Stability and Approximations for Decorated Reeb Spaces
本文提出了多种变体的装饰Reeb空间，证明了其Gromov-Hausdorff稳定性，并基于有限样本近似开发了应用于点云数据的计算框架。
2024-03-20 cs.CG math.AT math.MG
Learning Simplicial Complexes from Persistence Diagrams
拓扑数据分析（TDA）研究数据的形状。一个常见的拓扑描述符是持久性图，它以不同的尺度编码拓扑空间中的拓扑特征。特纳、慕克吉和博耶证明，可以利用从所有可能的高度过滤（不可数的无限个方向）生成的持久性图来重建嵌入R^3中的单纯复形。本文提出了一个在R^2中重构平面图K=（V，E）的算法，即一个平面图的顶点在一般位置和直线嵌入，从二次数高度过滤和它们各自的持久性图。
2018-07-31 cs.CG math.AT
Efficient Algorithms for Complexes of Persistence Modules with Applications
本文扩展持久性算法至非自由模复形，通过表示与高效算法计算同调，应用于单纯形塔及持久层，实现高效持久（上）同调计算。
2024-03-16 cs.CG math.AC math.AT
Critical edges in Rips complexes and persistence
本文研究紧致度量空间开Rips滤流的持久同调，证明零维持久性下降与一维持久性增加由距离函数局部极小值及特定临界边引起，发展了临界边理论并给出秩上界与重构结果。
2023-04-11 math.AT math.GT math.MG
Efficient Computation of Image Persistence
我们提出了一个算法，用于计算的图像的条形码的一个态射在持久的同源性所导致的过滤有限维链复形的包含。这些算法利用了清除优化，并可应用于单纯复形对过滤的持久绝对同调和持久相对上同调的包含诱导映射.它们构成了我们在软件Ripser框架中实现Vietoris-Rips复合体的基础。
2022-01-11 cs.CG math.AT
Discrete Morse Theory for Computing Zigzag Persistence
我们引入了一个理论和计算框架，使用离散Morse理论作为一个有效的预处理，以计算曲折持久同源。从复形$(K_i)$的Z字形滤子出发，引入了Z字形Morse滤子，其复形$(A_i)$是原复形$(K_i)$的Morse约化，并证明了它们具有相同的持久同调.这种锯齿形莫尔斯过滤概括了Mischaikow和Nanda的过滤莫尔斯复合体，定义为标准持久性。锯齿形莫尔斯过滤中的映射是向前和向后包含，这是锯齿形持续性中的标准映射，也是一种新型映射，它会导致莫尔斯复形边界算子的非平凡变化。我们详细研究了这最后一个映射，并设计了算法来计算更新时，在复杂的水平和在同源矩阵的水平计算锯齿持久性。我们推导出一个算法来计算锯齿形持久性的过滤，主要取决于复杂的关键细胞的数量，并通过实验表明，它在实践中表现得更好。
2019-07-11 cs.CG math.AT
Maximal persistence in random clique complexes
本文研究了Erdens-Rényi随机团复滤子在$n$顶点上的持久同调.这里，每个边$e$在间隔中随机均匀选择的时间$p_e \in [0,1]$出现，并且周期$σ$的\emph{persistence}被定义为$p_2 / p_1$，其中$p_1$和$p_2$分别是周期的出生和死亡时间。我们发现，对于固定的$k \ge 1$，具有高概率的最大持久性的$k$ -循环的顺序大致为$n^{1/k(k+1)}$。这些结果是在鲜明的对比与随机几何设置Bobrowski，Kahle和Skraba早期的工作表明，随机Čech和Vietoris-里普斯过滤，最大持久性的$k$ -周期要小得多，顺序$\left(\log n / \log \log n \right)^{1/k}$。
2022-09-13 math.AT math.CO math.PR
From Frames to Features: Scalable Zigzag Persistence for Binary Video
Durham University（杜伦大学）
提出一种直接从连通分量动力学提取H0和H1条形码的方法，通过图编码避免立方复形构造，利用Dey-Hou近线性时间算法实现4k视频实时分析。
2026-06-29 math.AT
Convolution of Persistence Modules
