Accelerating Iterated Persistent Homology Computations with Warm Starts
持久同源性是一种拓扑特征，用于各种应用，例如生成用于数据分析的特征和惩罚最优化问题。我们提出了一种基于更新关联矩阵分解的方法来加速在许多相似的过滤拓扑空间上进行的持久同调计算。我们的方法改进了更新方案的Cohen-Steiner，Edelsbrunner，和Morozov的排列，另外处理添加和删除的细胞在一个过滤的拓扑空间，并在一个单一的批处理的变化。我们表明，我们的计划规模的复杂性与过滤的基本变化的数量，因此往往是不太昂贵的比完整的持久性同源计算。最后，我们进行计算实验，证明实际的加速在几种情况下，包括功能生成和优化指导持久同源性。
2023-01-17 cs.CG math.AT
Interleaved computation for persistent homology
我们描述了一种方法，持久的同源性和贝蒂条码，其中的计算状态保持更新引入新的边缘的基础邻域图和simulating所产生的变化到单纯形流喂养的持久性算法的有界内存计算。我们进一步讨论了内存消耗和由此产生的算法的速度和复杂性行为。
2011-05-31 cs.CG math.AT
Stability of persistent path homology of path complexes
该研究证明了路径复形的持久路径同调的稳定性，进而推导超图、序列超图的对应稳定性，恢复了Chowdhury与Mémoli关于有向图的已知结果。
2026-07-30 cs.CG math.AT math.CO
Dualities in persistent (co)homology
我们考虑序列的绝对和相对的同源性和上同调群，自然产生的过滤胞腔复形。我们建立了它们的持久化模块之间的代数关系，并表明它们包含等价的信息。我们解释了如何可以使用现有的算法持久同源处理的四个模块中的任何一个，并将其与最近推出的持久上同调算法。我们提出了实验证据，后者的算法的实际效率。
2011-07-28 cs.CG math.AT
A Primer on Persistent Homology of Finite Metric Spaces
拓扑数据分析（TDA）是一个相对较新的研究领域，它将拓扑学中的经典思想引入数据分析领域。在TDA的保护伞下，特别是持久同源性的概念，它可以简单地描述为对数据集的尺度相关同源不变量的研究。在这些笔记中，我们提供了一个简洁的自我包含的描述背后的主要思想的建设持久的同源性作为一个不变的功能的数据集，其稳定性扰动。
2019-05-31 cs.CG math.AT
Stable Volumes for Persistent Homology
本文提出了一个稳定的体积和稳定的体积变量，称为稳定的子体积，更可靠的数据分析使用持久的同源性。在先前的研究中，已经提出了一个最优循环和类似的想法来识别持久图中每个生灭对对应的同调结构。虽然这有助于使用持久同源性进行数据分析，但结果对噪声敏感。本文提出了稳定体和稳定子体的概念来解决这一问题。对于一个特殊的情况下，我们证明了一个稳定的音量是鲁棒的一部分，最佳音量对噪声。我们在HomCloud上实现了稳定卷和子卷，HomCloud是一个基于持久同源性的数据分析软件包，并展示了稳定卷和子卷的例子。
2022-01-22 cs.CG math.AT
Geometric Approaches on Persistent Homology
我们介绍了几个几何概念，包括宽度的同调类，持久的同源性理论。这些思想提供了持久性图的几何解释。事实上，我们给定量和几何描述的“寿命”或“持久性”的同调类。作为一个案例研究，我们分析了未加权图的功率过滤，并提供了明确的边界的持久性图中的同源类的生命跨度在所有维度。
2022-03-30 cs.CG math.AT math.GT
Defining and computing persistent Z-homology in the general case
一般情况下，我们的意思是方法能够处理单纯集和链复形的有限型。一个被研究对象的过滤是这两个学科的核心持续同源性和光谱序列。在本文中，我们提出了它们之间的完整关系，从理论和计算的角度来看。本文的主要贡献之一是观察到，我们以前的程序计算谱序列的轻微修改是足够的计算也持久的同源性。通过继承我们的谱序列程序，我们获得了免费的持久的同源程序适用于空间的有限型（只要它们是空间有效的同源性）和Z系数（显着推广通常的持久的同源性在一个字段）。作为示例，我们在Postnikov塔的情况下计算一些持久同源群（以及相应的整数条形码）。
