Stability of persistence spaces of vector-valued continuous functions
多维持久化模块不允许使用类似于持久化图为实值函数提供的简洁表示。然而，对于多维持久贝蒂数，不存在任何障碍。因此，寻找关于那些仅与持久性贝蒂数相关的属性的持久性图的一般化是合理的。本文引入向量值连续函数的持久性空间，推广了持久性图的概念。主要结果是它在函数扰动下的稳定性：向量值函数的任何变化都意味着它们的持续空间之间的Hausdorff距离没有更大的变化。
2013-05-28 cs.CG math.DS
Generalized persistence analysis based on stable rank invariant
我们认为，持久性及其使用的进一步发展需要三个要素：不依赖于分解定理的不变量超越一维，适合统计分析的结果以及用于监督和机器学习的设置。在W. Chacholski et al. - Multidimensional Persistence and Noise，2017.在目前的论文中，我们继续这项工作，演示如何建立一个有效的计算管道围绕这个不变，并使用它在推理的情况下，一个参数。我们证明了一些计算证据的稳定秩的统计稳定性。我们还展示了我们的框架可以用于监督学习。
2018-06-13 cs.CG math.AT
EMP: Effective Multidimensional Persistence for Graph Representation Learning
West Virginia University（西弗吉尼亚大学）；Temple University（天普大学）；University of Central Florida（中佛罗里达大学）；University of Texas at Dallas（德克萨斯大学达拉斯分校）
本文提出有效多维持续（EMP）框架，通过多尺度参数和描述符函数将单参数持续同调摘要扩展为多维表示，并证明其稳定性，在图分类基准上优于前沿方法。
2024-01-24 cs.AI cs.CG cs.LG
Necessary Conditions for Discontinuities of Multidimensional Size Functions
ARCES；Università di Bologna（博洛尼亚大学）；Dipartimento di Matematica（数学系）
给出了关于多维拓扑持久性的一些新结果，证明了k维尺寸函数的不连续点必然与相应的度量函数的伪临界值或特殊值有关.
2009-08-04 cs.CG cs.CV math.AT
Persistence Diagram Bundles: A Multidimensional Generalization of Vineyards
本文提出持久图丛概念以推广葡萄园，证明一般纤维化过滤函数在光滑紧流形上具有有限分层模板结构，并构造胞腔层以判定局部截面能否扩展为全局截面。
2023-08-11 cs.CG math.AT
Computing Generalized Rank Invariant for 2-Parameter Persistence Modules via Zigzag Persistence and its Applications
广义秩不变的概念在多参数持久性的背景下，已成为定义有趣的同调结构，如广义持久性图的重要组成部分。自然地，有效地计算这些秩不变量是有效地计算这些导出结构中的任何一个的前奏。我们证明了一个$\mathbb{Z}^2$ -索引的持久化模块$M$在有限区间$I$上的广义秩等于在$I$中主要追踪其边界的某条路径上诱导的zigzag模块的广义秩.因此，我们可以通过计算将双滤诱导$M$限制在该路径上得到的zigzag模的条形码来计算$I$上的广义秩。如果双滤和$I$分别最多有$t$单形和点，则该计算需要$O(t^ω)$时间，其中$ω\in[2,2.373)$是矩阵乘法的指数。其中，我们应用这个结果，以获得以下问题的改进算法。给定一个导出一个模$M$的双过滤，判断$M$是否是区间可分解的，如果是，计算支持其被加数的所有区间。
2022-03-30 cs.CG math.AT
Computing Bottleneck Distance for Multi-parameter Interval Decomposable Persistence Modules
持久化模块间交错距离的计算是拓扑数据分析中的一项核心任务。对于$1$ -参数持久化模块，由于等距定理，这可以通过用已知的有效算法计算瓶颈距离来完成。这个问题对于大多数$n$参数持久化模块$n>1$是开放的，因为不可分解的复杂性是公认的。在这里，我们考虑一个相当复杂的类称为{ \em $n$ -参数区间可分解}模块的不可分解可能有一个描述的非常数的复杂性。我们提出了一个多项式时间算法来计算这些模块的瓶颈距离从不可分解的，从上面的交织距离的界限，并给出另一个算法来计算一个新的距离称为{ \em维距离}，从下面的界限。本文的早期版本只考虑了$2$ -参数区间可分解模~ \cite{DeyCheng18} .