本文研究了实值多参数持久模的层和余层。利用最近关于持久化模块的同调代数的工作，我们在持久化模块的导出复形之间定义了两种不同的卷积运算。我们证明了这些操作之一是规范同构的分次模的张量积。我们给出计算单参数区间可分解模之间卷积的公式。我们的卷积运算类似于Schapira和Kashiwara介绍的$\mathbb{R}^n$上可构造层的导出复体的卷积。在我们的设置中，$\mathbb{R}^n$具有非标准拓扑。我们证明了我们的卷积运算满足类似于具有标准拓扑的$\mathbb{R}^n$上可构造层的卷积的性质。我们定义了一个卷积距离衍生复合物的持久性模块，并表明它扩展了经典的交织距离。我们还证明了稳定的结果从层和cosheaf的观点。
2020-11-07 math.AT math.CT
Additive Partial Matchings Induced by Persistence Maps
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）
提出持续映射的新不变量，由定义域和值域持续图之间的部分匹配构成，该不变量对直和分解可加、比像不变量更具区分力，且可在三次时间内计算。
2026-06-16 math.AT math.RA
MuRiT: Efficient Computation of Pathwise Persistence Barcodes in Multi-Filtered Flag Complexes via Vietoris-Rips Transformations
多参数持久同源性自然出现在持久拓扑对数据的应用中，所述数据具有取决于附加参数的额外信息，例如时间序列数据。我们引入了Vietoris-Rips变换的概念，这种方法将多过滤标志复形中的路径子复形的单参数持久同调的计算减少到某些半度量空间的Vietoris-Rips持久同调的计算。相应的路径持久性条形码跟踪环境多重过滤复合物的持久性特征，并且特别可用于恢复多参数持久性同源性中的秩不变量。我们提出了MuRiT，一种可扩展的算法，通过Vietoris-Rips变换计算多过滤标志复合物的路径持久性条形码。此外，我们提供了一个有效的软件实现的MuRiT算法诉诸Ripser的Vietoris-Rips持久性条形码的实际计算。为了证明MuRiT对真实世界数据集的适用性，我们将MuRiT建立为CoVtRec管道的一部分，用于监测当前COVID-19大流行中冠状病毒SARS-CoV-2的收敛进化。
2022-07-07 cs.CG math.AT math.GT
The Persistent Homology of Dual Digital Image Constructions
研究灰度数字图像的两种立方复形构造的持续同调差异，通过对偶滤过胞腔复形理论推导出转换方法，使软件无需额外低级代码即可支持两种构造。
2021-02-22 math.AT
Invariants for tame parametrised chain complexes
我们为基于链复形层次同伦方法的拓扑数据分析（TDA）奠定了基础。我们提出了驯服参数化链复形作为一个全面的环境，包括几种情况下，通常TDA单独处理，如持久化模块，锯齿形模块，和交换梯子的类别。我们提取新的不变量在这一类中使用的模型结构和各种最小的相关近似。这样的近似和它们的不变量保留了它们近似的对象的一些拓扑方面，而不仅仅是同调方面。
2020-11-16 math.AT
Persistence Minimal Free Lie Model
本文融合有理同伦论与持续模块，提出持续极小 Quillen 模型并证明其稳定性，为拓扑数据分析提供比直接计算滤流同调群更精细的代数框架。
2025-05-13 math.AT
Algebraic Stability of Zigzag Persistence Modules
持久同调的稳定性定理是拓扑数据分析中的一个重要结果。虽然结果的原始公式涉及$\mathbb{R}$值函数的持久性条形码，但结果后来被转换为更一般的代数形式，即\emph{persistence modules}和\emph{interleavings}的语言。在本文中，我们建立了一个类似的zigzag持久模的代数稳定性定理。为了做到这一点，我们功能性地扩展每个锯齿持久化模块的二维持久化模块，并建立这些扩展的代数稳定性定理。我们的论点的一部分产生了一个稳定的结果，自由的二维持久化模块。作为主要定理的应用，我们加强了Bauer等人关于Reeb图的持久同调的稳定性的一个结果。我们的主要结果也产生了另一种证明的水平集持久同调的稳定性定理的Carlsson等人。
2017-04-06 cs.CG math.AC math.AT
Extremal Betti Numbers and Persistence in Flag Complexes
研究旗复形过滤中极值Betti数与持续性，证明Turán图达到最大Betti数，构造逐边过滤实现最大区间数与总持续性，并给出相关猜想。
