Numerical approximations of the Cahn-Hilliard and Allen-Cahn Equations with general nonlinear potential using the Invariant Energy Quadratization approach
University of South Carolina（南卡罗来纳大学）；Yantai University（烟台大学）
本文基于不变能量二次化方法，对Cahn-Hilliard和Allen-Cahn方程的两种一阶半离散时间步进方案进行稳定性与误差分析，针对一般非线性本体势能，推导出最优误差估计，并证明了数值方案的适定性、无条件能量稳定性和最优误差估计。
2017-12-07 cs.NA math.NA
Approximation of the invariant measure for stochastic Allen-Cahn equation via an explicit fully discrete scheme
School of Mathematics, Southeast University（东南大学数学学院）
本文提出显式完全离散方案求解随机Allen-Cahn方程，采用谱 Galerkin 方法空间离散，时间离散采用 tame 加速指数欧拉方案，基于数值解矩的有界性，利用 Malliavin 计算机学进行弱误差分析，提供近似随机Allen-Cahn方程不变测度的方法。
2026-04-21 cs.NA math.NA
Unconditionally energy stable IEQ-FEMs for the Cahn-Hilliard equation and Allen-Cahn equation
本文提出并分析了几种无条件能量稳定的IEQ有限元方法，用于求解Cahn-Hilliard和Allen-Cahn方程，并通过数值实验验证了其精度与效率。
2024-02-05 cs.NA math.NA
Unconditionally stable exponential time differencing schemes for the mass-conserving Allen-Cahn equation with nonlocal and local effects
经典的Allen-Cahn方程满足最大值有界原理（MBP），即在适当的初边值条件下，其解的绝对值始终一致有界于某个常数。本文考虑了修正的Allen-Cahn方程的数值解，该方程具有非局部和局部效应的Lagrange乘子，不仅与原Allen-Cahn方程具有相同的MBP，而且质量精确守恒.我们重新制定的模型方程与线性稳定化技术，然后构造一阶和二阶指数时间差分格式的时间积分。我们证明了所提出的方案在时间离散意义下的无条件MBP保持性和质量守恒性，并在一些正则性假设下得到了它们的误差估计。在二维和三维的各种数值实验也进行了验证的理论结果。
2021-07-10 cs.NA math.NA
A SAV Neural Network Method for Allen--Cahn and Cahn--Hilliard Equations
School of Mathematical Sciences, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学数学科学学院）；Institute of Natural Sciences, MOE-LSC, CMA-Shanghai, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学自然研究院，教育部科学计算与矩阵分析重点实验室，上海数学中心）
针对相场方程，提出结合SAV时间离散与无网格神经表示的神经网络方法，证明其无条件能量稳定性并优于现有神经网络求解器。
2026-10-07 cs.NA math.NA
Two-phase segmentation for intensity inhomogeneous images by the Allen-Cahn Local Binary Fitting Model
本文提出了一种新的变分模型，将Allen-Cahn项与局部二值拟合能量项相结合，用于分割具有灰度不均匀性和噪声的图像。提出了一种非齐次图拉普拉斯初始化方法（IGLIM），用于确定两阶段图像分割问题的初始轮廓。为了求解由变分模型导出的Allen-Cahn方程，我们采用指数时间差分（ETD）方法进行时间离散，中心有限差分法进行空间离散。所提出的数值格式的能量稳定性可以证明。对不同图像的实验证明了适当初始化的必要性和优越性，并验证了我们的模型的强度不均匀性和噪声的图像的两阶段分割的能力。
2021-09-23 cs.NA math.NA
A second-order structure-preserving discretization for the Cahn-Hilliard/Allen-Cahn system with cross-kinetic coupling
本文针对具有状态和梯度依赖非对角迁移率强耦合的 Cahn-Hilliard/Allen-Cahn 系统，提出一种保梯度流结构和自由能耗散的全离散格式，证明了解的存在唯一性及最优收敛速率，并通过数值实验验证了方法的有效性。
