 math.DS
Billiards and toy gravitons
本文研究了正负质量粒子的一维弹性碰撞动力学。我们表明，这样的系统是等价的台球引起的可能不确定的签名的内积，我们的特点是系统与多个碰撞，我们证明了一个小粒子的负质量之间的两个粒子的正质量的行为就像一个吸引粒子离散加速度（在碰撞）提供的总动能是负的。在负质量趋于零的极限下，在固定的负动能下，我们得到一个连续的加速度，其势能为$U(r)=-k/r^2$的形式。
2018-08-30 math-ph math.DS math.MP
The first encounter of two billiard particles of small radius
我们证明了两个粒子在西奈台球桌的第一次碰撞的时间弱收敛到一个指数分布时，由粒子的半径的倒数重新缩放的时间。这一结果为研究硬球系统在稀有相互作用极限下的能量演化迈出了第一步。
2016-03-24 math.DS
Random billiards with wall temperature and associated Markov chains
我们所说的随机台球是指一个台球系统，其中标准的镜面反射规则被马尔可夫转移概率算子P所取代，该算子P在台球粒子与台球域边界的每次碰撞时，给出了给定碰撞前速度的碰撞后速度的概率分布。具有微结构的随机台球（RBM）是一种随机台球，其中P是从台球域边界上的几何/机械结构的选择中导出的。RBM提供了简单而明确的颗粒-表面相互作用的力学模型，可以将热效应，并允许从一般状态空间上的马尔可夫链的标准理论的角度详细研究粒子作用。我们专注于运营商P本身，以及它如何涉及到的微观结构的机械/几何特征，如质量比，曲率和潜力。主要结果如下：（1）刻画了平稳概率（平衡态）的P和显示如何标准的平衡分布研究在经典的统计力学，如麦克斯韦玻尔兹曼分布和克努森余弦定律，自然产生的广义不变台球措施;（2）得到了P的一些基本的泛函理论性质，在很一般的条件下，证明了P是适当的Hilbert空间上范数为1的自伴算子。在一个简单但说明性的例子中，我们证明了P是一个紧（希尔伯特-施密特）算子。这导致的问题有关的频谱的特征值的微观结构的P;（3）我们探讨后者的问题，分析和数值在几个有代表性的例子;（4）我们提出了一个通用的算法来模拟这些马尔可夫链的基础上的几何描述的不变体积的经典统计力学。
2012-02-10 math-ph math.DS math.MP
Projective Cones for Sequential Dispersing Billiards
本文为色散台球构造了在转移算子作用下收缩的 Birkhoff 锥，从而能够研究常规、序列及开放色散台球的统计性质，并应用于混沌散射与随机 Lorentz 气体。
2022-11-18 math.DS
Relativistic one-dimensional billiards
本文研究包含正负能量粒子的一维相对论台球动力学，证明其因快子碰撞现象在有限时间内仅发生有限次碰撞，且解依初始参数呈有界周期或无界平方反比发散。
2025-03-31 math.DS
Pinned Billiard Balls Simulation (WXML Autumn 2023 report)
本研究通过大量模拟探究两种固定台球构型的动力学特性，验证了半空间构型下能量长期集中于边界、平坦环面构型下速度分量为独立同分布正态且碰撞方向速度分量不相关的结论。
2023-12-19 math.DS math.PR nlin.CD
One-dimensional inelastic collapse of four particles: asymmetric collision sequences and spherical billiard reduction
本文研究四个非弹性硬球的一维非弹性坍缩，证明非对称周期碰撞模式可实现，并约化为低维球面台球系统，数值模拟显示轨道可能拟周期。
2024-11-15 math-ph math.DS math.MP
On Chaotic Dynamics in Rational Polygonal Billiards
我们讨论了有理多边形台球中与可积性和混沌特征相关的分段线正则边界效应和顶角奇异边界效应之间的相互作用。多边形中规则和不规则运动的有争议的问题的处理方法是在确定性和随机性的框架内进行的。分析的台球壁碰撞分布和粒子的生存概率，分别在封闭和弱开多边形模拟。在多顶点多边形中，后期的壁碰撞事件导致圆形的规则的周期性轨迹（滑动轨道），这在开放台球的情况下可能被转化为幸存的集体激发（涡）。在弱开多边形中，滑动轨道和涡旋与相应的圆台球中的规则轨道没有拓扑相似性，通过普适和非普适弛豫动力学可以很好地区分滑动轨道和涡旋.
