Dimension Detection with Local Homology
从点样本中检测隐流形的维数已成为当前数据驱动时代的一个重要问题。事实上，估计形状尺寸通常是研究与数据相关的过程或现象的第一步。在各个领域提出的众多维数检测算法中，有少数能对估计维数的正确性提供理论保证。然而，正确性通常需要输入的一定规律性：输入点在统计设置中均匀随机采样，或者它们形成所谓的$(\varepsilon,δ)$ -样本，其既不能太密集也不能太稀疏。在这里，我们提出了一个纯粹的拓扑技术来检测尺寸。我们的算法可证明是正确的，并且在更宽松的采样条件下工作：我们不要求均匀性，并且我们还允许Hausdorff噪声。我们的方法通过确定局部同源性来检测维度。这种拓扑结构的计算对点的局部分布不太敏感，这导致了采样条件的放松。此外，通过利用各种发展计算拓扑，我们表明，这种局部同源点$z$可以计算\emph{exactly}流形使用Vietoris-Rips复合物的顶点被限制在一个局部邻域内的$z$。我们实现我们的算法，并证明我们的方法使用合成和真实的数据集的准确性和鲁棒性。
2014-05-14 cs.CG math.AT
Kan Approximations of the Persistent Homology Transform
本文针对持续同调变换（PHT）仅能有限方向采样的问题，利用基于Kan延拓的插值理论，证明可从有限方向及高度样本插值逼近PHT，给出该方向首个研究结果。
2025-07-30 cs.CG math.AT math.CT
The persistent homology of cyclic graphs
给出了一个计算循环图的团复形在$n$顶点上的滤除的$k$维持久同调的$O(n^2(k+\log n))$算法.这在顶点数$n$上几乎是二次的，因此对传统的持续同调算法有很大的改进，传统的持续同调算法在维数至多为$k+1$的单形数上是三次的，因此在顶点数$n$上运行时间$O(n^{3(k+2)})$是三次的。我们的算法适用于，例如，Vietoris-裂口复杂的采样点从曲线在$\mathbb{R}^d$的规模是有界的曲线的几何形状，但仍然足够大，使Vietoris-裂口复杂的可能有非平凡的同源性在任意高的维度$k$。在平面$\mathbb{R}^2$的情况下，我们证明了我们的算法适用于所有的尺度参数，如果$n$顶点是从一个凸闭可微曲线，其凸包包含其渐屈线采样。我们问，是否有其他几何设置中，计算持久的同源性是（说）二次或三次的顶点数，而不是在单形的数量。
2019-10-13 cs.CG math.AT math.MG
Algorithmic Reconstruction of the Fiber of Persistent Homology on Cell Complexes
设$K$是有限单纯形、三次、δ或CW复形。持久性映射$\mathrm{PH}$将过滤器$f:K \rightarrow \mathbb{R}$作为输入，并返回相关子水平集持久性同源模块的条形码$\mathrm{PH}(f)$。我们解决逆问题：给定目标条形码$D$，计算光纤$\mathrm{PH}^{-1}(D)$。为此，我们使用的事实，即$\mathrm{PH}^{-1}(D)$分解为复杂的多面体时，$K$是一个单纯的复杂，我们将这一结果推广到任意基链复合体。然后，我们设计并实现了深度优先搜索算法，恢复形成纤维的多面体$\mathrm{PH}^{-1}(D)$。作为一个应用程序，我们解决了语料库的120个样本的问题，提供了第一个洞察这些纤维的统计结构，一般CW复合物。
2021-10-27 cs.CG math.AT
Greedy Matroid Algorithm And Computational Persistent Homology
本文研究计算拓扑中从样本计算空间同调的问题，提出一种通过计算诱导映射期望秩的统计方法，并开发贪婪拟阵算法寻找最优基，同时探讨其与采样向量概率的关系。
2023-08-03 cs.CG stat.CO
Persistent Homology of Fractional Gaussian Noise
在本文中，我们采用持久同源（PH）技术研究分数高斯噪声（fGn）的拓扑性质。我们开发的加权自然可见性图算法，并通过过滤过程中的相关单纯形复合物量化的PH值。Betti数表示的同源群维数的演变表现出很强的依赖于赫斯特指数（$H$）。给定阈值下$k$维拓扑洞（$k$ -洞）的生死曲线系数取决于$H$，而$H$几乎不受有限样本量的影响。我们发现，$k$ -孔的寿命的分布函数呈指数衰减和相应的斜率是一个增加的函数与$H$，更有趣的是，在这个数量的样本尺寸效应完全消失。持久性熵的增长与系统的可见性图的大小几乎$H$依赖的前因子。相反，局部统计特征不能确定fGn数据的相应Hurst指数，而$n\ge1$的特征值分布矩（$M_{n}$）显示对$H$的依赖性，包含样本量效应。最后，PH显示了健康和精神分裂症样本的脑电图的相关行为。