2025-02-28 math.AT math.CO math.OC
Topological Analysis of Nerves, Reeb Spaces, Mappers, and Multiscale Mappers
数据分析往往不仅涉及数据来自的空间，而且还涉及数据所附带的各种类型的地图。近年来，一些相关的结构已被用于研究数据映射，包括Reeb空间，映射器和多尺度映射器。这些结构的构建还依赖于所谓的\emph{nerve}的一个覆盖域。在本文中，我们的目标是分析这些结构中编码的拓扑信息，以提供更好的理解这些结构，并促进其实际应用。更具体地说，我们表明，一维同源性的神经复合体$N(\mathcal{U})$的路径连接覆盖$\mathcal{U}$域$X$不能比域$X$本身丰富。直观地说，该结果意味着在从$X$到神经复合体$N(\mathcal{U})$的自然映射下不能“创建”新的$H_1$ -同源类。装备$X$与一个pseudometric $d$，我们进一步完善这一结果，并描述类的$H_1(X)$可能存在于神经复合体中使用的概念\emph{size}的覆盖元素在$\mathcal{U}$。这些基本结果的神经复合体，然后导致的$H_1$ -Reeb空间，映射器和多尺度映射器的同源性的分析。不幸的是，对$H_1$ -同源群的分析没有扩展到更高的维度。然而，通过使用映射诱导度量，建立映射器和域之间的Gromov-Hausdorff收敛结果，并交织相关模块，我们仍然可以分析（多尺度）映射器的持久同调群，以建立与Reeb空间的连接。
2017-03-21 cs.CG math.AT
Convolutional Persistence Transforms
Duke University（杜克大学）；Geometric Data Analytics（几何数据分析公司）
本文提出卷积持续性框架，将滤波卷积与持续同调结合以表征单纯复形数据，并证明其单射性、稳定性与计算优势，实验显示其显著提升分类性能。
2024-01-25 cs.LG math.AT
Distributed Persistent Homology for 2D Alpha Complexes
本文提出面向二维 alpha 复形的分布式持续同调算法，通过网格覆盖与 Mayer-Vietoris 谱序列实现并行计算，并给出 C++/Open MPI 实现和实验验证。
2024-03-01 math.AT
Approximations of 1-Dimensional Intrinsic Persistence of Geodesic Spaces and Their Stability
近似或离散度量空间的标准方法是取它的Rips复形。这些对所有参数的近似常常被结合在一起成为一个滤子，我们对它应用基本群或第一同调。我们称之为对象持久性。最近的结果表明，紧致测地线局部可缩空间$X$的持久性携带了大量的几何信息。然而，根据定义，相应的Rips复形具有不可数的顶点。在本文中，我们表明，尽管如此，整个持久性的$X$可以通过一个适当的有限样本（子集的$X$），和持久性的任何子集的$X$是很好的交织与持久性的$X$。因此，$X$的持久性是由所有有限样本获得的持久性的最小值。此外，我们证明了一个大大改进的稳定性定理，这样的近似。作为特殊情况，我们为每个$r>0$提供密度$s>0$，使得对于每个$s$密集样本$S \subset X$，$S$的Rips复形的相应基本群（和第一同调）同构于$X$的一个，从而导致改进的重建结果。
2018-05-24 math.AT math.GT math.MG
Persistent sheaf cohomology
通过将持久性的概念应用于层上同调，我们扩展了计算拓扑学中（上）同调方法的工具箱。由于层（模的层）结合了拓扑信息和代数信息，它们允许沿着代数维度和沿着拓扑维度的变化。因此，我们介绍了两种不同的结构层上同调（上）持久模。其中之一可以看作是单纯或奇异上同调上持久模的构造的自然推广。我们讨论了这两种结构是如何相互关联的，并表明，在某些情况下，我们可以减少他们中的一个。此外，我们表明，我们可以结合这两种结构，以获得二维（共）持久性模块的拓扑和代数维度。我们还证明了一些经典的结果和方法从持久性理论可以推广到层。我们的结果为研究单纯复形滤子的持久上同调性开辟了一个新的视角。
2022-04-28 math.AT
Multimapper: Data Density Sensitive Topological Visualization
