Labeled Interleaving Distance for Reeb Graphs
本文定义带标签 Reeb 图的交织距离，证明普通交织距离等价于所有标签下的最小值，给出轮廓树计算算法，并证明无标签 Reeb 图的普通交织距离非内蕴。
2023-06-01 cs.CG cs.DS math.AT
Strong Equivalence of the Interleaving and Functional Distortion Metrics for Reeb Graphs
Reeb图是通过实值函数的透镜来研究拓扑空间的构造。它已被广泛应用于应用程序中，但它的使用实际数据意味着它是可取的，越来越有必要有比较的Reeb图的方法。最近，已经提出了几种方法来定义度量的空间上的Reeb图。在本文中，我们重点讨论了两个：函数失真距离和交织距离。前者是基于Gromov-Hausdorff距离，而后者利用Reeb图和一类特殊的共层之间的等价性。然而，两者都是通过在研究的两个图之间构造近同构来定义的。本文证明了这两个度量在Reeb图空间上是强等价的。特别是，这给出了一个直接的证明的瓶颈稳定性持久图的Reeb图交织距离。
2014-12-20 cs.CG math.AT
Stability and Approximations for Decorated Reeb Spaces
本文提出了多种变体的装饰Reeb空间，证明了其Gromov-Hausdorff稳定性，并基于有限样本近似开发了应用于点云数据的计算框架。
2024-03-20 cs.CG math.AT math.MG
Convergence between Categorical Representations of Reeb Space and Mapper
Reeb空间是Reeb图概念的推广，是拓扑数据分析和可视化中为数不多的适用于多元科学数据集研究的工具之一。首先由Edelsbrunner等人提出，它压缩多变量映射的水平集的分量，并获得它们的关系的概要表示。一个相关的结构称为映射器，和一个特殊的情况下，映射器结构称为联合轮廓网已被证明是有效的可视化分析。Mapper和JCN被直观地认为是Reeb空间的离散近似，但没有正式的证明或近似保证。Dey等人提出了一个悬而未决的问题，即映射器构造是否在极限上收敛到Reeb空间。在本文中，我们有兴趣发展的Reeb空间和它的离散近似之间的关系的理论理解，以支持其在实际数据分析中的使用。利用范畴论的工具，我们正式证明了Reeb空间和映射之间的收敛性，在它们的范畴表示之间的交错距离。给定一个序列的细化离散化，我们证明了这些近似收敛到Reeb空间的交错距离，这也有助于量化的近似质量的离散化在一个固定的分辨率。
2016-04-12 cs.CG math.AT
Multimapper: Data Density Sensitive Topological Visualization
Mapper是一种算法，它总结了数据集中包含的拓扑信息，并提供了有见地的可视化。它以一个可能是高维的点云作为输入，在它上面有一个过滤函数，在函数的范围上有一个开覆盖。它返回盖的拉回的神经单纯复形。映射器可以被认为是称为Reeb空间的拓扑构造的离散逼近，如[Carriere等人，2018年]。尽管它在各个领域取得了成功，例如在[Kamruzzaman等人，Mapper是一种需要大量参数调优的自组织技术。也没有量化所得到的可视化的良好性的措施，这在实践中经常偏离Reeb空间。在本文中，我们介绍了一种新的覆盖选择方案的数据，减少了模糊的拓扑信息在计算和可视化步骤。为了实现这一点，我们取代全球规模选择覆盖的规模选择方案敏感的数据点的局部密度。我们还提出了一种方法来检测一些偏差映射从Reeb空间通过计算持久性功能映射图。
2019-03-10 math.AT physics.data-an
Section complexes of simplicial height functions
本文发展了单纯形高度函数的截面理论。在这个理论的核心是部分复杂，这是组装从更高的部分空间。后者以组合的方式对沿着高度的流线及其同伦进行编码。截面复形有一个相关的谱序列，它计算高度函数域的同调。我们从谱序列中提取Reeb复合物。这些提供了同源生成器如何沿着高度水平流动的一阶近似。我们的理论特别是模型的拓扑截面空间的分段线性函数在一个完全组合的方式。
