Fast high-dimensional integration using tensor networks
Sebastian Cassel
本文介绍了无回归张量网络表示法在积分中的设计和应用。张量网络方法被证明优于蒙特卡洛测试问题，指数收敛被证明是可实现的非解析被积函数。
The design and application of regression-free tensor network representations for integration is presented. Tensor network methods are demonstrated to outperform Monte Carlo for test problems, and exponential convergence is shown to be achievable for a non-analytic integrand.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Tensor Neural Network and Its Numerical Integration
该研究提出一类张量神经网络的数值积分方案，证明其计算复杂度为维度多项式量级，基于张量积结构用固定求积点构建高效积分方法，还给出对应高维问题求解的机器学习方法并通过数值算例验证。
Tensor-Train Numerical Integration of Multivariate Functions with Singularities
数值积分是许多科学领域的经典问题。由于正交节点数的指数增长性，多元积分不能用经典方法来处理。我们提出了一种方法来克服这个问题。构造了一个逼近被积函数的张量的张量列分解，并用于求多元求积公式。我们展示了如何处理积分域中的奇异性，并对积分精度进行了理论分析。提供了参考开源实现。
Time integration of rank-constrained Tucker tensors
本文提出并分析了秩约束Tucker张量的离散时间积分方法，扩展了已知的矩阵投影分裂积分器至Tucker张量，并展示了其继承的有利性质，通过迭代应用矩阵投影分裂积分器到张量展开并带有不精确子步解，能精确重建给定秩的时变Tucker张量，并对小奇异值具有鲁棒性。
Time integration of tree tensor networks
研究了树型张量网络的动态低秩逼近问题，用于大数据张量和张量微分方程未知解的稀疏逼近.本文提出了一种对给定树秩的树张量网络进行时间积分的方法，并进行了分析。它扩展了已知的投影分裂积分动态低秩近似矩阵和塔克张量，并继承其良好的性能。该积分器是基于递归应用塔克张量积分。在每一个时间步，积分器爬上爬下树：它使用一个递归，从树的根传递到叶子，使用适当的限制和简化来构造子树张量网络上的初值问题，另一个递归，从叶子传递到根，更新树张量网络中的因子。该积分器再现给定的时间相关的树张量网络的指定的树秩准确，是强大的连接张量的矩阵化的典型存在下的小奇异值，在对比标准积分器应用于微分方程的动态低秩近似树张量网络的因素。
Time integration of tensor trains
本文提出了一种稳健高效的张量近似时间积分器，用于处理张量列车或矩阵乘积态格式下的动态问题，通过分裂切空间投影，实现时间依赖张量的更新及高维张量微分方程的近似求解。
Implicit integration of nonlinear evolution equations on tensor manifolds
显式步长截断张量方法最近被证明是成功的集成高维偏微分方程（PDE）的初值问题。然而，非线性和刚度的组合可能会引入时间步长限制，这可能使显式积分计算不可行。为了克服这个问题，我们发展了一类新的隐式秩自适应算法的时间积分的非线性发展方程张量流形。这些算法是基于执行一个时间步长与传统的时间步进计划，其次是一个隐式的不动点迭代步骤，涉及一个秩自适应截断操作到张量流形。隐式步骤截断方法是直接实现的，因为它们只依赖于张量之间的算术运算，这可以通过高效和可扩展的并行算法来执行。数值应用证明隐式阶梯截断张量积分的有效性，并讨论了Allen-Cahn方程，Fokker-Planck方程和非线性薛定谔方程。
Rank-adaptive time integration of tree tensor networks
提出并分析了一种基于树型张量网络的高阶张量微分方程近似解的秩自适应积分器。在从叶到根的递归过程中，积分器更新基，然后在由新基和旧基构成的增广子空间中通过Galerkin方法演化连接张量。这之后是在指定的误差容限内的秩截断。存储器的要求是线性的张量的顺序和线性的最大模式尺寸。该积分器对连接张量矩阵化的小奇异值具有鲁棒性。在给定的误差容限范围内，直到截断误差的秩，积分器保持Schr范数和能量Odinger方程，它耗散了梯度系统中的能量。一个基本量子自旋系统的数值实验说明了所提出的算法的行为。
Coordinate-adaptive integration of PDEs on tensor manifolds