2019-10-03 cs.CG
Computing Persistence Diagram Bundles
本文提出一种计算分段线性持久图丛的算法，详细处理了参数空间为三角剖分曲面的情形，并概述了向更高维度的推广。
2023-09-19 cs.CG math.AT
Defining and Computing Topological Persistence for 1-cocycles
拓扑持久性的概念，最近在计算拓扑学中引入，发现应用在研究一个映射与其域的拓扑关系。自提出以来，它已被扩展和推广到各个方向。然而，迄今为止还没有尝试将拓扑持久性的概念扩展到“映射”的泛化，如上循环，上循环是封闭微分形式的离散模拟，这是微分几何中的一个众所周知的概念。本文定义了1-上圈的拓扑持久性概念，并给出了相应的数的计算方法。事实证明，代替标准持久性，它的一个变体，我们称之为级别持久性，可以用于此目的。值得一提的是，1-cocyles出现在实践中，如在数据排序或离散向量场。
2011-05-27 cs.CG cs.DS math.AT
Discrete Morse Theory for Computing Zigzag Persistence
我们引入了一个理论和计算框架，使用离散Morse理论作为一个有效的预处理，以计算曲折持久同源。从复形$(K_i)$的Z字形滤子出发，引入了Z字形Morse滤子，其复形$(A_i)$是原复形$(K_i)$的Morse约化，并证明了它们具有相同的持久同调.这种锯齿形莫尔斯过滤概括了Mischaikow和Nanda的过滤莫尔斯复合体，定义为标准持久性。锯齿形莫尔斯过滤中的映射是向前和向后包含，这是锯齿形持续性中的标准映射，也是一种新型映射，它会导致莫尔斯复形边界算子的非平凡变化。我们详细研究了这最后一个映射，并设计了算法来计算更新时，在复杂的水平和在同源矩阵的水平计算锯齿持久性。我们推导出一个算法来计算锯齿形持久性的过滤，主要取决于复杂的关键细胞的数量，并通过实验表明，它在实践中表现得更好。
2019-07-11 cs.CG math.AT
Computing Height Persistence and Homology Generators in $\mathbb{R}^3$ Efficiently
最近已经表明，计算线性嵌入在$\mathbb{R}^4$中的单纯$2$ -复$K$的第一同调群$H_1(K)$的维数与计算稀疏$0-1$矩阵的秩一样困难。这给计算嵌入在$\mathbb{R}^4$中的复合物的持久性和同调基（生成器）以及在小于二次甚至接近二次的时间内超过二次的复合物设置了主要障碍。那么，第三维度呢？已知当$K$是线性嵌入$\mathbb{R}^3$中的图或曲面时，具有$n$单形的复$K$上的分段线性函数的持久性可以在$O(n\log n)$时间内计算，并且总大小为$k$的生成元集可以在$O(n+k)$时间内计算。但是，一般单纯复形$K$线性嵌入$\mathbb{R}^3$的问题还没有完全解决.没有一个算法的复杂性比矩阵乘法是已知的这个重要的情况下。我们证明了{ \em高度函数}在这种复合物上的持久性，因此称为{ \em高度持久性}，可以在$O(n\log n)$时间内计算。这允许我们在$O(n\log n+k)$时间内计算$H_i(K)$，$i=1,2$的基（生成器），其中$k$是输出的大小。这显著地改进了$O(n^ω)$的当前最佳界，$ω$是矩阵乘法指数。我们实现这些改进的界限，利用最近的结果锯齿持久性计算拓扑结构，新的观察Reeb图，和一些有效的几何数据结构。
2019-03-14 cs.CG
Computing Conley-Morse Persistence Barcode Efficiently by Updating Matrix Decompositions
Purdue University（普渡大学）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学技术研究所）
本文针对Conley-Morse持续同调条形码计算成本高的问题，提出用更简单的块取代指数对，通过更新矩阵分解的方法实现高效计算，优化了现有算法。
