One Diamond to Rule Them All: Old and new topics about zigzag, levelsets and extended persistence
本文系统介绍扩展持续同调与 zigzag 持续同调的代数基础、计算性质及在计算层论和多参数持续同调中的应用。
2023-04-21 cs.CG math.AT
Computing Generalized Rank Invariant for 2-Parameter Persistence Modules via Zigzag Persistence and its Applications
广义秩不变的概念在多参数持久性的背景下，已成为定义有趣的同调结构，如广义持久性图的重要组成部分。自然地，有效地计算这些秩不变量是有效地计算这些导出结构中的任何一个的前奏。我们证明了一个$\mathbb{Z}^2$ -索引的持久化模块$M$在有限区间$I$上的广义秩等于在$I$中主要追踪其边界的某条路径上诱导的zigzag模块的广义秩.因此，我们可以通过计算将双滤诱导$M$限制在该路径上得到的zigzag模的条形码来计算$I$上的广义秩。如果双滤和$I$分别最多有$t$单形和点，则该计算需要$O(t^ω)$时间，其中$ω\in[2,2.373)$是矩阵乘法的指数。其中，我们应用这个结果，以获得以下问题的改进算法。给定一个导出一个模$M$的双过滤，判断$M$是否是区间可分解的，如果是，计算支持其被加数的所有区间。
2022-03-30 cs.CG math.AT
Applications of Zigzag Persistence to Topological Data Analysis
曲折持续性理论是持续同源性的一个实质性扩展，它的发展使得拓扑数据分析领域的一些未探索的途径成为可能。在本文中，我们讨论了锯齿形持久性的三个应用：拓扑自举，参数阈值，证人复合体的比较。
2011-08-17 cs.CG
Computing Generalized Ranks of Persistence Modules via Unfolding to Zigzag Modules
本研究针对一般P索引持久模广义秩计算缺乏可行边界定义的问题，提出将其展开为zigzag模再统计可折回完整区间数的方法，还得到d复形d次同调的高效算法。
2025-09-05 cs.CG math.AT
Zigzag Persistence
我们描述了一种新的方法来研究持久性的拓扑特征在一个家庭的空间或点云数据集，称为曲折持久性。建立在经典的结果约为100表示，曲折持久性概括了非常成功的持久性同源性理论，并解决了几种情况下，不包括该理论。在本文中，我们开发的理论和算法的基础，以期在拓扑统计的应用。
2008-12-01 cs.CG
Algebraic Stability of Zigzag Persistence Modules
持久同调的稳定性定理是拓扑数据分析中的一个重要结果。虽然结果的原始公式涉及$\mathbb{R}$值函数的持久性条形码，但结果后来被转换为更一般的代数形式，即\emph{persistence modules}和\emph{interleavings}的语言。在本文中，我们建立了一个类似的zigzag持久模的代数稳定性定理。为了做到这一点，我们功能性地扩展每个锯齿持久化模块的二维持久化模块，并建立这些扩展的代数稳定性定理。我们的论点的一部分产生了一个稳定的结果，自由的二维持久化模块。作为主要定理的应用，我们加强了Bauer等人关于Reeb图的持久同调的稳定性的一个结果。我们的主要结果也产生了另一种证明的水平集持久同调的稳定性定理的Carlsson等人。
2017-04-06 cs.CG math.AC math.AT
Spatiotemporal Persistence Landscapes
本文提出时空持久性景观方法，通过扩展之字形模块捕获时间序列在空间和时间上的持续特征，并证明其稳定性，适用于统计分析和机器学习。
2024-12-16 cs.CG math.AT
Computing Zigzag Persistent Cohomology
