Decoupled Structure-Preserving Doubling Algorithm with Truncation for Large-Scale Algebraic Riccati Equations
在\emph{Guo et al, arXiv:2005.08288}中，我们提出了一种解耦形式的保结构加倍算法（dSDA）。该方法简化了原来的两到四个耦合递归，使其能够解决大型代数Riccati方程和其他相关问题。在本文中，我们考虑的数值计算的新的dSDA求解大规模连续时间代数Riccati方程的低秩结构（从而拥有数值低秩的解决方案）。借助于一种新的截断策略，控制了近似解的秩。因此，可以有效地处理大规模问题。说明性的数值例子来证明和证实我们的要求。
2020-11-03 cs.NA math.NA
A New Matrix Truncation Method for Improving Approximate Factorisation Preconditioners
本研究提出基于Bregman对数行列式散度的预条件框架，构建非TSVD的新型低秩截断预条件子，证明其为散度极小化子，实验表明同秩下PCG迭代次数更少，还提出大规模场景下的近似启发式方法且效果优于TSVD方法。
2024-10-09 cs.NA math.NA
lrAA: Low-Rank Anderson Acceleration
本研究提出低秩安德森加速（lrAA）框架，通过自适应截断容差调度和基于DEIM的Cross-DEIM交叉近似，高效求解非线性偏微分方程离散化产生的非线性矩阵方程低秩解，在多类问题上展现出优越性能。
2025-03-22 cs.NA math.NA
A rank-adaptive robust integrator for dynamical low-rank approximation
提出了一种用于矩阵和张量微分方程动态低秩逼近的秩自适应积分器。最近提出的两个作者的固定秩积分器扩展到允许自适应选择的秩，使用子空间，由积分器本身产生的。积分器首先更新进化基，然后在由新基和旧基生成的子空间中进行Galerkin步骤，然后进行秩截断到给定的容差。结果表明，自适应低秩积分器保留了先前提出的固定秩积分器的精确性，鲁棒性和保精度特性。除此之外，在截断容差范围内，秩自适应积分器保持了微分方程的范数，保持了薛定谔方程和哈密顿系统的能量，并保持了梯度流中泛函的单调递减性.数值实验说明了秩自适应积分器的行为。
2021-04-12 cs.NA math.NA
Inexact Linear Solves In Model Reduction of Bilinear Dynamical Systems
本文研究了在双线性动力系统模型降阶中使用非精确线性求解器的稳定性问题，提出了针对Truncated BIRKA算法的稳定性条件和更直观的实现方法，扩展至其他降阶方法。
2019-03-12 cs.NA math.NA
High-Order Implicit Low-Rank Method with Spectral Deferred Correction for Matrix Differential Equations
针对线性矩阵微分方程求解，提出结合谱延迟校正的高阶隐式低秩方法，通过优化截断参数和子空间选择提升效率，证明高阶收敛性，验证软阈值策略在弱耗散问题高阶格式中秩控制更优。
2024-12-12 cs.NA math.NA
A Predictor-Corrector Strategy for Adaptivity in Dynamical Low-Rank Approximations
本文提出了一种预测-校正策略来构造矩阵值常微分方程系统的秩自适应动态低秩逼近。该策略是（i）交替演化和压缩解的低秩步长截断方法与（ii）使用DLRA积分器在时间上局部生成的子空间来增强低秩流形的严格DLRA方法之间的折衷。该策略是基于对环境满秩空间的前向时间更新（通常在重新压缩之前以步进截断方法计算）和标准DLRA更新（被迫生活在低秩流形中）之间的误差的分析。我们使用这个错误，而不需要其满秩表示，以纠正DLRA解决方案。保持误差的低秩表示的关键成分是随机奇异值分解（SVD），其将一定程度的随机可变性引入到实现中。该策略的制定和实施的背景下，不连续的Galerkin空间离散的偏微分方程和应用到几个版本的DLRA方法在文献中发现，以及一个新的变种。数值实验比较的预测校正策略，其他方法的鲁棒性，以克服短的步长截断或严格的DLRA方法：前者可能需要更多的内存比严格需要，而后者可能会错过瞬态解决方案的功能，不能恢复。随机化，公差和其他实施参数的影响也进行了探讨。
2022-09-07 cs.NA math.NA
Operator-ADI balanced truncation of delay differential systems
Technische Universität Ilmenau（埃尔朗根-纽伦堡工业大学）
提出一种基于算子ADI迭代的延迟微分系统平衡截断方法，直接处理无限维历史状态，在Takenaka-Malmquist坐标中实现有限维计算，并证明H∞收敛性，数值实验验证了有效性。
2026-09-28 cs.NA math.NA
Rank-adaptive time integration of tree tensor networks