Mapper是一种算法，它总结了数据集中包含的拓扑信息，并提供了有见地的可视化。它以一个可能是高维的点云作为输入，在它上面有一个过滤函数，在函数的范围上有一个开覆盖。它返回盖的拉回的神经单纯复形。映射器可以被认为是称为Reeb空间的拓扑构造的离散逼近，如[Carriere等人，2018年]。尽管它在各个领域取得了成功，例如在[Kamruzzaman等人，Mapper是一种需要大量参数调优的自组织技术。也没有量化所得到的可视化的良好性的措施，这在实践中经常偏离Reeb空间。在本文中，我们介绍了一种新的覆盖选择方案的数据，减少了模糊的拓扑信息在计算和可视化步骤。为了实现这一点，我们取代全球规模选择覆盖的规模选择方案敏感的数据点的局部密度。我们还提出了一种方法来检测一些偏差映射从Reeb空间通过计算持久性功能映射图。
2019-03-10 math.AT physics.data-an
Latent Space Topology Evolution in Multilayer Perceptrons
Department of Applied Mathematics I, University of Sevilla（应用数学一系，塞维利亚大学）
本文提出基于单纯塔和双持续性分析的拓扑框架，用于解释多层感知机内部表示，并通过组合算法与轨迹可视化识别冗余层和关键拓扑转变。
2025-06-02 cs.LG math.AT
Computing Optimal Persistent Cycles for Levelset Zigzag on Manifold-like Complexes
针对PL函数诱导的持续同调，提出水平集持续环序列以刻画拓扑特征演化，并给出弱伪流形上计算最优环序列的多项式时间算法，实验证明其质量良好。
2025-02-27 cs.CG math.AT
Persistence modules: Algebra and algorithms
Carlsson和Zomorodian证明了具有阶化环$\kk[t]$中系数的阶化链复形的持续同调性。因此，持久模--$\kk[t]$上的分次模的行为是持久同调分析和计算中的一个重要部分。在本文中，我们提出了一些关于持久性模块的事实，从众所周知的，但未充分利用的重建技术工作在一个纯粹的代数方法持久同源。特别是，我们目前的结果给出了具体的算法来计算的持续同调的单纯复形的挠链复杂。
2013-02-15 cs.CG math.AT math.RT
Topological Data Analysis with Bregman Divergences
给定度量空间中的有限集，拓扑分析使用1-参数族的同调群来量化所有维度中的连通性，从而将层次聚类推广。连接性由持久性图来描述。当前框架的一个局限性是依赖于度量距离，而在许多实际应用中，对象是通过非度量相异性度量进行比较的。例如Kullback-Leibler分歧，通常用于比较文本和图像，以及Itakura-Saito分歧，流行于语音和声音。这是布雷格曼分歧的两个成员。我们表明，拓扑数据分析的框架可以扩展到一般的Bregman分歧，拓宽了可能的应用范围。特别是，我们证明了适当的广义切赫和Delaunay（α）复合捕捉正确的同伦类型，即相应的联盟的Bregman球。因此，他们的过滤给出了正确的持久性图，即由均匀增长的Bregman球产生的持久性图。此外，我们表明，与度量设置，过滤的Vietoris-Rips复杂的可能无法近似持久性图。我们提出了算法来计算因此广义的切赫，Vietoris-Rips和Delaunay复合物和实验测试其效率。最后，我们解释了他们令人惊讶的良好表现，使离散莫尔斯理论的连接。
2016-07-21 cs.CG math.AT
Algebraic and Topological Persistence
本论文探讨了拓扑空间与持久性理论的基础，利用代数拓扑工具证明切除定理及单纯与奇异同调的等价性，并规范发展了可三角剖分拓扑空间的持久同调与上同调理论。
2024-10-10 math.AT
Persistent Homology of Geospatial Data: A Case Study with Voting
分析持久同源性的关键步骤是将数据转换为适当的拓扑对象（在我们的例子中，是单纯复形）。现代的持久同源性软件包通常在点云上构造Vietoris-Rip或其他基于距离的单纯复形，因为它们相对容易计算。我们研究了替代方法构建这些复杂的和相关的选择在单纯复杂的建设持续同源算法的输出的影响。我们提出了两种新的方法，从二维地理空间数据（如地图）构建单纯形复合体。我们将这些方法应用于加州选区级投票数据集，证明我们的新结构可以捕获基于距离的结构所错过的几何特征。因此，我们的新构造可以为地理空间数据产生更多可解释的持久化模块和条形码。特别是，它们能够区分仅在很窄的距离尺度范围内出现的短持续性特征（例如，在人口稠密的城市中的投票行为）从短持久性噪声通过合并关于选区之间的其他空间关系的信息。
2019-09-16 cs.CG cs.SI math.AT
