Approximating Upper Degree-Constrained Partial Orientations
在上度约束的部分定向问题中，我们给出了一个无向图$G=(V,E)$，以及两个度约束函数$d^-,d^+ : V \to \mathbb{N}$。目标是定向尽可能多的边，使每个顶点$v \in V$进入$v$的弧数最多为$d^-(v)$，而离开$v$的弧数最多为$d^+(v)$。这个问题是由Gabow [SODA'06]提出的，他证明了它是MAXSNP困难的（因此也是APX困难的）。在同一文件Gabow提出了一个基于LP的迭代舍入$4/3$ -近似算法。由于问题是一个特殊的情况下，经典的3维匹配，这反过来又是一个特殊的情况下，$k$ -集包装问题，这是合理的，问是否最近的改进近似算法后两个问题[Cygan，FOCS'13; Sviridenko & Ward，ICALP'13]允许一个改进的近似上度约束的部分方向。我们遵循这条推理路线，并提出了一个多项式时间的局部搜索算法的近似比$5/4+\varepsilon$。我们的算法使用两种类型的规则的组合：从最近的$4/3+\varepsilon$ -近似算法3-Set Packing [Cygan，FOCS'13]，和一个简单的规则量身定制的部分方向的设置改进有界路径宽度集。特别是，我们利用这样一个事实，即人们可以在多项式时间内检查是否有可能定向给定图的所有边[Gyárfás & Frank，Combinatorics'76]。
2014-10-10 cs.DS
On Approximating (Sparse) Covering Integer Programs
我们考虑覆盖整数规划的形式min $\langle c, x \rangle $在$x \in \mathbb{N}^n $受到$A x \geq b $和$x \leq d$的近似算法，其中$A \in \mathbb{R}_{\geq 0}^{m \times n}$，$b \in \mathbb{R}_{\geq 0}^m$，和$c, d \in \mathbb{R}_{\geq 0}^n$都有非负的条目。我们把这个问题称为$\operatorname{CIP}$，没有多重性约束的特殊情况称为$x \le d$，称为$\operatorname{CIP}_{\infty}$。这些问题是集覆盖问题的推广。我们做了两个算法上的贡献。首先，我们表明，一个简单的算法的基础上随机四舍五入与改变改善或匹配的最佳已知的近似算法$\operatorname{CIP}$和$\operatorname{CIP}_{\infty}$在广泛的参数设置，这些界限基本上是最佳的。作为变更算法和分析的简单性的副产品，我们可以去随机化算法，而不会在近似保证或效率方面有任何损失。Chen，Harris和Srinivasan [12]先前的工作获得了近紧边界，该工作基于基于分析复杂的基于重采样的随机算法。$\operatorname{CIP}$的非平凡近似算法基于求解用背包覆盖（KC）不等式加强的自然LP松弛[…
2018-11-18 cs.DS
Approximating $δ$-Covering
本文研究无向图上连续设施选址问题 $δ$-覆盖的可近似性，针对不同覆盖范围给出对数或常数因子近似算法，并结合唯一博弈猜想下界缩小了近似比范围。
2024-08-08 cs.DS
Approximating the minimum directed tree cover
给定一个有向图$G$，其弧上的代价为非负，$G$的有向树覆盖是一个有根有向树，使得$T$触及$G$中每条弧的头或尾（或两者）.最小有向树覆盖问题（DTCP）是寻找一个最小费用的有向树覆盖。已知该问题是$NP$ -hard问题。本文证明了加权集合覆盖问题（SCP）是DTCP的一个特例。因此，人们最多可以期望DTCP与SCP具有相同的比率。通过设计一个纯组合的DTCP近似算法，证明了该算法的近似比为$\max\{2, \ln(D^+)\}$，其中$D^+$是$G$中节点的最大外向度，从而在某种程度上满足了这个期望.
