Approximating submodular $k$-partition via principal partition sequence
本文研究了基于主划分序列的子模 k-划分算法在单调、对称和正模子模函数上的近似因子，证明其分别为 4/3、2 和 2，其中 4/3 匹配已知下界并首次突破 2 因子，同时证明一般子模函数上近似因子为 Ω(n/k)。
2023-07-09 cs.DS
Approximating Maximum Independent Set for Rectangles in the Plane
本文给出了平面内（轴向对齐）矩形的最大独立集的多项式时间常数因子近似算法。使用多项式时间算法，先前已知的最佳近似因子是$O(\log\log n)$。结果是基于一种新的形式的递归分区的平面上，其中面临的是恒定的复杂性和正交凸递归划分成一个常数数量的这样的面。
2021-07-06 cs.CG cs.DS
Approximating Submodular Matroid-Constrained Partitioning
本文研究统一固定终端与全局设定两种场景的最小子模拟阵约束划分问题，给出对称、单调及一般子模函数情形下的可近似性结果，并在对称情形达到当前最优水平。
2025-07-02 cs.DM cs.DS
Approximating subset $k$-connectivity problems
终端的子集$T \subseteq V$是$k$ -连接到有向/无向图$J$中的根$s$，如果$J$对于每个$v \in T$具有$k$内部不相交的$vs$ -路径; $T$是$k$ -连接在$J$中，如果$T$是$k$ -连接到每个$s \in T$。我们考虑{ \sf子集$k$ -连通性扩充}问题：给定一个图$G=(V,E)$，其边/节点代价为$T \subseteq V$，节点子集$T \subseteq V$，以及$G$的子图$J=(V,E_J)$，使得$T$在$J$中是$k$ -连通的，找到一个最小代价扩充边集$F \subseteq E \setminus E_J$，使得$T$在$J \cup F$中是$(k+1)$ -连通的。这个问题允许平凡比$O(|T|^2)$。我们考虑$|T|>k$的情形，证明了对于有向/无向图和边/节点代价，{ \sf有根子集$k$ -连通性增强}的$ρ$ -近似隐含了{ \sf子集$k$ -连通性增强}的以下比率：（i）$b(ρ+k) + {(\frac{3|T|}{|T|-k})}^2 H(\frac{3|T|}{|T|-k})$ ;（ii）$ρ\cdot O(\frac{|T|}{|T|-k} \log k)$，其中对于无向图b=1，对于有向图b=2，并且$H(k)$是$k$次谐波数。无向图上最著名的$ρ$值是边代价的$\min\{|T|…
2011-05-21 cs.DS
Approximating Partition Functions in Constant Time
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
我们研究稠密图模型的配分函数的近似。图模型的配分函数在统计物理学、统计学和机器学习中起着基础性的作用。近似配分函数的两种主要方法是马尔可夫链蒙特卡罗和变分方法。在数学、物理学和理论计算机科学方面的大量工作提供了马尔可夫链蒙特卡罗方法在多项式时间内收敛的条件。在基础模型表现出相关性衰减的情况下，这些方法通常导致用于配分函数的多项式时间近似算法。变分方法的性能几乎没有理论保证。一个例外是Risteski（2016）最近的结果，他考虑了密集的图形模型，并表明使用变分方法，即使在相关衰减不成立的情况下，也可以找到时间上对数配分函数的$O(εn)$加性近似$n^{O(1/ε^2)}$。我们表明，在基本相同的条件下，$O(εn)$添加剂近似的对数配分函数可以发现在恒定的时间，独立的$n$。特别是，我们的研究结果涵盖了密集的伊辛和波茨模型，以及密集的图形模型与$k$明智的相互作用。它们也适用于低阈值秩模型。
2018-02-20 cs.DS cs.LG stat.ML
Approximating Matroid Basis Testing for Partition Matroids using Budget-In-Expectation
New York University（纽约大学）；University of Cologne（科隆大学）；University of Southern Denmark（南丹麦大学）
本文提出了一种多项式时间的常数因子近似算法，用于解决分区矩阵基测试问题，通过结合新旧技术实现自适应查询策略。
2026-01-10 cs.DS