2022-06-16 cs.CG math.AT physics.data-an
Čech-Delaunay gradient flow and homology inference for self-maps
我们称一个通过离散集点值对集揭示自身的连续自映射为采样动力系统。捕获可用的信息与Delaunay复合物的链图，我们使用持久的同源性，以量化的证据，经常性的行为。我们建立了一个采样定理来恢复由自映射诱导的同调自同态的特征空间。使用的组合梯度流所产生的离散莫尔斯理论的Čech和Delaunay复形，我们构建了一个链映射转换的问题，从自然的，但昂贵的Čech复形的计算效率的Delaunay三角剖分。快速链映射算法的应用范围超出了动力系统。
2020-01-13 cs.CG math.AT math.DS
Persistent Homology of Morse Decompositions in Combinatorial Dynamics
本文研究了单纯复形上的组合动力系统，它被认为是{ \em有限拓扑空间}。这样的系统以自然的方式从采样动态中产生，并且可以用于直接从样本重建动态的一些特征。我们研究的同调持久性{ \em莫尔斯分解}这样的系统，一个重要的描述符的动力学，作为一种工具，用于验证重建。我们的框架可以被看作是一个步骤，将经典的持久性理论扩展到“向量云”数据。我们提出了两个数值例子的实验结果。
2018-07-11 cs.CG math.AT math.DS
The Impact of Changes in Resolution on the Persistent Homology of Images
Institute of Science and Technology (IST) Austria（奥地利科学技术研究所）；Michigan State University（密歇根州立大学）；Colorado State University（科罗拉多州立大学）；École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL)（洛桑联邦理工学院）；Curtin University（科廷大学）；University of New England（新英格兰大学）
本文研究图像分辨率变化对持续同调的影响，提出在已知先验信息下选择最粗分辨率的方法，并通过合成示例和孔隙材料样本验证了该方法的有效性。
2021-11-10 cs.CG cs.CV math.AT
Critical Points to Determine Persistence Homology
Sri Lanka Institute of Information Technology（斯里兰卡信息技术学院）；University of Colombo（科伦坡大学）
大型点云的单纯形复形的计算通常依赖于提取样本，以减少相关的计算负担。该研究考虑采样与点云相关联的Morse函数的临界点，以近似Vietoris-Rips复合体或见证复合体并计算持久性同源性。新方法的有效性进行了比较，与最远点采样，在人类的人脸图像分类到种族群体使用持久性同源的背景下。
2018-05-16 cs.AI cs.CG cs.CV
Fractal Dimension and the Persistent Homology of Random Geometric Complexes
证明了具有Ahlfors正则测度的度量空间的分形维数可以由随机样本的持久同调恢复。我们的主要结果是，如果$x_1,\ldots, x_n$是i.i.d.样本来自度量空间上的$d$ -Ahlfors正则测度，并且$E^0_α\left(x_1,\ldots,x_n\right)$表示$x_1,\ldots,x_n:$ \[E_α^0\left(x_1,\ldots,x_n\right)=\sum_{e\in T\left(x_1,\ldots,x_n\right)} |e|^α\,,\]上的最小生成树的$α$ -权，则存在常数$0<C_1\leq C_2$，使得\[C_1\leq n^{-\frac{d-α}{d}} E^0_α\left(x_1,\ldots,x_n\right)\leq C_2\,\]具有高概率为$n\rightarrow \infty.$特别地，\[\log\big(E^0_α(x_1,\ldots,x_n)\big)/\log(n)\longrightarrow (d-α)/d\,.\]这是Steele（1988）的结果从非奇异情况到分形设置的推广。我们的结果是最好的可能的，在这个意义上，存在Ahlfors正规措施的限制$\lim_{n\rightarrow\infty} n^{-\frac{d-α}{d}} E^0_α\left(x_1,\ldots,x_n…