2010-09-02 cs.DM cs.DS math.OC
Approximating Red-Blue Set Cover and Minimum Monotone Satisfying Assignment
本文为红蓝集合覆盖和电路最小单调满足赋值问题提出改进的近似算法，并给出相应的下界与完整性间隙结果。
2023-07-07 cs.DS
On subexponential running times for approximating directed Steiner tree and related problems
This paper concerns proving almost tight (super-polynomial) running times, for achieving desired approximation ratios for various problems. To illustrate, the question we study, let us consider the Set-Cover problem with n elements and m sets. Now we specify our goal to approximate Set-Cover to a factor of (1-d)ln n, for a given parameter 0<d<1. What is the best possible running time for achieving such approximation? This question was answered implicitly in the work of Moshkovitz [Theory of Computing, 2015]: Assuming both the Projection Games Conjecture (PGC) and the Exponential-Time Hypothesi…
2018-11-02 cs.DS
Approximating activation edge-cover and facility location problems
如果当一个客户端$u$连接到一个设施$v$时，$v$的打开成本至多是$θ$乘以$u$的服务成本，那么对于设施位置问题，我们可以得到什么样的近似比？我们表明，这和许多其他问题是一个特殊的情况下，激活边覆盖问题。在这里，我们给出了一个多重图$G=(V,E)$，一组$R \subseteq V$的终端，和阈值$\{t^e_u,t^e_v\}$为每个$uv$边缘$e \in E$。目标是找到最小化$\sum_{v \in V} a_v$的节点的分配${\bf a}=\{a_v:v \in V\}$，使得由${\bf a}$激活的边集$E_{\bf a}=\{e=uv: a_u \geq t^e_u, a_v \geq t^e_v\}$覆盖$R$。我们得到的比例$1+ω(θ) \approx \ln θ-\ln \ln θ$的问题，其中$ω(θ)$是根的方程$x+1=\ln(θ/x)$和$θ$是一个问题的参数。这个结果是基于一个简单的遗传算法的问题，最小化的减少和一个子加性集函数，这是独立的利益。作为一个应用，我们得到，上述变体的设施位置承认比率$1+ω(θ)$ ;如果每个设施的所有服务成本是相同的，那么我们显示了一个更好的比率$\displaystyle 1+\max_{k \geq 1} \frac{H_k-1}{1+k/θ}$，其中$H_k=\sum_{i=1}^k 1/i$。对于最小…
2018-12-24 cs.DS
Efficiently Approximating Vertex Cover on Scale-Free Networks with Underlying Hyperbolic Geometry
针对顶点覆盖问题理论与实践的近似性能差距，提出适配双曲随机图的改进贪心算法，可渐近几乎必然得到(1+o(1))近似，时间复杂度O(m log(n))，还能通过参数调节权衡，在真实网络上优于原贪心算法。
2023-12-13 cs.DS
A Water-Filling Primal-Dual Algorithm for Approximating Non-Linear Covering Problems