曲折持久同源性是持久同源性的一个强大的概括，它不仅允许计算持久性图具有较少的噪声和使用较少的内存，而且还可以在新的应用领域中使用持久性。然而，由于理论的代数处理的复杂性增加，该领域的大多数算法结果仍然具有理论性质。本文介绍了一种计算锯齿形持久性的有效算法，强调了它的实用性。该算法是一个曲折的持续上同调算法，基于曲折序列内的反射和转置变换的二元化。我们提供了一个广泛的实验研究的算法。我们从两个方向对算法进行了研究。首先，我们比较了它的性能与zigzag持久同源算法，并显示在zigzag持久的兴趣上同调。其次，我们说明了曲折的持久性在拓扑数据分析的兴趣，通过比较它的最先进的方法在该领域，特别是优化算法的标准持久同源性和稀疏过滤。我们比较了不同算法的内存和时间复杂度，以及输出持久性图的质量。
2016-08-22 cs.CG
Using Zigzag Persistent Homology to Detect Hopf Bifurcations in Dynamical Systems
动力系统中的分岔表征了系统行为的定性变化。因此，它们的检测是重要的，因为它们可以发出从正常系统操作到即将发生故障的转变的信号。虽然标准的持久同源性已被用于此设置，它通常需要分析一组持久性图，这反过来又大大提高了计算成本。利用锯齿形持久性，我们可以在一个持久性图中捕获动力系统状态空间中的拓扑变化。在这里，我们提出了分叉使用锯齿（BuZZ），一步的方法来研究和检测分叉使用锯齿持久性。BuZZ方法成功地能够检测到这种类型的行为在两个合成的例子，以及一个例子动力系统。
2020-09-18 cs.CG
Malicious Cyber Activity Detection Using Zigzag Persistence
本研究提出将拓扑数据分析中的zigzag持久性与时间超图及自编码器相结合，通过分析网络日志数据的动态拓扑变化实现恶意网络活动的自动化检测，效果优于标准统计方法。
2023-09-14 cs.CG
Computing Zigzag Vineyard Efficiently Including Expansions and Contractions
本文研究锯齿形持久性中藤蔓和葡萄园的计算，通过利用FastZigzag算法中的半程上下过滤，实现了转置的线性时间复杂度以及扩张和收缩的二次时间复杂度，匹配了非锯齿形情况的时间复杂度。
2024-02-19 cs.CG math.AT
Revisiting Graph Persistence for Updates and Efficiency
本文重新审视图持久性，提出高效算法支持过滤上的局部更新，将普通图持久性切换时间降至对数级，之字形持久性计算改进至$O(m\log m)$，并优化各类条目的更新复杂度。
2023-05-11 cs.CG math.AT
Temporal Network Analysis Using Zigzag Persistence
本文提出基于拓扑数据分析中锯齿形持续性的通用时序网络分析框架，用单纯复形表示网络快照，并在英国交通网络和动力系统间歇性转变检测中证明其能发现传统图统计量遗漏的网络形状变化。
2023-08-14 cs.CG nlin.CD
Computing Optimal Persistent Cycles for Levelset Zigzag on Manifold-like Complexes
针对PL函数诱导的持续同调，提出水平集持续环序列以刻画拓扑特征演化，并给出弱伪流形上计算最优环序列的多项式时间算法，实验证明其质量良好。
2025-02-27 cs.CG math.AT
Updating zigzag representatives efficiently
Purdue University（普渡大学）；University of Oregon（俄勒冈大学）；Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）
研究之字形代表更新问题，基于从\(R = DV\)分解提取之字形代表的算法，提出高效更新算法，克服邻接变化困难，能在二次时间内高效完成之字形代表更新。
2026-07-20 cs.CG math.AT
ZigzagNetVis: Suggesting temporal resolutions for graph visualization using zigzag persistence
提出 ZigzagNetVis，利用锯齿持续同调识别引发图结构实质拓扑变化的时间分辨率，并以彩色条形码和 Web 原型辅助时序图可视化，经场景、27 人用户研究与定量评估验证有效。