Approximating Tverberg Points in Linear Time for Any Fixed Dimension
设P是一个d维n点集。P的Tverberg-划分是将P划分为r个集合P_1，.，P_r使得凸包conv（P_1），.，conv（P_r）有非空交集。在conv（P_i）的交点上的一点称为P的深度为r的Tverberg点。Tverberg的一个经典结果暗示总存在一个大小为n/（d+1）的Tverberg划分，但如何在多项式时间内找到这样一个划分还不清楚。因此，近似解是有意义的。我们描述了一个确定性算法，该算法在时间d^{O（log d）} n内找到大小为n/4（d+1）^3的Tverberg划分。这意味着，对于每个固定的维度，我们可以在线性时间内计算出近似的Tverberg点（因此也是近似的中心点）。我们的算法是通过将一种新的提升方法与Miller和Sheehy（2010）的最新结果相结合而获得的。
2020-06-30 cs.CG cs.DS
Minimum-weight partitioning of a set with associated subsets
本文提出了复杂性的结果和性能的一个家庭的近似算法的优化问题中出现的软件测试和制造。该问题被制定为一个分区的一个集合中的每个元素有一个相关联的子集在另一个集合中，但也可以被看作是一个调度问题，无限大的通信延迟，优先约束的形式，一个二分图，和重复。
2022-12-12 cs.DS
Approximating partition functions of bounded-degree Boolean counting Constraint Satisfaction Problems
研究了有限度下近似计数约束满足问题的复杂性.具体地说，给定一个布尔约束语言$Γ$和一个度界$Δ$，我们研究了#CSP $_Δ(Γ)$的复杂性，即计算满足$Γ$约束且其变量最多出现$Δ$次的CSP实例的赋值问题.我们的主要结果表明：（i）如果$Γ$中的每个函数都是仿射的，则#CSP $_Δ(Γ)$对于所有$Δ$都在FP中，（ii）否则，如果$Γ$中的每个函数都在称为IM $_2$的类中，则对于所有足够大的$Δ$，#CSP $_Δ(Γ)$在近似保持（AP）约简下等价于计数问题#BIS（二分图中独立集的计数问题）（iii）否则，对于所有足够大的$Δ$，即使在指数因子内，也是NP-困难的，以近似#CSP $_Δ(Γ)$的实例的满意分配的数目。我们的结果扩展了以前的结果，只适用于所谓的“保守”的情况。
2020-08-20 cs.CC cs.DS
Approximating Subset Sum Ratio faster than Subset Sum
本研究提出子集和比率问题的近似方案，运行时间$O(n/\varepsilon^{0.9386})$，首次同时实现线性$n$和次线性$1/\varepsilon$依赖，快于子集和问题的已知方案，并避免推翻强指数时间假设。
2023-10-11 cs.DS
Approximating Minimum Cost Connectivity Orientation and Augmentation
我们调查的问题，解决组合连接增强和方向设置。我们给出了一个多项式时间的6-近似算法，找到一个最小成本的子图的无向图$G$，承认一个方向覆盖一个非负交叉$G$ -超模需求函数，由弗兰克定义。一个重要的例子是$(k,\ell)$ -边连通性，它是全局边连通性和根边连通性的一个常见推广。我们的算法是基于一个非标准的应用程序的迭代舍入方法。我们观察到，标准的线性规划与切割约束是不适合的，并使用替代的线性规划与分区和共分区的约束。该证明需要一种新型的分区和共分区不交叉技术。我们还考虑了问题设置时，成本的边缘可以是不同的两个可能的方向。对于$k$边缘连接性的更简单要求，问题已经变得更加困难。Khanna，Naor和Shepherd证明了当$k=1$为整数时，自然线性规划的完整性缺口至多为$4$，并证明了对于所有固定的$k$，它是常数。我们通过证明一个$Ω(|V|)$完整性缺口来反驳这个猜想，即使当$k=2$。
2017-11-16 cs.DM cs.DS math.CO
A Sublinear-Time Quantum Algorithm for Approximating Partition Functions