获得强大的线性松弛的能力覆盖问题构成了一个重大的技术挑战，即使是简单的设置。对于最基本的情况之一，背包覆盖（最小背包）问题，基于背包覆盖不等式的松弛实现了2的完整性差距。这些不等式已被利用在更一般的环境中，其中许多承认原始-对偶近似算法。从电力和运输系统的问题的启发，我们引入了一个新的一般设置中，项目可以采取分数，以满足给定的需求。一个项目所产生的成本由所选分数的任意非递减函数给出。我们将背包覆盖不等式推广到这种情况，并利用它们得到一个$(2+\varepsilon)$ -近似原始-对偶算法。我们的程序有一个自然的解释为桶填充算法，它有效地平衡了成本函数中具有不同斜率的困难：当一个项目的一些上级部分呈现出低斜率时，它有助于提高下级部分的优先级。我们还提出了一个舍入算法的近似保证为2。我们将我们的算法推广到一条线上的不可分割流覆盖问题，也适用于项目可以分数取的设置。对于这个问题，我们得到一个$(4+\varepsilon)$近似算法在多项式时间，几乎匹配的$4$近似已知的经典设置。
2019-12-27 cs.DS math.OC
Approximating Low-Dimensional Coverage Problems
我们研究的最大覆盖问题的复杂性，限制到有界VC维的系统。我们的主要结果是一个固定参数的易于处理的近似方案：一个算法，输出$(1-\eps)$ -近似的最大基数联盟的$k$集，在运行时$O(f(\eps,k,d)\cdot poly(n))$其中$n$是问题的大小，$d$是VC-维的集合系统，和$f(\eps,k,d)$是指数在$(kd/\eps)^c$的一些常数$c$。我们补充这一积极的结果表明，功能$f(\eps,k,d)$在运行时的界限不能被替换为一个功能只依赖于$(\eps,d)$或$(k,d)$，在标准的复杂性假设。我们还提出了一个改进的上界的贪婪算法的逼近比在特殊情况下的问题，包括当集有界的基数，当它们是二维半空间。补充这些积极的结果，我们表明，当集是四维半空间的贪婪算法，也没有本地搜索是能够提高最坏情况下的近似比的$1-1/e$的贪婪算法实现的任意情况下的最大覆盖。
2011-12-03 cs.CG cs.DS
Optimally Approximating the Coverage Lifetime of Wireless Sensor Networks
我们考虑的问题，最大限度地提高目标的覆盖寿命（MLCP）在无线传感器网络与电池有限的传感器。我们首先表明，MLCP不能近似的因子小于$\ln n$的任何多项式时间算法，其中$n$是目标的数量。这提供了封闭的长期开放的问题，显示先前已知的$\ln n$近似算法的最优性。我们还推导出一个新的$\ln n$近似MLCP显示$\ln n$近似的最大不相交集覆盖问题（DSCP），这有许多优点，比以前的MLCP算法，包括一个简单的扩展到$k$覆盖问题。然后，我们提出了一个改进（在某些情况下）的$\ln n$算法方面的一个新定义的数量“可扩展性”的网络。对于特殊的一维的情况下，每个传感器可以监视一个连续的区域可能不同的长度，我们表明，MLCP解决方案是等于DSCP解决方案，并可以发现在多项式时间。最后，对于特殊的二维情况下，每个传感器可以监测一个圆形区域，以一个给定的半径周围，我们结合现有的结果，推导出一个$1+ε$近似算法求解MLCP的任何$ε>0$。
2014-06-28 cs.DS cs.NI
Approximating minimum-cost edge-covers of crossing biset-families
$V$的子集的有序对$\hat{S}=(S,S^+)$称为{ \em biset}，如果$S \subseteq S^+$ ; $(V-S^+,V-S)$是$\hat{S}$的余-biset。如果$X \cap Y \neq \emptyset$是两个偏置集$\hat{X},\hat{Y}$相交，如果$X \cap Y \neq \emptyset$和$X^+ \cup Y^+ \neq V$是两个偏置集$\hat{X},\hat{Y}$相交。由$\hat{X} \cap \hat{Y} = (X \cap Y, X^+ \cap Y^+)$和$\hat{X} \cup \hat{Y} = (X \cup Y,X^+ \cup Y^+)$定义了两个偏集$\hat{X},\hat{Y}$的交和并。如果$\hat{X} \cap \hat{Y}, \hat{X} \cup \hat{Y} \in {\cal F}$对于任何交叉（相交）的$\hat{X},\hat{Y} \in {\cal F}$，则双集族${\cal F}$交叉（相交）。一条有向边覆盖一个双集$\hat{S}$，如果它从$S$到$V-S^+$。我们考虑的问题，覆盖交叉biset家庭${\cal F}$的最小成本集的有向边缘。虽然对于相交的${\cal F}$，标准的原始-对偶算法计算出最优解，但相交${\cal F}$…