2025-02-20 cs.CG cs.HC
A differentiability framework for zigzag persistent homology via linear interpolation
Area Science Park（的里雅斯特科技园）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
本文提出了锯齿形持续同调的可微性框架，通过线性插值将滤波值连续性传递给图点，并在排除集外证明局部Lipschitz连续性，实验验证了其在传感器网络覆盖优化和动态图分类中的有效性。
2026-10-01 cs.CG cs.LG math.AT
Computing Topological Persistence for Simplicial Maps
对于同态由包含映射诱导的持久模，持久同调和锯齿形持久同调的算法得到了很好的研究。在本文中，我们提出了一个实用的算法计算持久性下的$\mathbb{Z}_2$系数的一般单纯形映射序列，并显示这些地图自然出现在拓扑数据分析的一些应用。首先，我们观察到用包含映射来模拟单纯映射并不难，但不一定是单调的。这与已知的锯齿形持久性算法相结合，提供了一种算法，用于计算由单纯映射引起的持久性。我们的主要结果是，上述头脑简单的方法可以改进的序列的单纯形映射在单调方向。一个单纯映射可以分解成一组基本包含和顶点折叠-两个原子操作，可以有效地支持与单纯形注释的概念计算持久的同源性。通过这些原子操作的一致性注释意味着保持一致的上同调基，因此通过对偶保持同调基。虽然通过包含保持上同调基的想法并不新鲜，但通过顶点折叠保持它们是新的，这构成了模拟单纯映射的重要原子操作。注释除了支持通常的包含之外，还非常自然地支持顶点折叠。最后，我们展示了这个新工具的应用程序中，我们近似的持久性图的过滤的裂缝复杂的顶点崩溃是用来驯服的大小爆破。
2014-03-25 cs.CG math.AT
A Fast Algorithm for Computing Zigzag Representatives
Purdue University（普渡大学）；University of Oregon（俄勒冈大学）；Lawrence Berkeley National Laboratory（劳伦斯伯克利国家实验室）
本文提出一种O(m²n)时间复杂度的算法，用于高效计算Zigzag过滤中兼容的代表循环，解决了传统方法在处理Zigzag过滤时效率低下的问题。
2026-04-05 cs.CG math.AT
A-infinity Persistence
引入并研究了拓扑空间的同调滤子的A-无穷持久性。这是一个家庭，一个为每个n > 0，同源不变量，提供信息不容易获得的（持久）贝蒂数的给定过滤。这可能有助于检测噪声，不仅在滤波的单纯结构中，而且在A-无穷大结构的较高共对角线被平移的进一步几何性质中。在对Z字形模进行分类的基础上，给出了A-无穷维持久性的一个条码刻画。
2014-03-17 cs.CG cs.CV math.AT
Computing Persistence Diagram Bundles
本文提出一种计算分段线性持久图丛的算法，详细处理了参数空间为三角剖分曲面的情形，并概述了向更高维度的推广。
2023-09-19 cs.CG math.AT
Persistent Homology Over Directed Acyclic Graphs
我们定义持久的同源群的任何一组空间，其中有定义，使相应的有向图之间的空间是无环的，以及沿任何子图的这个有向图。该方法同时将标准持久同调、Z字形持久和多维持久推广到任意有向无环图，并允许研究更一般的拓扑空间族或点云数据。本文给出了一个算法，通过$O(n^4)$的算术运算，同时计算所有含单源单汇的子图的持久同调群，其中$n$是图的顶点数.然后，我们展示了这些工具的应用程序的方法，覆盖两个不同的过滤相同的底层空间，这使我们能够使用比标准持久性少得多的点来检测最重要的条形码。
2019-06-19 cs.CG math.AT
Quantum Query Complexity of Persistence Statistics in Graph Zigzags
California State University, Fresno（弗雷斯诺加州州立大学）
本文提出量子算法，利用精确恒等式将图之字形条形寿命统计量转化为期望广义秩，实现最优查询复杂度，并证明经典下界。