The fiber of multiparameter persistent homology for simplicial complexes
Mathematical Institute, University of Oxford（牛津大学数学研究所）；Max Planck Institute of Molecular Cell Biology and Genetics（马克斯·普朗克分子细胞生物学与遗传学研究所）；Centre for Systems Biology Dresden（德累斯顿系统生物学中心）；Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, University of Cambridge（剑桥大学牛顿数学科学研究所）
本文研究固定有限单纯复形上n-滤子的多参数持续同调逆问题，通过赋予相关空间分层结构证明MPH映射的性质，给出纤维维数上界并推广了已知单参数结果。
2026-08-06 math.AT
Algorithmic Reconstruction of the Fiber of Persistent Homology on Cell Complexes
设$K$是有限单纯形、三次、δ或CW复形。持久性映射$\mathrm{PH}$将过滤器$f:K \rightarrow \mathbb{R}$作为输入，并返回相关子水平集持久性同源模块的条形码$\mathrm{PH}(f)$。我们解决逆问题：给定目标条形码$D$，计算光纤$\mathrm{PH}^{-1}(D)$。为此，我们使用的事实，即$\mathrm{PH}^{-1}(D)$分解为复杂的多面体时，$K$是一个单纯的复杂，我们将这一结果推广到任意基链复合体。然后，我们设计并实现了深度优先搜索算法，恢复形成纤维的多面体$\mathrm{PH}^{-1}(D)$。作为一个应用程序，我们解决了语料库的120个样本的问题，提供了第一个洞察这些纤维的统计结构，一般CW复合物。
2021-10-27 cs.CG math.AT
The algebraic stability for persistent Laplacians
本文研究了持续 Laplacian 的稳定性，通过引入“Laplacian 树”概念并构建其范畴，建立了持续 Laplacian 树的代数稳定性定理，该定理适用于单纯复形和有向图上的实值函数。
2023-06-12 math.AT
Computing Generalized Ranks of Persistence Modules via Unfolding to Zigzag Modules
本研究针对一般P索引持久模广义秩计算缺乏可行边界定义的问题，提出将其展开为zigzag模再统计可折回完整区间数的方法，还得到d复形d次同调的高效算法。
2025-09-05 cs.CG math.AT
Filtration Simplification for Persistent Homology via Edge Contraction
持久同源性是一种流行的数据分析技术，用于捕获与某些单纯复体$K$相关的过滤的变化拓扑。这些拓扑变化总结在持久性图中。我们提出了两个收缩算子，当应用到$K$及其相关的过滤，约束的持久性图中的扰动。第一个假设$K$的基础空间是一个$2$ -流形，并确保单形与收缩复形中的相同单形配对。第二个是任意的$d$ -复合物，和边界之间的瓶颈距离的初始和收缩的$p$维持久性图。这是通过定义持久化模块之间的交错映射来实现的，这些映射来自于在过滤上定义的链映射。此外，我们还展示了第二个算子如何有效地跨越多个收缩组合。最后，我们的实验证明第二个运营商的效用流形。
2018-10-10 cs.CG math.AT
MMPersistence: A mathematical morphology-oriented software library for computing persistent homology on cubical complexes
National University of Kaohsiung（高雄大学）
MMPersistence库结合数学形态学与持续同调，用于提取数字图像的多尺度拓扑信息。
2026-02-17 cs.SE math.AT
Zigzag Persistence of Neural Responses to Time-Varying Stimuli
Area Science Park（地区科学园）；Department of Mathematics, Informatics and Geosciences University of Trieste（的里雅斯特大学数学、信息学和地球科学系）；SISSA（的里雅斯特高级研究学院）
该研究利用拓扑数据分析，通过锯齿形持续同调捕捉神经响应随时间变化的拓扑结构，验证了拓扑描述符在区分不同刺激神经响应中的可靠性。