2014-03-31 cs.CG cs.SC math.AT
Stable comparison of multidimensional persistent homology groups with torsion
持续同调群与挠率的比较缺乏一种稳定的方法，这是当前持续同调研究及其在模式识别中应用的一个相关问题。在本文中，我们引入了一个伪距离d_T，它代表了这个问题的一个可能的解决方案。事实上，d_T是系数在阿贝尔群中的多维持久同调群之间的伪距离，因此可能具有挠。我们的主要定理证明了新的伪距离相对于过滤函数的变化的稳定性，表示相对于最大范数和自然伪距离之间的拓扑空间赋予向量值过滤功能。此外，我们还证明了在一维情形下，当同调系数取在一个域中时，d_T与匹配距离之间的关系，从而可以进行比较。
2010-12-19 cs.CG math.AT
$P$-persistent homology of finite topological spaces
设$P$是有限偏序集.我们证明了对于有限拓扑空间范畴中的任意合理的$P$ -持久对象$X$，存在一个$P-$赋权图，其团复形与$X$具有相同的$P$ -持久同调.
2015-02-17 cs.CG math.AT math.CO
A comment on the structure of graded modules over graded principal ideal domains in the context of persistent homology
持久同调的文献中经常提到“分次主理想整环上的分次生成分次模的结构定理“。我们澄清的性质，这个结构定理在这种情况下。
2023-02-05 cs.CG math.AC math.AT
Persistent Homology Over Directed Acyclic Graphs
我们定义持久的同源群的任何一组空间，其中有定义，使相应的有向图之间的空间是无环的，以及沿任何子图的这个有向图。该方法同时将标准持久同调、Z字形持久和多维持久推广到任意有向无环图，并允许研究更一般的拓扑空间族或点云数据。本文给出了一个算法，通过$O(n^4)$的算术运算，同时计算所有含单源单汇的子图的持久同调群，其中$n$是图的顶点数.然后，我们展示了这些工具的应用程序的方法，覆盖两个不同的过滤相同的底层空间，这使我们能够使用比标准持久性少得多的点来检测最重要的条形码。
2019-06-19 cs.CG math.AT
Subsampling Methods for Persistent Homology
持久同源性是一种多尺度方法，用于从点云数据中分析集合和函数的形状，这些点云数据来自这些集合上支持的未知分布。当样本的大小很大时，由于现有算法的组合性质，直接计算持久同源性是禁止的。我们建议计算数据的几个子样本的持续同源性，然后将所得的估计相结合。我们研究了两个估计的风险，我们证明了子采样方法进行稳定的拓扑信息，同时实现了极大的减少计算复杂性。
2014-06-07 cs.CG math.AT stat.AP
Sketches of a platypus: persistent homology and its algebraic foundations
持续同调的主题使代数拓扑在点云数据和纯粹数学领域以外的应用领域的应用变得活跃起来。该地区已经看到了几个根本上重要的结果，这些结果植根于选择一个特定的代数基础理论来描述持久的同源性，并应用该理论的结果来证明有用和重要的结果。在这篇综述论文中，我们将研究使用中的各种选择，以及它们允许我们证明什么。我们还将讨论人们使用的选择之间的内在差异，并推测解决这些差异的潜在研究方向。
2013-11-10 cs.CG math.AT
Computing Representatives of Persistent Homology Generators with a Double Twist
针对持续同调图代表环计算效率低的问题，研究提出“保存”技术扩展Chen和Kerber的扭转算法，形成可复用现有矩阵约简实现的双遍策略，提升持续同调生成元代表元的计算效率并验证了正确性与性能。
2024-03-06 cs.CG math.AT
Stability of 2-Parameter Persistent Homology
持久同调的Čech和Rips构造对于输入数据的扰动是稳定的。然而，这两种方法对离群值都不鲁棒，并且对数据的高密度区域的拓扑结构都不敏感。一个自然的解决方案是考虑2参数持久性。本文研究了2-参数持续同调的稳定性：我们证明了几个相关的密度敏感的双滤结构满足稳定性性质，可以容纳离群值的添加和删除。具体地说，我们考虑了多重覆盖双过滤，希伊的细分双过滤，和度双过滤。对于多重覆盖和细分双滤，我们得到了与标准的1-参数持续同调稳定性结果非常相似的1-Lipschitz稳定性结果。我们的结果的度双过滤是弱，但他们是紧的，在某种意义上。作为我们理论的一个应用，我们证明了随机数据细分重滤的一个大数定律。