2026-09-09 cs.CG quant-ph
Computing Conley-Morse Persistence Barcode Efficiently by Updating Matrix Decompositions
Purdue University（普渡大学）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学技术研究所）
本文针对Conley-Morse持续同调条形码计算成本高的问题，提出用更简单的块取代指数对，通过更新矩阵分解的方法实现高效计算，优化了现有算法。
2026-08-10 cs.CG math.AT math.DS
Defining and Computing Topological Persistence for 1-cocycles
拓扑持久性的概念，最近在计算拓扑学中引入，发现应用在研究一个映射与其域的拓扑关系。自提出以来，它已被扩展和推广到各个方向。然而，迄今为止还没有尝试将拓扑持久性的概念扩展到“映射”的泛化，如上循环，上循环是封闭微分形式的离散模拟，这是微分几何中的一个众所周知的概念。本文定义了1-上圈的拓扑持久性概念，并给出了相应的数的计算方法。事实证明，代替标准持久性，它的一个变体，我们称之为级别持久性，可以用于此目的。值得一提的是，1-cocyles出现在实践中，如在数据排序或离散向量场。
2011-05-27 cs.CG cs.DS math.AT
Bounding the interleaving distance on concrete categories using a loss function
通过引入损失函数，在具体范畴上界定了通用持续模块的交错距离，解决了计算交错距离的NP难问题。
2026-01-13 cs.CG math.AT
Computing the Matching Distance of 2-Parameter Persistence Modules from Critical Values
本文面向2参数持续模块，提出在原平面的组合设定下高效计算匹配距离，给出切换点显式公式并避免考察水平、竖直线。
2025-10-21 cs.CG math.AT
Super-Polynomial Growth of the Generalized Persistence Diagram
针对多参数持久化中广义持久图（GPD）计算的挑战，本文证明其基数呈超多项式增长，构造出无法被单形数量多项式界定的d参数滤过序列，揭示计算GPD的固有困难。
2025-04-15 cs.CG math.AT
Linear-Size Approximations to the Vietoris-Rips Filtration
Vietoris-Rips滤波是拓扑数据分析中的一个通用工具。它是建立在度量空间上的单纯复形序列，用于将拓扑结构添加到否则不连通的点集。它被广泛使用，因为它编码了关于底层度量空间拓扑的有用信息。这些信息通常是从所谓的持久性图中提取的。不幸的是，这种过滤通常太大而无法完全构建。我们展示了如何在$n$ -点度量空间上构造一个O（n）大小的过滤单纯复形，使得它的持久性图是Vietoris-Rips过滤的一个很好的近似.这种新的过滤可以在$O(n\log n)$时间内构建。在规模和运行时间的常数因子仅取决于度量空间的双倍维数和所需的近似紧度。这是第一次，这使得它在计算上易于处理，以近似的持久性图的Vietoris-Rips过滤在所有规模的大型数据集。我们描述了两种不同的稀疏滤波。第一种是锯齿形过滤，随着比例的增加而删除点。第二个是一个（非锯齿形）过滤，产生相同的持久性图。这两种方法都是基于层次网络树，并产生相同的保证。
2013-03-06 cs.CG cs.DS
Computing a Connection Matrix and Persistence Efficiently from a Morse Decomposition
本研究证明经典穷约化持久性算法可计算Morse分解的连接矩阵，简化了现有算法，还发现持久性概念可适配经Lyapunov函数过滤的Morse分解，并给出初步实验结果。
2025-07-30 cs.CG math.AT math.DS
Persistent Topological Features in Large Language Models