2022-01-29 math.AT
Measuring Distance between Reeb Graphs
几何和拓扑数据分析中的一个流行思想是提供描述符，该描述符对来自观察数据的关于隐藏对象的有用信息进行编码。Reeb图是给定标量函数的一个这样的描述符。Reeb图提供了输入域的简单而有意义的抽象，并且也可以有效地计算。考虑到Reeb图在应用中的流行程度，重要的是要了解其相对于输入函数变化的稳定性和鲁棒性，以及能够比较由不同函数产生的Reeb图。在本文中，我们提出了一个度量Reeb图，称为功能失真距离。在此距离测度下，Reeb图对输入函数的微小变化是稳定的。同时，它在区分输入函数时仍然具有区分性。特别是，主要的结果是，两个Reeb图之间的功能失真距离是有界的从下面的（因此更具歧视性）的瓶颈之间的距离，普通和扩展持久性图适当的尺寸。作为结果的应用，我们分析了Reeb图的一种自然简化方案，并证明了Reeb图的持久特征在简化下仍然是持久的。理解简化下Reeb图的重要特征的稳定性本身就是一个有趣的问题，对Reeb图的实际应用至关重要。
2016-09-28 cs.CG math.AT math.MG
New observations on cohomology rings of Reeb spaces of explicit fold maps and manifolds admitting these maps
Morse函数及其高维形式或折叠映射的理论及其在流形的代数拓扑和微分拓扑中的应用，作为流形的代数拓扑和微分拓扑的一个分支，是一个基础、重要和有趣的问题。本文研究了折叠映射和同调群及其Reeb空间的上同调环的显式构造：它们被定义为映射的原像的所有连通分支的空间，并在适当的情况下继承了流形的同调群和上同调环等拓扑信息。显式构造的地图是一个基本的和困难的任务，即使在流形，这是不那么复杂。作者系统地构造了Reeb空间的显式折叠映射，并计算了Reeb空间的同调群和上同调环。本文涉及这一任务的新的意见。
2020-05-22 math.AT math.KT
Branched surfaces homeomorphic to Reeb spaces of simple fold maps
分支曲面类是曲面类或二维流形类的扩展，它们满足适当的性质并以各种方式定义。适当类光滑映射到余维数为负的曲面的Reeb空间被认为是分支曲面。它们是原像的所有连通分支的空间和域的流形的自然商空间。它们是对一般光滑映射和微分拓扑中的重要拓扑对象定义的。它们在数学的应用或应用中也发挥着重要作用，例如数据分析和可视化中的投影。本文研究了分支曲面的全局拓扑，并通过基本运算构造了从分支曲面到目标曲面的正则映射.这类导出映射将紧致曲面的光滑浸入类推广到无边界曲面。它也被认为是一类所谓的通用光滑映射之间的这些表面的变体。我们研究所谓的“地理”，这样的地图作为一个自然的，重要的和新的研究，并研究全球的拓扑性质的分支表面，如嵌入到$3$维封闭和连通流形。
2022-08-13 math.AT math.GN math.GT
Regularity via Links and Stein Factorization
本文利用链环限制为组合流形上的 PL 函数提出新的正则点定义，并证明其与已有定义不同，进而将 Jacobi 集、Reeb 空间及目标空间分层，证明斯坦因分解是分层空间映射。
2023-08-04 cs.CG math.AT math.GT
Simplicial and combinatorial versions of higher symmetric topological complexity
本文引入了单纯复形$K$的高对称单纯复杂性$SC_n^Σ(K)$和有限偏序集$P$的高对称组合复杂性$CC_n^Σ(P)$.这些是Basabe - González - Rudyak - Tamaki对称运动规划的简单和组合方法。证明了对称单纯复杂性$SC_n^Σ(K)$等于$K$的几何实现的对称拓扑复杂性$TC_n^Σ(|K|)$，对称组合复杂性$CC_n^Σ(P)$等于$P$的序复形的几何实现的对称拓扑复杂性$TC_n^Σ(|\mathcal{K}(P)|)$.