2026-08-10 cs.CG math.AT math.DS
Computing Topological Persistence for Simplicial Maps
对于同态由包含映射诱导的持久模，持久同调和锯齿形持久同调的算法得到了很好的研究。在本文中，我们提出了一个实用的算法计算持久性下的$\mathbb{Z}_2$系数的一般单纯形映射序列，并显示这些地图自然出现在拓扑数据分析的一些应用。首先，我们观察到用包含映射来模拟单纯映射并不难，但不一定是单调的。这与已知的锯齿形持久性算法相结合，提供了一种算法，用于计算由单纯映射引起的持久性。我们的主要结果是，上述头脑简单的方法可以改进的序列的单纯形映射在单调方向。一个单纯映射可以分解成一组基本包含和顶点折叠-两个原子操作，可以有效地支持与单纯形注释的概念计算持久的同源性。通过这些原子操作的一致性注释意味着保持一致的上同调基，因此通过对偶保持同调基。虽然通过包含保持上同调基的想法并不新鲜，但通过顶点折叠保持它们是新的，这构成了模拟单纯映射的重要原子操作。注释除了支持通常的包含之外，还非常自然地支持顶点折叠。最后，我们展示了这个新工具的应用程序中，我们近似的持久性图的过滤的裂缝复杂的顶点崩溃是用来驯服的大小爆破。
2014-03-25 cs.CG math.AT
Computing Wasserstein Distance for Persistence Diagrams on a Quantum Computer
持久性图是拓扑数据分析的一个有用工具，它可以用来提供过滤拓扑空间的简洁描述。使它们在实践中更有用的是，它们带有一个度量的概念，即瓦瑟斯坦距离（与概率论中的homestone度量密切相关，但不相同）。此外，该度量提供了稳定性的概念;也就是说，输入中的小噪声在最坏的情况下会导致输出中的小差异。在本文中，我们证明了持久性图的Wasserstein距离可以通过量子退火计算。我们提供了一个制定的问题作为一个二次无约束二进制优化问题，或QUBO，并证明正确性。最后，我们测试我们的算法，探索参数选择和问题大小的能力，使用D-Wave 2000 Q量子退火计算机。
2018-11-02 cs.CG cs.ET quant-ph
Computing Zigzag Persistent Cohomology
曲折持久同源性是持久同源性的一个强大的概括，它不仅允许计算持久性图具有较少的噪声和使用较少的内存，而且还可以在新的应用领域中使用持久性。然而，由于理论的代数处理的复杂性增加，该领域的大多数算法结果仍然具有理论性质。本文介绍了一种计算锯齿形持久性的有效算法，强调了它的实用性。该算法是一个曲折的持续上同调算法，基于曲折序列内的反射和转置变换的二元化。我们提供了一个广泛的实验研究的算法。我们从两个方向对算法进行了研究。首先，我们比较了它的性能与zigzag持久同源算法，并显示在zigzag持久的兴趣上同调。其次，我们说明了曲折的持久性在拓扑数据分析的兴趣，通过比较它的最先进的方法在该领域，特别是优化算法的标准持久同源性和稀疏过滤。我们比较了不同算法的内存和时间复杂度，以及输出持久性图的质量。
2016-08-22 cs.CG
Computing a Connection Matrix and Persistence Efficiently from a Morse Decomposition
本研究证明经典穷约化持久性算法可计算Morse分解的连接矩阵，简化了现有算法，还发现持久性概念可适配经Lyapunov函数过滤的Morse分解，并给出初步实验结果。
2025-07-30 cs.CG math.AT math.DS
Updating Barcodes and Representatives for Zigzag Persistence
通过改变过滤来计算持久性会产生一堆2D持久性图，其中生死点通过所谓的“藤蔓”连接。我们考虑计算这些藤蔓在不断变化的过滤锯齿持久性。我们观察到，八个原子操作是足够的改变一个曲折过滤到另一个，并为他们每个人提供更新算法。这些操作中的六个与非锯齿形情况下的一个或多个换位有一些类似之处，可以像它们的非锯齿形对应物一样有效地执行。这种方法利用了最近发现的用于计算锯齿形条形码的算法，该算法通过将锯齿形过滤转换为非锯齿形过滤，然后用双射连接两者的条形码。剩下的两个原子操作在非Z字形情况下没有严格的类似物。对于他们，我们提出了算法的基础上明确维护的代表（同源循环），这可以是有用的，在自己的权利，需要明确更新的代表的应用程序。