2022-04-27 cs.CG math.AT
RedZeD: Computing persistent homology by Reduction to Zero Differentials
提出一种基于归约到零微分（RedZeD）框架的新算法，通过主动枚举技术加速Vietoris–Rips过滤的持续同调计算。
2026-09-14 cs.CG cs.MS math.AT
Visual Detection of Structural Changes in Time-Varying Graphs Using Persistent Homology
拓扑数据分析是探索性数据分析和数据采掘中的一个新兴领域。它的主要工具，持久同源性，已成为研究复杂的，高维数据的结构的流行技术。在本文中，我们提出了一种新的方法，使用持久的同源量化结构变化的时变图。具体来说，我们将时变图的每个实例转换为度量空间，使用持久同源性提取拓扑特征，并随着时间的推移比较这些特征。我们提供了一个可视化，有助于随时间变化的图形探索，并有助于识别数据中的行为模式。为了验证我们的方法，我们对现实世界的数据集进行了几个案例研究，并展示了我们的方法如何找到循环模式，偏离这些模式，以及时变图中的一次性事件。我们还研究是否持久性为基础的相似性度量作为一个图形度量满足一组完善的，理想的属性图形度量。
2017-10-03 cs.CG cs.GR
Uniqueness of models in persistent homology: the case of curves
我们考虑R^2中的一般曲线，即从S^1到R^2的一般C^1函数f。我们通过f在S^1上诱导的过滤的持久同调群来分析这些曲线。特别地，我们考虑这些持久同调群是否唯一地刻画f的问题，至少直到S ^1的重新参数化。我们对这个问题给出了部分肯定的回答。更精确地说，我们证明了f=goh，其中h：S^1-> S^1是C^1-同素射，当且仅当sof和sog的持久同调群重合，对于每个s属于由坐标轴上的反射生成的群Sigma_2.此外，对于一组较小的通用功能，我们表明，f和g是接近对方的最大范数（重新参数化）当且仅当，对于每个s属于Sigma_2，持久的贝蒂数功能的sof和sog是接近对方，相对于一个合适的距离。
2010-12-28 cs.CG math.AT
Persistent homology analysis of multiqubit entanglement
我们介绍了一种基于同源性的多量子比特状态矢量的分析技术。在我们的方法中，我们关联状态向量的数据集，通过引入一个度量的措施，在二分纠缠，并调查在不同尺度的同源性的持久性。这导致了多量子比特纠缠的一种新分类。还示出了各类纠缠态的相对出现频率。
2019-07-16 cs.CG quant-ph
G-invariant Persistent Homology
University of Bologna（博洛尼亚大学）；ARCES
经典持久同调是形状比较的有力数学工具。不幸的是，它并不适合于研究不同于拓扑空间X的所有自同胚的群Homeo（X）的变换群的作用。这一事实限制了它在应用中的使用。为了得到与Homeo（X）的子群G相关联的自然伪距离d_G的更好的下界，我们需要调整持久同调并考虑G-不变持久同调.粗略地说，其主要思想在于通过一组在G的作用下不变的链来定义持久同调。本文将这一思想形式化，并证明了G-不变持久同调中持久贝蒂数函数关于自然伪距离d_G的稳定性。我们还展示了如何G-不变的持久同调可用于有关形状比较的应用，当不变群是一个拓扑空间的所有自同胚群的一个真子群。在本文中，我们将假设空间X是可三角化的，以保证持久贝蒂数函数是有限的，而不使用任何驯服性假设。
2013-12-21 cs.CG cs.CV math.AT
Singular persistent homology with geometrically parallelizable computation
持久同源性是拓扑数据分析中的一个常用工具。它提供了反映全球几何属性的数据集的数字特征。为了在实践中有用，例如用于机器学习中的特征生成，它需要是有效可计算的。经典同调是一个可计算的拓扑不变量，因为空间的覆盖有Mayer-Vietoris正合序列和谱序列。我们的国家和证明版本的迈尔-Vietoris定理持久的同源性温和和常见的假设下。这是通过使用一个新的理论，奇异持续同源性，更适合处理覆盖的数据集。作为一个应用程序，我们创建了一个分布式的计算工作流程，其优势不仅是甚至主要是在速度的提高，但在大数据集的纯粹可行性。