Area Science Park, Trieste, Italy（特雷斯特科学公园）；University of Trieste, Trieste, Italy（特雷斯特大学）；University of Amsterdam, Amsterdam, the Netherlands（阿姆斯特丹大学）
该研究将拓扑数据分析中的锯齿持久化框架与实用算法结合，提出追踪大语言模型层间拓扑特征演化路径的拓扑描述子，可用于层剪枝且效果媲美当前最优方法。
2025-06-13 cs.CG cs.CL cs.LG
Computing Connection Matrices via Persistence-like Reductions
本文提出一种单次遍历的类持续性算法，用于从单纯复形上的组合向量场高效计算连接矩阵，比现有两次遍历递归算法更简单高效。
2023-09-23 cs.CG math.AT math.DS
Computing Bottleneck Distance for Multi-parameter Interval Decomposable Persistence Modules
持久化模块间交错距离的计算是拓扑数据分析中的一项核心任务。对于$1$ -参数持久化模块，由于等距定理，这可以通过用已知的有效算法计算瓶颈距离来完成。这个问题对于大多数$n$参数持久化模块$n>1$是开放的，因为不可分解的复杂性是公认的。在这里，我们考虑一个相当复杂的类称为{ \em $n$ -参数区间可分解}模块的不可分解可能有一个描述的非常数的复杂性。我们提出了一个多项式时间算法来计算这些模块的瓶颈距离从不可分解的，从上面的交织距离的界限，并给出另一个算法来计算一个新的距离称为{ \em维距离}，从下面的界限。本文的早期版本只考虑了$2$ -参数区间可分解模~ \cite{DeyCheng18} .
2019-10-03 cs.CG
Cup Product Persistence and Its Efficient Computation
本文提出计算持久杯模及更判别性的杯积分区模的高效算法，复杂度分别为O(d n^4)和O(c(d)n^4)，并加速了持久杯长的计算。
2024-03-17 cs.CG math.AT
Efficient Computation of Image Persistence
我们提出了一个算法，用于计算的图像的条形码的一个态射在持久的同源性所导致的过滤有限维链复形的包含。这些算法利用了清除优化，并可应用于单纯复形对过滤的持久绝对同调和持久相对上同调的包含诱导映射.它们构成了我们在软件Ripser框架中实现Vietoris-Rips复合体的基础。
2022-01-11 cs.CG math.AT
Computing Height Persistence and Homology Generators in $\mathbb{R}^3$ Efficiently
最近已经表明，计算线性嵌入在$\mathbb{R}^4$中的单纯$2$ -复$K$的第一同调群$H_1(K)$的维数与计算稀疏$0-1$矩阵的秩一样困难。这给计算嵌入在$\mathbb{R}^4$中的复合物的持久性和同调基（生成器）以及在小于二次甚至接近二次的时间内超过二次的复合物设置了主要障碍。那么，第三维度呢？已知当$K$是线性嵌入$\mathbb{R}^3$中的图或曲面时，具有$n$单形的复$K$上的分段线性函数的持久性可以在$O(n\log n)$时间内计算，并且总大小为$k$的生成元集可以在$O(n+k)$时间内计算。但是，一般单纯复形$K$线性嵌入$\mathbb{R}^3$的问题还没有完全解决.没有一个算法的复杂性比矩阵乘法是已知的这个重要的情况下。我们证明了{ \em高度函数}在这种复合物上的持久性，因此称为{ \em高度持久性}，可以在$O(n\log n)$时间内计算。这允许我们在$O(n\log n+k)$时间内计算$H_i(K)$，$i=1,2$的基（生成器），其中$k$是输出的大小。这显著地改进了$O(n^ω)$的当前最佳界，$ω$是矩阵乘法指数。我们实现这些改进的界限，利用最近的结果锯齿持久性计算拓扑结构，新的观察Reeb图，和一些有效的几何数据结构。
2019-03-14 cs.CG
Sparsification of the Generalized Persistence Diagrams for Scalability through Gradient Descent
