Discrete Morse Theory for Computing Zigzag Persistence
我们引入了一个理论和计算框架，使用离散Morse理论作为一个有效的预处理，以计算曲折持久同源。从复形$(K_i)$的Z字形滤子出发，引入了Z字形Morse滤子，其复形$(A_i)$是原复形$(K_i)$的Morse约化，并证明了它们具有相同的持久同调.这种锯齿形莫尔斯过滤概括了Mischaikow和Nanda的过滤莫尔斯复合体，定义为标准持久性。锯齿形莫尔斯过滤中的映射是向前和向后包含，这是锯齿形持续性中的标准映射，也是一种新型映射，它会导致莫尔斯复形边界算子的非平凡变化。我们详细研究了这最后一个映射，并设计了算法来计算更新时，在复杂的水平和在同源矩阵的水平计算锯齿持久性。我们推导出一个算法来计算锯齿形持久性的过滤，主要取决于复杂的关键细胞的数量，并通过实验表明，它在实践中表现得更好。
2019-07-11 cs.CG math.AT
Updating Barcodes and Representatives for Zigzag Persistence
通过改变过滤来计算持久性会产生一堆2D持久性图，其中生死点通过所谓的“藤蔓”连接。我们考虑计算这些藤蔓在不断变化的过滤锯齿持久性。我们观察到，八个原子操作是足够的改变一个曲折过滤到另一个，并为他们每个人提供更新算法。这些操作中的六个与非锯齿形情况下的一个或多个换位有一些类似之处，可以像它们的非锯齿形对应物一样有效地执行。这种方法利用了最近发现的用于计算锯齿形条形码的算法，该算法通过将锯齿形过滤转换为非锯齿形过滤，然后用双射连接两者的条形码。剩下的两个原子操作在非Z字形情况下没有严格的类似物。对于他们，我们提出了算法的基础上明确维护的代表（同源循环），这可以是有用的，在自己的权利，需要明确更新的代表的应用程序。
2022-08-01 cs.CG math.AT
Harder-Narasimhan Filtrations and Zigzag Persistence
我们引入了有限无圈箭图的层理论稳定性条件。我们的主要结果建立，仿射型$\widetilde{\mathbb{A}}$颤动的表示，有一个精确的关系之间的相关的Harder-Narasimhan过滤和条形码的周期性锯齿持久性模块通过解开底层的puncture。
2022-11-16 math.AT math.RT
Parametrized Homology via Zigzag Persistence
本文发展了拓扑空间的1-参数族的同调概念。我们表示参数化的同源性作为一个集合的真正的间隔，每个对应的一个同源性功能支持在该区间或等价地，作为一个持久性图。通过定义持久性的有限矩形措施，我们分为四类条码间隔。每一个都传达了同调特征是如何在它们被定义的区间的两端消失的。
2018-06-28 math.AT
The reflection distance between zigzag persistence modules
通过引用Bernstein，Gelfand和Ponomarev在1973年引入的反射函子，本文定义了一个度量，我们称之为反射距离。我们发现，两个给定的锯齿形模块之间的反射距离相同的长度是一个上界的$\ell^1$瓶颈距离各自的持久性图。
2019-07-01 cs.CG math.AT
Local Versus Global Distances for Zigzag Persistence Modules
这个简短的说明建立了本地和全局计算的基于持久性的距离之间的显式和广泛适用的关系。特别是，我们表明，两个锯齿形持久化模块之间的瓶颈距离限制在一个区间总是有界以上的无限制版本之间的距离。虽然这一结果并不令人惊讶，但它可能具有不同的实际影响。我们给出了度量图距离的两个相关应用，以及多参数持久化模块之间的匹配距离的扩展。
2019-03-20 cs.CG math.AT
Quasi Zigzag Persistence: A Topological Framework for Analyzing Time-Varying Data
Purdue University（普渡大学）
本文提出了一种结合多参数持久性和锯齿持久性的方法，用于分析时间变化数据，通过捕捉静态和动态特征提升机器学习模型性能。
2026-01-17 cs.LG math.AT
One Diamond to Rule Them All: Old and new topics about zigzag, levelsets and extended persistence
本文系统介绍扩展持续同调与 zigzag 持续同调的代数基础、计算性质及在计算层论和多参数持续同调中的应用。
2023-04-21 cs.CG math.AT
From Frames to Features: Scalable Zigzag Persistence for Binary Video
Durham University（杜伦大学）
提出一种直接从连通分量动力学提取H0和H1条形码的方法，通过图编码避免立方复形构造，利用Dey-Hou近线性时间算法实现4k视频实时分析。
2026-06-29 math.AT
Algebraic Stability of Zigzag Persistence Modules
持久同调的稳定性定理是拓扑数据分析中的一个重要结果。虽然结果的原始公式涉及$\mathbb{R}$值函数的持久性条形码，但结果后来被转换为更一般的代数形式，即\emph{persistence modules}和\emph{interleavings}的语言。在本文中，我们建立了一个类似的zigzag持久模的代数稳定性定理。为了做到这一点，我们功能性地扩展每个锯齿持久化模块的二维持久化模块，并建立这些扩展的代数稳定性定理。我们的论点的一部分产生了一个稳定的结果，自由的二维持久化模块。作为主要定理的应用，我们加强了Bauer等人关于Reeb图的持久同调的稳定性的一个结果。我们的主要结果也产生了另一种证明的水平集持久同调的稳定性定理的Carlsson等人。