提出并分析了一种基于树型张量网络的高阶张量微分方程近似解的秩自适应积分器。在从叶到根的递归过程中，积分器更新基，然后在由新基和旧基构成的增广子空间中通过Galerkin方法演化连接张量。这之后是在指定的误差容限内的秩截断。存储器的要求是线性的张量的顺序和线性的最大模式尺寸。该积分器对连接张量矩阵化的小奇异值具有鲁棒性。在给定的误差容限范围内，直到截断误差的秩，积分器保持Schr范数和能量Odinger方程，它耗散了梯度系统中的能量。一个基本量子自旋系统的数值实验说明了所提出的算法的行为。
2022-07-25 cs.NA math.NA
Full state approximation by Galerkin projection reduced order models for stochastic and bilinear systems
本文研究了随机双线性系统的模型降阶全状态逼近问题。我们所提出的方法依赖于确定的基础上的系统的可达性Gramian占主导地位的子空间。一旦计算出所需的子空间，则通过Galerkin投影获得降阶模型。我们证明，在随机的情况下，这种方法要么保持均方渐近稳定性或导致降阶模型的最小实现是均方渐近稳定。这种稳定性的保存保证了存在的减少系统的可达性Gramian这是充分的状态误差界，我们得出的基础。这个误差界取决于被忽略的特征值的可达性Gramian，因此表明，这些值是一个很好的指标，在降维过程中的预期误差。随后，我们以类似的方式建立了双线性系统的全状态近似的稳定性保持结果和误差界。后者的结果是基于最近证明随机和双线性系统之间的联系。最后，我们使用基准问题的数值实验的文件。我们比较这种方法与平衡截断，并表明它在再现系统的完整状态。\end{abstract}
2021-02-15 cs.NA math.NA math.PR
Fast structured matrix computations: tensor rank and Cohn--Umans method
University of Chicago（芝加哥大学）
本文探讨了扩展的科恩-乌曼斯方法在处理非矩阵乘法的双线性操作中的应用，通过张量秩方法和传统框架分析，提出快速构造结构矩阵向量积的算法。
2016-06-09 cs.NA math.NA math.RA
Reduction of large-scale RLCk models via low-rank balanced truncation
本文提出一种基于低秩平衡截断的模型降阶方法，利用扩展Krylov子空间，对大规模RLCk电路生成更紧凑的降阶模型，实验显示可缩小至原模型的x5.5倍且精度相当。
2023-11-14 cs.AR cs.CE cs.NA
Robust Implicit Adaptive Low Rank Time-Stepping Methods for Matrix Differential Equations
本文针对矩阵微分方程提出鲁棒隐式自适应低秩时间步进方法，通过合并显式截断空间与BUG空间并采用自适应策略，解决DLRA的切向投影误差问题，并在各向异性扩散等测试中验证了鲁棒收敛性。
2025-01-23 cs.NA math.NA
Chiral rank-$k$ truncations for the multigrid preconditioner of Wilson fermions in lattice QCD
本文提出对Wilson费米子多重网格预条件子采用手征奇异值分解对测试向量进行秩-k截断，以改进延拓与限制矩阵的构造，并在两组不同格点配置上验证了该方法能提升线性方程组求解的收敛性。
2025-02-05 cs.NA hep-lat math.NA
Error Analysis of Krylov Subspace approximation Based on IDR($s$) Method for Matrix Function Bilinear Forms
Xiangtan University（湘潭大学）；Southwestern University of Finance and Economics（西南财经大学）
本文提出基于IDR($s$)方法的矩阵函数双线性形式的误差分析与后验误差估计方法，通过误差展开式构建停止准则并验证其有效性。
2026-08-20 cs.NA math.NA
Tensor-Free Proximal Methods for Lifted Bilinear/Quadratic Inverse Problems with Applications to Phase Retrieval
提出并研究了一类求解双线性和二次反问题的新算法。利用基于张量提升的凸松弛算法和一阶近似算法，这些问题可以通过奇异值阈值方法数值求解。然而，这些算法的直接实现，例如，由于必须在维数通常很大的张量积空间上进行计算，所以图像恢复问题通常是不切实际的。为了克服这一限制，我们推导出张量自由版本的常见奇异值阈值方法，利用低秩表示，并将增强Lanczos过程。利用一种新的加权技术，我们进一步改善了迭代算法的收敛性和秩的演化。将该方法应用于二维掩模傅里叶相位恢复问题，得到了一种有效的恢复方法。此外，张量自由算法是足够灵活的，以纳入先验的平滑约束，大大提高了恢复结果。
2019-07-10 cs.NA math.NA math.OC