本文提出一种通过梯度下降优化广义持续同调图定义域的稀疏化方法，设计基于侵蚀稳定性的损失函数平衡计算效率与区分精度，在保持分类准确率的同时显著降低计算时间，使大规模应用成为可能。
2025-04-04 cs.CG math.AT
Computing the interleaving distance is NP-hard
我们表明，计算两个多级持久化模块之间的交织距离是NP难的。更确切地说，我们表明，决定两个模块是否是$1$ -交织是NP-完全的，已经为bigrated，区间可分解模块。我们的证明是基于以前的工作表明，约束矩阵可逆性问题可以减少到一种特殊类型的持久性模块的交织距离计算。我们证明了这个矩阵可逆性问题是NP-完全的。我们还给出了上述简化的略微改进，表明对于小于$3$的任何近似因子，交织距离的近似也是NP难的。此外，我们得到了相应的硬度的情况下，模块是不可分解的，在设置的单侧稳定性。此外，我们表明，检查注射（分别。在持久化模块之间的映射是NP难的。结合计算代数的早期结果，给出了单侧稳定性的计算复杂性的完整表征。最后，我们表明，它是在一般的NP-困难的近似距离引起的噪声系统在一个因素2。
2019-10-09 cs.CG math.AT
Extracting Persistent Clusters in Dynamic Data via Möbius inversion
在研究自然界、移动终端网络或社交网络中出现的集体行为时，识别和表示随时间变化的网络数据中的集群是特别重要的。基于组合论、分类论和持久性理论的观点，我们建立了一个稳定的函子管道，用于总结时变网络中簇的演化。我们首先构建一个完整的总结集群的演化在一个给定的时变网络的一组实体$X$，其中采取形式的formigram。该形式图可以理解为由$X$的子集标记的特定Reeb图$\mathcal{R}$。通过应用莫比乌斯反演的formigram在两种不同的方式，我们得到两个双重概念的图：最大组图和持久性聚类图，这两者都是在一个'注释'条形码的形式。最大群图由相应的最大群标注的时间间隔组成--这是Buchin等人提出的一个概念，这意味着我们承认极大群的概念是Patel的广义持久图的一个特殊例子。另一方面，持久性聚类图主要通过在给定的时变网络中用某些合并/解散事件注释Reeb图$\mathcal{R}$的Z字形条形码中的间隔来获得。我们表明，这两个图是完全不变的formigrams（或等价的轨迹分组结构由Buchin等人）。因此包含比Reeb图$\mathcal{R}$更多的信息。
2022-02-14 cs.CG math.AT
Computing Multidimensional Persistence
本文提出一种多项式时间算法，通过将多维持久性计算转化为计算代数几何问题并利用其结构，实现高效计算。
2010-11-19 cs.CG cs.NA math.NA
Move Schedules: Fast persistence computations in coarse dynamic settings
本文提出一种粗粒度调度策略，通过归约到最长公共子序列问题，在动态过滤族中高效维护矩阵分解，实现快速持续同调计算，并应用于视频、动态度量空间和多参数数据。
2023-10-16 cs.CG math.AT
Efficient Algorithms for Complexes of Persistence Modules with Applications
本文扩展持久性算法至非自由模复形，通过表示与高效算法计算同调，应用于单纯形塔及持久层，实现高效持久（上）同调计算。
2024-03-16 cs.CG math.AC math.AT
Computing Wasserstein Distance for Persistence Diagrams on a Quantum Computer
持久性图是拓扑数据分析的一个有用工具，它可以用来提供过滤拓扑空间的简洁描述。使它们在实践中更有用的是，它们带有一个度量的概念，即瓦瑟斯坦距离（与概率论中的homestone度量密切相关，但不相同）。此外，该度量提供了稳定性的概念;也就是说，输入中的小噪声在最坏的情况下会导致输出中的小差异。在本文中，我们证明了持久性图的Wasserstein距离可以通过量子退火计算。我们提供了一个制定的问题作为一个二次无约束二进制优化问题，或QUBO，并证明正确性。最后，我们测试我们的算法，探索参数选择和问题大小的能力，使用D-Wave 2000 Q量子退火计算机。