本文提出一种基于含时微分同胚坐标变换和凸泛函的张量积分方法，用于控制含时偏微分方程解的张量秩，并在 Liouville 和 Fokker-Planck 方程上验证了其有效性。
Arithmetic circuit tensor networks, multivariable function representation, and high-dimensional integration
许多计算问题可以用高维函数来表达。这种函数的简单表示和由此产生的计算通常会受到“维数灾难”的影响，即对维数的指数成本依赖。张量网络提供了一种用多项式记忆来表示某些类别的高维函数的方法。这导致计算中指数成本得到改善，或者在某些情况下，如果可以获得张量网络表示，则可以删除。在这里，我们介绍了从函数的算术电路到算术电路张量网络的直接映射，避免了执行任何优化或函数拟合的需要。我们展示了电源的电路建设的例子中的多变量集成的单位超立方体在多达50个维度，集成的复杂性可以从电路结构中理解。我们发现非常有利的成本缩放相比，准蒙特卡洛集成这些情况下，并进一步给出一个例子，有效的准蒙特卡洛理论上不能执行没有知识的底层张量网络电路结构。
Time integration of quantized tensor trains using the interpolative dynamical low-rank approximation
本文提出了一种基于插值的动态低秩近似方法，用于在量化张量列车框架下高效处理非线性系统的时间积分问题。
Robust second-order time integration of tree tensor networks
针对Tucker张量和树张量网络的动态低秩近似，提出两种二阶BUG时间积分方法，证明其对连接张量小奇异值的鲁棒性，数值实验验证了理论结果。
Time integration of symmetric and anti-symmetric low-rank matrices and Tucker tensors
提出对称/反对称低秩积分器，用于时变矩阵与Tucker张量的低秩近似，保持对称性且对小奇异值鲁棒，优于标准方法。
Rank-adaptive tensor methods for high-dimensional nonlinear PDEs
提出了一种新的秩自适应张量方法来计算高维非线性偏微分方程的数值解。该方法结合了功能张量训练（FTT）系列扩展，运营商分裂时间积分，和一个新的秩自适应算法的阈值标准的基础上，限制的PDE速度矢量的分量正常的FTT张量流形。这就产生了一个方案，可以添加或删除张量模式自适应的PDE解决方案的时间积分进行。新方法的目的是提高高维问题数值积分的计算效率、精度和鲁棒性。特别是，它克服了与动态张量积分相关的众所周知的计算挑战，包括低秩建模误差和需要在每个时间步长反转张量核的协方差阵。介绍并讨论了二维线性和非线性平流问题以及四维福克-普朗克方程的数值应用。
Adaptive integration of nonlinear evolution equations on tensor manifolds
我们发展了张量流形上非线性发展方程时间积分的新的自适应算法。这些算法，我们称之为步骤截断方法，是基于执行一个时间步长与传统的时间步进计划，然后通过截断操作到张量流形。通过自适应地选择张量流形的秩以满足稳定性和精度要求，我们证明了各种分步截断方法的收敛性，包括显式一步法和多步法。这些方法非常容易实现，因为它们只依赖于张量之间的算术运算，这可以通过高效和可扩展的并行算法来执行。自适应步长截断方法可用于计算高维偏微分方程的数值解，已成为许多新的应用领域的核心，如最优质量输运、随机动力系统和平均场最优控制。本文给出并讨论了二维和四维平面环面上具有空间相关漂移的Fokker-Planck方程的数值应用。
Iterative thresholding low-rank time integration for high-dimensional problems
本研究提出一种基于分层张量近似的迭代阈值低秩时间积分方法，用于求解高维线性薛定谔型问题，经耦合振子数值测试验证了其有效性。
A fast multilevel dimension iteration algorithm for high dimensional numerical integration
本文提出并研究了一种基于张量积近似的计算任意$d$维积分的快速多层维数迭代（MDI）算法。它将张量积方法的计算复杂度（就CPU时间而言）从指数阶$O(N^d)$降低到多项式阶{\color{black} $O(d^3N^2)$或更好}，其中$N$代表每个坐标方向上的正交点的数量。因此，所提出的MDI算法有效地避免了张量积方法的维数灾难的高维数值积分。MDI算法的主要思想是在聚类中的所有积分点上计算函数求值，并沿每个坐标方向迭代，因此每次迭代中可以重复使用大量的函数求值计算。这一思想也适用于积分点具有格状结构的任何求积规则。