2019-06-22 cs.CG math.AT math.MG
Persistent Homology and the Upper Box Dimension
我们引入了一个定义在该空间的极值子集的持久同调的度量空间的分形维数。我们展示的假设下，这方面是可比的上盒维数，特别是，尺寸相吻合的子集$\mathbb{R}^2$的上盒维数超过$1.5.$这些结果是有关极值问题的一组$n$点在度量空间的持续同源区间的数量。
2019-07-29 cs.CG math.AT math.CO
Greedy Matroid Algorithm And Computational Persistent Homology
本文研究计算拓扑中从样本计算空间同调的问题，提出一种通过计算诱导映射期望秩的统计方法，并开发贪婪拟阵算法寻找最优基，同时探讨其与采样向量概率的关系。
2023-08-03 cs.CG stat.CO
Dimensionality Reduction for Persistent Homology with Gaussian Kernels
使用高斯核计算持久同源性在拓扑数据分析和机器学习领域非常有用，如Phillips，Wang和Zheng所示[SoCG 2015]。然而，与使用欧几里德距离甚至$k$ -距离计算持久同源性的情况相反，不知道如何使用高斯核计算高维数据的持久同源性。在本文中，我们考虑了幂距离版本的高斯核距离（GKPD）的菲利普斯，王和郑，并显示出持久的同源性的$P$计算使用GKPD的Čech过滤近似保持。对于$d$维欧氏空间中的数据集，在$\varepsilon \in [0,1]$的相对误差界下，我们得到了$n$点数据集的$(i)$ $O(\varepsilon^{-2}\log^2 n)$的维数和直径为$r$（直到一个比例因子）的数据集的$(ii)$ $O(D\varepsilon^{-2}\log (Dr/\varepsilon))$的维数.我们使用两种主要成分。第一个是一个新的分解的平方半径的Čech单形使用核功率距离，在成对的GKPD的顶点之间，我们的状态和证明。第二个是Rahimi和Recht的随机傅立叶特征（RFF）图[NeurIPS 2007]，如Chen和Phillips [ALT 2017]所用。
2023-01-09 cs.CG math.GN
A Kernel for Multi-Parameter Persistent Homology
Graz University of Technology（格拉茨工业大学）；University of Modena and Reggio Emilia（摩德纳-雷焦艾米利亚大学）；University of Utah（犹他大学）
拓扑数据分析及其主要方法--持久同调，为计算高维噪声数据集的拓扑信息提供了工具。已经建立了用于单参数持久同源性的核以将持久同源性与机器学习技术相连接。我们贡献了一个核结构的多参数持久性通过整合一个单参数核沿直线加权。我们证明了我们的核是稳定的和有效的可计算的，这建立了拓扑数据分析和多元数据分析的机器学习之间的理论联系。
2019-06-05 cs.CG cs.LG math.AT
Lifespan Functors and Natural Dualities in Persistent Homology
本文引入寿命函子，根据有界性过滤条形码区间，用于分类内射与投射对象，推广了持久（上）同调的对偶性结果，并为高效计算态射像、核与余核的条形码奠定基础。
2021-10-18 cs.CG math.AT
Invariance properties of the multidimensional matching distance in Persistent Topology and Homology
Persistent Topology通过分析合适函数的低层集合（称为过滤函数）来研究形状的拓扑特征，并将所产生的信息编码到参数化的贝蒂数中，即持久同调群的秩中。最初介绍考虑实值过滤功能，持久拓扑已随后推广到多维设置，即$\R^n$值过滤功能的情况下，导致研究的行列多维同调群。特别是，已经定义了多维匹配距离，以比较这些排名。多维匹配距离的定义是基于通过半平面的集合来划分多维同调群的秩的域，因此它形式上依赖于诱导这些半平面的参数化的$\R^n\times\R^n$的子集。碰巧的是，有可能以无数种不同的方式选择这个子集。在本文中，我们表明，多维匹配距离实际上是不变的，这样的选择。