2022-08-01 cs.CG math.AT
Computing Generalized Ranks of Persistence Modules via Unfolding to Zigzag Modules
本研究针对一般P索引持久模广义秩计算缺乏可行边界定义的问题，提出将其展开为zigzag模再统计可折回完整区间数的方法，还得到d复形d次同调的高效算法。
2025-09-05 cs.CG math.AT
Computing Connection Matrices via Persistence-like Reductions
本文提出一种单次遍历的类持续性算法，用于从单纯复形上的组合向量场高效计算连接矩阵，比现有两次遍历递归算法更简单高效。
2023-09-23 cs.CG math.AT math.DS
On Computing a Center Persistence Diagram
贯穿本文，持久性图${\cal P}$由线$Y=X$上方的平面点（每个对应于拓扑特征）的集合$P$以及线$Y=X$本身组成，即，${\cal P}=P\cup\{(x,y)|y=x\}$。给定一组持久化图${\cal P}_1,...,{\cal P}_m$，为了进行数据约简，首先计算瓶颈距离下的{ \em中心} ${\cal C}$，以总结其拓扑特征。我们考虑两个离散的版本和一个连续的版本。出于技术原因，我们首先关注当$|P_i|$都相同时的情况（即，都具有相同的大小$n$），并且问题是在瓶颈匹配距离下计算中心点集$C$。我们表明，从平面三维匹配问题的非平凡减少，这个问题是NP-困难的，即使当$m=3$图。这意味着当$P_i$可能有不同的大小时，在瓶颈距离下持久图的一般中心问题在$m\geq 3$时也是NP难的。在积极的一面，我们表明，这个问题是多项式可解的$m=2$时，并承认$m\geq 3$的因子-2近似。当$P_i$是相同大小的点集时，这些正结果对于任何$L_p$度量都成立，并且当$P_i$在$L_\infty$度量中具有不同大小时（即，中心持久性图问题）。这是在瓶颈距离下的中心持久图在多项式时间内的最佳可能，除非P = NP。所有这些结果都适用于离散版本以及连续版本;事实上，NP-硬度和近似结果也适用于连续版本的Wasserstein距离。
2020-02-10 cs.CG
Computing Zigzag Persistence on Graphs in Near-Linear Time
在许多应用中，图形对真实世界的环境进行建模，在这些环境中，图形可能会不断变化，以捕捉现象的动态行为。拓扑持久性为拓扑特征提供了一组生灭对，是分析这种变化的图形数据的一种工具。然而，标准的持续同源性定义在一个不断增长的空间不能总是捕捉这样一个动态的过程，除非也允许与删除收缩。因此，锯齿形持久性，其中包括插入和删除的单形是更合适的，在这样的设置。不像标准的持久性，承认近线性时间算法的图形，这样的结果为之字形版本，提高一般$O(m^ω)$的时间复杂度是未知的，其中$ω< 2.37286$是矩阵乘法指数。在本文中，我们提出了算法的锯齿形持久的图运行在近线性时间。具体地说，给定在具有$n$顶点和边的图上进行$m$添加和删除的过滤，用于$0$维的算法在$O(m\log^2 n+m\log m)$时间内运行，并且用于1维的算法在$O(m\log^4 n)$时间内运行。$0$ -维的算法借鉴了另一种算法，该算法最初设计用于配对$2$ -流形上的Morse函数的临界点。$1$ -维的算法将负边缘与最早的正边缘配对，使得包含两个边缘的$1$ -循环驻留在所有中间图中。最后，利用Alexander对偶性，我们将$0$维的算法扩展到在$O(m\log^2 n+m\log m+n\log n)$时间内计算$\mathbb{R}^p$嵌入复合物的$(p-1)$维锯齿形持久性.