Intractability results for integration in tensor product spaces
研究了张量积空间中数值积分的最坏情况误差下界，提出两种基于最坏情况函数分解与样条逼近的方法来获取信息复杂度的下界，并证明了其在Hilbert空间外及偏差理论中的适用性。
Fast non-polynomial interpolation and integration for functions with logarithmic singularities
本文提出一种快速非多项式插值方法，用于处理具有对数奇异性函数，结合离散余弦变换实现高效计算，并提出新型求积公式，通过数值实验验证方法有效性。
Analytic Integration of the Newton Potential over Cuboids and an Application to Fast Multipole Methods
我们提出了简化公式的解析积分的牛顿潜在的多项式盒在二维和三维空间。这些都是在一个易于使用的C++库中实现的，该库允许以任意精度的算术进行计算，这里也有记录。我们描述了如何将这些结果与快速多极方法相结合，一般，非多项式数据。
Fast Hankel Tensor-Vector Products and Application to Exponential Data Fitting
本文提出一种快速计算Hankel张量-向量乘积的算法，通过将Hankel张量嵌入更大的反循环张量，实现高效计算，并应用于指数数据拟合。
Implicit Tensor-Train Cross Integration of High-Dimensional Nonlinear PDEs via Fiber-Dependency Elimination
研究高维非线性偏微分方程数值解中维度诅咒问题，提出基于纤维依赖消除的框架，将TT交叉方法扩展到隐式格式，解决封闭性问题，结合牛顿迭代和秩适应性，实现高效隐式积分，数值实验验证了方法有效性。
Fast orthogonal transforms for multi-level quasi-Monte Carlo integration
结合通用快速正交变换方法与多级蒙特卡洛方法，提升拟蒙特卡洛积分效率。
Infinite-dimensional integration and $L^2$-approximation on Hermite spaces
本文研究了无限维Hermite空间上函数的积分与L²近似，通过张量积方法建立了误差上下界，并利用多变量分解方法构造了上界。
Fast Tensor Needlet Transforms for Tangent Vector Fields on the Sphere
本文在$\mathbb{R}^3$的单位球面$\mathbb{S}^2$上构造了一个张量针状体的半离散紧框架，并结合切向量场的求积法则。紧张量针状体提供了$\mathbb{S}^2$上任意平方可积〔的〕切向量场的多尺度表示，从而导致了场的多分辨率分析（MRA）。从MRA，我们开发快速算法张量针状变换，包括分解和重建的针状系数之间的水平，通过一组滤波器组和标量FFT。对于$N$评估点或系数，快速张量针状变换具有与$N\log \sqrt{N}$成比例的接近线性的计算成本。仿真和实际数据的数值算例验证了算法的有效性。
Fast randomized algorithms for computing the generalized tensor SVD based on the tubal product
针对大规模数据张量的广义张量奇异值分解（GTSVD）计算问题，提出两种基于管积的快速随机算法，通过随机投影生成小型概要张量后用确定性方法求解再恢复原张量GTSVD，实验验证了方法有效性。
Conditions for tractability of the weighted $L_p$-discrepancy and integration in non-homogeneous tensor product spaces
该研究针对所有$p\in(1,\infty)$，证明了非齐次张量积空间中加权$L_p$-偏差的多项式与弱易处理性的匹配上下界，并以二次多项式张量积积分为例验证下界方法。
Embeddings of Weighted Hilbert Spaces and Applications to Multivariate and Infinite-Dimensional Integration
本文研究了加权再生核希尔伯特空间张量积的嵌入和范数估计，提出了一种可直接应用于多变量问题（如积分和近似）及其无限维对应物的转移原理，并在应用中推导了多变量和无限维积分的新结果。
Fast integration of DPG matrices based on tensorization
本文提出基于张量化的DPG矩阵快速积分方法，利用一维元素的精确序列和分层形函数，实现H¹、H(curl)、H(div)和L²内积的O(p⁷)复杂度计算，并在元素映射简化时达到O(p⁶)复杂度。