A low-rank balanced truncation approach for large-scale RLCk model order reduction based on extended Krylov subspace and a frequency-aware convergence criterion
本文提出一种基于扩展Krylov子空间和频率感知收敛准则的低秩平衡截断方法，用于大规模RLCk模型降阶，在保持精度的同时实现比ANSYS RaptorX小22倍的紧凑ROM。
2024-11-12 cs.AR cs.CE cs.NA
A Low Rank Tensor Representation of Linear Transport and Nonlinear Vlasov Solutions and Their Associated Flow Maps
我们提出了一个低秩张量方法来近似线性传输和非线性Vlasov解决方案及其相关的流图。该方法利用Vlasov方程中的微分算子是张量友好的这一事实，提出了一种新的方法，通过在偏微分方程离散化过程中添加新的基函数，并通过SVD型截断过程去除基，动态自适应地建立低秩解基.在离散上，我们采用了高阶有限差分空间离散和二阶强稳定性保持多步时间离散。我们应用相同的过程来发展的动态流图在低秩的方式，这被证明是有利的，当流图享有低秩结构，而解决方案遭受高秩或显示reconstruction结构。对高维问题采用分层Tucker分解。一组广泛的线性和非线性Vlasov测试的例子进行显示高阶空间和时间收敛的网格细化算法的SVD型截断，显着的计算节省所提出的低秩的方法，特别是对于高维问题，改进的性能流图方法的解决方案的演示。
2021-06-17 cs.NA math.NA
Inexact subspace projection methods for low-rank tensor eigenvalue problems
Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本文提出不精确子空间迭代方法求解低秩张量特征值问题，通过低秩压缩处理高维向量，相比不精确Lanczos方法对秩截断误差更鲁棒，且不要求矩阵为Hermitian，适用于DMRG停滞的问题。
2025-10-15 cs.NA math.NA
Implicit integration of nonlinear evolution equations on tensor manifolds
显式步长截断张量方法最近被证明是成功的集成高维偏微分方程（PDE）的初值问题。然而，非线性和刚度的组合可能会引入时间步长限制，这可能使显式积分计算不可行。为了克服这个问题，我们发展了一类新的隐式秩自适应算法的时间积分的非线性发展方程张量流形。这些算法是基于执行一个时间步长与传统的时间步进计划，其次是一个隐式的不动点迭代步骤，涉及一个秩自适应截断操作到张量流形。隐式步骤截断方法是直接实现的，因为它们只依赖于张量之间的算术运算，这可以通过高效和可扩展的并行算法来执行。数值应用证明隐式阶梯截断张量积分的有效性，并讨论了Allen-Cahn方程，Fokker-Planck方程和非线性薛定谔方程。
2023-03-18 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Communication Lower Bounds of Bilinear Algorithms for Symmetric Tensor Contractions
University of Illinois at Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出了一种新的理论框架，用于推导双线性算法中数据移动的下界。通过量化匹配子集列的最小矩阵秩，该框架为对称张量收缩算法提供了新的通信下界，揭示了张量对称性在减少表示大小和算术成本方面的优势，但同时也表明这些优势可能导致数据移动的增加。
2021-06-21 cs.DC cs.NA math.NA
Dynamical low-rank methods for the Wigner equation I: separable difference potential
CAPT, LMAM and School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院，CAPT，LMAM）
针对Wigner方程中的伪微分算子，提出基于可分离差分势的动态低秩近似算法，结合两种截断策略，在多个量子系统模拟中实现计算量和内存需求降低一到两个数量级。
2026-06-24 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A New Generalized Low-Rank Cholesky Factor ADI Algorithm for Large-Scale Stein Equations
Yangtze University（长江大学）
本文提出一种新型广义低秩乔列斯基因子ADI算法，用于求解大规模斯坦方程，该算法可自动选择移位，支持单位圆上的移位，还可实现限频率斯坦方程的数值积分与数据驱动模型降阶，经大规模模型验证了其有效性。
2026-08-25 cs.NA cs.SY eess.SY