2021-03-12 cs.CG math.AT
Computing the Matching Distance of 2-Parameter Persistence Modules from Critical Values
本文面向2参数持续模块，提出在原平面的组合设定下高效计算匹配距离，给出切换点显式公式并避免考察水平、竖直线。
2025-10-21 cs.CG math.AT
Super-Polynomial Growth of the Generalized Persistence Diagram
针对多参数持久化中广义持久图（GPD）计算的挑战，本文证明其基数呈超多项式增长，构造出无法被单形数量多项式界定的d参数滤过序列，揭示计算GPD的固有困难。
2025-04-15 cs.CG math.AT
Robust Barycenters of Persistence Diagrams
本文提出了一种计算持久图鲁棒Wasserstein重心的方法，适用于q∈(1,2)的运输成本，用于持久图聚类和词典编码。
2026-01-21 cs.CG cs.LG
Efficient Algorithms for Complexes of Persistence Modules with Applications
本文扩展持久性算法至非自由模复形，通过表示与高效算法计算同调，应用于单纯形塔及持久层，实现高效持久（上）同调计算。
2024-03-16 cs.CG math.AC math.AT
Cup Product Persistence and Its Efficient Computation
本文提出计算持久杯模及更判别性的杯积分区模的高效算法，复杂度分别为O(d n^4)和O(c(d)n^4)，并加速了持久杯长的计算。
2024-03-17 cs.CG math.AT
Unreduced Persistence Diagrams for Topological Machine Learning
Department of Mathematics and Statistics, Florida Atlantic University, Boca Raton, FL（数学与统计学系，佛罗里达国际大学， Boca Raton, FL）
研究未约简边界矩阵生成的拓扑特征向量在机器学习中的性能，发现其与完全约简持久图性能相当甚至更优，且计算内存需求低一个数量级。
2026-06-18 cs.CG cs.LG math.AT
Efficient Computation of Image Persistence
我们提出了一个算法，用于计算的图像的条形码的一个态射在持久的同源性所导致的过滤有限维链复形的包含。这些算法利用了清除优化，并可应用于单纯复形对过滤的持久绝对同调和持久相对上同调的包含诱导映射.它们构成了我们在软件Ripser框架中实现Vietoris-Rips复合体的基础。
2022-01-11 cs.CG math.AT
Sparsification of the Generalized Persistence Diagrams for Scalability through Gradient Descent
本文提出一种通过梯度下降优化广义持续同调图定义域的稀疏化方法，设计基于侵蚀稳定性的损失函数平衡计算效率与区分精度，在保持分类准确率的同时显著降低计算时间，使大规模应用成为可能。
2025-04-04 cs.CG math.AT
Computing the interleaving distance is NP-hard
我们表明，计算两个多级持久化模块之间的交织距离是NP难的。更确切地说，我们表明，决定两个模块是否是$1$ -交织是NP-完全的，已经为bigrated，区间可分解模块。我们的证明是基于以前的工作表明，约束矩阵可逆性问题可以减少到一种特殊类型的持久性模块的交织距离计算。我们证明了这个矩阵可逆性问题是NP-完全的。我们还给出了上述简化的略微改进，表明对于小于$3$的任何近似因子，交织距离的近似也是NP难的。此外，我们得到了相应的硬度的情况下，模块是不可分解的，在设置的单侧稳定性。此外，我们表明，检查注射（分别。在持久化模块之间的映射是NP难的。结合计算代数的早期结果，给出了单侧稳定性的计算复杂性的完整表征。最后，我们表明，它是在一般的NP-困难的近似距离引起的噪声系统在一个因素2。