Solving High-dimensional Parametric Elliptic Equation Using Tensor Neural Network
本研究提出基于张量神经网络的机器学习方法，利用张量积结构将高维积分降为一维积分，把计算复杂度从指数级降至多项式级，可高效求解高维参数椭圆方程，数值算例验证了其准确性与效率。
Fast multilevel sparse Gaussian kernels for high-dimensional approximation and integration
本文提出基于方向缩放张量积高斯核的快速多级算法，用于高维函数插值和高维积分计算，通过预计算一维基函数实现并行化插值与积分。
Fast Randomized Matrix and Tensor Interpolative Decomposition Using CountSketch
本文提出一种利用 CountSketch 的快速随机矩阵与张量插值分解算法，理论证明其性能保证，实验表明在保持精度的同时于大型数据上实现至少一个数量级加速。
Constructing lattice points for numerical integration by a reduced fast successive coordinate search algorithm
本文研究了在加权Korobov、Walsh和索伯列夫空间上构造高质量拟蒙特卡罗方法积分规则节点集的有效算法。提出的算法是一种简化的快速连续坐标搜索（SCS）算法，它适用于函数空间中的权值衰减足够快的情况。新的SCS算法设计用于格点的构造，并在一个改进的版本中用于多项式格点的构造，相应的积分规则可以用于处理不同类型的函数空间中的函数。我们证明了由我们的算法构造的积分规则满足最优收敛阶的误差界。此外，我们给出了详细的高效实现，使我们获得了相当大的速度提高以前已知的SCS算法。数值结果说明了这种改进。我们的结果所获得的加速可能是特别感兴趣的上下文中的QMC随机系数的偏微分方程，其中的尺寸和所需的numberof点通常是非常大的。此外，我们的主要定理产生以前未知的推广早期的结果。
An efficient and fast sparse grid algorithm for high-dimensional numerical integration
本文研究了一种有效的数值算法，用于快速实现计算给定函数的$d$维积分的稀疏网格方法。新算法称为MDI-SG（{ \em多级维迭代稀疏网格}）方法，基于维迭代/降维过程实现稀疏网格方法，它不需要存储积分点，也不独立计算每个积分点处的函数值，而是，它通过在簇中的所有积分点处执行函数求值并且沿着坐标方向迭代地执行函数求值来尽可能多地重新使用用于函数求值的计算。数值结果表明，建议MDI-SG方法的计算复杂性（在CPU时间方面）是多项式阶$O(Nd^3 )$或更好，相比，指数阶$O(N(\log N)^{d-1})$的标准稀疏网格方法，其中$N$表示在每个坐标方向上的积分点的最大数量。因此，建议MDI-SG方法有效地避免了标准稀疏网格方法所遭受的高维数值积分的维数灾难。
On fast Fourier solvers for the tensor product high-order FEM for a generalized Poisson equation
本文提出基于快速傅里叶变换的高效算法，用于求解广义泊松方程的张量积高阶有限元方法，并展示了二维和三维的数值实验结果。
A reduced fast component-by-component construction of lattice points for integration in weighted spaces with fast decreasing weights
本文提出一种改进的快速逐成分构造算法，用于在加权函数空间中减少构造多项式格点规则的成本，通过缩小小权重坐标搜索空间以提高效率。
High-order numerical integration on regular embedded surfaces
提出一种高阶曲面求积方法，通过平方挤压变换和切比雪夫-洛巴托网格上的张量多项式插值，结合克利肖-柯蒂斯求积，实现封闭曲面上规则曲面积分的高精度、高效计算。
Fast Tensor Product Schwarz Smoothers for High-Order Discontinuous Galerkin Methods
在这篇文章中，我们讨论了高效的实现功能强大的区域分解光滑的多重网格方法的高阶间断伽辽金（DG）有限元法。特别是，我们分别研究了与网格单元和顶点周围的补丁相关的矩阵的求逆，以获得快速的局部求解器，用于加法和乘法子空间校正方法。利用微分算子的可分性，将$k$阶张量积多项式的局部矩阵求逆的工作从$\mathcal O(k^{3d})$减少到$\mathcal O(dk^{d+1})$，并将其逆的低秩表示作为更一般的低秩表示的原型.