2017-04-06 cs.CG math.AC math.AT
Computing Generalized Rank Invariant for 2-Parameter Persistence Modules via Zigzag Persistence and its Applications
广义秩不变的概念在多参数持久性的背景下，已成为定义有趣的同调结构，如广义持久性图的重要组成部分。自然地，有效地计算这些秩不变量是有效地计算这些导出结构中的任何一个的前奏。我们证明了一个$\mathbb{Z}^2$ -索引的持久化模块$M$在有限区间$I$上的广义秩等于在$I$中主要追踪其边界的某条路径上诱导的zigzag模块的广义秩.因此，我们可以通过计算将双滤诱导$M$限制在该路径上得到的zigzag模的条形码来计算$I$上的广义秩。如果双滤和$I$分别最多有$t$单形和点，则该计算需要$O(t^ω)$时间，其中$ω\in[2,2.373)$是矩阵乘法的指数。其中，我们应用这个结果，以获得以下问题的改进算法。给定一个导出一个模$M$的双过滤，判断$M$是否是区间可分解的，如果是，计算支持其被加数的所有区间。
2022-03-30 cs.CG math.AT
Computing Generalized Ranks of Persistence Modules via Unfolding to Zigzag Modules
本研究针对一般P索引持久模广义秩计算缺乏可行边界定义的问题，提出将其展开为zigzag模再统计可折回完整区间数的方法，还得到d复形d次同调的高效算法。
2025-09-05 cs.CG math.AT
Computing Zigzag Persistence on Graphs in Near-Linear Time
在许多应用中，图形对真实世界的环境进行建模，在这些环境中，图形可能会不断变化，以捕捉现象的动态行为。拓扑持久性为拓扑特征提供了一组生灭对，是分析这种变化的图形数据的一种工具。然而，标准的持续同源性定义在一个不断增长的空间不能总是捕捉这样一个动态的过程，除非也允许与删除收缩。因此，锯齿形持久性，其中包括插入和删除的单形是更合适的，在这样的设置。不像标准的持久性，承认近线性时间算法的图形，这样的结果为之字形版本，提高一般$O(m^ω)$的时间复杂度是未知的，其中$ω< 2.37286$是矩阵乘法指数。在本文中，我们提出了算法的锯齿形持久的图运行在近线性时间。具体地说，给定在具有$n$顶点和边的图上进行$m$添加和删除的过滤，用于$0$维的算法在$O(m\log^2 n+m\log m)$时间内运行，并且用于1维的算法在$O(m\log^4 n)$时间内运行。$0$ -维的算法借鉴了另一种算法，该算法最初设计用于配对$2$ -流形上的Morse函数的临界点。$1$ -维的算法将负边缘与最早的正边缘配对，使得包含两个边缘的$1$ -循环驻留在所有中间图中。最后，利用Alexander对偶性，我们将$0$维的算法扩展到在$O(m\log^2 n+m\log m+n\log n)$时间内计算$\mathbb{R}^p$嵌入复合物的$(p-1)$维锯齿形持久性.
2021-03-12 cs.CG math.AT
Spatiotemporal Persistence Landscapes
本文提出时空持久性景观方法，通过扩展之字形模块捕获时间序列在空间和时间上的持续特征，并证明其稳定性，适用于统计分析和机器学习。
2024-12-16 cs.CG math.AT
Reeb complexes and topological persistence
我们引入Reeb复合物，以捕捉如何发电机的同调流沿一个实值连续函数的部分。这种直觉表明，Reeb复合物与拓扑数据分析中的既定方法（如水平集标记和持久同源性）有密切关系。我们使这种关系精确，特别是解释如何Reeb复合物和levelset标签可以从各自的谱序列的第一页中提取具有相同的终止。
2022-01-29 math.AT
Zigzag persistence for coral reef resilience using a stochastic spatial model
本文扩展珊瑚礁动力学模型以纳入随机与空间相互作用，利用持续同调和之字形持续性等拓扑数据分析方法，揭示了局部竞争、邻域组成和空间配置对珊瑚集群形成及长期存活的影响，并将该多尺度工具包成功应用于经验珊瑚礁数据。
2023-08-12 math.AT q-bio.PE q-bio.QM
Computing Zigzag Vineyard Efficiently Including Expansions and Contractions
本文研究锯齿形持久性中藤蔓和葡萄园的计算，通过利用FastZigzag算法中的半程上下过滤，实现了转置的线性时间复杂度以及扩张和收缩的二次时间复杂度，匹配了非锯齿形情况的时间复杂度。
2024-02-19 cs.CG math.AT
Revisiting Graph Persistence for Updates and Efficiency
本文重新审视图持久性，提出高效算法支持过滤上的局部更新，将普通图持久性切换时间降至对数级，之字形持久性计算改进至$O(m\log m)$，并优化各类条目的更新复杂度。
2023-05-11 cs.CG math.AT
Persistence and Stability of the $\mathbb{A}_n$ Quiver