2012-07-18 cs.DS
Approximating the Regular Graphic TSP in near linear time
本文提出了一种计算无向正则图中旅行推销员行程的随机近似算法。给定一个$n$ -顶点，$k$ -正则图，该算法以高概率在$O(nk \log k)$时间内计算出长度最多为$\left(1+\frac{7}{\ln k-O(1)}\right)n$的路线.这改进了Vishnoi（\cite{Vishnoi12}，FOCS 2012）针对同一问题的最新结果，包括近似因子和运行时间。我们的算法的关键成分是一种技术，使用边着色算法采样周期覆盖$O(n/\log k)$周期具有高概率，在近线性时间。此外，我们还给出了一个确定性的$\frac{3}{2}+O\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)$因子近似算法$O(nk)$。
2014-06-13 cs.DS
Tight Space-Approximation Tradeoff for the Multi-Pass Streaming Set Cover Problem
我们研究了流模型中的经典集合覆盖问题：包含实例的集合在流中一个接一个地显示，目标是通过在流上进行一次或几次传递来解决问题，同时在输入大小中保持次线性空间$o(mn)$;这里$m$表示集合的数量，$n$是宇宙大小。注意，在这个模型中，我们主要关注算法的空间需求，因此不限制它们的计算时间。我们的主要结果是一个决议的空间近似权衡流集覆盖问题：我们表明，任何$α$ -近似算法的集覆盖问题需要$\widetildeΩ(mn^{1/α})$空间，即使它是允许polylog ${(n)}$通过流，即使集到达流中的随机顺序。这种空间近似权衡与Har-Peled等人（PODS 2016）的最新算法实现的最佳已知边界相匹配，该算法仅需要$O(α)$以对抗顺序通过流，因此以非常稳健的方式解决了近似数据流中的集合覆盖问题的空间复杂度。此外，我们的方法产生严格的空间复杂度的下限$(1- ε)$ -近似流的最大覆盖率的问题，在最近的几个作品中研究。
2017-03-06 cs.DS
Label Cover instances with large girth and the hardness of approximating basic k-spanner
我们研究了著名的标签覆盖问题的额外要求下，问题的实例有大围长。我们表明，如果围长是一些$k$，该问题是大致$2^{\log^{1-ε} n/k}$难以近似为所有常数$ε> 0$。Elkin和Peleg [ICALP 2000]提出了一个类似的定理，但后来发现他们的证明有一个根本性的错误。我们使用新的证明，以显示不可逼近的基本$k$的问题，这是最简单的问题，在图spectrometry和少数的超对数硬度是未知的。假设$NP \not\subseteq BPTIME(2^{polylog(n)})$，我们表明，对于每一个$k \geq 3$和每一个常数$ε> 0$是很难近似的基本$k$ -问题的一个因素优于$2^{(\log^{1-ε} n) / k}$（足够大的$n$）。Elkin和Peleg [ICALP 2000]声称基本$k$ -明胶具有相似的硬度，但他们对标签盖分析的错误也使该证明失败。因此，对于大围长的标号覆盖问题，我们给出了第一个非平凡下界。对于基本的$k$ -问题，我们改进了Kortsarz [Komica 1998]提出的$Ω(\log n)/k$的最佳下界.我们的主要技术是对2-查询PCP的边缘进行子采样，这使我们能够将PCP的程度降低到基本上等于所需的合理性。事实证明，这足以基本上保证大周长。
2012-03-05 cs.CC cs.DS
Approximating Spanners and Directed Steiner Forest: Upper and Lower Bounds
