Discrete Morse Theory for Computing Zigzag Persistence
我们引入了一个理论和计算框架，使用离散Morse理论作为一个有效的预处理，以计算曲折持久同源。从复形$(K_i)$的Z字形滤子出发，引入了Z字形Morse滤子，其复形$(A_i)$是原复形$(K_i)$的Morse约化，并证明了它们具有相同的持久同调.这种锯齿形莫尔斯过滤概括了Mischaikow和Nanda的过滤莫尔斯复合体，定义为标准持久性。锯齿形莫尔斯过滤中的映射是向前和向后包含，这是锯齿形持续性中的标准映射，也是一种新型映射，它会导致莫尔斯复形边界算子的非平凡变化。我们详细研究了这最后一个映射，并设计了算法来计算更新时，在复杂的水平和在同源矩阵的水平计算锯齿持久性。我们推导出一个算法来计算锯齿形持久性的过滤，主要取决于复杂的关键细胞的数量，并通过实验表明，它在实践中表现得更好。
2019-07-11 cs.CG math.AT
Updating Barcodes and Representatives for Zigzag Persistence
通过改变过滤来计算持久性会产生一堆2D持久性图，其中生死点通过所谓的“藤蔓”连接。我们考虑计算这些藤蔓在不断变化的过滤锯齿持久性。我们观察到，八个原子操作是足够的改变一个曲折过滤到另一个，并为他们每个人提供更新算法。这些操作中的六个与非锯齿形情况下的一个或多个换位有一些类似之处，可以像它们的非锯齿形对应物一样有效地执行。这种方法利用了最近发现的用于计算锯齿形条形码的算法，该算法通过将锯齿形过滤转换为非锯齿形过滤，然后用双射连接两者的条形码。剩下的两个原子操作在非Z字形情况下没有严格的类似物。对于他们，我们提出了算法的基础上明确维护的代表（同源循环），这可以是有用的，在自己的权利，需要明确更新的代表的应用程序。
2022-08-01 cs.CG math.AT
The reflection distance between zigzag persistence modules
通过引用Bernstein，Gelfand和Ponomarev在1973年引入的反射函子，本文定义了一个度量，我们称之为反射距离。我们发现，两个给定的锯齿形模块之间的反射距离相同的长度是一个上界的$\ell^1$瓶颈距离各自的持久性图。
2019-07-01 cs.CG math.AT
Local Versus Global Distances for Zigzag Persistence Modules
这个简短的说明建立了本地和全局计算的基于持久性的距离之间的显式和广泛适用的关系。特别是，我们表明，两个锯齿形持久化模块之间的瓶颈距离限制在一个区间总是有界以上的无限制版本之间的距离。虽然这一结果并不令人惊讶，但它可能具有不同的实际影响。我们给出了度量图距离的两个相关应用，以及多参数持久化模块之间的匹配距离的扩展。
2019-03-20 cs.CG math.AT
One Diamond to Rule Them All: Old and new topics about zigzag, levelsets and extended persistence
本文系统介绍扩展持续同调与 zigzag 持续同调的代数基础、计算性质及在计算层论和多参数持续同调中的应用。
2023-04-21 cs.CG math.AT
Algebraic Stability of Zigzag Persistence Modules
持久同调的稳定性定理是拓扑数据分析中的一个重要结果。虽然结果的原始公式涉及$\mathbb{R}$值函数的持久性条形码，但结果后来被转换为更一般的代数形式，即\emph{persistence modules}和\emph{interleavings}的语言。在本文中，我们建立了一个类似的zigzag持久模的代数稳定性定理。为了做到这一点，我们功能性地扩展每个锯齿持久化模块的二维持久化模块，并建立这些扩展的代数稳定性定理。我们的论点的一部分产生了一个稳定的结果，自由的二维持久化模块。作为主要定理的应用，我们加强了Bauer等人关于Reeb图的持久同调的稳定性的一个结果。我们的主要结果也产生了另一种证明的水平集持久同调的稳定性定理的Carlsson等人。