2010-05-04 cs.CG math.AT
Persistent Homology of Attractors For Action Recognition
Arizona State University（亚利桑那州立大学）；IBM Thomas J. Watson Research Center（IBM托马斯·J·沃森研究中心）
在本文中，我们提出了一个新的框架，从三维运动捕捉数据的拓扑数据分析的动态分析人类的行动。我们使用动力系统的吸引子的拓扑特征来模拟人类的行为。我们利用时滞嵌入重构与动作相对应的时间序列的相空间，并计算重构相空间的持久同调。为了更好地表示相空间的拓扑性质，我们在计算同调群时加入了时间邻接信息。使用持久性图编码的这些同源群的持久性被用作动作的特征。我们的实验与动作识别使用这些功能表明，所提出的方法优于其他基线方法。
2016-03-16 cs.CG cs.CV
The Gestalt Computational Model by Persistent Homology
针对格式塔原则缺乏定量支持与理论一致性的问题，本文利用持续同调构建统一计算模型，实现其定量表征与统一计算。
2024-12-04 cs.CG math.AT
Volume Optimal Cycle: Tightest representative cycle of a generator on persistent homology
本文给出了体积最优圈的数学形式化、算法和计算软件，有助于理解持久图的几何特征。体积最优循环给我们具体的和最优的同源结构，如环或腔，在一个给定的数据。其核心思想是$(q + 1)$ -链复形对于$q$ th同源生成子的最优性。这种最优性形式化适用于持久同调。我们可以用线性规划来解决这个最优化问题。对于$\mathbb{R}^n$上的α过滤，使用合并树算法可以更有效地计算第$(n-1)$个持久性图上的体积最优循环。合并树算法也给我们一个树结构的图和结构有更丰富的信息。数学的核心思想是亚历山大对偶。
2017-12-14 cs.CG math.AT
Vietoris-Rips Persistent Homology, Injective Metric Spaces, and The Filling Radius
本文提出一种基于空间嵌入与加厚的几何持久同调生成方法，证明在环境度量空间满足内射性时其与 Vietoris-Rips 持久同调范畴论同构，并应用于刻画条形码区间、度量粘合及流形填充半径。
2024-03-29 cs.CG math.AT
Persistent and Zigzag Homology: A Matrix Factorization Viewpoint
在过去的二十年里，拓扑数据分析已经成为应用数学的一个领域，新的应用和算法的发展迅速出现。在这个领域的两个基本计算是持久的同源性和曲折的同源性。在本文中，我们将展示如何在最一般的情况下，这些计算减少到寻找一个标准形的矩阵与A型的矩阵表示，这反过来又可以计算使用相关矩阵的因式分解。我们展示了如何使用任意诱导映射的计算同源性，提供了一个框架，超越了现有的拓扑数据分析软件的能力。此外，该框架提供了多种并行化的机会，以前没有被利用。我们提供了几个例子，这个框架的实用程序，演示并行加速，并报告显着的改进相比，现有的软件。
2021-03-01 cs.CG math.AT
Spectral Sequences, Exact Couples and Persistent Homology of filtrations
在本文中，我们研究了一个非常经典的代数对象之间的关系与过滤的空间，即一个谱序列介绍了勒雷在20世纪40年代，和一个最近发明的对象，发现了许多应用-即，其持久的同调群。我们表明存在一个长的确切序列的群体连接这两个对象，并使用它导出公式表示的尺寸的每个单独的群体的一个对象的尺寸方面的群体在其他对象。用于在这些对象之间进行调解的主要工具是Massey在1952年首次引入的正合偶概念。
2018-12-18 cs.CG math.AT
Duality in Persistent Homology of Images
EPFL（洛桑联邦理工学院）；IST Austria (Institute of Science and Technology Austria)（奥地利科学技术研究所）；Mathematical Sciences Institute, The Australian National University（澳大利亚国立大学数学科学研究所）；University of New England（新英格兰大学）；Research School of Physics, The Australian National University（澳大利亚国立大学物理研究学院）