最近发现，加性空间的存在与（子图，其中所有距离都保持到加法拉伸），（其中需求对的距离精确保持的子图），以及成对的空间（其中需求对的距离保持到乘法或加法延伸的子图）[Abboud-Godwin SODA '16，Godwin-Williams SODA '16]。我们研究这些问题从优化的角度来看，而不是研究极值的存在情况下，我们给出了一个实例，并要求找到sparsify可能的bandwidth/bandwidth。我们给出了一个$O(n^{3/5 + ε})$ -近似的距离和两两的空间（对于任意常数$ε> 0$）。这是两个问题的第一个非平凡上限，这两个问题都像标签覆盖一样难以近似。我们还证明了标签覆盖硬度近似添加剂spiritual，即使是添加剂1拉伸（其中人们可能会期望一个多对数近似，因为相关的乘法2-$O(\log n)$问题承认一个$O(\log n)$ -近似）和添加剂多对数拉伸（其中相关的乘法$O(1)$问题有一个$O(1)$ -近似）的情况下。有趣的是，我们在近似算法中使用的技术超出了基于距离的问题，纯连接网络设计问题。特别是，我们的技术使我们能够给出一个$O(n^{3/5 + ε})$ -近似的有向斯坦纳森林问题（对于任意常数$ε> 0$）时，所有的边缘都有统一的成本，提高了以前的最佳$O(n^{2/3 + ε})$ -近似由于伯曼等人。[ICALP '11]（适用于一…
2016-07-20 cs.DS
Fast Algorithm for Partial Covers in Words
如果$w$中的每个位置都位于$w$中的某个出现的$u$内，则单词$w$的因子$u$是$w$的覆盖。因此，由$u$覆盖的词$w$概括了重复的概念，即，由$u$的精确连接组成的词。本文引入了$α$的一个新概念--部分覆盖，它可以看作是覆盖的一个松弛变体，即一个因子至少覆盖了$w$中的$α$位置.我们开发了一个数据结构的$O(n)$大小（其中$n=|w|$），可以在$O(n\log n)$的时间，我们适用于计算所有最短的$α$部分覆盖给定的$α$。我们还采用它的$O(n\log n)$时间算法计算最短的$α$ -部分覆盖每个$α=1,2,\ldots,n$。
2013-12-31 cs.DS
Parameterized Algorithms for Partial Cover Problems
覆盖问题是最优化、计算机科学和复杂性理论中的基本经典问题。通常，这些问题的输入是有限论域上的集合族，目标是用尽可能少的集合族覆盖论域的元素。覆盖问题的变化包括众所周知的问题，如集覆盖，顶点覆盖，支配集和设施位置仅举几例。部分覆盖问题是覆盖问题的一个自然推广，近年来已有大量的研究。这里，目标不是覆盖所有元素，而是用最少数量的集合覆盖指定数量的元素。在本文中，我们研究部分覆盖问题的图在参数化的复杂性领域。所有这些问题的经典（非部分）版本已被深入研究，在平面图和图不包括一个固定的图$H$作为一个小的。然而，为非部分覆盖问题的参数化版本开发的技术不能直接应用于它们的部分对应物。我们使用的方法，以显示各种部分覆盖问题是固定参数的平面图，有界局部树宽和图形的图形不包括一些图作为一个未成年人，是完全不同的，从以前已知的技术。我们的方法背后的主要思想是隐式分支的概念。我们发现隐式分支技术本身是有趣的，并相信它可以用于其他一些问题。
2008-02-12 cs.DS
Approximating Node-Weighted k-MST on Planar Graphs
本文研究了在平面结点赋权图上寻找至少包含$k$顶点的最小权连通子图的问题。我们给出了该问题的一个$(4+\eps)$ -近似算法。我们通过利用Byrka等人（SWAT'16）最近的节点加权奖品收集Steiner树问题的LMP原始-对偶$3$近似并采用Chudak等人（Math.\程序\ 04）关于边缘加权变体的拉格朗日松弛。特别地，我们通过采取恒定数量的递归步骤并利用Arora和Karakostas的有限猜测过程（Math.\）来改进Sadeghian（2013）给出的拾取附加顶点的过程（树合并过程）。程序\ '06）。更一般地说，我们的方法很容易给出任何图类的$(\nicefrac{4}{3}\cdot r+\eps)$ -近似，其中Byrka等人的算法。对于获奖版本给出了一个$r$ -近似。我们认为，这可以解释为一个类似的结果的推广Könemann等人。再加上梅斯特（STACS'08）的部分覆盖的下界构造，这意味着我们的界基本上是最好的算法，利用LMP算法的拉格朗日松弛作为一个黑盒子。除此之外，我们认为，一个更涉及下界的建设，即使使用LMP算法Byrka等人。当树合并步骤仅依赖于由LMP算法输出的解时，以\emph{non-black-box}方式不能击败因子$\nicefrac{4}{3}\cdot r$。