2017-04-06 cs.CG math.AC math.AT
Computing Generalized Rank Invariant for 2-Parameter Persistence Modules via Zigzag Persistence and its Applications
广义秩不变的概念在多参数持久性的背景下，已成为定义有趣的同调结构，如广义持久性图的重要组成部分。自然地，有效地计算这些秩不变量是有效地计算这些导出结构中的任何一个的前奏。我们证明了一个$\mathbb{Z}^2$ -索引的持久化模块$M$在有限区间$I$上的广义秩等于在$I$中主要追踪其边界的某条路径上诱导的zigzag模块的广义秩.因此，我们可以通过计算将双滤诱导$M$限制在该路径上得到的zigzag模的条形码来计算$I$上的广义秩。如果双滤和$I$分别最多有$t$单形和点，则该计算需要$O(t^ω)$时间，其中$ω\in[2,2.373)$是矩阵乘法的指数。其中，我们应用这个结果，以获得以下问题的改进算法。给定一个导出一个模$M$的双过滤，判断$M$是否是区间可分解的，如果是，计算支持其被加数的所有区间。
2022-03-30 cs.CG math.AT
Temporal Network Analysis Using Zigzag Persistence
本文提出基于拓扑数据分析中锯齿形持续性的通用时序网络分析框架，用单纯复形表示网络快照，并在英国交通网络和动力系统间歇性转变检测中证明其能发现传统图统计量遗漏的网络形状变化。
2023-08-14 cs.CG nlin.CD
Computing Generalized Ranks of Persistence Modules via Unfolding to Zigzag Modules
本研究针对一般P索引持久模广义秩计算缺乏可行边界定义的问题，提出将其展开为zigzag模再统计可折回完整区间数的方法，还得到d复形d次同调的高效算法。
2025-09-05 cs.CG math.AT
Computing Zigzag Persistence on Graphs in Near-Linear Time
在许多应用中，图形对真实世界的环境进行建模，在这些环境中，图形可能会不断变化，以捕捉现象的动态行为。拓扑持久性为拓扑特征提供了一组生灭对，是分析这种变化的图形数据的一种工具。然而，标准的持续同源性定义在一个不断增长的空间不能总是捕捉这样一个动态的过程，除非也允许与删除收缩。因此，锯齿形持久性，其中包括插入和删除的单形是更合适的，在这样的设置。不像标准的持久性，承认近线性时间算法的图形，这样的结果为之字形版本，提高一般$O(m^ω)$的时间复杂度是未知的，其中$ω< 2.37286$是矩阵乘法指数。在本文中，我们提出了算法的锯齿形持久的图运行在近线性时间。具体地说，给定在具有$n$顶点和边的图上进行$m$添加和删除的过滤，用于$0$维的算法在$O(m\log^2 n+m\log m)$时间内运行，并且用于1维的算法在$O(m\log^4 n)$时间内运行。$0$ -维的算法借鉴了另一种算法，该算法最初设计用于配对$2$ -流形上的Morse函数的临界点。$1$ -维的算法将负边缘与最早的正边缘配对，使得包含两个边缘的$1$ -循环驻留在所有中间图中。最后，利用Alexander对偶性，我们将$0$维的算法扩展到在$O(m\log^2 n+m\log m+n\log n)$时间内计算$\mathbb{R}^p$嵌入复合物的$(p-1)$维锯齿形持久性.
