Infinite families of pairs of curves over Q with isomorphic Jacobians
我们提出了三个家庭的对几何非同构曲线的雅可比矩阵是同构的另一个作为非极化阿贝尔簇。每个族都由P^1的一个开子集参数化。第一个家庭由对亏格-2曲线，其方程是由简单的表达式中的参数;在这个家庭中的曲线可约雅可比。第二类曲线也由亏格为2的曲线对组成，但一般来说，这类曲线具有绝对简单的雅可比行列式。第三族由亏格3曲线对组成，每对中的一个成员是超椭圆曲线，另一个是平面四次曲线。这些族中的例子表明，一般来说，不可能从Q上亏格为2的曲线的雅可比矩阵判断该曲线是否具有有理点--或者实际上是否具有实点。我们的建设依赖于早期的联合工作与弗兰克Leprevost和比约恩Poonen，并对彼得弯曲的明确描述曲线的属2的雅可比矩阵有真正的乘法由Z[ \sqrt{2} ]。
2003-05-13 math.AG math.NT
Counterexamples to a Conjecture of Ahmadi and Shparlinski
Ahmadi-Shparlinski证明了有限域上的每个普通的几何简单的雅可比矩阵都有最大的角秩。使用L-函数和模形式数据库，我们提供了两个反例，这个猜想在4维。
2020-03-11 math.AG math.NT
Canonical extensions of Néron models of Jacobians
设A是离散赋值环R的分式域K上的交换阿贝尔簇A_K的Néron模型.由于Mazur-Messing的工作，有一种函子方法可以将A_K的泛扩张通过一个向量群延拓为R上的一个光滑的分离群概型，称为A_K的典范扩张。本文研究了K上光滑的真几何连通曲线X_K的雅可比行列式为A_K=J_K时的标准扩张。设X_K是R上的一个真平坦正则模型X，且X上有一般光滑的闭纤维，我们的主要结果是确定了正则扩张的单位连通区，其中Pic^{ \natural，0}_{X/R}对X上的线丛进行了分类，这些线丛在几何纤维的所有分支上都有部分度零，并且具有正则联络.这个结果是雷诺定理的一个自然扩张，该定理将J_K的Néron模型J的单位连通区与函子Pic ^0_{X/R}等同起来。作为结果的一个应用，我们证明了X_K的de Rham上同调上的两个典型积分结构之间的比较同构。
2009-09-09 math.AG math.NT
Brauer groups and Tate-Shafarevich groups
设X_K是整体域K上的一条正常的、光滑的、几何连通的曲线.本文推广了Milne关于X_K的Jacobian的Tate-Shafarevich群的阶与X_K的正则模型的Brauer群的阶之间关系的一个公式。因此，我们部分地回答了格罗滕迪克的一个问题。
2001-04-24 math.AG math.NT
Intermediate Jacobians and rationality over arbitrary fields
该研究建立任意域上几何有理三维簇的中间雅可比簇理论，证明域上两二次曲面的三维光滑完全交为k-有理等价于含k-定义直线，并得到首批在纯不可分扩张上有理但自身非k-有理的带k-点光滑射影簇例子。
2025-10-02 math.AG
Isogenous components of Jacobian surfaces
该研究针对亏格2曲线的雅可比簇，在不同自同构群、可约性参数及同源次数下，计数并分析椭圆分量的同源性，确定相关曲面，指出正特征下的结果可应用于密码学。
2026-10-27 math.AG
On behavior of conductors, Picard schemes, and Jacobian numbers of varieties over imperfect fields
设$X$是非完美域$K$上的正则几何整的簇.与特征$0$的情况不同，$X':=X\times_{\mathrm{Spec}\,K}\mathrm{Spec}\,K'$可以具有用于（必然不可分的）字段扩展$K'/K$的奇点。本文定义了$X'$的余维$1$点的局部环的新的不变量，并利用这些不变量计算了这类点的$δ$ -不变量（与亏格变化有关）和导体.作为推论，我们给出了Tate亏格变换定理和Patakfalvi-Waldron定理的改进。当$X$为曲线时，利用上述计算结果，证明了$X$的雅可比数是亏格变化的$2p/(p-1)$倍.在这种情况下，我们还涉及的结构的Picard计划的$X$与不变量的奇点的$X$。为了证明这种关系，我们给出了正特征域上代数的几何正规性的一个刻划。
2022-03-03 math.AG
Neron models and Compactified Picard schemes over the moduli stack of stable curves
我们证明了存在一些堆栈，表示在堆栈的稳定曲线，具有以下泛性质关于Néron模型的雅可比。对于每一个单参数稳定曲线族，具有正则全空间，其一般纤维的雅可比矩阵的Néron模型通过给定族的模映射同构于上述堆叠的基变化。我们还得到了一个堆栈紧化的普遍皮卡德计划，因此，几何意义上完成的Néron模型的雅可比矩阵的每个家庭如上所述。
2006-06-26 math.AG
A uniform quantitative Manin-Mumford theorem for curves over function fields