我们提出了一种新的量子算法估计吉布斯配分函数在次线性时间相对于对数的状态空间的大小。这是第一次在Štefankovi，Vempala和Vigoda [JACM，2009]的开创性近线性时间算法上获得这种类型的加速。我们的结果也保留了二次加速精度和频谱间隙在以前的工作中取得的利用量子马尔可夫链的性质。作为一个应用程序，我们获得了新的多项式改进的最知名的算法计算的伊辛模型的配分函数，计数的$k$ -着色，匹配或独立集的一个图形，并估计凸体的体积。我们的方法依赖于开发量子相位和幅度估计算法的新变体，这些算法返回具有低方差的几乎无偏的估计，并且不破坏它们的初始量子态。我们将这些子程序扩展到一个几乎无偏的量子平均估计，减少方差平方比经典的经验平均更快。在我们的工作之前，没有这样的估计器。这些属性，这是普遍感兴趣的，导致更好的收敛保证内的范例模拟退火计算配分函数。
2023-01-07 cs.CC cs.DS math.ST
Approximating bottleneck spanning trees on partitioned tuples of points
我们提出了近似算法，为以下NP-困难的优化问题的瓶颈生成树在度量空间。1.不相交瓶颈生成树问题：给定度量空间中的$n$点对，找到两棵不相交的树，每棵树仅包含每对中的一个点，并最小化最大边长（在两棵树的所有边上）。众所周知，用优于2的因子来近似这个问题是NP困难的。我们提出了一个4-近似算法解决这个问题。这改进了先前最好的已知近似比$9$。我们的算法扩展到一个$(3k-2)$ -近似的一个更一般的情况下，点被划分成$k$ -元组，我们寻求$k$不相交的树。2.广义瓶颈生成树问题：给定某个度量空间中的$n$点，这些点被划分为大小至多为2的簇，找到一棵树，该树恰好包含每个簇中的一个点，并且最小化最大边长。我们表明，它是NP-难近似这个问题的一个因素优于2，并提出了一个3-近似算法。3.分割瓶颈生成树问题：给定度量空间中的$kn$点，找到每个恰好包含$n$点的$k$树，并最小化最大边长度（在$k$树的所有边上）。我们表明，这是NP-难近似这个问题的一个因素优于2的任何$k\ge 2$。我们提出了一个$α$ -近似算法，其中$α=2$为$k=2,3$和$α=3$为$k\ge 4$。为了获得这些近似比，我们提出了严格的上限上的$k$等大小的不相交的树，可以从一个给定的树的节点的边长度。这个结果是独立的利益。我们的硬度证明意味着它是NP-困难的近似非度量版本的上述问题在任何常数因子。
2021-11-10 cs.CG cs.DM cs.DS
A General Framework for Approximating Min Sum Ordering Problems
我们考虑一个大家庭的问题，其中的顺序（或更准确地说，一个链的子集）的有限集必须选择一些加权和成本最小化。这个家庭包括最小和集覆盖（MSSC）的变化，几个调度和搜索问题，以及布尔函数求值问题。我们定义了一个新的问题，称为最小和排序问题（MSOP），它概括了所有这些问题，使用有限集的子集上定义的成本和权重函数。假设一个多项式时间的$α$ -近似算法的问题，找到一个子集的重量比成本是最大的，我们表明，在非常小的假设下，有一个多项式时间的$4 α$ -近似算法MSOP。这种近似结果推广了文献中几个不同问题的证明技术。我们应用这一点，以获得一些新的近似结果。
2021-06-25 cs.DS math.OC
Approximating CSPs with Outliers
约束满足问题（CSP）是理论计算机科学中普遍存在的问题。我们研究StrongCSP问题，即一个大的诱导子实例有一个令人满意的分配的情况。更正式地说，给定CSP实例$Ψ(V, E, [k], \{Π_{ij}\}_{(i,j) \in E})$，该实例由顶点集$V$、边集$E$、字母表$[k]$、每个$(i,j) \in E$的约束$Π_{ij} \subset [k] \times [k]$组成，该问题的目标是计算最大子集$S \subseteq V$，使得在$S$上导出的实例具有满足所有约束的分配。本文在StrongCSP框架下研究了当约束图满足弱扩张性质时，唯一对策的近似算法及相关问题.特别是，我们证明了，给定一个强唯一的游戏实例，其最佳解决方案$S^*$是支持一个定期的低阈值排名图，存在一个算法，运行在时间指数的阈值排名，并恢复一个大的可满足的子实例，其大小是独立的标签集的大小和最大程度的图。我们的算法结合了Barak-Raghavendra-Steurer（FOCS'11），Guruswami-Sinop（FOCS'11）的技术和几个新的想法，并在最优集的阈值秩中按时间指数运行。我们的算法的一个关键组成部分是一个新的阈值秩为基础的谱分解，这是用来计算一个“大”的诱导子图的“小”阈值秩;我们的技术建立在Oveis Gharan和Rezaei（SODA'17）的工作，可以独立的…
2022-05-23 cs.DS
Approximating $k$-connected $m$-dominating sets