2019-10-09 cs.CG math.AT
Reducing complexes in multidimensional persistent homology theory
Forman的离散Morse理论在研究持续同调时提供了复形的保滤约化。迄今为止，计算离散Morse匹配的算法仅用于一维滤波。本文也许是第一次尝试在多维过滤扩展这样的算法的方向。初始框架相关的Morse匹配的多维设置，提出了由国王，Knudson，和Mramor的匹配算法在这个方向上进行了扩展。证明了算法的正确性，并分析了算法的复杂度.该算法用于建立一个简化的复杂的一个较小的，但不一定是最佳的细胞复杂。首次实验与过滤的三角形网格。
2015-03-12 cs.CG
Computing Optimal Persistent Cycles for Levelset Zigzag on Manifold-like Complexes
针对PL函数诱导的持续同调，提出水平集持续环序列以刻画拓扑特征演化，并给出弱伪流形上计算最优环序列的多项式时间算法，实验证明其质量良好。
2025-02-27 cs.CG math.AT
Move Schedules: Fast persistence computations in coarse dynamic settings
本文提出一种粗粒度调度策略，通过归约到最长公共子序列问题，在动态过滤族中高效维护矩阵分解，实现快速持续同调计算，并应用于视频、动态度量空间和多参数数据。
2023-10-16 cs.CG math.AT
A Riemannian Framework for Statistical Analysis of Topological Persistence Diagrams
Arizona State University（亚利桑那州立大学）；IBM T. J. Watson Research Center（IBM托马斯·J·沃森研究中心）
拓扑数据分析正在成为一种流行的方法来研究高维特征空间，没有任何上下文线索或假设。本文关注的是一个流行的拓扑特征，这是在数据集中的$d-$维孔的数量，也被称为贝蒂$-d$数。Betti数在不同尺度上的持久性被编码成持久性图（PD），该持久性图指示这些孔随着尺度变化的出生和死亡时间。比较PD的常见方法是通过点对点匹配，其由$n$ -Wasserstein度量给出。然而，这种方法的一个很大的缺点是需要在计算距离之前解决点之间的对应关系;对于$n$点，复杂度根据$\mathcal{O}($ n $^3)$增长。相反，我们建议使用一个全新的框架，建立在黎曼几何，模型PD的二维密度函数，表示在平方根框架上的希尔伯特球。由此产生的空间是更直观的封闭形式表达式的共同操作。距离度量是1）无对应性的，并且2）与数据集中的点的数量无关。对于$[0,1]^2$的$K \times K$离散化，计算PD之间距离的复杂度现在根据$\mathcal{O}(K^2)$而增长。这也使得使用现有的机械微分几何对统计分析的PD，如计算的平均值，测地线，分类等，我们报告的竞争结果与Wasserstein度量，在一个低得多的计算负荷，表明所提出的方法的有利性能。
2016-05-28 cs.CG cs.CV math.AT
Computational Complexity of the Interleaving Distance
交错距离可以说是拓扑数据分析中最重要的距离度量。在本文中，我们提供的界限上的计算复杂性确定交织距离在几个设置。我们表明，交错距离是NP-难计算的持久性模块值的范畴内的向量空间。在多维持久同源性的特定设置，我们表明，这个问题至少是一个矩阵可逆性问题一样难。此外，这使我们能够得出结论，区间可分解模的交织距离取决于域的特性。研究了取值于集合范畴的持久模。作为推论，我们得到Reeb图的同构问题是图同构完全的.