2018-11-02 cs.CG cs.ET quant-ph
On Computing a Center Persistence Diagram
贯穿本文，持久性图${\cal P}$由线$Y=X$上方的平面点（每个对应于拓扑特征）的集合$P$以及线$Y=X$本身组成，即，${\cal P}=P\cup\{(x,y)|y=x\}$。给定一组持久化图${\cal P}_1,...,{\cal P}_m$，为了进行数据约简，首先计算瓶颈距离下的{ \em中心} ${\cal C}$，以总结其拓扑特征。我们考虑两个离散的版本和一个连续的版本。出于技术原因，我们首先关注当$|P_i|$都相同时的情况（即，都具有相同的大小$n$），并且问题是在瓶颈匹配距离下计算中心点集$C$。我们表明，从平面三维匹配问题的非平凡减少，这个问题是NP-困难的，即使当$m=3$图。这意味着当$P_i$可能有不同的大小时，在瓶颈距离下持久图的一般中心问题在$m\geq 3$时也是NP难的。在积极的一面，我们表明，这个问题是多项式可解的$m=2$时，并承认$m\geq 3$的因子-2近似。当$P_i$是相同大小的点集时，这些正结果对于任何$L_p$度量都成立，并且当$P_i$在$L_\infty$度量中具有不同大小时（即，中心持久性图问题）。这是在瓶颈距离下的中心持久图在多项式时间内的最佳可能，除非P = NP。所有这些结果都适用于离散版本以及连续版本;事实上，NP-硬度和近似结果也适用于连续版本的Wasserstein距离。
2020-02-10 cs.CG
Unreduced Persistence Diagrams for Topological Machine Learning
Department of Mathematics and Statistics, Florida Atlantic University, Boca Raton, FL（数学与统计学系，佛罗里达国际大学， Boca Raton, FL）
研究未约简边界矩阵生成的拓扑特征向量在机器学习中的性能，发现其与完全约简持久图性能相当甚至更优，且计算内存需求低一个数量级。
2026-06-18 cs.CG cs.LG math.AT
SimBa: An Efficient Tool for Approximating Rips-filtration Persistence via Simplicial Batch-collapse
在拓扑数据分析中，从度量空间提取的点云数据P通常通过计算在由尺度参数索引的$P$上构建的RIP复合体序列的持久性图或条形码来分析。不幸的是，即使对于中等大小的输入，随着尺度参数的增加，Rips复合体的大小也可能变得过大。从Sheehy引入的稀疏裂缝过滤开始，一些现有的方法旨在减少复杂的大小，从而提高时间效率。然而，正如我们所证明的，现有的方法仍然达不到很好的扩展性，特别是对于高维数据。在本文中，我们调查现有方法的优点和局限性。基于从实验中获得的见解，我们提出了一个有效的新算法，称为SimBa，近似持久的同源性的RIP过滤质量保证。我们的新算法利用了一个批量折叠策略以及一个新的稀疏Rips过滤。我们实验各种低维和高维数据集。我们表明，我们的策略提出了一个显着的尺寸减小，我们的算法近似撕裂过滤持久性是数量级的速度比现有的方法在实践中。
2016-09-23 cs.CG math.AT
Robust Barycenters of Persistence Diagrams
本文提出了一种计算持久图鲁棒Wasserstein重心的方法，适用于q∈(1,2)的运输成本，用于持久图聚类和词典编码。
2026-01-21 cs.CG cs.LG
RedZeD: Computing persistent homology by Reduction to Zero Differentials
提出一种基于归约到零微分（RedZeD）框架的新算法，通过主动枚举技术加速Vietoris–Rips过滤的持续同调计算。
2026-09-14 cs.CG cs.MS math.AT
A Topological Distance between Multi-fields based on Multi-Dimensional Persistence Diagrams