2018-05-08 cs.DS
Approximating the MaxCover Problem with Bounded Frequencies in FPT Time
我们研究了几个变种的MaxCover问题的近似算法，重点是FPT时间运行的算法。在最大覆盖问题中，我们给出一个元素集N，一个N的子集族S和一个整数K。目标是从S中找到最多K个集合，它们共同覆盖（即，包括）尽可能多元件。这个问题是众所周知的NP-难，在标准的复杂性理论假设下，最好的多项式时间近似算法具有近似比（1 - 1/e）。我们首先考虑具有有界元素频率的MaxCover的变体，即，一个变量，其中有一个常数p，使得每个元素最多属于S中的p个集合。对于这种情况下，我们表明，有一个FPT近似方案（即，对于每个B，对于最大化覆盖的元素的数量的问题，存在在FPT时间内运行的B-近似算法，并且对于最小化未覆盖的元素的数量的问题，存在随机FPT近似方案（我们取K为参数）。然后，对于存在常数p使得每个元素属于来自S的至少p个集合的情况，我们证明了标准贪婪近似算法精确地达到近似比（1-e^{-max（pK/ |S|，1）}）。最后，我们考虑一个不受限制的变体的MaxCover，并显示近似算法，运行在指数时间，并结合了一个精确的算法与贪婪的近似。我们的一些结果改进了MaxVertexCover的当前已知结果。
2013-09-17 cs.DS
Kernelization for Partial Vertex Cover via (Additive) Expansion Lemma
给定一个图和两个整数$k$和$\ell$，部分顶点覆盖要求一组至多$k$顶点，删除这些顶点会导致一个至多有$\ell$条边的图。基于扩展引理，我们给出了一个具有$(\ell + 2)(k + \ell)$顶点的问题核.然后，我们介绍了一个新的，添加剂版本的扩展引理，并显示它可以用来证明一个内核与$(\ell + 1)(k + \ell)$顶点$\ell \ge 1$。
2022-11-13 cs.DS
Optimal PSPACE-hardness of Approximating Set Cover Reconfiguration
本文证明了Minmax集合覆盖重配置和支配集重配置在2−1/polyloglog N因子内PSPACE难近似，首次揭示重配置问题近似因子的尖锐阈值，并基于FGLSS归约的重配置类比给出证明。
2024-02-20 cs.CC cs.DM cs.DS
Approximating Multiobjective Optimization Problems: How exact can you be?
本文研究了多目标优化问题的部分精确近似集，要求在某些目标上精确近似可行解（保证为1），其余目标保证为$1+\varepsilon$，并刻画了此类多项式基数近似集的存在类型及其与最小基数的关系。
2023-05-24 cs.DS math.OC
Approximating Optimization Problems using EAs on Scale-Free Networks
人们已经观察到，许多复杂的现实世界网络具有某些属性，例如高聚类系数，低直径和幂律度分布。具有幂律度分布的网络被称为无标度网络。为了研究这些网络，人们提出了各种随机图模型，例如偏好依恋、Chung-Lu或双曲网络。我们期待在幂律度分布和运行时间的优化技术为众所周知的组合问题之间的相互作用。我们观察到，在无标度网络上，简单进化算法（EA）对常见覆盖问题的逼近率很快达到常数因子。我们证明了单目标（1+1）EA对最小支配集问题、最小顶点覆盖问题、最小连通支配集问题、和最大独立集问题中的期望多项式调用的适应度函数。此外，我们证明了多目标GSEMO算法达到了更好的近似比（1+1）EA在这些问题上，在多项式的适应度评价。
2018-11-26 cs.DS cs.NE cs.SI
Approximating Constrained Minimum Cost Input-Output Selection for Generic Arbitrary Pole Placement in Structured Systems