2026-03-03 math.AT q-bio.NC
Approximating Local Homology from Samples
最近，局部同调的多尺度概念（持久同调的一种变体）已被用于研究点云样本中给定点周围空间的局部结构。目前的重建保证依赖于构建嵌入式复合物，这在高维中变得困难。我们表明，持久性图用于估计局部同源性，可以近似使用家庭的Vietoris-Rips复合物，其简单的结构是强大的在任何维度。据我们所知，我们的研究结果，第一次，使应用程序的基础上局部同源性，如分层学习，可行的高维。
2013-04-22 cs.CG math.AT
Computing Topological Persistence for Simplicial Maps
对于同态由包含映射诱导的持久模，持久同调和锯齿形持久同调的算法得到了很好的研究。在本文中，我们提出了一个实用的算法计算持久性下的$\mathbb{Z}_2$系数的一般单纯形映射序列，并显示这些地图自然出现在拓扑数据分析的一些应用。首先，我们观察到用包含映射来模拟单纯映射并不难，但不一定是单调的。这与已知的锯齿形持久性算法相结合，提供了一种算法，用于计算由单纯映射引起的持久性。我们的主要结果是，上述头脑简单的方法可以改进的序列的单纯形映射在单调方向。一个单纯映射可以分解成一组基本包含和顶点折叠-两个原子操作，可以有效地支持与单纯形注释的概念计算持久的同源性。通过这些原子操作的一致性注释意味着保持一致的上同调基，因此通过对偶保持同调基。虽然通过包含保持上同调基的想法并不新鲜，但通过顶点折叠保持它们是新的，这构成了模拟单纯映射的重要原子操作。注释除了支持通常的包含之外，还非常自然地支持顶点折叠。最后，我们展示了这个新工具的应用程序中，我们近似的持久性图的过滤的裂缝复杂的顶点崩溃是用来驯服的大小爆破。
2014-03-25 cs.CG math.AT
Dualities in Multiparameter Persistence
Technical University of Munich (TUM)（慕尼黑工业大学）；Munich Data Science Institute (MDSI)（慕尼黑数据科学研究所）；Munich Center for Machine Learning (MCML)（慕尼黑机器学习中心）；Institute of Mathematics, Technical University of Berlin（柏林工业大学数学研究所）；Department of Mathematics, SUNY Albany（纽约州立大学奥尔巴尼分校数学系）
本文研究多参数持续性的对偶性，提出点wise对偶和global对偶两种 functor，证明链复形的对偶关系，并通过长正合列和多格格罗滕迪克局部对偶性给出两种证明，为计算 Vietoris-Rips 双滤波的自由分解提供基础。
2026-03-18 math.AC math.AT
Vectorization of Persistence Diagrams for Topological Data Analysis in R and Python Using TDAvec Package
Bowling Green State University（博伊尔格林州立大学）
针对持久性图空间非希尔伯特特性难以直接用于机器学习的问题，本文推出TDAvec软件包，可在R和Python中实现持久性图向量化，提供直观工作流与高级功能，助力应用拓扑数据分析。
2025-10-22 cs.CV math.AT
Maximally Persistent Cycles in Random Geometric Complexes
我们首次研究了随机几何单纯复形的持久同调。我们的主要兴趣是在最大程度上持久循环的程度- $k$在持久的同源性，无论是\cech或Vietoris-里普斯过滤建立在一个统一的泊松过程的强度$n$在单位立方体$[0,1]^d$。这是测量随机点集中最大“$k$维孔”的自然方法。这个问题是在几何概率和代数拓扑学的交叉点，自然是由拓扑推理的概率观点。我们发现，对于所有的$d \ge 2$和$1 \le k \le d-1$的最大持续循环有（乘法）持久性顺序$$ Θ\left(\left(\frac{\log n}{\log \log n} \right)^{1/k} \right),$$与高概率，其增长率为$n \to \infty$。隐含常数取决于$k$、$d$，以及我们是否考虑Vietoris-Rip或\cech过滤。
2016-05-15 math.AT math.CO math.PR
Persistent Homology of Morse Decompositions in Combinatorial Dynamics