本文提出基于多维Reeb图和持续图计算多场拓扑距离的新方法，证明了其伪度量性质和稳定性，并在形状检索和化学键检测中验证了优于传统Reeb图方法的辨别力。
2023-09-09 cs.CG cs.GR
A Riemannian Framework for Statistical Analysis of Topological Persistence Diagrams
Arizona State University（亚利桑那州立大学）；IBM T. J. Watson Research Center（IBM托马斯·J·沃森研究中心）
拓扑数据分析正在成为一种流行的方法来研究高维特征空间，没有任何上下文线索或假设。本文关注的是一个流行的拓扑特征，这是在数据集中的$d-$维孔的数量，也被称为贝蒂$-d$数。Betti数在不同尺度上的持久性被编码成持久性图（PD），该持久性图指示这些孔随着尺度变化的出生和死亡时间。比较PD的常见方法是通过点对点匹配，其由$n$ -Wasserstein度量给出。然而，这种方法的一个很大的缺点是需要在计算距离之前解决点之间的对应关系;对于$n$点，复杂度根据$\mathcal{O}($ n $^3)$增长。相反，我们建议使用一个全新的框架，建立在黎曼几何，模型PD的二维密度函数，表示在平方根框架上的希尔伯特球。由此产生的空间是更直观的封闭形式表达式的共同操作。距离度量是1）无对应性的，并且2）与数据集中的点的数量无关。对于$[0,1]^2$的$K \times K$离散化，计算PD之间距离的复杂度现在根据$\mathcal{O}(K^2)$而增长。这也使得使用现有的机械微分几何对统计分析的PD，如计算的平均值，测地线，分类等，我们报告的竞争结果与Wasserstein度量，在一个低得多的计算负荷，表明所提出的方法的有利性能。
2016-05-28 cs.CG cs.CV math.AT
Persistent 1-Cycles: Definition, Computation, and Its Application
持久性图，总结了从数据中提取的同源特征的诞生和死亡，被用作图像分析和其他领域的应用程序的稳定签名。除了简单地考虑持久性图中包含的多个间隔集之外，一些应用程序还需要为间隔找到代表性的循环。在本文中，我们解决的问题，计算这些代表性的循环，称为持久1-圈，$\text{H}_1$ -持久同源$\mathbb{Z}_2$系数。持久环的定义是基于持久模的区间模分解，它揭示了持久同调的结构。在证明了最优持续1-圈的计算是NP-困难的之后，我们提出了一个有意义的持续1-圈的替代集合，它可以用一个高效的多项式时间算法来计算。我们还检查的最佳持续1-圈和持续1-圈计算我们的算法的观察，两者的扰动不能适当地有界的稳定性问题。我们设计了一个软件，将我们的算法应用于各种数据集。在三维点云、矿物结构和图像上的实验表明了该算法的有效性。
2018-10-15 cs.CG math.AT
Persistence Meets Resistance: Doubling Down on Hardness
University of Bonn（波恩大学）
本文在持续同调领域，针对特定度量空间滤过的稳定不变量近似计算，提出线性时间算法与常数时间概率近似方法，还证明矩阵秩计算可归约为相关条码近似问题。
2026-08-28 cs.CC cs.CG math.AT
Computing $p$-presentation distances is hard
本文证明了对所有$p\in[1,\infty)$，计算合并树和$t\geq2$参数持久性模块的$p$-展示距离均为NP困难，并提出一种可推广到其他基于求和或$p$-范数距离的新颖证明策略。
2025-06-06 cs.CC cs.CG math.RT
Computing Persistent Homology with Various Coefficient Fields in a Single Pass
本文介绍了一种在一次矩阵约简中计算具有不同系数域的滤除复形的持久同调的算法。该算法是输出敏感的不同的持久的同源特征的总数在图中的不同系数字段。这种计算使我们能够推断出在任何尺度下拓扑空间的整同调群的挠系数的素因子，从而提供比在单个系数域中的持久性更有信息量的拓扑描述。我们提供了理论的复杂性分析以及详细的实验结果。代码是Gudhi软件库的一部分。
2020-01-09 cs.CG