图$G$中的节点子集$S$是$k$连通$m$ -支配集（$(k,m)$-cds），如果由$S$导出的子图$G[S]$是$k$连通的，并且每个$v \in V \setminus S$在$S$中至少有$m$邻居.在$k$ -连通$m$ -支配集（$(k,m)$-CDS）问题中，目标是在节点加权图中找到最小权重$(k,m)$-CDS。对于$m \geq k$，我们得到以下近似比。对于一般图，我们的比率$O(k \ln n)$改进了先前的最佳比率$O(k^2 \ln n)$，并匹配单位权重的最佳已知比率。对于单位圆盘图，我们改进的比例$O(k \ln k)$ $\min\left\{\frac{m}{m-k},k^{2/3}\right\} \cdot O(\ln^2 k)$-这是第一次的线性比例的问题，和第一个多对数比例$O(\ln^2 k)/ε$当$m \geq (1+ε)k$ ;此外，我们得到的比例$\min\left\{\frac{m}{m-k},\sqrt{k}\right\} \cdot O(\ln^2 k)$均匀的权重。这些结果是通过显示相同的比率为子集$k$ -连通性问题时，终端的集合$T$是$m$ -支配集与$m \geq k$。
2019-02-10 cs.DS
Approximating {0,1,2}-Survivable Networks with Minimum Number of Steiner Points
我们考虑具有最小Steiner点数的可生存网络（SN-MSP）问题的低连接性变体：给定度量空间（M，d）中终端的有限集合$R$、“不稳定”终端的子集$B \subseteq R$以及连接性要求{ r_{uv}：u，v \in R}，找到附加点的最小大小集合$S \subseteq M$，使得$R \cup S$的单位圆盘图包含成对内部边不相交的$r_{uv}$和$(B \cup S)$，disjoint PDMATHBMU-所有PDMATHBMV的路径。当针对所有$u,v \in R$的$r_{uv}=1$是{具有最小数目的斯坦纳点的\sf斯坦纳树}（ST-MSP）问题时的情况，并且$r_{uv} \in \{0,1\}$是{具有最小数目的斯坦纳点的\sf斯坦纳森林}（SF-MSP）问题。令$Δ$为单位球中任意两个点之间的距离大于1的最大点数。已知$\mathbb{R}^2$中的$Δ=5$。先前已知的{ \sf ST-MSP}的近似比在任意赋范空间\cite{NY}中是$\lfloor (Δ+1)/2 \rfloor+1+ε$，在欧几里得空间$\mathbb{R}^2$中是$2.5+ε$ \cite{cheng2008relay}。我们的近似比ST-MSP是$1+\ln(Δ-1)+ε$在任意赋范空间，在$\mathbb{R}^2$减少到$1+\ln 4+ε< 2.3863 +ε$。…
2013-04-29 cs.DS
On Approximating Cutwidth and Pathwidth
本研究针对图割宽等最小-最大型图排序问题，提出新型度量分解方法，将割宽与图路径宽度的近似比提升至$\log^{1+o(1)}(n)$，优于此前的多对数近似结果。
2024-04-12 cs.DS
Counting independent sets in unbalanced bipartite graphs
当二分图的边$(L,R)$之间的度或逸度存在充分的不平衡时，我们给出了一个近似二分图硬核模型的配分函数的FPTAS.其中包括$λ=1$（近似$G$的独立集合的数量）和$Δ_R \geq 7Δ_L \log(Δ_L)$的双正则情况。我们的近似算法是基于截断的聚合物模型的配分函数，表示硬核的配分函数的偏离独立集是空的一侧的bipartition的集群扩展。作为该方法的结果，我们还证明了这样的图上的硬核模型具有指数衰减的相关性，利用集群扩展和联合累积量之间的连接。
2019-06-04 cs.DS math.PR
On Approximating Partial Set Cover and Generalizations
部分集合覆盖（PSC）是集合覆盖问题（SC）的推广。在PSC中，输入由整数$k$和集合系统$(U,S)$组成，其中$U$是有限集合，而$S \subseteq 2^U$是$U$的子集的集合。目标是找到具有最小基数的子集$S' \subseteq S$，使得$S'$中的集合至少覆盖$U$的$k$元素;即$|\cup_{A \in S'} A| \ge k$。SC是PSC在$k = |U|$时的一种特殊情况。在加权版本中，每个集合$X \in S$具有非负权重$w(X)$，目标是找到覆盖$k$元素的最小权重子集。SC的近似算法已被改编，以获得可比的算法PSC在各种有趣的情况下。在最近的工作中，Inamdar和Varadarajan受到几何集合系统的启发，获得了一种简单而优雅的方法，通过自然的LP松弛将PSC减少到SC。他们表明，如果一个删除封闭的家庭SC承认$β$ -近似通过自然的LP松弛，然后可以获得一个$2(β+ 1)$ -近似PSC对同一家庭。在随后的论文中，他们还考虑了PSC的一个推广，它具有多个部分覆盖约束，这部分受到Bera等人之前关于顶点覆盖问题的工作的启发。我们在本文中的主要目标是证明一些有用的连接在以前的工作和子模块性的结果。这使我们能够简化，并在某些情况下改善他们的结果。我们改进了PSC到$(1-1/e)(β+ 1)$的近似。我们将以前的工作扩展到稀疏设置。