Computing Multi-Eigenpairs of High-Dimensional Eigenvalue Problems Using Tensor Neural Networks
本文提出一种基于张量神经网络和深度Ritz方法的机器学习框架，无需Monte-Carlo过程即可高精度计算高维特征值问题的多重特征对，并通过大量数值算例验证了其有效性。
Convolution tensor decomposition for efficient high-resolution solutions to the Allen-Cahn equation
本文提出基于卷积张量分解的模型降阶方法，结合稳定半隐式格式与自适应算法，实现Allen-Cahn方程高分辨率高效求解，较有限元方法获得数量级加速。
Generalized Time Integration Schemes for Space-Time Moving Finite Elements
本文分析并展示了用于对流占优时间依赖偏微分方程的移动有限元方法，采用方法为线方法，利用底层张量积有限元空间允许网格连续时间演变并进行离散时间步的不连续重构。采用TR-BDF2方法作为分段二次张量积空间的时间积分器，并提供几乎对称的误差估计。数值结果验证了这些移动有限元的有效性。
Fast Numerical Integration Techniques for 2.5-Dimensional Inverse Problems
微波和超声波的逆散射需要对非线性最优化问题进行数值解。为了减轻全三维（3-D）逆问题的计算负担，通常的做法是通过2-D散射模式的傅立叶积分将对象近似为2-D，并将发射器和接收器传感器视为3-D。所得积分是奇异的，因此需要大量的积分点，其中每个点对应于一个2-D的解决方案。为了降低计算复杂性，本文提出了一种基于变换的快速积分方法。我们在2-D模型的对象，但作为3-D的发射和接收器对，因此，我们术语的解决方案作为一个2.5-D的逆问题。收敛性结果表明，所提出的积分方法具有指数收敛性，从而降低了计算2.5维格林函数的计算复杂性。
Fast truncation of mode ranks for bilinear tensor operations
针对Tucker或规范形式下三阶张量的双线性运算结果，提出一种基于Gram矩阵交叉逼近的快速模式秩截断算法，计算复杂度为O(nr^3 + r^4)，精度受限于机器精度的平方根。
Fast and Accurate Tensor Completion with Total Variation Regularized Tensor Trains
本文提出了一种基于张量列车的新型张量补全方法，通过总变分和Tikhonov正则化提升了补全速度和可扩展性，尤其在已知数据极少时表现优异。
Fast, Accurate, and Scalable Method for Sparse Coupled Matrix-Tensor Factorization
本文提出S3CMTF方法，通过利用数据稀疏性、捕捉因素间关系及锁自由并行SGD更新，实现快速、准确且可扩展的耦合矩阵-张量分解，实验表明其在速度和精度上均优于现有方法。
Fast and Accurate Interpolative Decompositions for General, Sparse, and Structured Tensors
本研究针对两类张量插值分解，提出带与张量规模无关误差界的自适应方法，结合随机草图实现高效精确计算，还为稀疏及CP格式张量设计专用算法，经理论与实验验证有效。
Integration in Hermite spaces of analytic functions
研究在R^s上定义的分析函数Hilbert空间中积分问题，通过Gauss-Hermite积分规则证明算法误差指数衰减，并给出指数收敛的必要充分条件。
Fast adaptive tubal rank-revealing algorithm for t-product based tensor approximation
本文提出一种自适应随机算法，用于揭示数据张量的管秩并高效计算低管秩近似，无需预知管秩或傅里叶域奇异值，在图像处理和背景建模任务中验证了有效性。
