Discrete Morse Theory for Computing Zigzag Persistence
我们引入了一个理论和计算框架，使用离散Morse理论作为一个有效的预处理，以计算曲折持久同源。从复形$(K_i)$的Z字形滤子出发，引入了Z字形Morse滤子，其复形$(A_i)$是原复形$(K_i)$的Morse约化，并证明了它们具有相同的持久同调.这种锯齿形莫尔斯过滤概括了Mischaikow和Nanda的过滤莫尔斯复合体，定义为标准持久性。锯齿形莫尔斯过滤中的映射是向前和向后包含，这是锯齿形持续性中的标准映射，也是一种新型映射，它会导致莫尔斯复形边界算子的非平凡变化。我们详细研究了这最后一个映射，并设计了算法来计算更新时，在复杂的水平和在同源矩阵的水平计算锯齿持久性。我们推导出一个算法来计算锯齿形持久性的过滤，主要取决于复杂的关键细胞的数量，并通过实验表明，它在实践中表现得更好。
2019-07-11 cs.CG math.AT
Updating Barcodes and Representatives for Zigzag Persistence
通过改变过滤来计算持久性会产生一堆2D持久性图，其中生死点通过所谓的“藤蔓”连接。我们考虑计算这些藤蔓在不断变化的过滤锯齿持久性。我们观察到，八个原子操作是足够的改变一个曲折过滤到另一个，并为他们每个人提供更新算法。这些操作中的六个与非锯齿形情况下的一个或多个换位有一些类似之处，可以像它们的非锯齿形对应物一样有效地执行。这种方法利用了最近发现的用于计算锯齿形条形码的算法，该算法通过将锯齿形过滤转换为非锯齿形过滤，然后用双射连接两者的条形码。剩下的两个原子操作在非Z字形情况下没有严格的类似物。对于他们，我们提出了算法的基础上明确维护的代表（同源循环），这可以是有用的，在自己的权利，需要明确更新的代表的应用程序。
2022-08-01 cs.CG math.AT
The reflection distance between zigzag persistence modules
通过引用Bernstein，Gelfand和Ponomarev在1973年引入的反射函子，本文定义了一个度量，我们称之为反射距离。我们发现，两个给定的锯齿形模块之间的反射距离相同的长度是一个上界的$\ell^1$瓶颈距离各自的持久性图。
2019-07-01 cs.CG math.AT
Local Versus Global Distances for Zigzag Persistence Modules
这个简短的说明建立了本地和全局计算的基于持久性的距离之间的显式和广泛适用的关系。特别是，我们表明，两个锯齿形持久化模块之间的瓶颈距离限制在一个区间总是有界以上的无限制版本之间的距离。虽然这一结果并不令人惊讶，但它可能具有不同的实际影响。我们给出了度量图距离的两个相关应用，以及多参数持久化模块之间的匹配距离的扩展。
2019-03-20 cs.CG math.AT
One Diamond to Rule Them All: Old and new topics about zigzag, levelsets and extended persistence
本文系统介绍扩展持续同调与 zigzag 持续同调的代数基础、计算性质及在计算层论和多参数持续同调中的应用。
2023-04-21 cs.CG math.AT
Algebraic Stability of Zigzag Persistence Modules
持久同调的稳定性定理是拓扑数据分析中的一个重要结果。虽然结果的原始公式涉及$\mathbb{R}$值函数的持久性条形码，但结果后来被转换为更一般的代数形式，即\emph{persistence modules}和\emph{interleavings}的语言。在本文中，我们建立了一个类似的zigzag持久模的代数稳定性定理。为了做到这一点，我们功能性地扩展每个锯齿持久化模块的二维持久化模块，并建立这些扩展的代数稳定性定理。我们的论点的一部分产生了一个稳定的结果，自由的二维持久化模块。作为主要定理的应用，我们加强了Bauer等人关于Reeb图的持久同调的稳定性的一个结果。我们的主要结果也产生了另一种证明的水平集持久同调的稳定性定理的Carlsson等人。
2017-04-06 cs.CG math.AC math.AT
Computing Generalized Rank Invariant for 2-Parameter Persistence Modules via Zigzag Persistence and its Applications
广义秩不变的概念在多参数持久性的背景下，已成为定义有趣的同调结构，如广义持久性图的重要组成部分。自然地，有效地计算这些秩不变量是有效地计算这些导出结构中的任何一个的前奏。我们证明了一个$\mathbb{Z}^2$ -索引的持久化模块$M$在有限区间$I$上的广义秩等于在$I$中主要追踪其边界的某条路径上诱导的zigzag模块的广义秩.因此，我们可以通过计算将双滤诱导$M$限制在该路径上得到的zigzag模的条形码来计算$I$上的广义秩。如果双滤和$I$分别最多有$t$单形和点，则该计算需要$O(t^ω)$时间，其中$ω\in[2,2.373)$是矩阵乘法的指数。其中，我们应用这个结果，以获得以下问题的改进算法。给定一个导出一个模$M$的双过滤，判断$M$是否是区间可分解的，如果是，计算支持其被加数的所有区间。