我们推导出两个双重过滤的CW复合物的持久同源条形码之间的关系。应用于灰度数字图像，我们得到了一个算法来转换两个不同的（双）像素连接的拓扑模型之间的条形码。
2020-05-12 cs.CG cs.CV math.AT
Persistent Homology of Music Network with Three Different Distances
Department of Mathematics, Pohang University of Science & Technology（POSTECH数学系）；POSTECH Mathematical Institute for Data Science (MINDS)（POSTECH数据科学数学研究所）；Korea Institute for Advanced Study (KIAS)（韩国高级研究院）
本研究探讨了三种不同距离定义在音乐网络持续同调中的应用，揭示了不同距离定义对持续条形码和持续图的影响，并通过真实音乐数据验证了结果。
2025-06-16 cs.CG cs.SD eess.AS
Non-isotropic Persistent Homology: Leveraging the Metric Dependency of PH
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）
提出非各向同性持久同调方法，通过改变底层空间距离函数并分析持久性图偏移，提取点云的方向、方差和缩放等额外拓扑几何信息。
2023-10-25 cs.CG cs.LG math.AT
Untangling Force-Directed Layouts Using Persistent Homology
力导向布局属于一种用于在节点链接图中定位节点的流行方法。然而，它们通常缺乏对全局结构的直接考虑，这可能导致视觉混乱和不相关结构的重叠。在本文中，我们使用持久同源性的原则来解开力导向布局，从而减轻这些问题。首先，我们设计了一种新的方法，使用0维持久同源有效地产生一个初始的图形布局。该方法导致更快的收敛和更好的图形布局质量。其次，我们提供了一个新的定义和一个有效的算法，1维持久同源特征（即，隧道/循环）。我们为用户提供了与一维特征交互的能力，通过突出显示它们并向布局中添加强调循环的力量。最后，我们通过计算各种指标，例如，联合排名、边缘交叉等，以证明我们提出的方法的有效性。
2022-08-14 cs.CG cs.HC cs.SI
Distributed computation of persistent homology
持久同源性是一个流行的和强大的工具，用于捕获数据的拓扑特征。计算持久同源性的算法的进步已经大大减少了计算时间-只要算法不耗尽可用的内存。最近提出的并行方法持久性计算共享内存系统，我们证明了一个简单的适应标准的减少算法导致分布式系统的一个变种。我们的算法设计确保数据分布在节点上，没有冗余;这允许计算比单个机器大得多的实例。此外，我们观察到，并行至少补偿了节点之间的通信所造成的开销，并且与顺序甚至并行共享内存算法相比，通常甚至加快了计算速度。在我们的实验中，我们能够在一个具有32个节点的集群上，使用每个节点不到10GB的内存，在几秒钟内计算出具有超过10亿（10^9）个元素的过滤的持久同源性。
2013-10-02 cs.CG cs.DC math.AT
Multiple testing with persistent homology
在本文中，我们提出了一个计算效率高的多假设检验程序的持久同源性。我们的程序的计算效率是基于这样的观察，即人们可以凭经验模拟一个空分布，这是普遍的，在许多假设检验应用涉及持久性同源性。我们的观察表明，可以根据收集的数据的少量摘要有效地模拟空分布，并以与经典统计中使用p值表相同的方式使用此空分布。为了说明零分布的效率和效用，我们提供了拒绝非周期性与控制的家庭明智的出错率（FWER）和错误发现率（FDR）的程序。我们将争辩说，我们提出的经验空是非常普遍的条件下，一些总结的数据的基础上，模拟和持久的同源性点过程的极限定理。
2022-08-25 cs.CG math.AT stat.OT
Adaptive Topological Feature via Persistent Homology: Filtration Learning for Point Clouds