2024-07-31 cs.NA math.NA
Linear Second Order Energy Stable Schemes of Phase Field Model with Nonlocal Constraints for Crystal Growth
Beijing Computational Science Research Center（北京计算科学研究中心）；Department of Mathematics, University of South Carolina（南卡罗来纳大学数学系）
本文提出了一种线性、二阶、无条件能量稳定的方案，用于具有非局部约束的Allen-Cahn模型，以模拟晶体生长并保持每个相的质量。通过建立线性方案所得到线性系统的可解条件，验证了收敛速率，并通过数值实验比较了非局部Allen-Cahn模型与经典Allen-Cahn模型以及Cahn-Hilliard模型的动力学行为，表明非局部Allen-Cahn模型的动力学行为介于两者之间，因此可以作为Cahn-Hilliard模型的替代方案来模拟晶体生长。
2018-12-10 cs.NA math.NA
Maximum bound principle preserving and energy decreasing exponential time differencing schemes for the matrix-valued Allen-Cahn equation
本文针对矩阵值Allen-Cahn方程，证明一阶和二阶指数时间差分线性格式在非对称初始条件下仍无条件保持极大值原理与能量耗散律，并用数值算例验证理论结果。
2024-11-20 cs.NA math.NA
Discrete Maximum principle of a high order finite difference scheme for a generalized Allen-Cahn equation
本文考虑求解一个广义的Allen-Cahn方程，该方程在给定的不可压缩速度场下耦合了被动对流。数值格式由一阶精度稳定隐式显式时间离散和一个四阶精度有限差分格式组成，该差分格式由$Q^2$谱元法的有限差分格式得到。我们证明了在适当的网格步长和时间步长约束下，离散最大值原理成立。同样的结果也适用于构造具有不可压缩速度场的任何被动对流的边界保持格式。
2021-04-23 cs.NA math.NA
A second-order and nonuniform time-stepping maximum-principle preserving scheme for time-fractional Allen-Cahn equations
本文对时间分数阶Allen-Cahn方程提出了一个二阶非均匀时间步长格式。我们证明了该方案保持了离散最大值原理，并利用一致性误差的卷积结构，给出了反映时间规律性的最大模误差估计.由于我们的分析是建立在非均匀时间步长上的，我们可以用梯度网格来解决固有的初始奇异性。此外，我们提出了一个自适应的时间步长策略，大的时间模拟。数值实验表明了该方法的有效性。这似乎是时间分数阶Allen-Cahn方程的第一个二阶最大值原理保持格式。
2019-09-23 cs.NA math.NA
Numerical approximations for a fully fractional Allen-Cahn equation
介绍并分析了一类具有非光滑初值的完全分数阶Allen-Cahn方程的有限元格式。在所提出的非局部模型中，Caputo分数阶时间导数和分数阶拉普拉斯算子取代了标准的局部算子。分段线性有限元和卷积求积是所提出的数值方法的基本工具。误差分析和实施问题一起解决的连续模型的规律性所需的结果。此外，解的渐近行为，为零的分数参数和通常的时间导数，讨论的框架内的伽玛收敛理论。
2020-04-02 cs.NA math.NA
Exact Travelling Wave Solutions using Tanh Method for two-dimensional Stochastic Allen-Cahn equation
本文用tanh方法求解二维随机Allen-Cahn方程的精确行波解，并研究乘性噪声对波传播的影响，发现高噪声可导致波传播失效。
2023-12-25 cs.NA math.NA
Stabilized exponential time differencing schemes for the convective Allen-Cahn equation
对流Allen-Cahn方程在许多相场模型中被广泛用于模拟多相流。作为经典Allen-Cahn方程的推广形式，对流Allen-Cahn方程在适当的初始和边界条件下，其依赖于时间的解始终保持一致的点态绝对值有界，在这个意义上，对流Allen-Cahn方程仍然保持最大值有界原理（MBP）.在本文中，我们开发了有效的一阶和二阶指数时间差分（ETD）计划结合线性稳定技术，以保持MBP无条件地在离散设置。对流项采用迎风差分格式，扩散项采用中心差分格式，迁移率项和非线性项采用线性凸插值逼近。证明了所提方案的MBP的无条件保持性，并给出了其收敛性分析。在二维和三维的各种数值实验也进行了验证的理论结果。