2022-03-30 cs.CG math.AT
Temporal Network Analysis Using Zigzag Persistence
本文提出基于拓扑数据分析中锯齿形持续性的通用时序网络分析框架，用单纯复形表示网络快照，并在英国交通网络和动力系统间歇性转变检测中证明其能发现传统图统计量遗漏的网络形状变化。
2023-08-14 cs.CG nlin.CD
Computing Generalized Ranks of Persistence Modules via Unfolding to Zigzag Modules
本研究针对一般P索引持久模广义秩计算缺乏可行边界定义的问题，提出将其展开为zigzag模再统计可折回完整区间数的方法，还得到d复形d次同调的高效算法。
2025-09-05 cs.CG math.AT
Computing Zigzag Persistence on Graphs in Near-Linear Time
在许多应用中，图形对真实世界的环境进行建模，在这些环境中，图形可能会不断变化，以捕捉现象的动态行为。拓扑持久性为拓扑特征提供了一组生灭对，是分析这种变化的图形数据的一种工具。然而，标准的持续同源性定义在一个不断增长的空间不能总是捕捉这样一个动态的过程，除非也允许与删除收缩。因此，锯齿形持久性，其中包括插入和删除的单形是更合适的，在这样的设置。不像标准的持久性，承认近线性时间算法的图形，这样的结果为之字形版本，提高一般$O(m^ω)$的时间复杂度是未知的，其中$ω< 2.37286$是矩阵乘法指数。在本文中，我们提出了算法的锯齿形持久的图运行在近线性时间。具体地说，给定在具有$n$顶点和边的图上进行$m$添加和删除的过滤，用于$0$维的算法在$O(m\log^2 n+m\log m)$时间内运行，并且用于1维的算法在$O(m\log^4 n)$时间内运行。$0$ -维的算法借鉴了另一种算法，该算法最初设计用于配对$2$ -流形上的Morse函数的临界点。$1$ -维的算法将负边缘与最早的正边缘配对，使得包含两个边缘的$1$ -循环驻留在所有中间图中。最后，利用Alexander对偶性，我们将$0$维的算法扩展到在$O(m\log^2 n+m\log m+n\log n)$时间内计算$\mathbb{R}^p$嵌入复合物的$(p-1)$维锯齿形持久性.
2021-03-12 cs.CG math.AT
Spatiotemporal Persistence Landscapes
本文提出时空持久性景观方法，通过扩展之字形模块捕获时间序列在空间和时间上的持续特征，并证明其稳定性，适用于统计分析和机器学习。
2024-12-16 cs.CG math.AT
ZigzagNetVis: Suggesting temporal resolutions for graph visualization using zigzag persistence
提出 ZigzagNetVis，利用锯齿持续同调识别引发图结构实质拓扑变化的时间分辨率，并以彩色条形码和 Web 原型辅助时序图可视化，经场景、27 人用户研究与定量评估验证有效。
2025-02-20 cs.CG cs.HC
Revisiting Graph Persistence for Updates and Efficiency
本文重新审视图持久性，提出高效算法支持过滤上的局部更新，将普通图持久性切换时间降至对数级，之字形持久性计算改进至$O(m\log m)$，并优化各类条目的更新复杂度。
2023-05-11 cs.CG math.AT
Computing Optimal Persistent Cycles for Levelset Zigzag on Manifold-like Complexes
针对PL函数诱导的持续同调，提出水平集持续环序列以刻画拓扑特征演化，并给出弱伪流形上计算最优环序列的多项式时间算法，实验证明其质量良好。
2025-02-27 cs.CG math.AT
A differentiability framework for zigzag persistent homology via linear interpolation
Area Science Park（的里雅斯特科技园）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
本文提出了锯齿形持续同调的可微性框架，通过线性插值将滤波值连续性传递给图点，并在排除集外证明局部Lipschitz连续性，实验验证了其在传感器网络覆盖优化和动态图分类中的有效性。
2026-10-01 cs.CG cs.LG math.AT
Quantum Query Complexity of Persistence Statistics in Graph Zigzags
California State University, Fresno（弗雷斯诺加州州立大学）
本文提出量子算法，利用精确恒等式将图之字形条形寿命统计量转化为期望广义秩，实现最优查询复杂度，并证明经典下界。
2026-09-09 cs.CG quant-ph
Computing Topological Persistence for Simplicial Maps