University of Illinois at Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）；Brown University（布朗大学）；Université de Caen–Normandie（卡昂-诺曼底大学）
本文提出一个关于函数域上曲线的统一定量Manin-Mumford定理，利用Zhang配对、算术Hodge指数定理和Elkies下界，证明了曲线在雅可比嵌入中的torsion点数量上限及Bogomolov型结果。
2026-01-25 math.AG math.NT
Non-simple abelian varieties in a family: geometric and analytic approaches
设$A_t$是由有理坐标$t$参数化的数域$k$上的一族阿贝尔簇，并假设$A_t$的类属纤维是几何单的.例如，我们可以将$A_t$作为某个多项式$f$的超椭圆曲线$y^2 = f(x)(x-t)$的雅可比矩阵。我们给出了在大多数$B$处高度为$t \in k$的数目的两个上界，使得纤维$A_t$是几何非简单的。一个界限来自算术几何，它表明这样的$t$只有1000个;但是人们几乎无法控制这个有限的数如何随着$f$的变化而变化。另一个来自解析数论的界限表明，几何非简单纤维的数量随着$B$的增长而缓慢增长;与算术界限相比，这个界限是有效的，并且在$f$的系数中是一致的。我们希望，该文件，除了证明特定的定理，我们地址，将作为一个很好的例子，这两个互补的方法的优点和缺点。
2008-04-14 math.AG math.NT
Uniformity in Mordell-Lang for curves
考虑定义在次数为$d \ge 1$的数域上的亏格为$g \ge 2$的光滑、几何不可约的射影曲线。根据Mordell猜想，它至多有1000个有理点。我们证明了有理点的数目是有界的，只有在$g$，$d$，和Mordell-Weil秩曲线的雅可比矩阵，从而回答了肯定的问题马祖尔。此外，我们还得到了Abel-Jacobi映射象中Jacobian的几何扭点个数在$g$和$d$中的一致有界性.这两个估计推广了我们以前的工作$1$参数的家庭。我们的证明使用Vojta的方法来证明Mordell猜想，关键的新成分是由于第二和第三名作者的高度不等式的推广。
2021-03-31 math.AG math.NT
Curve arrangements, pencils, and Jacobian syzygies
设$\mathcal C :f=0$是复射影平面中的曲线排列。如果$\mathcal C$包含一个曲线子排列组成的至少三个成员在一个铅笔，然后得到一个明确的合点之间的偏导数的齐次多项式$f$。在许多情况下，这一观察结果将关于$\mathcal C$的自由度或近似自由度的问题简化为Tjurina数的简单计算。Terao猜想的一些后果的情况下，线的安排也进行了讨论，以及一些补充几何构造的自由曲线的非球面性。我们还表明，任何线安排是一个自由的，$K(π,1)$线安排的子安排。
2016-02-08 math.AC math.AG math.CO
Counting points on varieties over finite fields of small characteristic
本文提出了一种确定性的多项式时间算法，用于计算小特征的有限域上任意固定维数的zeta函数。这一结果的一个结果是一个有效的方法来计算组的有理点的阶的光滑几何连通的射影曲线的雅可比矩阵上的有限域的小特征。
2006-12-06 math.AG math.NT
Rational points on algebraic curves in infinite towers of number fields
研究了$>1$亏格的代数曲线的Iwasawa理论中的一个自然问题.固定一个素数$p$。设$X$是定义在亏格为$g>1$的数域$K$上的光滑的、射影的、几何不可约的曲线，使得$X$的Jacobian在$p$以上的素数处具有良好的普通约化.固定一个奇素数$p$，对于任何整数$n>1$，令$K_n^{(p)}$表示包含在$K(μ_{p^{\infty}})$中的$K$的次数- $p^n$扩展。我们证明了$\#X(K_n^{(p)})$作为$n\rightarrow \infty$增长的明确结果。当$X$的Jacobian秩为零且对应的广义Galois表示有大像时，证明了对所有的$n$都有$X(K_{n}^{(p)})=X(K)$的显式条件.通过实例说明了这一条件。我们还证明了一个推广的Imai的定理，适用于交换品种在任意亲$p$扩展。
2022-03-26 math.AG math.NT
Rational points on solvable curves over $\mathbb{Q}$ via non-abelian Chabauty
研究了$\mathbb{Q}$上定义的亏格至少为2的光滑射影曲线的Selmer簇，这些曲线在CM Jacobian下几何占优.我们推广了Coates和Kim的一个结果，证明了Kim的非阿贝尔Chabauty方法适用于这样的曲线。结合Bogomolov-Tschinkel和Poonen关于非分歧对应的结果，我们推导出$\mathbf{P}^1$上任何具有可解伽罗瓦群的覆盖，特别是$\mathbb{Q}$上的任何超椭圆曲线，在$\mathbb{Q}$上只有1000个有理点.