本文研究一般任意极点配置的最小费用约束输入输出选择问题。输入-输出集合在每个输入可以影响的状态集合和每个输出可以感测的状态集合是预先指定的意义上是受约束的。我们的目标是最优地选择一个输入输出集，系统没有结构上的固定模。多项式算法不存在解决这个问题，除非P=NP。为此，我们提出了一个近似算法，将问题分解为三个子问题：a）最小成本可达性问题，b）最小成本灵敏度问题和c）最小成本不相交循环问题。我们证明了问题a）和b）等价于一个适当定义的加权集合覆盖问题。我们还证明了问题c）等价于最小代价完美匹配问题。在此基础上，给出了求解最小费用一般任意极点配置问题的近似算法。所提出的算法结合了一个近似算法来解决加权集覆盖问题，以解决a）和b）和最小成本完美匹配算法来解决c）。此外，我们证明了该算法是多项式时间的，并给出了一个顺序最优解的最小成本的输入输出选择一般的任意极点配置问题。
2018-01-10 cs.DS math.OC
A General Framework for Approximating Min Sum Ordering Problems
我们考虑一个大家庭的问题，其中的顺序（或更准确地说，一个链的子集）的有限集必须选择一些加权和成本最小化。这个家庭包括最小和集覆盖（MSSC）的变化，几个调度和搜索问题，以及布尔函数求值问题。我们定义了一个新的问题，称为最小和排序问题（MSOP），它概括了所有这些问题，使用有限集的子集上定义的成本和权重函数。假设一个多项式时间的$α$ -近似算法的问题，找到一个子集的重量比成本是最大的，我们表明，在非常小的假设下，有一个多项式时间的$4 α$ -近似算法MSOP。这种近似结果推广了文献中几个不同问题的证明技术。我们应用这一点，以获得一些新的近似结果。
2021-06-25 cs.DS math.OC
Lagrangian Relaxation and Partial Cover
拉格朗日松弛法在近似算法的设计中得到了广泛的应用。本文研究了它的优点和局限性时，适用于部分覆盖。
2007-12-23 cs.DM cs.DS
On Partial Vertex Cover on Bipartite Graphs and Trees
众所周知，顶点覆盖问题是在P的二部图，然而，计算复杂性的二部图的部分顶点覆盖问题是公开的。本文首先证明了二部图的部分顶点覆盖问题是NP-困难的。然后，我们确定了一个有趣的特殊情况下的二分图，其中部分顶点覆盖问题可以在多项式时间内解决。我们还表明，一组无圈二部图，即，森林，以及顶点度至多为3的二部图的集合都属于这种特殊情况。因此，我们证明了部分顶点覆盖问题是在树上的P中，也是在每个顶点的度至多为3的二部图的集合上的P中。
2013-04-22 cs.CC cs.DS
On Partial Covering For Geometric Set Systems
我们研究了一个广义的集覆盖问题称为\emph{Partial Set Cover}的背景下，几何集系统。这个问题的输入是一个集合系统$(X, \mathcal{S})$，其中$X$是元素的集合，$\mathcal{S}$是$X$的子集的集合，以及一个整数$k \le |X|$。目标是通过使用来自$\mathcal{S}$的集合的最小权重集合来覆盖$X$的至少$k$元素。本文的主要结果是一个LP舍入方案，它表明对于集合系统$(X, \mathcal{S})$的某个投影，部分集合覆盖LP的完整性间隙至多是集合覆盖LP的常数倍。作为这个结果的推论，我们得到了改进的近似保证的部分集覆盖问题的一大类几何集系统。
2017-12-12 cs.CG cs.DS
Approximating the discrete time-cost tradeoff problem with bounded depth
我们重新审视的最后期限版本的离散时间成本权衡问题的特殊情况下，有界深度。这种情况例如发生在VLSI设计中。实例的深度是最长链中作业的数量，用$d$表示。我们证明了新的上界和下界的逼近。首先，我们观察到，该问题可以被视为一个特殊的情况下，找到一个最小重量的顶点覆盖的$d$ -部超图。接下来，我们研究了自然LP松弛，它可以在多项式时间内解决固定的$d$和-时间成本权衡的情况下-一般到一个任意小的错误。改进了Lovász和Aharoni，Holzman和Krivelevich的工作，对于固定的$d$和给定的$d$ -划分，我们描述了一个确定性算法，其近似比略小于$\frac{d}{2}$，用于求解$d$-部超图的最小权顶点覆盖.这是严格的，并且还产生用于一般时间-成本权衡实例的$\frac{d}{2}$ -近似算法。我们还研究了不可逼近性，并表明，没有更好的逼近比$\frac{d+2}{4}$是可能的，假设唯一的游戏猜想和$\text{P}\neq\text{NP}$。这加强了Svensson的结果，他表明在相同的假设下，对于一般的时间-成本权衡实例（无限深度），不存在常数因子近似算法。以前，只有APX硬度已知的边界深度。