The University of Tokyo（东京大学）；Kyushu University（九州大学）
本文提出一种基于神经网络的自适应过滤学习框架，用于点云持续同调特征提取，确保等距不变性，并在分类任务中验证了其有效性。
2023-12-24 cs.CG cs.CV cs.LG
Persistent Homology and Graphs Representation Learning
Santa Clara University（圣克拉拉大学）；University of South Florida（南佛罗里达大学）；Facebook Inc（脸书公司）
本文的目的是研究编码在节点图表示嵌入的拓扑不变性质，利用工具，在持久同源。具体来说，给定一个节点嵌入表示算法，我们考虑这些嵌入是实值的情况。通过将这些嵌入视为感兴趣域上的标量函数，我们可以利用持久同源中可用的工具来研究这些表示中编码的拓扑信息。我们的建设有效地定义了一个独特的持久性为基础的图描述符，在图形和节点级别，每个节点表示算法。为了证明该方法的有效性，我们研究了DeepWalk，Node2Vec和Diff2Vec诱导的拓扑描述符。
2021-10-09 cs.CG cs.CV cs.LG
The persistent homology of cyclic graphs
给出了一个计算循环图的团复形在$n$顶点上的滤除的$k$维持久同调的$O(n^2(k+\log n))$算法.这在顶点数$n$上几乎是二次的，因此对传统的持续同调算法有很大的改进，传统的持续同调算法在维数至多为$k+1$的单形数上是三次的，因此在顶点数$n$上运行时间$O(n^{3(k+2)})$是三次的。我们的算法适用于，例如，Vietoris-裂口复杂的采样点从曲线在$\mathbb{R}^d$的规模是有界的曲线的几何形状，但仍然足够大，使Vietoris-裂口复杂的可能有非平凡的同源性在任意高的维度$k$。在平面$\mathbb{R}^2$的情况下，我们证明了我们的算法适用于所有的尺度参数，如果$n$顶点是从一个凸闭可微曲线，其凸包包含其渐屈线采样。我们问，是否有其他几何设置中，计算持久的同源性是（说）二次或三次的顶点数，而不是在单形的数量。
2019-10-13 cs.CG math.AT math.MG
Combinatorial Persistent Homology Transform
本研究利用持续图组合解释的函子性，将几何复形的持续同调变换重新表述为球面胞腔化到组合持续图范畴的表示，为形状研究引入代数与拓扑组合学方法提供了可能。
2024-05-15 cs.CG math.AT math.CT
The sublevel Flood bifiltration: towards scalable 2-parameter persistent homology
Université Lyon 1（里昂第一大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Sorbonne Université（索邦大学）
本文提出子级 Flood 双过滤，可扩展近似子级偏移双过滤，用于高效计算大型点集上的 2-参数持续同调，并在合成与真实时间序列分类任务中验证了性能。
2026-10-08 cs.CG cs.LG math.AT
Persistent Homology for Resource Coverage: A Case Study of Access to Polling Sites
本文利用持续同调方法分析投票站点的空间覆盖公平性，通过推断分布空洞比较洛杉矶县及五个城市的资源可达性，验证了该方法用于资源覆盖分析的合理性。
2023-08-11 cs.CG math.AT nlin.AO
Categorification of persistent homology
我们从范畴的角度重新开发持久同源性（拓扑持久性）。主要研究对象是在某个目标范畴内由实数偏序集索引的图。这组图有一个交织距离，我们发现，概括了以前研究的瓶颈距离。为了说明这种方法的实用性，我们大大推广了以前的稳定性结果的持久性，扩展持久性，内核，图像和cokernel持久性。我们给出了一个自然的结构，这些图的一个类别的交织，并表明，如果目标类别是阿贝尔，所以是这个类别的交织。
2014-01-08 cs.CG math.AT math.CT
Approximating persistent homology for a cloud of $n$ points in a subquadratic time