2021-03-12 cs.CG math.AT
Spatiotemporal Persistence Landscapes
本文提出时空持久性景观方法，通过扩展之字形模块捕获时间序列在空间和时间上的持续特征，并证明其稳定性，适用于统计分析和机器学习。
2024-12-16 cs.CG math.AT
ZigzagNetVis: Suggesting temporal resolutions for graph visualization using zigzag persistence
提出 ZigzagNetVis，利用锯齿持续同调识别引发图结构实质拓扑变化的时间分辨率，并以彩色条形码和 Web 原型辅助时序图可视化，经场景、27 人用户研究与定量评估验证有效。
2025-02-20 cs.CG cs.HC
Revisiting Graph Persistence for Updates and Efficiency
本文重新审视图持久性，提出高效算法支持过滤上的局部更新，将普通图持久性切换时间降至对数级，之字形持久性计算改进至$O(m\log m)$，并优化各类条目的更新复杂度。
2023-05-11 cs.CG math.AT
Computing Optimal Persistent Cycles for Levelset Zigzag on Manifold-like Complexes
针对PL函数诱导的持续同调，提出水平集持续环序列以刻画拓扑特征演化，并给出弱伪流形上计算最优环序列的多项式时间算法，实验证明其质量良好。
2025-02-27 cs.CG math.AT
Apex Representatives
本文提出一种方法，通过将之字形过滤转换为水平集之字形，利用 Mayer-Vietoris 金字塔和 apex 概念，从普通持久性计算中高效提取之字形条形码代表元，时间复杂度为 O(p·m log m)。
2025-02-24 cs.CG math.AT
A differentiability framework for zigzag persistent homology via linear interpolation
Area Science Park（的里雅斯特科技园）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
本文提出了锯齿形持续同调的可微性框架，通过线性插值将滤波值连续性传递给图点，并在排除集外证明局部Lipschitz连续性，实验验证了其在传感器网络覆盖优化和动态图分类中的有效性。
2026-10-01 cs.CG cs.LG math.AT
Quantum Query Complexity of Persistence Statistics in Graph Zigzags
California State University, Fresno（弗雷斯诺加州州立大学）
本文提出量子算法，利用精确恒等式将图之字形条形寿命统计量转化为期望广义秩，实现最优查询复杂度，并证明经典下界。
2026-09-09 cs.CG quant-ph
Computing Topological Persistence for Simplicial Maps
对于同态由包含映射诱导的持久模，持久同调和锯齿形持久同调的算法得到了很好的研究。在本文中，我们提出了一个实用的算法计算持久性下的$\mathbb{Z}_2$系数的一般单纯形映射序列，并显示这些地图自然出现在拓扑数据分析的一些应用。首先，我们观察到用包含映射来模拟单纯映射并不难，但不一定是单调的。这与已知的锯齿形持久性算法相结合，提供了一种算法，用于计算由单纯映射引起的持久性。我们的主要结果是，上述头脑简单的方法可以改进的序列的单纯形映射在单调方向。一个单纯映射可以分解成一组基本包含和顶点折叠-两个原子操作，可以有效地支持与单纯形注释的概念计算持久的同源性。通过这些原子操作的一致性注释意味着保持一致的上同调基，因此通过对偶保持同调基。虽然通过包含保持上同调基的想法并不新鲜，但通过顶点折叠保持它们是新的，这构成了模拟单纯映射的重要原子操作。注释除了支持通常的包含之外，还非常自然地支持顶点折叠。最后，我们展示了这个新工具的应用程序中，我们近似的持久性图的过滤的裂缝复杂的顶点崩溃是用来驯服的大小爆破。
2014-03-25 cs.CG math.AT
Tracking the Persistence of Harmonic Chains: Barcode and Stability
本文提出一种新型调和链条形码以追踪调和链演化，证明其稳定性，并给出 $O(m^3)$ 时间计算算法，丰富了拓扑数据分析中的拓扑描述子族。
2025-06-12 cs.CG
Computing Height Persistence and Homology Generators in $\mathbb{R}^3$ Efficiently