2018-04-30 cs.CC cs.CG math.AT
Computing $p$-presentation distances is hard
本文证明了对所有$p\in[1,\infty)$，计算合并树和$t\geq2$参数持久性模块的$p$-展示距离均为NP困难，并提出一种可推广到其他基于求和或$p$-范数距离的新颖证明策略。
2025-06-06 cs.CC cs.CG math.RT
Revisiting Graph Persistence for Updates and Efficiency
本文重新审视图持久性，提出高效算法支持过滤上的局部更新，将普通图持久性切换时间降至对数级，之字形持久性计算改进至$O(m\log m)$，并优化各类条目的更新复杂度。
2023-05-11 cs.CG math.AT
Computing Zigzag Vineyard Efficiently Including Expansions and Contractions
本文研究锯齿形持久性中藤蔓和葡萄园的计算，通过利用FastZigzag算法中的半程上下过滤，实现了转置的线性时间复杂度以及扩张和收缩的二次时间复杂度，匹配了非锯齿形情况的时间复杂度。
2024-02-19 cs.CG math.AT
RedZeD: Computing persistent homology by Reduction to Zero Differentials
提出一种基于归约到零微分（RedZeD）框架的新算法，通过主动枚举技术加速Vietoris–Rips过滤的持续同调计算。
2026-09-14 cs.CG cs.MS math.AT
SimBa: An Efficient Tool for Approximating Rips-filtration Persistence via Simplicial Batch-collapse
在拓扑数据分析中，从度量空间提取的点云数据P通常通过计算在由尺度参数索引的$P$上构建的RIP复合体序列的持久性图或条形码来分析。不幸的是，即使对于中等大小的输入，随着尺度参数的增加，Rips复合体的大小也可能变得过大。从Sheehy引入的稀疏裂缝过滤开始，一些现有的方法旨在减少复杂的大小，从而提高时间效率。然而，正如我们所证明的，现有的方法仍然达不到很好的扩展性，特别是对于高维数据。在本文中，我们调查现有方法的优点和局限性。基于从实验中获得的见解，我们提出了一个有效的新算法，称为SimBa，近似持久的同源性的RIP过滤质量保证。我们的新算法利用了一个批量折叠策略以及一个新的稀疏Rips过滤。我们实验各种低维和高维数据集。我们表明，我们的策略提出了一个显着的尺寸减小，我们的算法近似撕裂过滤持久性是数量级的速度比现有的方法在实践中。
2016-09-23 cs.CG math.AT
Lifted Wasserstein Matcher for Fast and Robust Topology Tracking
Total S.A.（道达尔公司）；Sorbonne Université（索邦大学）；CNRS Laboratoire d’Informatique de Paris 6（法国国家科学研究中心巴黎第六大学计算机实验室）
本文提出了一种鲁棒、高效的时变标量数据拓扑特征跟踪方法。结构跟踪持久性图之间的最佳匹配的基础上，相对于Wasserstein度量。这从根本上依赖于解决分配问题，一个特殊的情况下，最佳运输，为所有连续的时间步。我们的方法依赖于两个主要贡献。首先，我们回顾了库恩和Munkres的开创性的分配算法，我们专门适应的问题，匹配持久性图在一个有效的方式。其次，我们提出了一个扩展的Wasserstein度量，显着提高了几何稳定性域嵌入持久性对的匹配。我们表明，这种几何提升具有额外的积极的副作用，提高分配矩阵的稀疏性，因此计算时间。全局框架实现了一个粗粒度的并行计算持久性图，并找到最佳匹配并行每对夫妇的连续时间步。关键轨迹的构建相关联的连续匹配的持久性对随着时间的推移。在后处理阶段，利用几何阈值检测合并和分裂事件。在真实数据集上的大量实验表明，我们的匹配方法比开创性的Munkres算法快一个数量级。此外，与现代近似方法相比，我们的方法提供了有竞争力的运行时间，同时产生精确的结果。我们证明了我们的全球框架的实用性，从各种模拟的时变数据集提取临界点轨迹，并将其与现有的方法相比较，基于相关的重叠量。经验证明了对噪声和时间分辨率下采样的鲁棒性。