2005-11-25 math-ph math.DS math.MP
Dispersing billiards with moving scatterers
我们提出了一个模型的西奈台球与移动的散射体，其中的散射体的位置和形状可能会发生变化的碰撞之间的少量。我们的主要结果是指数损失的记忆的初始数据在统一的速度，我们的证明包括一个耦合参数的非平稳成分的地图类似于经典的台球地图。这可以看作是依赖于时间的动力系统的统计特性的一个典型结果。
2012-11-19 math-ph math.DS math.MP
Structure and evolution of strange attractors in non-elastic triangular billiards
研究了等边三角形桌上弹球台球的动力学问题。在这样的动力学中，与壁的碰撞是非弹性的：与边界的法向量的出射角是$λ< 1$的均匀因子，其小于入射角。这导致连续碰撞之间的离散时间动力学在相空间中的收缩，并且因此导致勒贝格测度为零的吸引子，由于膨胀机制的存在，这些吸引子几乎总是具有混沌动力学的分形奇异吸引子。我们研究了这些奇异吸引子的结构及其随收缩参数$λ$变化的演化。对于$λ$在区间（0，1/3），我们严格证明了吸引子的康托尔集倍的间隔的结构，而对于较大的值的$λ$的台球动力学产生不可访问的区域在相空间。当$λ$接近于1时，吸引子分裂为三个传递分量，其吸引盆具有分形盆边界.
2011-12-06 math.DS nlin.CD
Chaotic dynamics of a bouncing coin
我们研究了运动被限制在二维平面上的弹跳硬币的动力学。这种硬币模型相当于由刚性杆连接的两个相等质量的系统，与平坦边界进行弹性碰撞。我们首先将硬币系统描述为一个具有散射边界的点台球。然后，我们分析验证，台球映射作用于两个不相交的集产生一个Smale马蹄结构。我们还证明，通过选择适当的初始条件，可以实现任何随机的硬币碰撞序列。
2016-03-09 math.DS
Dynamics of the no-slip Galton board
理想的高尔顿板和洛伦兹气体台球模型已被研究的数值和分析，主要是在摩擦和旋转速度被忽略的设置。我们消除了这些简化的假设，并研究了一个更一般的模型，使用无滑移碰撞，粒子旋转，并可能在碰撞时交换线动量和角动量，同时遵守一定的守恒定律所产生的动力学。使用数值实验和相图分析，我们表明，（与镜面分散台球）规则性持续当一个小的力被引入，而（与镜面台球一致）下一个更强的力新的结构，包括不变的区域可能会出现。我们还分析表明，引入外力周期性激增，与新类型的周期轨道不存在于无力的情况下。
2022-08-16 math.DS
Linear and nonlinear stability of periodic orbits in annular billiards
环形台球是一个动力系统，其中粒子在圆盘中自由运动，除了与边界的弹性碰撞，并且在圆盘内部也是一个圆形散射体。本文研究了环形台球中散射体与边界接触或靠近边界时某些周期轨道的稳定性。我们分析表明，存在线性稳定的周期轨道的任意周期的半径减小的散射体位于附近的边界的磁盘。当散射体的位置远离周期轨道的对称线时，周期轨道的稳定性从椭圆轨道变为双曲线轨道，对应于鞍心分岔。当散射体与边界相切时，周期轨道为抛物线。我们证明了在切向情况下稍微改变轨道的反射角会导致KAM岛的存在。因此，我们表明，存在一个递减到零序列的开区间的散射半径，沿该台球桌是不是遍历。
2017-03-24 math.DS
A vector-valued almost sure invariance principle for Sinai billiards with random scatterers
了解非周期性平面洛伦兹气体的统计特性是动力系统理论中的一个重大挑战。在这里，我们研究了一个大大简化，但相关的模型，提出了Arvind Ayyer和推广的乔尔Lebowitz，在该模型中，一个散射体配置的环面之间的碰撞随机更新。利用时间相关台球理论和概率论的最新进展，我们证明了该模型的向量值几乎必然不变原理。值得注意的是，配置序列可以是弱相关的和非平稳的。我们提供了一个表达式的协方差阵，这在非平稳的情况下不同于传统的。我们还得到了一个新的不变原理西奈台球（固定散射体的情况下）与时间相关的可观测量，并提高现有结果的准确性和通用性。