2021-04-21 cs.DM cs.DS math.CO
The Complexity of Partial Function Extension for Coverage Functions
Coverage functions are an important subclass of submodular functions, finding applications in machine learning , game theory, social networks, and facility location. We study the complexity of partial function extension to coverage functions. That is, given a partial function consisting of a family of subsets of $[m]$ and a value at each point, does there exist a coverage function defined on all subsets of $[m]$ that extends this partial function? Partial function extension is previously studied for other function classes, including boolean functions and convex functions, and is useful in many…
2019-07-16 cs.DS cs.GT
Approximation Algorithm for the Partial Set Multi-Cover Problem
部分集合覆盖问题和集合多重覆盖问题是集合覆盖问题的两个推广。在本文中，我们考虑部分集多覆盖问题，这是它们的组合：给定元素集合$E$、集合集合$\mathcal S\subseteq 2^E$的集合、总覆盖率$q$，总覆盖率$q$是0和1之间的常数，每个集合$S\in\mathcal S$与成本$c_S$相关联，每个元素$e\in E$与覆盖要求$r_e$相关联，目标是找到最小成本子集合$\mathcal S'\subseteq\mathcal S$，以完全覆盖至少$q|E|$元素，其中如果元素$e$属于$\mathcal S'$的至少$r_e$集合，则完全覆盖该元素。用$r_{\max}=\max\{r_e\colon e\in E\}$表示最大覆盖要求。提出了一种$(O(\frac{r_{\max}\log^2n}{\varepsilon}),1-\varepsilon)$ -双准则近似算法，即当完全覆盖元素个数至少为$(1-\varepsilon)q|E|$时，算法的输出代价最多为最优值的$O(\frac{r_{\max}\log^2 n}{\varepsilon})$倍.
2018-11-20 cs.DM cs.DS
Approximating Partition Functions in Constant Time
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
我们研究稠密图模型的配分函数的近似。图模型的配分函数在统计物理学、统计学和机器学习中起着基础性的作用。近似配分函数的两种主要方法是马尔可夫链蒙特卡罗和变分方法。在数学、物理学和理论计算机科学方面的大量工作提供了马尔可夫链蒙特卡罗方法在多项式时间内收敛的条件。在基础模型表现出相关性衰减的情况下，这些方法通常导致用于配分函数的多项式时间近似算法。变分方法的性能几乎没有理论保证。一个例外是Risteski（2016）最近的结果，他考虑了密集的图形模型，并表明使用变分方法，即使在相关衰减不成立的情况下，也可以找到时间上对数配分函数的$O(εn)$加性近似$n^{O(1/ε^2)}$。我们表明，在基本相同的条件下，$O(εn)$添加剂近似的对数配分函数可以发现在恒定的时间，独立的$n$。特别是，我们的研究结果涵盖了密集的伊辛和波茨模型，以及密集的图形模型与$k$明智的相互作用。它们也适用于低阈值秩模型。
2018-02-20 cs.DS cs.LG stat.ML