对于同态由包含映射诱导的持久模，持久同调和锯齿形持久同调的算法得到了很好的研究。在本文中，我们提出了一个实用的算法计算持久性下的$\mathbb{Z}_2$系数的一般单纯形映射序列，并显示这些地图自然出现在拓扑数据分析的一些应用。首先，我们观察到用包含映射来模拟单纯映射并不难，但不一定是单调的。这与已知的锯齿形持久性算法相结合，提供了一种算法，用于计算由单纯映射引起的持久性。我们的主要结果是，上述头脑简单的方法可以改进的序列的单纯形映射在单调方向。一个单纯映射可以分解成一组基本包含和顶点折叠-两个原子操作，可以有效地支持与单纯形注释的概念计算持久的同源性。通过这些原子操作的一致性注释意味着保持一致的上同调基，因此通过对偶保持同调基。虽然通过包含保持上同调基的想法并不新鲜，但通过顶点折叠保持它们是新的，这构成了模拟单纯映射的重要原子操作。注释除了支持通常的包含之外，还非常自然地支持顶点折叠。最后，我们展示了这个新工具的应用程序中，我们近似的持久性图的过滤的裂缝复杂的顶点崩溃是用来驯服的大小爆破。
2014-03-25 cs.CG math.AT
Persistent Topological Features in Large Language Models
Area Science Park, Trieste, Italy（特雷斯特科学公园）；University of Trieste, Trieste, Italy（特雷斯特大学）；University of Amsterdam, Amsterdam, the Netherlands（阿姆斯特丹大学）
该研究将拓扑数据分析中的锯齿持久化框架与实用算法结合，提出追踪大语言模型层间拓扑特征演化路径的拓扑描述子，可用于层剪枝且效果媲美当前最优方法。
2025-06-13 cs.CG cs.CL cs.LG
Tracking Dynamical Features via Continuation and Persistence
多向量场和组合动力系统由于其在计算方法中的应用潜力，最近已成为一个令人感兴趣的课题。在本文中，我们开发了一种方法来跟踪一个孤立的不变集-组合动力系统的一个显着特点-在一系列的多向量场。这一目标是通过把一个孤立的不变集的“连续”的经典概念的组合设置。特别是，我们给出了一个“跟踪协议”，当给定一个种子孤立不变集，发现一个典型的延续种子在一个序列的多向量字段。在不可能继续的情况下，我们展示了如何使用之字形持久性来跟踪与孤立不变集相关的同调特征。这种构造允许将延续视为持久性的一种特殊情况。
2022-03-11 cs.CG math.AT math.DS
Persistence of the Conley Index in Combinatorial Dynamical Systems
动力系统的组合框架为经典动力学与面向数据的算法方法的连接提供了一条途径。组合向量场介绍了福尔曼和他们最近推广到多向量场提供了一个起点，建立这样一个连接。在这项工作中，我们加强了这种关系，把康利指数在持久的同源设置。康利指数是与所谓的孤立不变集相关的同调特征，因此康利指数的变化是对底层多向量场扰动的响应。我们展示了如何可以使用之字形持久性来总结康利指数的变化，我们开发的技术来捕捉这种变化中存在的噪声。最后，我们开发了一种算法来跟踪功能在不断变化的多向量场。
2020-03-12 cs.CG math.AT math.DS
Defining and Computing Topological Persistence for 1-cocycles
拓扑持久性的概念，最近在计算拓扑学中引入，发现应用在研究一个映射与其域的拓扑关系。自提出以来，它已被扩展和推广到各个方向。然而，迄今为止还没有尝试将拓扑持久性的概念扩展到“映射”的泛化，如上循环，上循环是封闭微分形式的离散模拟，这是微分几何中的一个众所周知的概念。本文定义了1-上圈的拓扑持久性概念，并给出了相应的数的计算方法。事实证明，代替标准持久性，它的一个变体，我们称之为级别持久性，可以用于此目的。值得一提的是，1-cocyles出现在实践中，如在数据排序或离散向量场。
2011-05-27 cs.CG cs.DS math.AT
Persistent Homology of Complex Networks for Dynamic State Detection
在本文中，我们开发了一种新的拓扑数据分析（TDA）的方法来研究动态系统的时间序列的图形表示。具体来说，我们展示了如何持久的同源性，从TDA的工具，可以用来产生一个压缩的，多尺度表示的图形，可以区分动态状态，如周期性和混沌行为。我们展示了从时间序列中获得的两个图形构造的方法。在第一种方法中，时间序列被嵌入到一个点云，然后用于构建一个无向$k$ -最近邻图。第二个结构依赖于最近开发的有序划分框架。在任何一种情况下，然后使用图的节点之间的最短路径来计算成对距离矩阵，并且该矩阵用于定义单纯复形的过滤，其使得能够在过滤过程中跟踪同源类的变化。这些变化总结在一个持久性图-拓扑特征变化的二维总结。然后，我们从持久性图中提取现有的以及新的几何和熵点摘要，并与其他常用的网络特征进行比较。我们的研究结果表明，基于持久性的点摘要产生更清晰的动态行为的区别，更强大的噪声比现有的基于图的分数，特别是当结合有序图。
2020-01-27 cs.CG cs.IT math.IT