最近已经表明，计算线性嵌入在$\mathbb{R}^4$中的单纯$2$ -复$K$的第一同调群$H_1(K)$的维数与计算稀疏$0-1$矩阵的秩一样困难。这给计算嵌入在$\mathbb{R}^4$中的复合物的持久性和同调基（生成器）以及在小于二次甚至接近二次的时间内超过二次的复合物设置了主要障碍。那么，第三维度呢？已知当$K$是线性嵌入$\mathbb{R}^3$中的图或曲面时，具有$n$单形的复$K$上的分段线性函数的持久性可以在$O(n\log n)$时间内计算，并且总大小为$k$的生成元集可以在$O(n+k)$时间内计算。但是，一般单纯复形$K$线性嵌入$\mathbb{R}^3$的问题还没有完全解决.没有一个算法的复杂性比矩阵乘法是已知的这个重要的情况下。我们证明了{ \em高度函数}在这种复合物上的持久性，因此称为{ \em高度持久性}，可以在$O(n\log n)$时间内计算。这允许我们在$O(n\log n+k)$时间内计算$H_i(K)$，$i=1,2$的基（生成器），其中$k$是输出的大小。这显著地改进了$O(n^ω)$的当前最佳界，$ω$是矩阵乘法指数。我们实现这些改进的界限，利用最近的结果锯齿持久性计算拓扑结构，新的观察Reeb图，和一些有效的几何数据结构。
2019-03-14 cs.CG
Inverse Problems in Topological Persistence
在这篇综述中，我们回顾了拓扑持久性理论中的反问题的文献。调查的前半部分是关于满射性的问题，即右逆的存在，后半部分集中在内射性，即左逆。在整个过程中，我们强调的工具和定理，这些进步的基础，并引导读者的注意力开放的问题，理论和应用。
2018-10-25 cs.CG math.AT
Persistent Topological Features in Large Language Models
Area Science Park, Trieste, Italy（特雷斯特科学公园）；University of Trieste, Trieste, Italy（特雷斯特大学）；University of Amsterdam, Amsterdam, the Netherlands（阿姆斯特丹大学）
该研究将拓扑数据分析中的锯齿持久化框架与实用算法结合，提出追踪大语言模型层间拓扑特征演化路径的拓扑描述子，可用于层剪枝且效果媲美当前最优方法。
2025-06-13 cs.CG cs.CL cs.LG
Defining and Computing Topological Persistence for 1-cocycles
拓扑持久性的概念，最近在计算拓扑学中引入，发现应用在研究一个映射与其域的拓扑关系。自提出以来，它已被扩展和推广到各个方向。然而，迄今为止还没有尝试将拓扑持久性的概念扩展到“映射”的泛化，如上循环，上循环是封闭微分形式的离散模拟，这是微分几何中的一个众所周知的概念。本文定义了1-上圈的拓扑持久性概念，并给出了相应的数的计算方法。事实证明，代替标准持久性，它的一个变体，我们称之为级别持久性，可以用于此目的。值得一提的是，1-cocyles出现在实践中，如在数据排序或离散向量场。
2011-05-27 cs.CG cs.DS math.AT
Learning Simplicial Complexes from Persistence Diagrams
拓扑数据分析（TDA）研究数据的形状。一个常见的拓扑描述符是持久性图，它以不同的尺度编码拓扑空间中的拓扑特征。特纳、慕克吉和博耶证明，可以利用从所有可能的高度过滤（不可数的无限个方向）生成的持久性图来重建嵌入R^3中的单纯复形。本文提出了一个在R^2中重构平面图K=（V，E）的算法，即一个平面图的顶点在一般位置和直线嵌入，从二次数高度过滤和它们各自的持久性图。
2018-07-31 cs.CG math.AT
Topological Correlation
本文提出拓扑差异与拓扑相关性两个新概念，从新视角阐释多参数持续同调的判别优势，并量化过滤函数间的相互依赖性，为相关应用提供基础。
2025-06-20 cs.CG math.AT
Optimising the topological information of the $A_\infty$-persistence groups
University of Southampton（南安普顿大学）
持久同调通常研究同调群$H_p(X)$（系数在域中）沿着拓扑空间的过滤的演化。$A_\infty$ -持久性通过分析子空间如$V := \text{Ker}\, {Δ_n}_{| H_p(X)} \subseteq H_p(X)$的演化扩展了这个理论，其中$\{Δ_m\}_{m\geq1}$表示$H_*(X)$上的$A_\infty$ -余代数的结构。本文通过讨论$A_\infty$ -持久群的最基本形式$V$的拓扑意义，说明了$A_\infty$-持久群在持久同调之外的作用.此外，我们还探讨了如何沿着滤子选择$A_\infty$ -余代数，以使$A_\infty$ -持久群携带更多的忠实信息。
2017-06-19 cs.CG cs.CV math.AT
A persistence landscapes toolbox for topological statistics