2021-04-07 math.AT
Combinatorial Invariants of Multidimensional Topological Network Data
代数拓扑在点云数据分析中的现代应用激发了对组合团复形--组合图的高维扩展--的积极研究。我们表明，这种空间的有意义的不变量反映在相关的线性拟阵族的组合性质，并讨论拟阵理论的方法来计算拓扑中的几个问题。我们的研究结果使我们能够获得随机点云数据，我们讨论了几个抽样分布在$\mathbb{R}^2$和$\mathbb{R}^3$的相关结构的汇总统计量的估计。
2014-10-28 math.AT
A Finite Equivariant Generalization of Motion Planning and Topological Complexity
本文研究了有限等变集上的拓扑复杂性。本文首先定义并研究了有限拓扑空间中Tanaka组合复杂性的等变形式。我们探讨这个不变量和其他几个已经在文献中讨论的关系：法伯的拓扑复杂性，田中的组合复杂性，和科尔曼-格兰特的等变Lusternik-Schnirelmann类别。我们发现界限等变组合的复杂性和必要的长度等变组合运动规划。我们证明了任何有限$G$ -空间的等变拓扑复杂性等于它的等变组合复杂性。然后，我们适应冈萨雷斯的单纯复杂性有序和无序的$G$ -单纯复形，并探讨其第一属性。最后，我们证明了任何有序$G$ -单纯复形的实现的等变拓扑复杂性等于等变单纯复杂性。
2022-01-10 math.AT
Statistical analysis of Mapper for stochastic and multivariate filters
Reeb空间及其离散化版本（称为映射器）是拓扑数据分析中常用的描述符，在计算生物学和数据可视化等各个科学领域都有大量应用。Mapper收敛到Reeb空间的收敛速率的稳定性和量化在最近的工作中已经研究了很多[BBMW 19，CO 17，CMO 18，MW 16]，重点是标量值滤波器用于Mapper计算的情况。另一方面，在多元情况下，当滤波器的余域是$\mathbb{R}^p$时，以及在一般情况下，当它是一般度量空间$(Z, d_Z)$而不是$\mathbb{R}$时，已知的要少得多。在此设置中可用的少数结果[DMW 17，MW 16]只能处理连续拓扑空间，不能用于表示数据的有限度量空间，如点云和距离矩阵。在这篇文章中，我们介绍了一个通常的映射构造的轻微修改，我们给出了风险界估计的Reeb空间使用此估计。我们的方法特别适用于用于计算Mapper的过滤函数也是从数据中估计的设置，例如PCA的特征函数。我们的结果是关于Gromov-Hausdorff距离的，使用[DMW 17]中定义的映射器和Reeb空间的特定基于过滤器的伪度量计算。最后，我们提供了这种设置在统计和机器学习中的应用，用于不同类型的目标过滤器，以及证明我们方法相关性的数值实验
2021-01-15 cs.CG math.AT stat.ME
Probabilistic Convergence and Stability of Random Mapper Graphs
IST Austria（奥地利科学技术学院）；Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）；Michigan State University（密歇根州立大学）；University of Utah（犹他大学）
研究随机映射图与拓扑空间Reeb图的概率收敛性，提出增强映射图并证明其在概率密度下近似Reeb图，结合可构造余sheaf理论与核密度估计方法。
2020-08-14 cs.CG math.AT math.PR
A combinatorial description of topological complexity for finite spaces
本文给出了有限空间拓扑复杂性的一个组合模拟。我们证明了这与原来的有限空间的真正的拓扑复杂性相吻合，并构成了其序复形的拓扑复杂性的上界。
2019-03-21 math.AT math.CO
A combinatorial characterization of Hurewicz cofibrations between finite topological spaces
刻画了有限拓扑空间之间的Hurewicz上纤维化，即有限拓扑空间之间的连续函数关于所有拓扑空间具有同伦扩张性质.特别地，我们证明了连通非空有限拓扑空间之间的上纤维化是同伦等价。由于我们的特征，我们得到一个简单的算法，能够确定是否一个给定的连续函数之间的有限拓扑空间是一个上纤维化。
2018-02-27 math.AT math.CO
A combinatorial approach to certain topological spaces based on minimum complement S-approximation spaces
S-近似空间是一种新的方法来研究系统的不确定性，不能表达的包含关系。在这项工作中，我们进一步研究了这些空间，主要是从拓扑的角度来看，通过组合的方法。这项工作还确定了这些近似空间的子类，称为$S_\mathcal{MC}$ -近似。研究了这一子类的拓扑性质，最后列举了由$S_\mathcal{MC}$ -逼近所形成的拓扑直到同胚。
2016-02-02 cs.DM math.AT
Generalizing Eulerian Numbers via Semipermutations: Topological and Combinatorial Aspects
Università di Pisa（比萨大学）；Scuola Normale Superiore（意大利高等师范学院）