Tensor-based techniques for fast discretization and solution of 3D elliptic equations with random coefficients
本文提出并分析了随机介质中周期椭圆问题快速求解的数值算法$\mathbb{R}^d$、$d=2,3$。我们考虑的随机实现使用棋盘配置的方程系数建立在一个大的$L \times L \times L$格，其中$L$是代表体积元的大小。为了快速生成张量网格上的有限差分离散刚度矩阵，引入了Kronecker张量积格式。我们描述了张量技术的建设低克罗内克秩谱等价预条件在周期性的设置中使用的框架中的PCG迭代。在我们的构造中，傅立叶基中表示的离散拉普拉斯逆的对角矩阵被整形为3D张量，然后由低秩正则张量近似，通过多重网格塔克正则张量变换计算。详细描述了张量网格上的FDM离散方案，并举例说明了PCG迭代的3D Matlab实现的$L$方面的计算特性。本文的工作继续了[22]中的工作，其中数值研究了具有随机系数的二维椭圆型偏微分方程的均匀化矩阵的渐近收敛速度与$L$的关系。所提出的椭圆问题求解器可用于三维随机均匀化问题数值分析中长序列随机实现的计算、求解三维准周期几何均匀化问题以及动力学多体相互作用过程和多粒子静电学的数值模拟。
Cross Interpolation for Solving High-Dimensional Dynamical Systems on Low-Rank Tucker and Tensor Train Manifolds
本文提出一种基于交叉插值的张量低秩时间积分算法，用于在 Tucker 和 Tensor Train 流形上高效求解高维非线性张量微分方程，兼具计算节省、小奇异值鲁棒性和易实现性。
Fast and Accurate CP-HIFI Tensor Decompositions: Exploiting Kronecker Structure
本文提出快速准确的CP-HIFI张量分解方法，利用克罗内克结构加速求解，显著提升计算效率。
Explicit expression and fast algorithms for the inverse of some matrices arising from implicit time integration
本文针对隐式时间积分中出现的矩阵，给出其逆的显式表达式，并提出三种 $O(n^2)$ 快速求逆算法，兼顾效率与精度。
Better Late Than Never: Filling a Void in the History of Fast Matrix Multiplication and Tensor Decompositions
本文填补了1972年俄文发表的张量分解在快速矩阵乘法历史中的空白，并介绍了其对两个领域的影响。
On Fast Computation of Gradients for CANDECOMP/PARAFAC Algorithms
针对CP算法中梯度计算的高成本问题，提出一种快速计算模式-n展开与Khatri-Rao积乘积的方法，显著加速CP_ALS算法。
Fast randomized Kronecker tensor decomposition: algorithms and error analysis
该研究针对Kronecker张量分解问题，提出用含过采样和幂迭代的随机SVD替代确定性SVD的快速算法，能显著加快分解速度，经理论分析和实验验证，相比确定性方法有数量级加速，且可应用于多种领域。
Discrete cosine transform LSQR and GMRES methods for multidimensional ill-posed problems
在目前的工作中，我们提出了新的张量Krylov子空间方法不适定的线性张量问题，如在彩色或视频图像恢复。这些方法是基于张量-张量离散余弦变换，给出快速张量-张量积计算。特别是，我们将专注于张量离散余弦版本的GMRES，Golub-Kahan双对角化和LSQR方法。数值试验表明，该方法在求解某些线性张量不适定问题时，速度快，精度高。
Fast stray field computation on tensor grids