拓扑数据分析提供了定量数据的几何和拓扑的多尺度描述。持久性前景是一个拓扑总结，可以很容易地与统计和机器学习工具结合起来。我们给出了有效的算法计算持久性景观，它们的平均值，以及这些平均值之间的距离。我们讨论了这些算法的实现和一些相关的程序。这些旨在促进统计和机器学习与拓扑数据分析的结合。我们提出了一个实验表明，低维的持久性景观采样点从不同尺寸的球体（和盒子）不同。
2015-08-28 cs.CG cs.MS math.AT
Optimal rates of convergence for persistence diagrams in Topological Data Analysis
计算拓扑学是近年来数据分析领域的一个重要发展，它催生了拓扑数据分析领域。拓扑持久性，或持久的同源性，出现在这个领域的一个基本工具。本文用统计方法研究了一般度量空间中的拓扑持久性。我们表明，使用持久的同源性可以自然地被认为是在一般的统计框架和持久性图可以用作统计有趣的收敛特性。一些数值实验进行了各种情况下，以说明我们的结果。
2013-05-27 cs.CG cs.LG math.GT
On the Bootstrap for Persistence Diagrams and Landscapes
持续同源探测点云和函数的拓扑性质。通过同时查看多个尺度，可以记录拓扑特征随尺度变化的出生和死亡。本文利用一种统计方法--经验自举法来分离拓扑信号和拓扑噪声。特别是，我们得到的持久性图和持久性景观的置信带的置信集。
2014-01-22 cs.CG math.AT stat.AP
Gaussian Persistence Curves
拓扑数据分析（TDA）是数学、统计学和计算机科学/数据科学交叉的新兴领域。TDA的基石是持久同源性，它产生一个拓扑信息的摘要，称为持久图。为了在持久性图上利用机器和深度学习方法，通过将这些图转换为函数来进一步总结这些图。在本文中，我们研究了一类光滑的，一维的功能总结称为高斯持久曲线的稳定性和内射性。
2022-05-23 cs.CG math.AT
Understanding the Topology and the Geometry of the Space of Persistence Diagrams via Optimal Partial Transport
本文通过最优部分传输将持久图空间推广为上半平面上的拉东测度空间，刻画其拓扑与几何性质，并用于研究随机持久图的统计特性。
2024-05-28 cs.CG math.GT
Persistent and Zigzag Homology: A Matrix Factorization Viewpoint
在过去的二十年里，拓扑数据分析已经成为应用数学的一个领域，新的应用和算法的发展迅速出现。在这个领域的两个基本计算是持久的同源性和曲折的同源性。在本文中，我们将展示如何在最一般的情况下，这些计算减少到寻找一个标准形的矩阵与A型的矩阵表示，这反过来又可以计算使用相关矩阵的因式分解。我们展示了如何使用任意诱导映射的计算同源性，提供了一个框架，超越了现有的拓扑数据分析软件的能力。此外，该框架提供了多种并行化的机会，以前没有被利用。我们提供了几个例子，这个框架的实用程序，演示并行加速，并报告显着的改进相比，现有的软件。
2021-03-01 cs.CG math.AT
PersLay: A Neural Network Layer for Persistence Diagrams and New Graph Topological Signatures
持久性图是拓扑数据分析中最常用的描述符，它对数据的拓扑属性进行了编码，并在数据科学的许多不同应用中发挥了关键作用。然而，由于持久性图的（度量）空间不是希尔伯特，它们最终成为大多数机器学习技术的困难输入。为了解决这个问题，已经提出了几种向量化方法，将持久性图嵌入到有限维欧几里得空间或（隐式）无限维希尔伯特空间中。在这项工作中，我们专注于建立在图形之上的持久性图。依靠扩展的持久性理论和所谓的热核签名，我们展示了如何图可以编码（扩展）持久性图在一个可证明的稳定的方式。然后，我们提出了一个通用的和通用的框架，学习持久性图的矢量化，其中包括文献中使用的矢量化技术。最后，我们通过在现实生活中的图数据集上实现分类任务的竞争性得分，展示了我们设置的实验实力。
2020-03-09 cs.CG cs.LG math.AT
Persistent Homology Over Directed Acyclic Graphs
我们定义持久的同源群的任何一组空间，其中有定义，使相应的有向图之间的空间是无环的，以及沿任何子图的这个有向图。该方法同时将标准持久同调、Z字形持久和多维持久推广到任意有向无环图，并允许研究更一般的拓扑空间族或点云数据。本文给出了一个算法，通过$O(n^4)$的算术运算，同时计算所有含单源单汇的子图的持久同调群，其中$n$是图的顶点数.然后，我们展示了这些工具的应用程序的方法，覆盖两个不同的过滤相同的底层空间，这使我们能够使用比标准持久性少得多的点来检测最重要的条形码。