2019-01-02 cs.CG cs.CV cs.GR
Computing Minimal Persistent Cycles: Polynomial and Hard Cases
持久性循环，特别是最小循环，是有用的几何特征，在纯拓扑持久性图（也称为条形码）中用作区间的扩充。在我们早期的工作中，我们证明了计算有限区间的最小1维持久圈（持久1-圈）是NP-困难的，而计算无限区间的最小1维持久圈（持久1-圈）是多项式易处理的。在本文中，我们解决这个问题的一般尺寸与$\mathbb{Z}_2$系数。除了证明它是NP-困难的计算最小持久d-圈（d>1）的任意单纯复形的两种类型的间隔，我们确定了两个有趣的情况下，这是多项式听话。这两种情况假设复形是流形的某种推广，我们称之为弱伪流形。对于弱（d+1）-伪流形的d次持久图的有限区间，利用了这样的区间的持久圈是零同调的这一事实，将问题归结为最小割问题.由于无穷区间上的问题是NP-难的，我们进一步假设弱（d+1）-伪流形嵌入到$\mathbb{R}^{d+1}$中，使得复形具有自然的对偶图结构，问题转化为最小割问题.这两种算法在科学数据上的实验表明，最小持久周期捕获数据的各种重要特征。
2020-02-15 cs.CG math.AT
Persistence Meets Resistance: Doubling Down on Hardness
University of Bonn（波恩大学）
本文在持续同调领域，针对特定度量空间滤过的稳定不变量近似计算，提出线性时间算法与常数时间概率近似方法，还证明矩阵秩计算可归约为相关条码近似问题。
2026-08-28 cs.CC cs.CG math.AT
Computing Persistent Homology with Various Coefficient Fields in a Single Pass
本文介绍了一种在一次矩阵约简中计算具有不同系数域的滤除复形的持久同调的算法。该算法是输出敏感的不同的持久的同源特征的总数在图中的不同系数字段。这种计算使我们能够推断出在任何尺度下拓扑空间的整同调群的挠系数的素因子，从而提供比在单个系数域中的持久性更有信息量的拓扑描述。我们提供了理论的复杂性分析以及详细的实验结果。代码是Gudhi软件库的一部分。
2020-01-09 cs.CG
Progressive Wasserstein Barycenters of Persistence Diagrams
CNRS（法国国家科学研究中心）
本文提出了一种有效的算法，逐步逼近持久图的Wasserstein重心，并应用于集合数据的可视化分析。给定一组标量场，我们的方法使持久性图的计算，这是一组代表，并在视觉上传达的数量，数据范围和显着性的主要特征中发现的集。这样的代表图是通过计算明确的离散Wasserstein重心的持久性图，一个臭名昭著的计算密集型的任务。特别是，我们重新审视了Wasserstein距离逼近的有效算法[12，51]，以扩展之前关于重心估计的工作[94]。我们提出了一种新的快速算法，它逐步逼近的重心迭代增加计算精度以及输出图中的持久功能的数量。这种渐进性大大提高了收敛在实践中，并允许设计一个可中断的算法，能够尊重计算时间的限制。这使得在交互时间内的瓦瑟斯坦重心的近似。我们提出了一个应用集成聚类，我们重新审视的k-均值算法，利用我们的重心和计算，在执行时间的限制，有意义的集群集成数据以及他们的重心图。在合成和现实生活中的数据集上进行的大量实验报告说，我们的算法收敛到对应用程序有定性意义的重心，并且在数量上与以前的技术相当，同时在运行时提供一个数量级的加速，直到收敛（没有时间限制）。我们的算法可以平凡的并行化，以提供额外的加速在标准工作站上的实践。[...]
2019-10-09 cs.CG cs.CV cs.DS
