Inference of topological and geometric attributes of a hidden manifold from its point data is a fundamental problem arising in many scientific studies and engineering applications. In this paper we present an algorithm to compute a set of loops from a point data that presumably sample a smooth manifold $M\subset \mathbb{R}^d$. These loops approximate a {\em shortest} basis of the one dimensional homology group $H_1(M)$ over coefficients in finite field $\mathbb{Z}_2$. Previous results addressed the issue of computing the rank of the homology groups from point data, but there is no result on approximating the shortest basis of a manifold from its point sample. In arriving our result, we also present a polynomial time algorithm for computing a shortest basis of $H_1(K)$ for any finite {\em simplicial complex} $K$ whose edges have non-negative weights.
Minimum cycle and homology bases of surface embedded graphs
我们研究的问题，找到一个最小的循环基础（一个最小的重量集的循环，形成一个基础的循环空间）和最小的同源基础（一个最小的重量集的循环，产生$1$ -维（$\mathbb{Z}_2$）-同源类）的无向图嵌入在一个表面上。这两个问题是密切相关的，因为图的最小圈基包含它的最小同调基，而任何图的$1$ -骨架的最小同调基恰是它的最小圈基。对于最小圈基问题，我们给出了嵌入在亏格为$g$的可定向曲面上的图的确定性$O(n^ω+2^{2g}n^2+m)$ -时间算法。最著名的表面嵌入图的现有算法是那些一般的图：$O(m^ω)$时间蒙特卡罗算法和确定性$O(nm^2/\log n + n^2 m)$时间算法。对于最小同调基问题，我们给出了一个确定性的$O((g+b)^3 n \log n + m)$ -时间算法嵌入到一个可定向或不可定向表面上的属$g$与$b$边界组件的图，假设最短路径是唯一的，改进了现有的算法的许多值的$g$和$n$。唯一最短路径的假设可以使用随机化以高概率避免，或者通过将同源基算法的运行时间增加因子$O(\log n)$而确定性地避免。
Holiest Minimum-Cost Paths and Flows in Surface Graphs
设$G$是一个边权有向图，其中$n$的顶点嵌入在亏格为$g$的可定向曲面上.我们描述了一个简单的确定性字典序扰动方案，该方案保证了$G$中最小成本流和最短路径的唯一性。扰动需要$O(gn)$时间来计算。我们使用我们的扰动计划在一个黑盒的方式来获得一个确定性的$O(n \log \log n)$时间算法的最小切割\emph{directed}边加权平面图和一个确定性的$O(g^2 n \log n)$时间预处理计划的多源最短路径问题的计算最短路径预言的所有顶点躺在一个表面嵌入图的公共面。后者的结果产生更快的确定性近线性时间算法的各种问题，在常亏格表面嵌入图。最后，我们打开黑盒子，以推广最近的线性时间算法的多源最短路径在无向平面图工作在任意定向表面。我们的算法运行在$O(g^2 n \log g)$时间在此设置，它可以用来给改进的线性时间算法的几个问题的无权无向面嵌入图的常亏格，包括计算最小割，最短的拓扑非平凡圈，最小的同源基。