2019-07-09 cs.DS
Approximating the shortest path problem with scenarios
针对带多成本场景的有向图最短路径问题，本文证明最小最大版本的近似难度，并提出一种基于流LP、时间复杂度为$\widetilde{O}(\sqrt{n})$的近似算法，其近似比接近对应流LP松弛的整性间隙。
2024-09-17 cs.DS
Approximating maximum integral multiflows on bounded genus graphs
我们设计了第一个常数因子近似算法，以寻找一个完整的多商品流的最大总价值的情况下，供应图与需求的边缘可以嵌入在有界亏格的定向表面。这扩展了平面实例的最新结果。我们的技术包括一个uncrossing算法，这是显着更困难的比在平面的情况下，一个分区的循环在LP解决方案的支持到自由同伦类，和一个新的舍入程序自由同伦非分离周期。
2021-05-31 cs.CG cs.DM cs.DS
Approximating Transitivity in Directed Networks
我们研究了计算最小等价有向图的问题（也称为计算强传递约简的问题）及其最大目标函数变体，具有两种类型的扩展。首先，我们允许声明一个集合$D\subset E$，并要求一个有效的解决方案$A$满足$D\subset A$（它有时被称为传递约简问题）。在第二个扩展（称为$p$ -ary传递约简），我们有整数边标记，我们认为两条路径是等价的，如果它们有相同的开始，结束和标签模$p$的总和。对于所有的问题，我们建立了：$A\subseteq E$在比率1.5以内的多项式时间最小化，$|E-A|$在比率2以内的多项式时间最大化，MAX-SNP硬度甚至简单循环的长度也限制在5以内。此外，我们相信，组合技术背后的近似算法的最小化版本可能会感兴趣的其他图形连接问题。
2008-09-01 cs.CC cs.DM cs.DS
Minimum Partition into Plane Subgraphs: The CG:SHOP Challenge 2022
我们概述了2022年计算几何挑战赛的目标问题最小划分为平面子集，其中包括将给定的线段集划分为最小数量的非交叉子集。
2022-03-14 cs.CG cs.DS
Approximating the total variation distance between spin systems
The University of Hong Kong（香港大学）；Nanjing University（南京大学）
该研究提出将自旋系统吉布斯分布间总变分距离的近似问题归约为采样与近似计数问题，给出多类伊辛模型等应用，并证明子集边缘分布总变分距离近似的计算困难性。
2025-06-13 cs.DS cs.LG math.PR
Approximating Sumset Size
给定$n$维布尔超立方体$\mathbb{F}_2^n$的子集$A$，和集$A+A$是集合$\{a+a': a, a' \in A\}$，其中加法在$\mathbb{F}_2^n$中。和集在加法组合学中起着重要的作用，它们在该领域的许多中心结果中起着重要作用。本文的主要结果是和集大小估计问题的一个次线性时间算法。更详细地说，我们的算法被赋予oracle访问任意$A \subseteq \mathbb{F}_2^n$（的指示函数）和精度参数$ε> 0$，并且对于满足$\mathrm{Vol}(A \setminus A') \leq ε.$的$A$的某些扰动$A' \subseteq A$，它以高概率输出值$0 \leq v \leq 1$，该值$0 \leq v \leq 1$是$\pm ε$ -接近于$\mathrm{Vol}(A' + A')$。容易看出，在不放松处理$A'$而不是$A$的情况下，用于将$\mathrm{Vol}(A+A)$估计到任何非平凡精度的任何算法必须进行$2^{Ω(n)}$查询。相比之下，我们给出了一个算法，其查询复杂度只取决于$ε$和周围的尺寸$n$是完全独立的。
2021-07-26 cs.DM cs.DS math.CO
