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退化椭圆测度的绝对连续性

Absolute continuity of degenerate elliptic measure

Mingming Cao, Kôzô Yabuta

备注：
arXiv admin note: text overlap with arXiv:2101.06064
发表信息：
J. Funct. Anal. 288 (2025), 110673
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AI总结：

本文研究了退化椭圆测度的绝对连续性，在定量开性与连通性等条件下，建立了该测度属于 $A_{\infty}$、Dirichlet 问题的 $L^p$ 与 BMO 可解性及平方函数估计等多条性质的等价关系，并用截断锥形平方函数的局部 $L^2$ 估计刻画了其绝对连续性。

摘要：

设 $Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$ 为一开集，其边界可由不同维度的片段组成。假设 $Ω$ 满足定量的开性与连通性，且在 $Ω$ 上存在加倍测度 $m$，在 $∂Ω$ 上存在加倍测度 $μ$，并满足适当的尺度条件。设 $Lu=-\mathrm{div}(A\nabla u)$ 为 $Ω$ 中的实（不一定对称）退化椭圆算子。记 $ω_L$ 为相应的退化椭圆测度。我们建立了以下性质之间的等价性：(i) $ω_L \in A_{\infty}(μ)$，(ii) $L$ 的 Dirichlet 问题在 $L^p(μ)$ 中对某个 $p \in (1, \infty)$ 可解，(iii) $L$ 的每个有界零解关于 $μ$ 满足 Carleson 测度估计，(iv) 对于 $L$ 的任意零解，锥形平方函数在 $L^q(μ)$ 中对所有 $q \in (0, \infty)$ 受非切向极大函数控制，以及 (v) $L$ 的 Dirichlet 问题在 $\mathrm{BMO}(μ)$ 中可解。另一方面，我们获得了前述等价关系的一个定性类比。具体而言，我们用 $L$ 的任意有界零解的截断锥形平方函数的局部 $L^2(μ)$ 估计，刻画了 $ω_L$ 关于 $μ$ 的绝对连续性。这也等价于 $L$ 的任意有界零解的截断锥形平方函数关于 $μ$ 几乎处处有限。

英文摘要：

Let $Ω\subset \mathbb{R}^{n+1}$ be an open set whose boundary may be composed of pieces of different dimensions. Assume that $Ω$ satisfies the quantitative openness and connectedness, and there exist doubling measures $m$ on $Ω$ and $μ$ on $\partial Ω$ with appropriate size conditions. Let $Lu=-\mathrm{div}(A\nabla u)$ be a real (not necessarily symmetric) degenerate elliptic operator in $Ω$. Write $ω_L$ for the associated degenerate elliptic measure. We establish the equivalence between the following properties: (i) $ω_L \in A_{\infty}(μ)$, (ii) the Dirichlet problem for $L$ is solvable in $L^p(μ)$ for some $p \in (1, \infty)$, (iii) every bounded null solution of $L$ satisfies Carleson measure estimates with respect to $μ$, (iv) the conical square function is controlled by the non-tangential maximal function in $L^q(μ)$ for all $q \in (0, \infty)$ for any null solution of $L$, and (v) the Dirichlet problem for $L$ is solvable in $\mathrm{BMO}(μ)$. On the other hand, we obtain a qualitative analogy of the previous equivalence. Indeed, we characterize the absolute continuity of $ω_L$ with respect to $μ$ in terms of local $L^2(μ)$ estimates of the truncated conical square function for any bounded null solution of $L$. This is also equivalent to the finiteness $μ$-almost everywhere of the truncated conical square function for any bounded null solution of $L$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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