我们引入了两个新的距离zigzag持久化模块。第一种方法使用Auslander-Reiten交织理论，第二种方法是经典交织距离的扩展。两者都是在$\mathbb{A}_n$的完全一般方向上定义的。我们将第一个距离与M引入的块距离进行比较。Botnan和M. Lesnick和获得完整的一套尖锐的Lipschitz边界之间的两个（瓶颈距离）在纯锯齿方向。论文的最后一部分提出了扩展交织距离所需的尖锐Lipschitz界，以主导从Auslander-Reiten距离创建的距离。这些界限获得的一般取向的$\mathbb{A}_n$电子。
2020-01-17 math.AT math.RT
Computing Optimal Persistent Cycles for Levelset Zigzag on Manifold-like Complexes
针对PL函数诱导的持续同调，提出水平集持续环序列以刻画拓扑特征演化，并给出弱伪流形上计算最优环序列的多项式时间算法，实验证明其质量良好。
2025-02-27 cs.CG math.AT
A differentiability framework for zigzag persistent homology via linear interpolation
Area Science Park（的里雅斯特科技园）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）
本文提出了锯齿形持续同调的可微性框架，通过线性插值将滤波值连续性传递给图点，并在排除集外证明局部Lipschitz连续性，实验验证了其在传感器网络覆盖优化和动态图分类中的有效性。
2026-10-01 cs.CG cs.LG math.AT
Computing Topological Persistence for Simplicial Maps
对于同态由包含映射诱导的持久模，持久同调和锯齿形持久同调的算法得到了很好的研究。在本文中，我们提出了一个实用的算法计算持久性下的$\mathbb{Z}_2$系数的一般单纯形映射序列，并显示这些地图自然出现在拓扑数据分析的一些应用。首先，我们观察到用包含映射来模拟单纯映射并不难，但不一定是单调的。这与已知的锯齿形持久性算法相结合，提供了一种算法，用于计算由单纯映射引起的持久性。我们的主要结果是，上述头脑简单的方法可以改进的序列的单纯形映射在单调方向。一个单纯映射可以分解成一组基本包含和顶点折叠-两个原子操作，可以有效地支持与单纯形注释的概念计算持久的同源性。通过这些原子操作的一致性注释意味着保持一致的上同调基，因此通过对偶保持同调基。虽然通过包含保持上同调基的想法并不新鲜，但通过顶点折叠保持它们是新的，这构成了模拟单纯映射的重要原子操作。注释除了支持通常的包含之外，还非常自然地支持顶点折叠。最后，我们展示了这个新工具的应用程序中，我们近似的持久性图的过滤的裂缝复杂的顶点崩溃是用来驯服的大小爆破。
2014-03-25 cs.CG math.AT
Extracting Persistent Clusters in Dynamic Data via Möbius inversion
在研究自然界、移动终端网络或社交网络中出现的集体行为时，识别和表示随时间变化的网络数据中的集群是特别重要的。基于组合论、分类论和持久性理论的观点，我们建立了一个稳定的函子管道，用于总结时变网络中簇的演化。我们首先构建一个完整的总结集群的演化在一个给定的时变网络的一组实体$X$，其中采取形式的formigram。该形式图可以理解为由$X$的子集标记的特定Reeb图$\mathcal{R}$。通过应用莫比乌斯反演的formigram在两种不同的方式，我们得到两个双重概念的图：最大组图和持久性聚类图，这两者都是在一个'注释'条形码的形式。最大群图由相应的最大群标注的时间间隔组成--这是Buchin等人提出的一个概念，这意味着我们承认极大群的概念是Patel的广义持久图的一个特殊例子。另一方面，持久性聚类图主要通过在给定的时变网络中用某些合并/解散事件注释Reeb图$\mathcal{R}$的Z字形条形码中的间隔来获得。我们表明，这两个图是完全不变的formigrams（或等价的轨迹分组结构由Buchin等人）。因此包含比Reeb图$\mathcal{R}$更多的信息。
2022-02-14 cs.CG math.AT
Topological classification of tumour-immune interactions and dynamics
本文提出四种拓扑向量化方法分析肿瘤与免疫细胞空间时间序列，发现拓扑摘要能比简单标记更早预测血管周围微环境形成，且不同拓扑特征在肿瘤发展不同阶段具有差异化分类优势。
2023-08-10 math.AT q-bio.CB
Algebraic and Geometric Models for Space Networking
Case Western Reserve University（凯斯西储大学）；University at Albany, State University of New York (SUNY)（纽约州立大学奥尔巴尼分校（SUNY））；Colorado State University（科罗拉多州立大学）；NASA Glenn Research Center（美国国家航空航天局格伦研究中心）；NASA Goddard Space Flight Center（美国国家航空航天局戈达德太空飞行中心）
该研究提出空间组网的代数几何新方法，通过新定义的时变图与半环建模星链等空间通信，结合拓扑数据分析与锯齿持久同调提取特征，可有效区分不同深空卫星系统。
2023-10-05 cs.LG cs.NI math.AT