2022-08-14 math.AG math.NT
Covers of curves, Ceresa cycles, and Unlikely intersections
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；University of Maine（缅因大学）；University of California, San Diego（加利福尼亚大学圣地亚哥分校）；Boston University（波士顿大学）
研究通过将Ceresa环与雅可比群中的点关联，证明了非常一般的分叉覆盖曲线的Ceresa环在雅可比群中非 torsion，并给出了具体例子。
2026-03-02 math.AG math.NT
(Non-)Extendability of Abel-Jacobi Maps
研究阿贝尔 - 雅可比映射的“自然”定义轨迹，表明对于恰当几何约化曲线\(C\)，其从光滑轨迹\(C^{sm}\)到雅可比簇的映射，除特定情况外不扩展到更大曲线，由此得出该映射在特定情况外有闭像，对非\(\mathbb{P}^1\)不可约曲线是闭嵌入。
2026-07-21 math.AG
Automorphisms of general modular curves
Sapienza University of Rome（罗马大学）；Università di Roma Tor Vergata（罗马第二大学）；Università degli Studi di Palermo（巴勒莫大学）
本文证明素数水平大于311的模曲线自同构均为模自同构，给出任意水平下计算模自同构的算法，并应用于LMFDB数据库。
2026-10-08 math.AG math.NT
Principal polarizations on products of abelian varieties over finite fields
本文改进并推广有限域上阿贝尔簇乘积主极化的已有结果，分析通常与超奇异阿贝尔簇乘积同源类中不可约主极化缺失的原因，并给出几何单阿贝尔曲面与椭圆曲线情形的存在条件，证明相应阿贝尔三维簇或其二次扭曲为 Jacobian。
2025-02-20 math.AG
Galois actions on fundamental groups of curves and the cycle $C-C^-$
设C是定义在数域K上亏格g > 2的光滑、射影、几何连通曲线。设x是C的一个K-有理点.用p（C，x）表示相应复解析曲线的基本群的幂单完备化（在Q_ell上）的李代数。这是由G_K（伽罗瓦群K）和伽玛，映射类群的点复曲线。本文证明了C的雅可比矩阵中的代数圈C_x-C_x^-控制G_K在Aut p（C，x）中的象的大小。更确切地说，我们利用这个圈所确定的两个Galois上同调类，给出了G_K在Aut p（C，x）中的象的Zapriki闭包包含映射类群的象的充要条件.我们还证明了一个等价版本的亲ell基本群，一个unpointed版本，和伽罗瓦模拟的哈里斯-普尔特定理。
2003-06-02 math.AG math.NT
Bielliptic smooth plane curves and quadratic points
设$C_k$是整体域$k$上的一条光滑射影曲线，它既不是有理的也不是椭圆的。哈里斯-西尔弗曼，当$p=0$，和施韦策，当$p>0$连同一个额外的条件雅可比品种$\operatorname{Jac}(C_k)$所产生的莫德尔猜想，表明$C$有无限多个二次点在一些有限域扩展$L/k$内$\overline{k}$（一个固定的代数封闭$k$）当且仅当$C$是超椭圆或双椭圆。现在，令$C_k$是具有$p=0$或$p>(d-1)(d-2)+1$的固定次数$d\geq4$的光滑平面曲线（直到$\operatorname{Jac}(C_k)$具有正特性的额外条件）。然后，我们证明了$C_k$总是允许许多二次点，除非$d=4$。本文对不同层次的光滑双椭圆平面四次曲线，利用它们的自同构群，给出了一个所谓的\emph{geometrically complete families}。有趣的是，（用一种非常简单的方法）证明了一个定数域$k$的二次扩张$k(\sqrt{D})$只有1000个，在其中我们可以得到次数为$d\geq5$的Fermat方程和Klein方程的更多解; $X^d+Y^d-Z^d=0$和$X^{d-1}Y+Y^{d-1}Z+Z^{d-1}X=0$的活性高于$k$（这同样适用于$k$上的任何非奇异投影平面方程的次数$d\geq 5$，并且通常也适用于在对$\operatorname{J…
2018-05-08 math.AG math.NT
Lie weights for CM curves and unipotent Selmer dimensions
School of Mathematics, University of Edinburgh（爱丁堡大学数学学院）
该研究针对几何CM雅可比的亏格≥2的Q上光滑射影曲线，证明了Bloch-Kato Selmer概形的维数不等式，回答了Kim猜想的特殊情形，核心方法基于Iwasawa理论与特征重数界估。
2026-10-22 math.AG math.NT
Curve classes on conic bundle threefolds and applications to rationality
研究几何有理曲面上圆锥丛三维流形的曲线类结构，构造Galois等变同态推广Beauville结果，并应用于精细中间Jacobian挠子(IJT)有理性阻碍，证明在低算术复杂度基域下IJT可刻画有理性。
2023-07-21 math.AG
Zero-cycles on quasi-projective surfaces over $p$-adic fields
University of Virginia（弗吉尼亚大学）；University of California Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
本文通过研究开子簇的 Suslin 奇异同调，证明了 Colliot-Thélène 猜想对由曲线乘积几何支配的曲面成立。
2026-05-26 math.AG
Cup products on curves over finite fields
该研究针对有限域上的光滑射影几何不可约曲线，计算了两类平展上同调群元素的上积，明确了代数闭包下上积与Weil配对的关联，以及基域上因取值群不同带来的微妙差异。
2024-09-14 math.AG