本文通过半排列与对称群的双射关系，推广欧拉数并探讨其拓扑与组合特性。
2026-09-29 math.AT math.CO
Conley-Morse-Forman theory for generalized combinatorial multivector fields on finite topological spaces
该研究推广拓展了组合多向量场的Conley-Morse-Forman理论，去掉多向量唯一极大元假设，将场景从Lefschetz复形拓展到有限拓扑空间，定义了相关概念并证明了Conley指标可加性与Morse不等式。
2020-07-03 math.AT math.CO math.DS
Combinatorial cell complexes and Poincare duality
定义并研究了一类有限拓扑空间，它模拟了沿全等面胶合多个欧氏凸多面体胞元所得到的空间的胞元结构。我们称这些有限拓扑空间为组合胞腔复形（或c.c.c）。我们定义定向性，同源性和上同调的c.c. c的和发展足够的代数拓扑在此设置证明庞加莱对偶定理的c.c. c满足适当的正则性条件。定义和证明是完全有限的和组合的性质。
2008-07-25 math.AT math.CO
Framed combinatorial topology
框架组合拓扑是一种新的理论，描述了分层拓扑、奇点理论和高等代数的交叉点上出现的组合现象。该理论综合了经典的组合拓扑的元素与一个新的组合框架的方法。由此产生的框架组合空间的概念有出乎意料的好行为相比，经典的，nonframed组合空间的概念。在讨论这种行为及其与经典结构的对比时，我们强调两个广泛的主题，组合拓扑学中的可计算性和拓扑现象的组合性。可计算性的第一个主题涉及某些组合结构是否可以通过算法识别和分类。可组合性的第二个主题涉及某些拓扑结构是否可以被离散结构忠实地表示。结合这些主题，我们会发现，在框架组合拓扑的背景下，我们可以克服一组基本的经典障碍，拓扑现象的可计算组合表示。
2021-12-29 math.AT math.CO math.GT
Combinatorial and Topological Aspects of Path Posets, and Multipath Cohomology
本文研究路径偏序集的组合性质，提出多路上同调的无圈性准则与有向线性图上同调群计算，并探讨其作为单纯复形面偏序集的可实现性。
2022-10-31 math.AT math.CO math.GN
Connection matrices in combinatorial topological dynamics
连接矩阵是一个中心工具，在康利的方法来研究动力系统，因为他们提供的信息存在的连接轨道的莫尔斯分解。它们可以被认为是莫尔斯理论中莫尔斯复形中边界算子的推广。它们的可计算性最近已经解决了哈克，Mischaikow，和Spendlove的背景下，晶格过滤链复形。在本文中，我们扩展了最近推出的康利理论的组合向量和多向量场的Lefschetz复杂的概念转移到这个设置的连接矩阵。这是由任意偏序集过滤链复形的连接矩阵的概念，以及相关的等价，它允许在底层偏序集的变化。我们证明了对于Forman意义下的梯度组合向量场的特殊情形，连接矩阵必然是唯一的.因此，经典的结果Reineck有一个自然的模拟组合设置。
2023-03-07 math.AT math.CO math.DS
Effective Topological Degree Computation Based on Interval Arithmetic
本文描述了一种计算拓扑度deg（f，B，0）的新算法，其中B \subseteq Rn是闭实区间的乘积，f：B \rightarrow Rn是以算术表达式形式给出的实值连续函数.该算法将数值计算与组合计算完全分离。基于此，数值部分仅可证明地计算对于随后的组合部分严格必要的信息，并且组合部分可以基于之前计算的数值信息来优化其计算。我们还提出了计算实验的基础上实现的算法。此外，与以前的工作相比，该算法不假设知识的Lipschitz常数的函数f，并适用于任意连续函数的区间算术的一些概念可以定义。
2014-02-17 cs.CG math.AT
A multivariate arithmetic function of combinatorial and topological significance
我们研究了多元函数$E(m_1,m_2,...,m_r)$的性质，称为{ \it orbicycle}，它出现在计数组合数学中，用于计数可定向曲面上的非同构映射.证明了$E(m_1,m_2,...,m_r)$是乘性的，并给出了一个简单的计算公式。证明了该函数为零的充要条件等价于人们熟悉的刻画Riemann曲面的有限循环自同构群的可能分支数据的Harvey条件.
2009-11-27 math.AT math.CO math.NT
Topological Deep Learning: Going Beyond Graph Data
IBM（国际商业机器公司）
本文提出基于组合复形的统一深度学习框架，开发消息传递组合复形神经网络，并在网格形状分析与图学习任务中验证其竞争力，证明引入高阶关系的优势。
2023-05-19 cs.CV cs.LG cs.SI
Conley-Morse-Forman theory for combinatorial multivector fields
Jagiellonian University（雅盖隆大学）
本文提出组合多矢量场，研究其拓扑特征，扩展了Forman的组合矢量场，定义了孤立不变集、Conley指数、吸引子、排斥子和Morse分解，并证明了Morse不等式，旨在通过组合化流和采样动态分析动力系统。
2016-05-21 cs.NA math.AT math.CO