本文研究了单纯复形上的组合动力系统，它被认为是{ \em有限拓扑空间}。这样的系统以自然的方式从采样动态中产生，并且可以用于直接从样本重建动态的一些特征。我们研究的同调持久性{ \em莫尔斯分解}这样的系统，一个重要的描述符的动力学，作为一种工具，用于验证重建。我们的框架可以被看作是一个步骤，将经典的持久性理论扩展到“向量云”数据。我们提出了两个数值例子的实验结果。
2018-07-11 cs.CG math.AT math.DS
Computing Zigzag Persistence on Graphs in Near-Linear Time
在许多应用中，图形对真实世界的环境进行建模，在这些环境中，图形可能会不断变化，以捕捉现象的动态行为。拓扑持久性为拓扑特征提供了一组生灭对，是分析这种变化的图形数据的一种工具。然而，标准的持续同源性定义在一个不断增长的空间不能总是捕捉这样一个动态的过程，除非也允许与删除收缩。因此，锯齿形持久性，其中包括插入和删除的单形是更合适的，在这样的设置。不像标准的持久性，承认近线性时间算法的图形，这样的结果为之字形版本，提高一般$O(m^ω)$的时间复杂度是未知的，其中$ω< 2.37286$是矩阵乘法指数。在本文中，我们提出了算法的锯齿形持久的图运行在近线性时间。具体地说，给定在具有$n$顶点和边的图上进行$m$添加和删除的过滤，用于$0$维的算法在$O(m\log^2 n+m\log m)$时间内运行，并且用于1维的算法在$O(m\log^4 n)$时间内运行。$0$ -维的算法借鉴了另一种算法，该算法最初设计用于配对$2$ -流形上的Morse函数的临界点。$1$ -维的算法将负边缘与最早的正边缘配对，使得包含两个边缘的$1$ -循环驻留在所有中间图中。最后，利用Alexander对偶性，我们将$0$维的算法扩展到在$O(m\log^2 n+m\log m+n\log n)$时间内计算$\mathbb{R}^p$嵌入复合物的$(p-1)$维锯齿形持久性.
2021-03-12 cs.CG math.AT
Persistent Extension and Analogous Bars: Data-Induced Relations Between Persistence Barcodes
本文提出持久延拓和类比条形码两种计算同调代数方法，利用交叉不相似性度量与见证复形建立跨系统持久同调类之间的关系，用于比较样本间拓扑结构并判断聚类与降维是否保持拓扑。
2022-03-01 cs.CG math.AT
Universality in Random Persistent Homology and Scale-Invariant Functionals
本文证明了随机点过程几何滤过产生的持续图极限分布具有普适性，并提出尺度不变量泛函普适性的通用框架，同时给出随机几何复形中Morse理论的新结果。
2024-08-12 math.AT math.PR
Model comparison via simplicial complexes and persistent homology
在许多科学和技术背景下，我们对适当的数学模型的结构和细节只有很差的理解。因此，我们经常需要比较不同的模型。利用现有数据，我们可以使用正式的统计模型选择来比较和对比不同数学模型描述此类数据的能力。然而，缺乏严格的方法来比较不同的模型\emph{a priori}。在这里，我们开发和说明两个这样的方法，使我们能够比较模型的结构，在一个系统的方式{通过表示模型的单纯复形}。使用从单纯代数拓扑的发达的概念，我们定义了模型之间的距离的基础上，他们的单纯表示。采用具有平坦过滤的持久同源性提供了模型作为持久区间的替代表示，持久区间表示模型的结构，从中我们还可以获得模型之间的距离。然后，我们扩大了这种措施的模型距离研究的概念，模型等价，以确定模型的概念相似性。我们应用我们的模型比较的方法来证明一个位置信息模型和图灵模式模型从发育生物学之间的等价性，构成了一个新的观察两类模型，以前被认为是不相关的。
2021-09-16 math.AT q-bio.QM
Change Action Derivatives in Persistent Homology
本文提出了一种适用于 tame 滤波器的持续图/条形码计算方法，基于有限差分算术的范畴版本。
2025-11-24 math.AT math.CT
Stability and Machine Learning Applications of Persistent Homology Using the Delaunay-Rips Complex