2022-10-14 cs.NA math.NA
The stabilized exponential-SAV approach preserving maximum bound principle for nonlocal Allen-Cahn equation
针对非局部Allen-Cahn方程，提出基于稳定指数标量辅助变量方法的保最大值界原理的一阶和二阶时间格式，并采用FFT快速求解器提高计算效率。
2023-07-26 cs.NA math.NA
A posteriori error estimates for the Allen-Cahn problem
本文主要研究二维和三维Allen-Cahn方程全离散Galerkin近似的\emph{a posteriori}误差估计的证明。数值方法包括后向欧拉法和空间协调有限元。对于这种方法，我们证明了条件型\emph{a posteriori}误差估计的$L^{}_4(0,T;L^{}_4(Ω))$ -范数多项式依赖于逆的接口长度$ε$。推导过程主要依赖于线性化Allen-Cahn算子的近似解的谱估计的可用性，并结合一个连续的参数和一个椭圆重建的变体。新的分析似乎也改善了已知的\emph{a posteriori}误差界在$L_2(H^1)$，$L_\infty^{}(L_2^{})$ -规范在某些制度的变种。
2019-07-29 cs.NA math.NA
Parallel energy-stable solver for a coupled Allen-Cahn and Cahn-Hilliard system
本文研究了与对数型自由能泛函相关的Allen-Cahn/Cahn-Hilliard耦合系统的数值方法。为了解决由特殊的自由能泛函所带来的挑战，我们提出了一种以多项式形式逼近离散变分导数的方法，使得相应的有限差分格式是无条件能量稳定的，并且能量耗散律保持不变.为了进一步提高算法的性能，采用了一种改进的自适应时间步长策略，使得时间步长可以根据问题的动态演化灵活控制。为了在并行计算机上实现高性能，我们引入了一个基于区域分解的并行Newton-Krylov-Schwarz方法来求解每个时间步长的离散化所构造的非线性代数系统。数值实验表明，该算法在时间和空间上均具有二阶精度，在大时间步长下能量稳定，在神威太湖之光超级计算机上可扩展到上万个处理器核.
2020-07-14 cs.NA math.NA
Stabilized exponential-SAV schemes preserving energy dissipation law and maximum bound principle for the Allen-Cahn type equations
众所周知，Allen-Cahn方程不仅满足能量耗散律，而且在适当的初边值条件下，其解的绝对值始终有某个常数的逐点有界，这就是最大值有界原理.近年来，标量辅助变量（SAV）方法及其许多变体在梯度流问题的数值解中由于其固有的优点而引起了人们的广泛关注。然而，现有的SAV计划通常不能保持MBP时，应用于Allen-Cahn方程。在本文中，我们开发和分析新的一阶和二阶稳定的指数SAV格式的一类Allen-Cahn型方程，这是同时保持能量耗散律和MBP在离散设置。此外，严格地获得了这两种方案的数值解的最优误差估计。大量的数值试验和比较也进行了证明所提出的计划的性能。
2022-03-14 cs.NA math.NA
Time-Space Adaptive Method of Time Layers for the Advective Allen-Cahn Equation
Middle East Technical University（中东理工大学）
本文提出了一种自适应时间层方法，结合线性隐式Rosenbrock方法和对称内罚有限元法，用于求解非无散速度场下的Advective Allen-Cahn方程，验证了该方法在界面问题中处理尖锐层的精度和效率。
2015-12-15 cs.NA math.NA
Analysis for Allen-Cahn-Ohta-Nakazawa Model in a Ternary System
本文研究了具有两个固定非线性体积约束的Allen-Cahn Ohta-Nakazawa模型的整体适定性。利用其自由能的梯度流结构，我们以一种新的方式证明了解的存在性和唯一性。
2020-05-19 cs.NA math.AP math.NA
Using trullekrul in pde2path -- anisotropic mesh adaptation for some Allen-Cahn models in 2D and 3D
我们通过一些例子来描述如何在pde 2 path中使用网格适配包trullekrul的一些功能。
2019-12-23 cs.NA math.NA nlin.PS
Quantitative convergence of the vectorial Allen-Cahn equation towards multiphase mean curvature flow