2020-06-24 cs.CG math.AT math.MG
Approximating Simplet Frequency Distribution for Simplicial Complexes
本文提出单纯形频率分布（SFD）向量以支持大规模单纯复形的频率分析，给出均匀采样算法近似SFD向量的样本复杂度下界，并通过实验验证了所提简单算法的理论界限。
2024-02-26 cs.CC cs.CG math.GT
Scaffoldings and Spines: Organizing High-Dimensional Data Using Cover Trees, Local Principal Component Analysis, and Persistent Homology
我们提出了一种灵活的多尺度方法，用于组织，可视化和理解从分层空间或附近采样的数据集。该算法的第一部分结合多尺度局部主成分分析和拓扑数据分析，使用自适应阈值生成覆盖树。所得到的覆盖树节点由分层空间的同一层内或附近的点组成。然后将它们连接以形成\emph{scaffolding}图，然后将其简化并折叠成\emph{spine}图。从后一个图中，分层结构变得明显。我们展示了我们的技术在几个合成点云的例子，我们用它来理解音乐音频数据中的歌曲结构。
2016-02-27 cs.CG
Efficient Random-Walk Methods for Approximating Polytope Volume
我们的实验研究的基本问题计算的凸多面体的体积作为一个交叉的线性不等式。我们实现和评估实用的随机算法，准确地近似多面体的体积在高维度（例如一百）。为了有效地实现这一点，我们通过实验将参数（如随机游走长度和样本点数量）对准确性和运行时间的影响关联起来。此外，我们利用问题的几何实现一个迭代舍入过程，计算随机点的部分代和设计快速多面体边界预言机。我们公开的代码比精确计算快得多，比现有的近似方法更准确。我们提供Birkhoff多面体B_11，.，B_15，而精确方法只计算了B_10。
2014-03-29 cs.CG cs.MS
Approximating Nearest Neighbor Distances
一些研究人员提出了使用非欧几里德度量的点集在欧几里德空间聚类噪声数据。几乎总是需要一个距离函数来识别同一聚类中点的接近程度，即使欧几里得聚类直径很大。因此，优选的是将较小的成本分配给保持靠近输入点的路径。在本文中，我们考虑最自然的度量与此属性，我们称之为最近邻度量。给定一个点集P和一条路径$γ$，我们的度量将$γ$中的每个点与其到P的距离进行充电。沿$γ$的总电荷确定其最近邻长度，其被正式定义为沿曲线到输入点的距离的积分。我们描述了一个$(3+\varepsilon)$ -近似算法和一个$(1+\varepsilon)$ -近似算法来计算最近邻度量。两种近似算法都工作在近似线性时间。前者使用稀疏图上的最短路径，只使用输入点。后者使用周围空间的稀疏样本，以找到良好的近似测地线路径。
2015-02-27 cs.CG
Approximating the Riemannian Metric from Point Clouds via Manifold Moving Least Squares
从欧氏空间的嵌入子流形$\mathcal{M}$上采样的点云上的测地线距离和最短路径的逼近一直是计算几何中的一个长期挑战。给定采样分辨率参数$ h $，最先进的离散方法产生$ O(h) $可证明的近似。在本文中，我们研究了流形移动最小二乘（Manifold-MLS）进行的这种近似的收敛性，这是一种使用Sober \& Levin在2019年开发的给定点云信息构建近似流形$\mathcal{M}^h$的方法。本文证明了：只要$\mathcal{M}\in C^{k}$是闭的（即$\mathcal{M}$是无边界的紧致流形），$ \mathcal{M}^h $的黎曼度量逼近$ \mathcal{M}, $的黎曼度量.明确地，给定点$ p_1, p_2 \in \mathcal{M}$具有测地距离$ ρ_{\mathcal{M}}(p_1, p_2) $，我们证明了它们的对应点$ p_1^h, p_2^h \in \mathcal{M}^h$具有测地距离$ ρ_{\mathcal{M}^h}(p_1^h,p_2^h) = ρ_{\mathcal{M}}(p_1, p_2)(1 + O(h^{k-1})) $（即，流形-MLS几乎是等距的）。然后，我们使用这个结果，以及事实上，$ \mathcal{M}^h $可以被采样与任何所需的分辨率，设计一个朴素的算法，产生近似测地线距离的收敛速度$…
2020-11-20 cs.CG cs.LG cs.NA