在本文中，我们定义，实现，并调查单纯复杂的结构计算持久的同源性的欧几里得点云数据，我们称之为Delaunay-Rips复杂（DR）。通过将Vietoris-Rips权重转换为单纯形，DR通过仅考虑出现在点云的Delaunay三角剖分中的单纯形来体验持久性计算中的加速。我们的文档和比较的Python实现的DR与其他单纯复杂的结构生成持久性图。通过对点云数据施加充分条件，我们能够从理论上证明使用DR产生的持久性图的稳定性。当点云的Delaunay三角剖分在点的扰动下发生变化时，我们证明DR产生的持久性图表现出不稳定性。由于我们不能保证真实世界的数据将满足我们的稳定性条件，我们证明了持久同源性的DR的实际鲁棒性相比，其他单纯复杂的机器学习应用程序。我们发现，在我们的实验中，使用DR的ML-TDA管道执行比较好，使用其他单纯复杂的结构。
2023-03-02 math.AT stat.CO stat.ML
Approximating Persistent Homology in Euclidean Space Through Collapses
Čech复形是应用代数拓扑学中最广泛使用的工具之一。不幸的是，由于Čech过滤的包容性，单形的数量随着输入点的数量呈指数增长。一个实际的结果是，计算可能不得不终止在比应用程序所要求的更小的尺度上。在本文中，我们提出了两种方法来近似的Čech持久性模块。两者都是在空间的水平上构建的，即作为由神经诱导的单纯复形的序列。我们还展示了如何通过这些持久性模块在空间级别上的紧密程度来理解它们之间的瓶颈距离。反过来，这意味着我们的近似方法的正确性。最后，我们实现了我们的方法，并将其应用到欧几里得空间的一些例子点云。
2014-08-20 cs.CG math.AT
Differentially Private Topological Data Analysis
Purdue University（普渡大学）
本文研究差分隐私拓扑数据分析，分析持续图敏感度，提出基于 L1-DTM 与指数机制的私有化方法，并证明其误差近乎最优。
2023-11-03 cs.CG cs.CR cs.LG
Magnitude meets persistence. Homology theories for filtered simplicial sets
UCLA Mathematics Department（加州大学洛杉矶分校数学系）
本文探讨了幅度同调与持续同调在计算过滤简形集同调中的不同方法，通过研究有限度量空间的尺度变化，揭示两者在拓扑数据分析中的关联。
2021-08-24 math.AT
Persistent Mayer homology and persistent Mayer Laplacian
本文将Mayer同调与Mayer拉普拉斯算子引入持久化框架，提出持久Mayer同调和持久Mayer拉普拉斯算子，并通过理论分析与计算实验展示其在拓扑数据分析中的潜力。
2023-12-03 math.AT
Persistent Homology via Ellipsoids
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；Pennsylvania State University（宾夕法尼亚州立大学）；MIT（麻省理工学院）；University of Fribourg（弗里堡大学）
本文提出了一种基于椭球体的Rips型复形，用于改进拓扑数据分析中的持久同调计算，通过主成分分析估计切线空间并验证其在分类任务中的优越性。
2026-01-15 cs.LG math.AT
Topological Data Analysis for the String Landscape
持久同源通过使用离散复合体的序列来计算数据集的多尺度拓扑。在本文中，我们提出持久同调可能是一个有用的工具，研究弦真空景观的结构。作为该程序的缩小版本，我们使用持久同调来表征模空间上的IIB型通量真空的分布：刚性Calabi-Yau，加权射影空间中的超曲面和对称六环面$T^6=(T^2)^3$。这些例子表明，持久性配对和多参数持久性包含有用的信息表征的景观，除了通常的信息包含在标准的持久性同源。我们还研究了如何限制到特殊真空现象有趣的低能量特性影响的拓扑分布。
2018-12-17 astro-ph.CO hep-ph hep-th
A differentiability framework for zigzag persistent homology via linear interpolation
Area Science Park（的里雅斯特科技园）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
本文提出了锯齿形持续同调的可微性框架，通过线性插值将滤波值连续性传递给图点，并在排除集外证明局部Lipschitz连续性，实验验证了其在传感器网络覆盖优化和动态图分类中的有效性。
2026-10-01 cs.CG cs.LG math.AT