相场模型，如艾伦-卡恩方程可能会导致几何形状的形成和演变，这是一种可以在合适的标度制度中严格分析的现象。在尖界面极限下，建立了描述多相流中曲率流动分支界面演化的矢量Allen-Cahn方程。在目前的工作中，我们给出了一个严格的证明这一说法在两个和三个环境的维度和适当的一类潜力：只要一个强解，多相中曲率流存在，解决方案的矢量艾伦-卡恩方程与准备好的初始数据收敛到多相中曲率流的限制消失的界面宽度参数$\varepsilon\searrow 0$。我们甚至建立了收敛速率$O(\varepsilon^{1/2})$。我们的方法是基于梯度流结构的Allen-Cahn方程和它的极限运动：建立在最近的概念“梯度流校准”的多相中曲率流，我们引入了相对熵的概念与多阱势的矢量Allen-Cahn方程。这使我们能够克服其他方法的局限性，例如，避免需要的艾伦-卡恩算子的稳定性分析或额外的收敛假设的能量在积极的时间。
2022-03-31 cs.NA math.AP math.NA
Degenerate area preserving surface Allen-Cahn equation and its sharp interface limit
我们考虑形式匹配渐近性来证明退化保面积曲面Allen-Cahn方程收敛到其保面积测地曲率流的尖锐界面极限。退化的结果从表面德Gennes-Cahn-Hilliard能量和原来是必不可少的数值解决的依赖性的解决方案的几何性质的表面。我们实验证明收敛的数值算法，它认为是一个图形配方，自适应有限元和半隐式离散时间，并使用数值解的尖锐的接口限制，也被认为是在一个图形配方，作为基准解决方案。
2023-03-07 cs.NA math.AP math.NA
Convergence rate for Galerkin approximation of the stochastic Allen-Cahn equations on 2D torus
本文讨论了时空白噪声驱动的随机Allen-Cahn方程的Galerkin逼近在$\T$上的收敛速度.首先证明了随机二维热方程的收敛速度在Besov空间$\C^{-α}$中是$α-δ$阶的，其中$α\in(0,1)$和$δ>0$是任意小的.然后，我们得到了随机Allen-Cahn方程在$\C^{-α}$中的Galerkin逼近的收敛速度，其中$α-δ$阶为$α\in(0,2/9)$和$δ>0$为任意小.
2019-08-25 cs.NA math.AP math.NA
Solving Allen-Cahn and Cahn-Hilliard Equations using the Adaptive Physics Informed Neural Networks
相场模型，特别是Allen-Cahn型和Cahn-Hilliard型方程，已被广泛用于研究界面动力学问题。几十年来，设计精确、高效、稳定的数值算法来求解相场模型一直是一个活跃的领域。在本文中，我们专注于使用深度神经网络来设计Allen-Cahn和Cahn-Hilliard方程的自动数值求解器，提出了一种改进的物理信息神经网络（PINN）。虽然PINN已经被用来研究许多微分方程问题，但是我们发现直接应用PINN求解相场方程在很多情况下并不能得到精确解。因此，我们提出了各种技术，增加了PINN的近似能力。作为本文的一个主要贡献，我们建议拥抱在空间和时间的自适应思想，并引入各种采样策略，这样我们就能够提高PINN求解相场方程的效率和精度。此外，改进的PINN对偏微分方程的显式形式没有限制，使其适用于更广泛的一类偏微分方程问题，并对一般的其他偏微分方程的数值逼近具有启发意义.
2020-07-09 cs.NA cs.NE math.NA
A modified Allen-Cahn model for pattern synthesis on surfaces
我们提出了一个扩展的Allen-Cahn模型的二维曲面上的图案合成。该模型是基于一个单一的偏微分方程，它提供了改进的能力，通过选择的反应扩散系数控制生成的表面图案的类型，从而获得斑点，倒置斑点，或条纹的形式的图案。我们调查的新提出的反应项上获得的图案的类型的依赖性。一个有效的算子分裂计划被用来离散模型上的表面。在不同初始条件的表面上进行的实验说明了各种模式。
2020-08-17 cs.NA math.AP math.NA
Convergence of a spatial semidiscretization for a three-dimensional stochastic Allen-Cahn equation with multiplicative noise
本文分析带乘性噪声的三维随机 Allen-Cahn 方程空间半离散化，分别在非光滑初值的 L^2 范数和光滑初值的一般 L^q 范数框架下建立误差估计。
2025-07-24 cs.NA math.NA math.PR
A finite element method for Allen-Cahn equation on deforming surface
本文研究了一个定义在含时表面上的Allen-Cahn型方程作为薄材料层中有序-无序相变相分离的模型。通过形式的内-外展开，证明了该解的极限行为是参考坐标系下的测地线中曲率型流。一个几何非拟合的有限元法，称为跟踪有限元法，被认为是方程的数值解。本文提供了完整的稳定性分析和收敛性分析，占插值误差和近似恢复的几何形状。
2021-05-26 cs.NA math-ph math.MP