2019-06-19 cs.CG math.AT
Distributions of Matching Distances in Topological Data Analysis
在拓扑数据分析中，我们希望辨别数据的拓扑和几何结构，并了解数据的某些特征是否重要，而不是简单的随机噪声。虽然在单参数持久性的统计技术方面取得了进展，但对实际应用非常需要的双参数持久性的情况研究较少。本文提供了一个方便的介绍，两个参数持久的同源性，并提出了结果之间的匹配距离的2-D持久模块从家庭的点云。结果包括观察点云几何结构的差异如何影响持久性模块之间的匹配距离。我们将这些结果作为研究更复杂数据的起点。
2020-01-09 cs.CG math.AT
Rank-based persistence
持久性已被证明是一个有价值的工具来分析真实世界的数据健壮。随着时间的推移，人们尝试了几种持久性方法，一些是基于向量空间值同调函子的拓扑方法，另一些是基于任意集值函子的组合方法。为了统一研究的拓扑和组合持久性在一个共同的范畴框架，我们给出了公理的广义秩函数的对象在一个目标类别，使函子，该类别诱导持久性功能。我们端口的交织和瓶颈距离，这个新的框架和推广经典的等式和不等式。与集合和向量空间不同，在许多类别中，对象的秩并不确定它的同构：为了保留持久性模块的结构信息，我们定义了着色秩，持久性图，并证明了半简单阿贝尔范畴中多色瓶颈距离和交织距离之间的相等性。为了说明我们的框架在实践中，我们给出了过滤拓扑空间与群作用和标记的点云数据的多色持久同调的例子。
2019-05-22 cs.CG math.AT math.CT
PLLay: Efficient Topological Layer based on Persistence Landscapes
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Inria（法国国家信息与自动化研究所）；Google Research（谷歌研究院）
我们提出了PLLay，这是一种基于持久性景观的通用深度学习模型的新型拓扑层，可以有效地利用输入数据结构的底层拓扑特征。在这项工作中，我们证明了可微性相对于层的输入，一般持久的同源任意过滤。因此，我们提出的层可以放置在网络中的任何地方，并将输入数据的拓扑特征的关键信息馈送到后续层中，以提高网络对给定任务的可学习性。PLLay的任务优化结构在训练过程中通过反向传播学习，而不需要任何输入特征化或数据预处理。我们提供了一种新的适应DTM功能为基础的过滤，并表明，所提出的层是强大的噪声和离群值，通过稳定性分析。我们证明了我们的方法的有效性，在各种数据集上的分类实验。
2021-01-18 cs.CG cs.LG stat.ML
Multidimensional Interleavings and Applications to Topological Inference
本文研究了基于持久性的拓扑数据分析的理论基础。我们发展理论的拓扑推理的多维持久性设置，并直接在（拓扑）水平的过滤，而不是只在（代数）水平的持久性同调模。我们主要的数学研究对象是交错。这些工具用于量化两个多维过滤或持久化模块之间的相似性。它们是由Chazal、Cohen-Steiner、Glisse、Guibas和Oudot为1-D过滤和持久性模块引入的。我们介绍了Chazal等人给出的交错定义的推广。并使用这些定义伪度量，称为交错距离，多维过滤和多维持久性模块。我们提出了一个深入的研究交织和交织距离。然后，我们用它们来制定和证明几个多维类似物的拓扑推理定理的Chazal，Guibas，Oudot，和Skraba。这些结果直接在过滤水平上成立;它们在模块水平上产生相应的结果作为推论。
2012-06-06 cs.CG math.AT math.ST
Discrete transforms of quantized persistence diagrams
本文提出 Qupid 方法，通过对数尺度网格分箱和离散变换将持久图高效向量化，在保持竞争力的同时显著降低计算成本，并对网格分辨率降低具有鲁棒性。
2024-10-21 cs.CG math.AT stat.ML
Statistical topological data analysis using persistence landscapes
我们为数据定义了一个新的拓扑摘要，我们称之为持久性景观。由于该摘要位于向量空间中，因此与标准拓扑摘要相比，它很容易与统计和机器学习工具相结合。把它看作是取值于巴拿赫空间的随机变量，它服从强大数律和中心极限定理。我们展示了如何使用一些标准的统计检验来进行统计推断。我们还证明了这个总结是稳定的，它可以用来提供瓶颈和Wasserstein距离的下界。
2015-01-23 cs.CG math.AT math.MG
Confidence sets for persistence diagrams
Tulane University（杜兰大学）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