Approximating solution structure of the Weighted Sentence Alignment problem
Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学）
我们研究了DeNero和Klein（2008）的双射加权句子对齐问题的近似解结构的复杂性。特别是，我们考虑的复杂性，找到一个对齐，有一个显着的重叠与最佳对齐。我们讨论的一般加权句子对齐以及短语到单词对齐问题的解决方案的方法，并表明，计算一个字符串同意的最佳句子分区超过一半（加上一个任意小的多项式分数）的位置短语到单词对齐是NP-难的。对于一般的加权句子对齐，我们从2/3多一点的比特上的一致性获得这样的界限。此外，我们推广的汉明距离近似的解决方案结构，以近似它相对于编辑距离度量，获得类似的下界。
2014-09-08 cs.CC cs.CL cs.DS
Algorithmic Cluster Expansions for Quantum Problems
本文基于 Kotecký-Preiss 抽象聚合物模型的簇展开建立通用算法框架，为接近恒等算子的量子电路概率幅与期望值、高温量子自旋系统配分函数与热期望值提供高效近似算法，并证明相应近似困难性，确立计算复杂性转变及条件最优性。
2024-01-16 cs.CC cs.DS math.CO
Searching for dense subsets in a graph via the partition function
对于图$G$的顶点集$S$，我们定义它的密度$0 \leq σ(S) \leq 1$为$S$的顶点所跨越的$G$的边数与${|S| \choose 2}$的边数之比.我们发现，给定一个图$G$与$n$顶点和一个整数$m$，分拆函数$\sum_S \exp\{ γm σ(S) \}$，其中的总和是采取在所有$m$ -子集$S$的顶点和$0 < γ<1$是固定的，可以近似在相对误差$0 < ε< 1$准多项式$n^{O(\ln m - \ln ε)}$时间。我们讨论了数值实验，并观察到，对于随机图$G(n, 1/2)$可以提供一个更大的$γ$，提供的比例$n/m$是足够大的。
2018-07-05 cs.DS math.CO
Approximation Algorithms for Complex-Valued Ising Models on Bounded Degree Graphs
研究了有界度图上带复参数的伊辛模型配分函数的逼近问题。我们建立了一个确定性的多项式时间近似计划的配分函数时的相互作用和外部领域是绝对有界接近零。进一步证明了这类伊辛模型的配分函数不为零。我们的算法是基于一种方法，由于Barvinok的多项式的基础上的复杂的零点的位置和技术，由于帕特尔和Regts有效地计算有界度图的图形多项式的领导系数的近似评价。最后，我们展示了如何我们的算法可以扩展到近似某些输出概率幅的量子线路。
2019-07-09 cond-mat.stat-mech cs.CC cs.DS
Deterministically approximating the volume of a Kostka polytope
Tata Institute of Fundamental Research（塔塔基础研究所）
本文提出了一种多项式时间确定性算法，用于近似Kostka多面体的体积，其乘法因子为exp(O(n log n))，并基于连续Schur多项式的一个连续类别的分区函数解释。
2026-03-12 cs.DS math.CO
Approximating the Minimum Equivalent Digraph
MEG（最小等价图）问题是给定一个有向图，寻找一个小的边子集，使节点之间保持所有的可达关系。这个问题是NP难的。本文给出了一种性能保证为pi^2/6 ~ 1.64的近似算法。该算法及其分析基于收缩长循环的简单思想。(This结果在“关于具有有界圈长的强连通有向图”（1996）中得到了稍微加强。）该分析直接适用于2-Exchange，一个简单的“局部改进”算法，表明其性能保证为1.75。
2002-05-18 cs.DM cs.DS
An output-sensitive Algorithm to partition a Sequence of Integers into Subsets with equal Sums
提出一种多项式时间算法，解决将整数集合划分为指定数量和相等和的子集的非标准划分问题，并给出输出敏感的复杂度界。
2019-02-18 cs.DS math.CO
Fully Subexponential Time Approximation Scheme for Product Partition