提出一种直接积分算法，利用基于解析的张量逼近方法，在非均匀张量网格上高效计算磁化分布产生的静磁场和能量，计算复杂度为N^(4/3)，当磁化以规范张量格式给出时复杂度为N^(2/3)。
Fast and Accurate Randomized Algorithms for Low-rank Tensor Decompositions
低秩Tucker和CP张量分解是数据分析中的强大工具。广泛使用的交替最小二乘（ALS）方法，它解决了一系列超定最小二乘子问题，是昂贵的大型和稀疏张量。我们提出了一个快速，准确的草图ALS算法的塔克分解，解决了一系列的草图秩约束线性最小二乘法子问题。理论草图大小上界提供实现$O(ε)$相对误差的每个子问题与两个草图技术，TensorSketch和杠杆得分采样。实验结果表明，这种新的ALS算法，结合一个新的初始化方案的基础上随机测距仪，产量高达$22.0\%$相对分解残留的改善相比，国家的最先进的草图随机算法的各种合成和真实数据集的塔克分解。该Tucker-ALS算法进一步用于加速CP分解，通过使用随机化Tucker压缩，然后对Tucker核心张量进行CP分解。实验结果表明，该算法不仅收敛速度快，而且CP分解精度高。
Fast IMEX Time Integration of Nonlinear Stiff Fractional Differential Equations
分数阶非线性微分方程的积分-微分性质决定了其长时间有效积分的难度。此外，由逆幂律核引入的固有的非光滑性降低了许多现有数值方法的精度和效率。我们发展了两个有效的一阶和二阶隐式显式（IMEX）方法，用于求解具有分数阶$α\in (0,1]$的刚性/非线性分数阶微分方程的精确时间积分，并证明了它们的收敛性和线性稳定性。所开发的方法是基于线性多步分数亚当斯-莫尔顿方法（FAMM），其次是外推的非线性力项。为了处理初始时刻附近的奇异性，我们采用Lubich样的修正得到的分数算子。所得到的线性稳定区域的开发IMEX方法是大于现有的IMEX方法在文献中。此外，稳定区域的大小随着分数阶值的减小而增大，这适用于刚性问题。我们还重写了IMEX方法的语言中的非线性Toeplitz系统，在那里我们采用了快速反演方案，以实现计算复杂度为$\mathcal{O}(N \log N)$，其中$N$表示的时间步长的数量。我们的计算结果表明，所开发的格式可以实现全球一阶和二阶精度的高振荡刚性/非线性问题的奇异性。
Fast and Provable Tensor-Train Format Tensor Completion via Precondtioned Riemannian Gradient Descent
本文提出预条件黎曼梯度下降算法（PRGD）解决张量列车格式的低秩张量补全问题，证明线性收敛，并在模拟与真实数据上大幅减少计算时间和迭代次数。
Tensor product method for fast solution of optimal control problems with fractional multidimensional Laplacian in constraints
本文介绍了在大的$n^{\otimes d}$张量积笛卡尔网格上离散化的约束条件下，用张量数值方法求解具有分数Laplacian型算子的$d$维最优控制问题.该方法是基于相应的分数差分拉普拉斯矩阵值函数的秩结构逼近。我们求解控制函数的方程，其中系统矩阵包括分数$d$维拉普拉斯算子及其逆算子的和。利用快速傅里叶变换（FFT）对张量网格上离散拉普拉斯算子的矩阵值函数进行对角化。然后，通过折叠相应的大对角矩阵的特征值得到的$d$维张量的低秩近似计算，这允许解决控制方程的张量结构的格式。通过对生成函数的拉普拉斯变换应用sinc求积逼近方法，证明了这类矩阵值函数的低秩正则逼近的存在性.控制函数的线性方程组由PCG迭代法求解，在每个迭代步骤中进行秩截断，其中预先计算低Kronecker秩预条件子。右手边、解向量和控制系统矩阵保持在秩结构张量格式中，这有益地降低了$O(n\log n)$的数值成本，优于3D情况下复杂度$O(n^3\log n)$的基于标准FFT的方法。二维和三维控制问题的数值试验证实了该方法在单变量网格尺寸$n$中的线性复杂度缩放。
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