持久同调是一种用于探测点云和函数的拓扑性质的方法。该方法涉及跟踪拓扑特征的出生和死亡（2000），因为改变了调谐参数。具有短寿命的特征被非正式地认为是“拓扑噪声”，而具有长寿命的特征被认为是“拓扑信号”。“在本文中，我们将一些统计思想引入持久同源性。特别是，我们推导出的置信度集，使我们能够分离拓扑信号的拓扑噪声。
2014-11-20 cs.CG cs.LG math.ST
Persistence-based topological optimization: a survey
DataShape, Centre Inria d’Université Côte d’Azur（Inria 蔚蓝海岸中心 DataShape）；Graduate School of Mathematical Sciences, The University of Tokyo（东京大学大学院数理科学研究科）；Laboratoire d’Informatique Gaspard Monge, Université Gustave Eiffel, CNRS（加斯帕尔·蒙日计算机科学实验室，巴黎-布拉尼亚克国立应用科学学院，法国国家科学研究中心）；Graduate School of Information Science and Technology, The University of Tokyo（东京大学大学院信息理工学研究科）；RIKEN AIP（理化学研究所人工智能研究中心）
本文综述了利用持久性理论进行拓扑优化的研究进展，涵盖理论基础、算法方法及实际应用，提供开源库帮助研究者深入理解该领域。
2026-03-24 cs.CG math.AT math.OC
Towards Scalable Persistence-Based Topological Optimization
École Polytechnique Paris（巴黎高等理工学院）；ENS Ulm, PSL Paris（乌尔姆国立高等学院，巴黎PSL）；UC Berkeley（伯克利大学）
本文提出一种更可扩展的拓扑优化流程，通过随机切片和Nadaraya-Watson高斯卷积改进子采样和梯度扩展，提升持续性优化的效率与效果。
2026-05-09 cs.AI cs.CG cs.GR
Medians of populations of persistence diagrams
持久性图是拓扑数据分析领域的常见对象。它们是拓扑摘要，用于捕获数据中的拓扑和几何结构。最近，人们对开发统计分析持久性图群体的工具产生了浓厚的兴趣，这一过程受到持久性图空间复杂几何形状的阻碍。在本文中，我们研究了一组图的中位数，定义为一个适当的费用函数类似于用于实数样本的距离之和的最小值。然后，我们的特点，这个费用函数的局部极小值，并在这样做的特点的中位数。并对中位数和均值的性质进行了比较分析。
2019-02-06 cs.CG math.AT math.MG
Persistence B-Spline Grids: Stable Vector Representation of Persistence Diagrams Based on Data Fitting
Zhejiang University（浙江大学）
近几十年来，已经进行了许多尝试来集成机器学习（ML）和拓扑数据分析。将持久同源性应用于ML任务的一个突出问题是找到持久性图（PD）的矢量表示，持久性图是表示拓扑特征的汇总图。从数据拟合的角度出发，基于最小二乘B样条函数拟合的渐进迭代逼近技术，提出了一种稳定的矢量表示方法--持久性B样条网格（PBSG）。我们从理论上证明了PBSG方法对于定义在PD空间上的1-Wasserstein距离度量是稳定的。在合成数据集、随机生成的PD数据集、动力系统数据集和三维CAD模型上进行了测试，验证了该方法的有效性和高效性
2022-04-22 cs.CG cs.LG math.AT
Applying Topological Persistence in Convolutional Neural Network for Music Audio Signals
National Taiwan University（国立台湾大学）；Academia Sinica（中央研究院）
近年来，持续同源性作为一种数据分析的拓扑工具，在机器学习问题中的应用引起了越来越多的关注。持久同调以其在数值上刻画由特征或函数诱导的空间形状的能力而闻名。另一方面，深度神经网络已被证明在各种任务中有效。然而，据我们所知，现有的神经网络模型很少利用形状信息。在本文中，我们研究了一种在深度神经网络框架中使用持久同源性的方法。具体来说，我们建议将所谓的“持久性景观”（一种相当新的数据拓扑摘要）嵌入到卷积神经网络（CNN）中，用于处理音频信号。我们对自动音乐标记，多标签分类任务的评估表明，由此产生的持久性卷积神经网络（PCNN）模型可以在预测准确性方面明显优于最先进的模型。我们还讨论了所提出的模型的设计背后的直觉，并提供了它学习的功能的见解。
2016-08-26 cs.CG cs.MM cs.NE