本文研究乘积划分问题，通过整数分解和矩阵操作修改数字以包含足够素数，提出亚指数时间与内存的算法，实现完全亚指数时间近似方案。
2024-05-27 cs.DS math.OC
Improved Approximation Schemes for (Un-)Bounded Subset-Sum and Partition
本文考虑了子集和问题及其重要的变形。在SUBSET SUM问题中，给定一个$n$正数的（多）集合$X$和一个目标数$t$，任务是寻找$X$的最大和不超过$t$的子集.这是众所周知的，这个问题是NP-困难的，并承认完全多项式时间近似计划（FPTAS）。近年来，在（$\min$，+）-卷积猜想~ \cite{bringmann2021fine}的假设下，证明了对于任意小的$δ>0$，不存在运行时间$\tilde\OO( 1/ε^{2-δ})$的FPTAS.然而，如果我们放松约束，使得任务是找到$X$的子集，该子集可以稍微超过阈值$t$乘以$ε$，并且子集内的数字之和至少是遵守约束的最优目标值的$1-\tilde\OO(ε)$倍，则可以绕过下限。可能违反约束的近似方案也被称为弱近似方案。对于子集和问题，存在在时间上运行的随机弱近似方案$\tilde\OO(n+ 1/ε^{5/3})$ [Mucha et al. '19]。对于目标$t$是所有输入数总和的一半的特殊情况，弱近似方案等价于不违反约束的近似方案，并且最知名的算法在$\tilde\OO(n+1/ε^{{3}/{2}})$时间内运行[Bringmann and Nakos'21]。
2022-12-06 cs.CC cs.DS
A complete anytime algorithm for balanced number partitioning
给定一组数字，平衡划分问题是将它们分成两个子集，使得每个子集中的数字之和尽可能接近相等，并且受到子集的基数在彼此之一内的约束。我们结合平衡最大差分法（BLDM）和Korf的完全Karmarkar-Karp算法，得到一个新的算法，最优地解决平衡划分问题。对于有效位数小于等于12位的数，该算法在实际应用中可以最优地解决任意大小的平衡划分问题。对于精度更高的数字，它首先返回BLDM解决方案，然后在时间允许的情况下继续寻找更好的解决方案。
1999-03-11 cond-mat.dis-nn cs.AI cs.DS
A Probabilistic Approach to The Perfect Sum Problem
已知子集和问题是计算机科学领域中的NP难问题，已知最快的方法具有$O(2^{0.3113n})$的运行时复杂度。这个问题的一个修改版本被称为完美和问题，并进一步扩展了子集和的思想。这种扩展导致额外的复杂性，使得难以计算大输入。在本文中，我提出了一个概率的方法，近似的解决方案，完美和问题的近似分布的潜在的总和。由于这个问题是一个扩展的子集和，我们的近似也授予一些概率洞察子集和问题的解决方案。我们利用分布近似模型的子集的数量总和到一定的大小。这些分布近似以两种方式制定：使用边界来证明正态近似，并通过密度估计近似的经验分布。这些近似可以以$O(n)$复杂度计算，并且可以随着输入数据的大小而增加精度，使得其对于大规模组合问题是有用的。代码可在https://github.com/KristofPusztai/PerfectSum上获得。
2022-11-25 cs.DS stat.AP stat.CO
Lee-Yang zeros and the complexity of the ferromagnetic Ising model on bounded-degree graphs
研究了用复平面单位圆上的外场参数$λ$近似铁磁伊辛模型配分函数的计算复杂性。伊辛模型的复值参数与统计物理中的量子电路计算和相变有关，但也是Liu，Sinclair和Srivastava最近对所有$|λ|\neq 1$的确定性近似方案的关键。在这里，我们专注于未解决的复杂性图片上的单位圆，并在诱人的问题发生了什么$λ=1$，其中一方面的经典算法的Jerrum和辛克莱给出了一个随机的近似计划的实轴上建议易处理性，另一方面，李杨零的存在暗指计算的硬度。我们的主要结果建立了一个尖锐的计算过渡点$λ=1$，更一般的整个单位圆。对于一个整数$Δ\geq 3$和边缘相互作用参数$b\in (0,1)$，我们显示#P-硬度近似图上的最大程度$Δ$上的单位圆的弧的李杨零点是密集的分区函数。该结果与当$|λ|\neq 1$或当$λ$在单位圆的$1$周围的互补弧中时的已知近似算法形成对比。因此，我们的工作给出了一个直接的联系之间的存在/不存在的李-杨零和有界度图上的分区函数的有效逼近的易处理性。
2021-01-22 cs.CC cs.DS math.CO