$n$ -点度量空间的Vietoris-Rips滤子是一个大单纯复形序列，它在不连通的空间上增加了一个拓扑结构。持续同源性是拓扑数据分析的重要工具，它研究在多尺度上持续存在的数据的拓扑特征。计算滤子的持久同调的最快算法有时间$O(M(u)+u^2\log^2 u)$，其中$u$是更新（单形的添加或删除）的数量，$M(u)=O(u^{2.376})$是$u\times u$矩阵相乘的时间。对于由两两距离给出的$n$点的空间，我们用一个由$u=o(n)$更新组成的锯齿形过滤来逼近Vietoris-Rips过滤，该过滤在$n$中是次线性的.常数取决于给定的近似误差和度量空间的双倍维数。然后，该次线性尺寸过滤的持久同调可以在时间$o(n^2)$中计算，其在$n$中是次二次的。
2017-09-16 cs.CG cs.CV math.AT
Cycle Registration in Persistent Homology with Applications in Topological Bootstrap
Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
在这篇文章中，我们提出了一种新的方法比较持久的同源表示的两个空间（过滤）。常用的方法是基于数值总结，如持久性图和持久性景观，以及适当的度量（例如Wasserstein）。这些总结对于计算目的是有用的，但它们仅仅是持久同源性所能提供的实际拓扑信息的边缘。相反，我们的方法直接在数据空间中比较两个拓扑表示。我们这样做是通过定义两个不同空间的各个持久循环之间的对应关系，并设计一种方法来计算这种对应关系。我们的匹配周期是基于持久性间隔和空间放置的每个功能。我们展示了我们的新框架的拓扑推理的背景下，我们使用统计引导方法，以区分点云数据中的真实特征和噪声。
2021-01-03 cs.CG cs.LG math.AT
Persistent Homology of Geospatial Data: A Case Study with Voting
分析持久同源性的关键步骤是将数据转换为适当的拓扑对象（在我们的例子中，是单纯复形）。现代的持久同源性软件包通常在点云上构造Vietoris-Rip或其他基于距离的单纯复形，因为它们相对容易计算。我们研究了替代方法构建这些复杂的和相关的选择在单纯复杂的建设持续同源算法的输出的影响。我们提出了两种新的方法，从二维地理空间数据（如地图）构建单纯形复合体。我们将这些方法应用于加州选区级投票数据集，证明我们的新结构可以捕获基于距离的结构所错过的几何特征。因此，我们的新构造可以为地理空间数据产生更多可解释的持久化模块和条形码。特别是，它们能够区分仅在很窄的距离尺度范围内出现的短持续性特征（例如，在人口稠密的城市中的投票行为）从短持久性噪声通过合并关于选区之间的其他空间关系的信息。
2019-09-16 cs.CG cs.SI math.AT
Stability of multidimensional persistent homology with respect to domain perturbations
在计算机视觉和计算机图形学中处理不完整或不精确的数据采集的问题的动机，我们扩展的结果有关的稳定性持久的同源性函数扰动的结果有关的稳定性域扰动。域扰动可以以多种不同的方式测量。比较域的一个重要方法是Hausdorff距离。我们证明了通过使用距离函数对集合进行编码，持久同调群的秩不变量之间的多维匹配距离总是由集合之间的Hausdorff距离上界。此外，我们证明，我们的建设保持信息的原始集。其他著名的方法比较集被认为是，如经典集之间的对称差距离和模糊集之间的超距离。此外，在这些情况下，我们提出的结果表明，持久的同调群的秩不变量之间的多维匹配距离的上限由这些距离。一个实验表明，我们的方法的潜力总结的文件。
2010-05-10 cs.CG cs.IT math.AT
Fast and Scalable Complex Network Descriptor Using PageRank and Persistent Homology
Michigan State University（密歇根州立大学）；University of South Florida（南佛罗里达大学）
图的PageRank是定义在图的节点集上的标量函数，它编码图的节点中心性信息。在本文中，我们使用PageRank函数和持久同源性来获得一个可扩展的图描述符，并利用它来比较图之间的相似性。对于给定的图$G(V,E)$，我们的描述符可以在$O(|E|α(|V|))$中计算，其中$α$是逆阿克曼函数，这使得它在大规模图上是可扩展和可计算的。我们证明了我们的方法的有效性，利用它对多个形状网格数据集。
2020-09-12 cs.CG cs.CV cs.LG