2013-06-12 math-ph math.DS math.MP
Ergodic properties of random billiards driven by thermostats
我们考虑一类与恒温器相互作用的机械粒子系统。粒子在碰撞之间自由移动，圆盘状的恒温器周期性地排列在圆环上。在碰撞时，发生能量交换，其中粒子将其速度的切向分量交换为从高斯分布中随机抽取的速度分量，其方差与恒温器的温度成比例。在所有温度都相等的情况下，我们可以写出一个定态分布的显式公式。我们考虑一般情况，并证明存在唯一的绝对连续平稳分布。而且，在初始分布相当温和的条件下，相应的马尔可夫动力学以指数速度收敛到平衡点。主要的技术困难之一是与运动粒子可能过热有关。然而，正如我们在文件中所示的粒子速度的非紧性可以有效地控制。
2013-01-17 math-ph math.DS math.MP
A rigorous derivation of Haff's law for a periodic two-disk fluid
通过将每个单元格由两个硬盘组成的周期性流体简化为在有限视界的西奈台球内运动的点粒子，并采用非弹性碰撞规则，推导出了哈夫冷却定律。事实上，我们的结果也适用于一般分散台球与分段光滑边界有限的地平线和没有尖点。
2018-06-17 math.DS
Maximal Codimension Collisions and Invariant Measures for Hard Spheres on a Line
研究了直线上 $N$ 个硬球同时碰撞的不变子流形，通过推导非线性 PDE 边值问题和求解泛函方程，刻画并证明了产生以 Liouville 测度为不变测度的台球动力学的散射映射条件。
2023-09-11 math-ph math.AP math.DS
Smooth Hamiltonian systems with soft impacts
在具有碰撞的哈密顿系统（或“具有势的台球”）中，点粒子根据背景势围绕有界区域的内部运动，并在边界处经历弹性碰撞。当背景势恒为零时，这是硬壁台球模型。光滑台球模型（硬壁边界由陡峭的光滑台球状势代替）的先前结果已经阐明了如何严格利用光滑台球与硬壁台球的近似。这些结果在这里被推广到光滑背景势满足某些自然条件的模型。然后将这种推广应用于共线三原子化学反应的几何模型（该模型远离可积的$n$ -具有$n\geq2$的自由度系统）。应用表明，较简单的硬壁系统的分析计算可以用来获得定性信息的光滑系统的解决方案的结构，并定量地帮助软冲击系统的连续方法的解决方案。特别地，对于光滑的高度非线性的二自由度和三自由度几何模型，稳定的周期性三原子组态很容易被定位。
2013-12-10 math.DS
Stable laws for heavy-tailed observables on polynomially mixing billiards
University of Warwick（华威大学）；Mathematics Research Centre, University of Warwick（华威大学数学研究中心）；Institute of Mathematics of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院数学研究所）
研究多项式混合碰撞系统中重尾观测值与系统慢混合作用对稳定分布的影响，揭示混合指数与观测指数共同决定极限分布的临界转换机制。
2026-09-23 math.DS nlin.CD
Spinning rough disk moving in a rarefied medium
一个旋转的粗糙圆盘在平面上的稀薄介质中运动。粗糙度是由圆盘边界上的小空洞形成的。这种介质非常稀少，粒子之间的相互作用可以忽略不计。所有粒子与圆盘的碰撞都是完全弹性的;在空腔中可能发生多次碰撞。我们计算的阻力作用在身体上，并研究它如何取决于粗糙度（腔的形状）的种类。我们表明，非零的横向分量的力一般出现，导致偏转的磁盘轨迹。在一些简单的情况下，轨迹被确定。我们将我们的结果与文献中已知的结果进行比较。众所周知，由于气体粒子与旋转体的非弹性相互作用，在稀薄气体中运动的旋转体（通常是球体或圆柱体）上存在横向力。我们提出了另一种产生横向力的机制，这是由于粒子从物体上多次反射造成的。
2009-03-18 math.DS math.OC
